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Theorem toponmre 20186
 Description: The topologies over a given base set form a Moore collection: the intersection of any family of them is a topology, including the empty (relative) intersection which gives the discrete topology distop 20088. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
toponmre TopOn Moore

Proof of Theorem toponmre
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 toponuni 20019 . . . . . 6 TopOn
2 eqimss2 3471 . . . . . . 7
3 sspwuni 4360 . . . . . . 7
42, 3sylibr 217 . . . . . 6
51, 4syl 17 . . . . 5 TopOn
6 selpw 3949 . . . . 5
75, 6sylibr 217 . . . 4 TopOn
87ssriv 3422 . . 3 TopOn
98a1i 11 . 2 TopOn
10 distopon 20089 . 2 TopOn
11 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn TopOn
1211sselda 3418 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn TopOn
1312adantrl 730 . . . . . . . . . . . 12 TopOn TopOn
14 topontop 20018 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11 TopOn
16 simpl 464 . . . . . . . . . . . . 13
17 intss1 4241 . . . . . . . . . . . . . 14
1817adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13
1916, 18sstrd 3428 . . . . . . . . . . . 12
2019adantl 473 . . . . . . . . . . 11 TopOn
21 uniopn 20004 . . . . . . . . . . 11
2215, 20, 21syl2anc 673 . . . . . . . . . 10 TopOn
2322expr 626 . . . . . . . . 9 TopOn
2423ralrimiv 2808 . . . . . . . 8 TopOn
25 vex 3034 . . . . . . . . . 10
2625uniex 6606 . . . . . . . . 9
2726elint2 4233 . . . . . . . 8
2824, 27sylibr 217 . . . . . . 7 TopOn
2928ex 441 . . . . . 6 TopOn
3029alrimiv 1781 . . . . 5 TopOn
31 simpll 768 . . . . . . . . . . 11 TopOn TopOn
3231sselda 3418 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn
33 topontop 20018 . . . . . . . . . 10 TopOn
3432, 33syl 17 . . . . . . . . 9 TopOn
35 intss1 4241 . . . . . . . . . . 11
3635adantl 473 . . . . . . . . . 10 TopOn
37 simplrl 778 . . . . . . . . . 10 TopOn
3836, 37sseldd 3419 . . . . . . . . 9 TopOn
39 simplrr 779 . . . . . . . . . 10 TopOn
4036, 39sseldd 3419 . . . . . . . . 9 TopOn
41 inopn 20006 . . . . . . . . 9
4234, 38, 40, 41syl3anc 1292 . . . . . . . 8 TopOn
4342ralrimiva 2809 . . . . . . 7 TopOn
4425inex1 4537 . . . . . . . 8
4544elint2 4233 . . . . . . 7
4643, 45sylibr 217 . . . . . 6 TopOn
4746ralrimivva 2814 . . . . 5 TopOn
48 intex 4557 . . . . . . . 8
4948biimpi 199 . . . . . . 7
5049adantl 473 . . . . . 6 TopOn
51 istopg 20002 . . . . . 6
5250, 51syl 17 . . . . 5 TopOn
5330, 47, 52mpbir2and 936 . . . 4 TopOn
54533adant1 1048 . . 3 TopOn
55 n0 3732 . . . . . . . . . . 11
5655biimpi 199 . . . . . . . . . 10
5756ad2antlr 741 . . . . . . . . 9 TopOn
5817sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . 15
5958ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . 14
60 elssuni 4219 . . . . . . . . . . . . . 14
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
6261adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
6312adantrl 730 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn TopOn
64 toponuni 20019 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
6662, 65sseqtr4d 3455 . . . . . . . . . . 11 TopOn
6766expr 626 . . . . . . . . . 10 TopOn
6867exlimdv 1787 . . . . . . . . 9 TopOn
6957, 68mpd 15 . . . . . . . 8 TopOn
7069ralrimiva 2809 . . . . . . 7 TopOn
71 unissb 4221 . . . . . . 7
7270, 71sylibr 217 . . . . . 6 TopOn
73723adant1 1048 . . . . 5 TopOn
7411sselda 3418 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn
75 toponuni 20019 . . . . . . . . . 10 TopOn
7674, 75syl 17 . . . . . . . . 9 TopOn
77 topontop 20018 . . . . . . . . . 10 TopOn
78 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11
7978topopn 20013 . . . . . . . . . 10
8074, 77, 793syl 18 . . . . . . . . 9 TopOn
8176, 80eqeltrd 2549 . . . . . . . 8 TopOn
8281ralrimiva 2809 . . . . . . 7 TopOn
83823adant1 1048 . . . . . 6 TopOn
84 elintg 4234 . . . . . . 7
85843ad2ant1 1051 . . . . . 6 TopOn
8683, 85mpbird 240 . . . . 5 TopOn
87 unissel 4220 . . . . 5
8873, 86, 87syl2anc 673 . . . 4 TopOn
8988eqcomd 2477 . . 3 TopOn
90 istopon 20017 . . 3 TopOn
9154, 89, 90sylanbrc 677 . 2 TopOn TopOn
929, 10, 91ismred 15586 1 TopOn Moore
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007  wal 1450   wceq 1452  wex 1671   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  cvv 3031   cin 3389   wss 3390  c0 3722  cpw 3942  cuni 4190  cint 4226  cfv 5589  Moorecmre 15566  ctop 19994  TopOnctopon 19995 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fv 5597  df-mre 15570  df-top 19998  df-topon 20000 This theorem is referenced by:  topmtcl  31090
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