MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  toponss Structured version   Unicode version

Theorem toponss 19936
Description: A member of a topology is a subset of its underlying set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
toponss  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  J )  ->  A  C_  X )

Proof of Theorem toponss
StepHypRef Expression
1 elssuni 4246 . . 3  |-  ( A  e.  J  ->  A  C_ 
U. J )
21adantl 468 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  J )  ->  A  C_ 
U. J )
3 toponuni 19934 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
43adantr 467 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  J )  ->  X  =  U. J )
52, 4sseqtr4d 3502 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  J )  ->  A  C_  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1438    e. wcel 1869    C_ wss 3437   U.cuni 4217   ` cfv 5599  TopOnctopon 19910
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-op 4004  df-uni 4218  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-id 4766  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fv 5607  df-topon 19915
This theorem is referenced by:  en2top  19993  neiptopreu  20141  iscnp3  20252  cnntr  20283  cncnp  20288  isreg2  20385  connsub  20428  iunconlem  20434  concompclo  20442  1stccnp  20469  kgenidm  20554  tx1cn  20616  tx2cn  20617  xkoccn  20626  txcnp  20627  ptcnplem  20628  xkoinjcn  20694  idqtop  20713  qtopss  20722  kqfvima  20737  kqsat  20738  kqreglem1  20748  kqreglem2  20749  qtopf1  20823  fbflim  20983  flimcf  20989  flimrest  20990  isflf  21000  fclscf  21032  subgntr  21113  ghmcnp  21121  qustgpopn  21126  qustgplem  21127  tsmsxplem1  21159  tsmsxp  21161  ressusp  21272  mopnss  21453  xrtgioo  21816  lebnumlem2  21982  lebnumlem2OLD  21985  cfilfcls  22236  iscmet3lem2  22254  dvres3a  22861  dvmptfsum  22919  dvcnvlem  22920  dvcnv  22921  efopn  23595  dvatan  23853  txomap  28663  cnllyscon  29970  cvmlift2lem9a  30028  icccncfext  37629  dvmptconst  37649  dvmptidg  37651
  Copyright terms: Public domain W3C validator