MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  toponss Structured version   Unicode version

Theorem toponss 19515
Description: A member of a topology is a subset of its underlying set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
toponss  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  J )  ->  A  C_  X )

Proof of Theorem toponss
StepHypRef Expression
1 elssuni 4192 . . 3  |-  ( A  e.  J  ->  A  C_ 
U. J )
21adantl 464 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  J )  ->  A  C_ 
U. J )
3 toponuni 19513 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
43adantr 463 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  J )  ->  X  =  U. J )
52, 4sseqtr4d 3454 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  J )  ->  A  C_  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826    C_ wss 3389   U.cuni 4163   ` cfv 5496  TopOnctopon 19480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4709  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fv 5504  df-topon 19487
This theorem is referenced by:  en2top  19572  neiptopreu  19720  iscnp3  19831  cnntr  19862  cncnp  19867  isreg2  19964  connsub  20007  iunconlem  20013  concompclo  20021  1stccnp  20048  kgenidm  20133  tx1cn  20195  tx2cn  20196  xkoccn  20205  txcnp  20206  ptcnplem  20207  xkoinjcn  20273  idqtop  20292  qtopss  20301  kqfvima  20316  kqsat  20317  kqreglem1  20327  kqreglem2  20328  qtopf1  20402  fbflim  20562  flimcf  20568  flimrest  20569  isflf  20579  fclscf  20611  subgntr  20690  ghmcnp  20698  qustgpopn  20703  qustgplem  20704  tsmsxplem1  20740  tsmsxp  20742  ressusp  20853  mopnss  21034  xrtgioo  21396  lebnumlem2  21547  cfilfcls  21798  iscmet3lem2  21816  dvres3a  22403  dvmptfsum  22461  dvcnvlem  22462  dvcnv  22463  efopn  23126  dvatan  23382  txomap  27991  cnllyscon  28879  cvmlift2lem9a  28937  icccncfext  31856  dvmptconst  31876  dvmptidg  31878
  Copyright terms: Public domain W3C validator