MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  topnval Structured version   Unicode version

Theorem topnval 14369
Description: Value of the topology extractor function. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
topnval.1  |-  B  =  ( Base `  W
)
topnval.2  |-  J  =  (TopSet `  W )
Assertion
Ref Expression
topnval  |-  ( Jt  B )  =  ( TopOpen `  W )

Proof of Theorem topnval
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5688 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  (TopSet `  w )  =  (TopSet `  W ) )
2 topnval.2 . . . . . 6  |-  J  =  (TopSet `  W )
31, 2syl6eqr 2491 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  (TopSet `  w )  =  J )
4 fveq2 5688 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  ( Base `  w )  =  ( Base `  W
) )
5 topnval.1 . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  W
)
64, 5syl6eqr 2491 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  ( Base `  w )  =  B )
73, 6oveq12d 6108 . . . 4  |-  ( w  =  W  ->  (
(TopSet `  w )t  ( Base `  w ) )  =  ( Jt  B ) )
8 df-topn 14358 . . . 4  |-  TopOpen  =  ( w  e.  _V  |->  ( (TopSet `  w )t  ( Base `  w ) ) )
9 ovex 6115 . . . 4  |-  ( Jt  B )  e.  _V
107, 8, 9fvmpt 5771 . . 3  |-  ( W  e.  _V  ->  ( TopOpen
`  W )  =  ( Jt  B ) )
1110eqcomd 2446 . 2  |-  ( W  e.  _V  ->  ( Jt  B )  =  (
TopOpen `  W ) )
12 0rest 14364 . . 3  |-  ( (/)t  B )  =  (/)
13 fvprc 5682 . . . . 5  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  (TopSet `  W )  =  (/) )
142, 13syl5eq 2485 . . . 4  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  J  =  (/) )
1514oveq1d 6105 . . 3  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( Jt  B )  =  (
(/)t  B ) )
16 fvprc 5682 . . 3  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  (
TopOpen `  W )  =  (/) )
1712, 15, 163eqtr4a 2499 . 2  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( Jt  B )  =  (
TopOpen `  W ) )
1811, 17pm2.61i 164 1  |-  ( Jt  B )  =  ( TopOpen `  W )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1364    e. wcel 1761   _Vcvv 2970   (/)c0 3634   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Basecbs 14170  TopSetcts 14240   ↾t crest 14355   TopOpenctopn 14356
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-rest 14357  df-topn 14358
This theorem is referenced by:  topnid  14370  topnpropd  14371  oppgtopn  15861  symgtopn  15903  mgptopn  16590  resstopn  18749  prdstopn  19160  tuslem  19801  xrge0tsms  20370  om1opn  20567  xrge0tsmsd  26188  xrge0tmdOLD  26311
  Copyright terms: Public domain W3C validator