MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  toptopon Structured version   Unicode version

Theorem toptopon 19229
Description: Alternative definition of  Top in terms of TopOn. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
toptopon.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
toptopon  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )

Proof of Theorem toptopon
StepHypRef Expression
1 toptopon.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
2 istopon 19221 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  <->  ( J  e. 
Top  /\  X  =  U. J ) )
31, 2mpbiran2 917 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  <->  J  e.  Top )
43bicomi 202 1  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    = wceq 1379    e. wcel 1767   U.cuni 4245   ` cfv 5588   Topctop 19189  TopOnctopon 19190
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fv 5596  df-topon 19197
This theorem is referenced by:  eltpsi  19242  neiptopreu  19428  restuni  19457  stoig  19458  restlp  19478  restperf  19479  perfopn  19480  iscn2  19533  iscnp2  19534  lmcvg  19557  cnss1  19571  cnss2  19572  cncnpi  19573  cncnp2  19576  cnnei  19577  cnrest  19580  cnrest2  19581  cnrest2r  19582  cnpresti  19583  cnprest  19584  cnprest2  19585  paste  19589  lmss  19593  lmcnp  19599  lmcn  19600  t1t0  19643  haust1  19647  restcnrm  19657  resthauslem  19658  t1sep2  19664  sshauslem  19667  lmmo  19675  rncmp  19690  conima  19720  concn  19721  1stcelcls  19756  kgeni  19801  kgenuni  19803  kgenftop  19804  kgenss  19807  kgenhaus  19808  kgencmp2  19810  kgenidm  19811  iskgen3  19813  1stckgen  19818  kgencn3  19822  kgen2cn  19823  txuni  19856  ptuniconst  19862  dfac14  19882  ptcnplem  19885  ptcnp  19886  txcnmpt  19888  txcn  19890  ptcn  19891  txindis  19898  txdis1cn  19899  ptrescn  19903  txcmpb  19908  lmcn2  19913  txkgen  19916  xkohaus  19917  xkoptsub  19918  xkopt  19919  cnmpt11  19927  cnmpt11f  19928  cnmpt1t  19929  cnmpt12  19931  cnmpt21  19935  cnmpt21f  19936  cnmpt2t  19937  cnmpt22  19938  cnmpt22f  19939  cnmptcom  19942  cnmptkp  19944  xkofvcn  19948  cnmpt2k  19952  txcon  19953  imasnopn  19954  imasncld  19955  imasncls  19956  qtopcmplem  19971  qtopkgen  19974  qtopss  19979  qtopeu  19980  qtopomap  19982  qtopcmap  19983  kqtop  20009  kqt0  20010  nrmr0reg  20013  regr1  20014  kqreg  20015  kqnrm  20016  hmeof1o  20028  hmeores  20035  hmeoqtop  20039  hmphref  20045  hmphindis  20061  cmphaushmeo  20064  txhmeo  20067  ptunhmeo  20072  xpstopnlem1  20073  ptcmpfi  20077  xkocnv  20078  xkohmeo  20079  kqhmph  20083  hausflim  20245  flimsncls  20250  flfneii  20256  hausflf  20261  cnpflfi  20263  flfcnp  20268  flfcnp2  20271  flimfnfcls  20292  cnpfcfi  20304  cnextfun  20327  cnextfvval  20328  cnextf  20329  cnextcn  20330  cnextfres  20331  cnextucn  20569  retopon  21033  cnmpt2pc  21191  evth  21222  evth2  21223  htpyco1  21241  htpyco2  21242  phtpyco2  21253  pcopt  21285  pcopt2  21286  pcorevlem  21289  pi1cof  21322  pi1coghm  21324  rrhre  27663  qtophaus  27665  pconcon  28344  conpcon  28348  pconpi1  28350  sconpi1  28352  txsconlem  28353  txscon  28354  cvxscon  28356  cvmsf1o  28385  cvmliftmolem1  28394  cvmliftlem8  28405  cvmlift2lem9a  28416  cvmlift2lem9  28424  cvmlift2lem11  28426  cvmlift2lem12  28427  cvmliftphtlem  28430  cvmlift3lem6  28437  cvmlift3lem8  28439  cvmlift3lem9  28440  cnres2  29890  cnresima  29891  hausgraph  30805  fcnre  31006
  Copyright terms: Public domain W3C validator