MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  toponss Structured version   Unicode version

Theorem toponss 18533
Description: A member of a topology is a subset of its underlying set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
toponss  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  J )  ->  A  C_  X )

Proof of Theorem toponss
StepHypRef Expression
1 elssuni 4120 . . 3  |-  ( A  e.  J  ->  A  C_ 
U. J )
21adantl 466 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  J )  ->  A  C_ 
U. J )
3 toponuni 18531 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
43adantr 465 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  J )  ->  X  =  U. J )
52, 4sseqtr4d 3392 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  J )  ->  A  C_  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    C_ wss 3327   U.cuni 4090   ` cfv 5417  TopOnctopon 18498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2719  df-rex 2720  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-op 3883  df-uni 4091  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-id 4635  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fv 5425  df-topon 18505
This theorem is referenced by:  en2top  18589  neiptopreu  18736  iscnp3  18847  cnntr  18878  cncnp  18883  isreg2  18980  connsub  19024  iunconlem  19030  concompclo  19038  1stccnp  19065  kgenidm  19119  tx1cn  19181  tx2cn  19182  xkoccn  19191  txcnp  19192  ptcnplem  19193  xkoinjcn  19259  idqtop  19278  qtopss  19287  kqfvima  19302  kqsat  19303  kqreglem1  19313  kqreglem2  19314  qtopf1  19388  fbflim  19548  flimcf  19554  flimrest  19555  isflf  19565  fclscf  19597  subgntr  19676  ghmcnp  19684  divstgpopn  19689  divstgplem  19690  tsmsxplem1  19726  tsmsxp  19728  ressusp  19839  mopnss  20020  xrtgioo  20382  lebnumlem2  20533  cfilfcls  20784  iscmet3lem2  20802  dvres3a  21388  dvmptfsum  21446  dvcnvlem  21447  dvcnv  21448  efopn  22102  dvatan  22329  cnllyscon  27133  cvmlift2lem9a  27191
  Copyright terms: Public domain W3C validator