MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  topnid Structured version   Unicode version

Theorem topnid 14374
Description: Value of the topology extractor function when the topology is defined over the same set as the base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
topnval.1  |-  B  =  ( Base `  W
)
topnval.2  |-  J  =  (TopSet `  W )
Assertion
Ref Expression
topnid  |-  ( J 
C_  ~P B  ->  J  =  ( TopOpen `  W
) )

Proof of Theorem topnid
StepHypRef Expression
1 topnval.1 . . 3  |-  B  =  ( Base `  W
)
2 topnval.2 . . 3  |-  J  =  (TopSet `  W )
31, 2topnval 14373 . 2  |-  ( Jt  B )  =  ( TopOpen `  W )
4 fvex 5701 . . . 4  |-  ( Base `  W )  e.  _V
51, 4eqeltri 2513 . . 3  |-  B  e. 
_V
6 restid2 14369 . . 3  |-  ( ( B  e.  _V  /\  J  C_  ~P B )  ->  ( Jt  B )  =  J )
75, 6mpan 670 . 2  |-  ( J 
C_  ~P B  ->  ( Jt  B )  =  J )
83, 7syl5reqr 2490 1  |-  ( J 
C_  ~P B  ->  J  =  ( TopOpen `  W
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2972    C_ wss 3328   ~Pcpw 3860   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Basecbs 14174  TopSetcts 14244   ↾t crest 14359   TopOpenctopn 14360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-rest 14361  df-topn 14362
This theorem is referenced by:  topontopn  18547  prdstopn  19201  imastopn  19293  setsmstopn  20053  tngtopn  20236
  Copyright terms: Public domain W3C validator