MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  toponss Structured version   Unicode version

Theorem toponss 19192
Description: A member of a topology is a subset of its underlying set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
toponss  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  J )  ->  A  C_  X )

Proof of Theorem toponss
StepHypRef Expression
1 elssuni 4270 . . 3  |-  ( A  e.  J  ->  A  C_ 
U. J )
21adantl 466 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  J )  ->  A  C_ 
U. J )
3 toponuni 19190 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
43adantr 465 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  J )  ->  X  =  U. J )
52, 4sseqtr4d 3536 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  J )  ->  A  C_  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    C_ wss 3471   U.cuni 4240   ` cfv 5581  TopOnctopon 19157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-id 4790  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fv 5589  df-topon 19164
This theorem is referenced by:  en2top  19248  neiptopreu  19395  iscnp3  19506  cnntr  19537  cncnp  19542  isreg2  19639  connsub  19683  iunconlem  19689  concompclo  19697  1stccnp  19724  kgenidm  19778  tx1cn  19840  tx2cn  19841  xkoccn  19850  txcnp  19851  ptcnplem  19852  xkoinjcn  19918  idqtop  19937  qtopss  19946  kqfvima  19961  kqsat  19962  kqreglem1  19972  kqreglem2  19973  qtopf1  20047  fbflim  20207  flimcf  20213  flimrest  20214  isflf  20224  fclscf  20256  subgntr  20335  ghmcnp  20343  divstgpopn  20348  divstgplem  20349  tsmsxplem1  20385  tsmsxp  20387  ressusp  20498  mopnss  20679  xrtgioo  21041  lebnumlem2  21192  cfilfcls  21443  iscmet3lem2  21461  dvres3a  22048  dvmptfsum  22106  dvcnvlem  22107  dvcnv  22108  efopn  22762  dvatan  22989  txomap  27488  cnllyscon  28318  cvmlift2lem9a  28376  icccncfext  31183  dvmptconst  31200  dvmptidg  31202
  Copyright terms: Public domain W3C validator