MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  topnval Unicode version

Theorem topnval 13617
Description: Value of the topology extractor function. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
topnval.1  |-  B  =  ( Base `  W
)
topnval.2  |-  J  =  (TopSet `  W )
Assertion
Ref Expression
topnval  |-  ( Jt  B )  =  ( TopOpen `  W )

Proof of Theorem topnval
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5687 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  (TopSet `  w )  =  (TopSet `  W ) )
2 topnval.2 . . . . . 6  |-  J  =  (TopSet `  W )
31, 2syl6eqr 2454 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  (TopSet `  w )  =  J )
4 fveq2 5687 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  ( Base `  w )  =  ( Base `  W
) )
5 topnval.1 . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  W
)
64, 5syl6eqr 2454 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  ( Base `  w )  =  B )
73, 6oveq12d 6058 . . . 4  |-  ( w  =  W  ->  (
(TopSet `  w )t  ( Base `  w ) )  =  ( Jt  B ) )
8 df-topn 13606 . . . 4  |-  TopOpen  =  ( w  e.  _V  |->  ( (TopSet `  w )t  ( Base `  w ) ) )
9 ovex 6065 . . . 4  |-  ( Jt  B )  e.  _V
107, 8, 9fvmpt 5765 . . 3  |-  ( W  e.  _V  ->  ( TopOpen
`  W )  =  ( Jt  B ) )
1110eqcomd 2409 . 2  |-  ( W  e.  _V  ->  ( Jt  B )  =  (
TopOpen `  W ) )
12 0rest 13612 . . 3  |-  ( (/)t  B )  =  (/)
13 fvprc 5681 . . . . 5  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  (TopSet `  W )  =  (/) )
142, 13syl5eq 2448 . . . 4  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  J  =  (/) )
1514oveq1d 6055 . . 3  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( Jt  B )  =  (
(/)t  B ) )
16 fvprc 5681 . . 3  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  (
TopOpen `  W )  =  (/) )
1712, 15, 163eqtr4a 2462 . 2  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( Jt  B )  =  (
TopOpen `  W ) )
1811, 17pm2.61i 158 1  |-  ( Jt  B )  =  ( TopOpen `  W )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916   (/)c0 3588   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424  TopSetcts 13490   ↾t crest 13603   TopOpenctopn 13604
This theorem is referenced by:  topnid  13618  topnpropd  13619  symgtopn  15063  oppgtopn  15104  mgptopn  15612  resstopn  17204  prdstopn  17613  tuslem  18250  xrge0tsms  18818  om1opn  19014  xrge0tsmsd  24176  xrge0tmdOLD  24284
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-rest 13605  df-topn 13606
  Copyright terms: Public domain W3C validator