MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  topnval Structured version   Unicode version

Theorem topnval 14707
Description: Value of the topology extractor function. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
topnval.1  |-  B  =  ( Base `  W
)
topnval.2  |-  J  =  (TopSet `  W )
Assertion
Ref Expression
topnval  |-  ( Jt  B )  =  ( TopOpen `  W )

Proof of Theorem topnval
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5872 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  (TopSet `  w )  =  (TopSet `  W ) )
2 topnval.2 . . . . . 6  |-  J  =  (TopSet `  W )
31, 2syl6eqr 2526 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  (TopSet `  w )  =  J )
4 fveq2 5872 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  ( Base `  w )  =  ( Base `  W
) )
5 topnval.1 . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  W
)
64, 5syl6eqr 2526 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  ( Base `  w )  =  B )
73, 6oveq12d 6313 . . . 4  |-  ( w  =  W  ->  (
(TopSet `  w )t  ( Base `  w ) )  =  ( Jt  B ) )
8 df-topn 14696 . . . 4  |-  TopOpen  =  ( w  e.  _V  |->  ( (TopSet `  w )t  ( Base `  w ) ) )
9 ovex 6320 . . . 4  |-  ( Jt  B )  e.  _V
107, 8, 9fvmpt 5957 . . 3  |-  ( W  e.  _V  ->  ( TopOpen
`  W )  =  ( Jt  B ) )
1110eqcomd 2475 . 2  |-  ( W  e.  _V  ->  ( Jt  B )  =  (
TopOpen `  W ) )
12 0rest 14702 . . 3  |-  ( (/)t  B )  =  (/)
13 fvprc 5866 . . . . 5  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  (TopSet `  W )  =  (/) )
142, 13syl5eq 2520 . . . 4  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  J  =  (/) )
1514oveq1d 6310 . . 3  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( Jt  B )  =  (
(/)t  B ) )
16 fvprc 5866 . . 3  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  (
TopOpen `  W )  =  (/) )
1712, 15, 163eqtr4a 2534 . 2  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( Jt  B )  =  (
TopOpen `  W ) )
1811, 17pm2.61i 164 1  |-  ( Jt  B )  =  ( TopOpen `  W )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3118   (/)c0 3790   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Basecbs 14507  TopSetcts 14578   ↾t crest 14693   TopOpenctopn 14694
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-rest 14695  df-topn 14696
This theorem is referenced by:  topnid  14708  topnpropd  14709  oppgtopn  16260  symgtopn  16302  mgptopn  17022  resstopn  19555  prdstopn  19997  tuslem  20638  xrge0tsms  21207  om1opn  21404  xrge0tsmsd  27600  xrge0tmdOLD  27752
  Copyright terms: Public domain W3C validator