MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  toptopon Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem toptopon 19996
Description: Alternative definition of  Top in terms of TopOn. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
toptopon.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
toptopon  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )

Proof of Theorem toptopon
StepHypRef Expression
1 toptopon.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
2 istopon 19988 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  <->  ( J  e. 
Top  /\  X  =  U. J ) )
31, 2mpbiran2 935 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  <->  J  e.  Top )
43bicomi 207 1  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 189    = wceq 1454    e. wcel 1897   U.cuni 4211   ` cfv 5600   Topctop 19965  TopOnctopon 19966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-op 3986  df-uni 4212  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-id 4767  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fv 5608  df-topon 19971
This theorem is referenced by:  eltpsi  20009  neiptopreu  20197  restuni  20226  stoig  20227  restlp  20247  restperf  20248  perfopn  20249  iscn2  20302  iscnp2  20303  lmcvg  20326  cnss1  20340  cnss2  20341  cncnpi  20342  cncnp2  20345  cnnei  20346  cnrest  20349  cnrest2  20350  cnrest2r  20351  cnpresti  20352  cnprest  20353  cnprest2  20354  paste  20358  lmss  20362  lmcnp  20368  lmcn  20369  t1t0  20412  haust1  20416  restcnrm  20426  resthauslem  20427  t1sep2  20433  sshauslem  20436  lmmo  20444  rncmp  20459  conima  20488  concn  20489  1stcelcls  20524  kgeni  20600  kgenuni  20602  kgenftop  20603  kgenss  20606  kgenhaus  20607  kgencmp2  20609  kgenidm  20610  iskgen3  20612  1stckgen  20617  kgencn3  20621  kgen2cn  20622  txuni  20655  ptuniconst  20661  dfac14  20681  ptcnplem  20684  ptcnp  20685  txcnmpt  20687  txcn  20689  ptcn  20690  txindis  20697  txdis1cn  20698  ptrescn  20702  txcmpb  20707  lmcn2  20712  txkgen  20715  xkohaus  20716  xkoptsub  20717  xkopt  20718  cnmpt11  20726  cnmpt11f  20727  cnmpt1t  20728  cnmpt12  20730  cnmpt21  20734  cnmpt21f  20735  cnmpt2t  20736  cnmpt22  20737  cnmpt22f  20738  cnmptcom  20741  cnmptkp  20743  xkofvcn  20747  cnmpt2k  20751  txcon  20752  imasnopn  20753  imasncld  20754  imasncls  20755  qtopcmplem  20770  qtopkgen  20773  qtopss  20778  qtopeu  20779  qtopomap  20781  qtopcmap  20782  kqtop  20808  kqt0  20809  nrmr0reg  20812  regr1  20813  kqreg  20814  kqnrm  20815  hmeof1o  20827  hmeores  20834  hmeoqtop  20838  hmphref  20844  hmphindis  20860  cmphaushmeo  20863  txhmeo  20866  ptunhmeo  20871  xpstopnlem1  20872  ptcmpfi  20876  xkocnv  20877  xkohmeo  20878  kqhmph  20882  hausflim  21044  flimsncls  21049  flfneii  21055  hausflf  21060  cnpflfi  21062  flfcnp  21067  flfcnp2  21070  flimfnfcls  21091  cnpfcfi  21103  flfcntr  21106  cnextfun  21127  cnextfvval  21128  cnextf  21129  cnextcn  21130  cnextfres1  21131  cnextucn  21366  retopon  21832  cnmpt2pc  22004  evth  22035  evth2  22036  htpyco1  22057  htpyco2  22058  phtpyco2  22069  pcopt  22101  pcopt2  22102  pcorevlem  22105  pi1cof  22138  pi1coghm  22140  qtophaus  28711  rrhre  28873  pconcon  30002  conpcon  30006  pconpi1  30008  sconpi1  30010  txsconlem  30011  txscon  30012  cvxscon  30014  cvmsf1o  30043  cvmliftmolem1  30052  cvmliftlem8  30063  cvmlift2lem9a  30074  cvmlift2lem9  30082  cvmlift2lem11  30084  cvmlift2lem12  30085  cvmliftphtlem  30088  cvmlift3lem6  30095  cvmlift3lem8  30097  cvmlift3lem9  30098  cnres2  32139  cnresima  32140  hausgraph  36133  fcnre  37385
  Copyright terms: Public domain W3C validator