Theorem topmtcl 15525

Description: The meet of a collection of topologies on X is again a topology on X.

Assertion

Ref	Expression
topmtcl	|- ((X e. A /\ S C_ {j e. Top | X = U.j}) -> (if(S = (/), ~PX, |^|S) e. Top /\ X = U.if(S = (/), ~PX, |^|S)))

Distinct variable groups:   A,j   S,j   j,X

Proof of Theorem topmtcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pweq 3036	. . . . . . . 8 |- (X = if(X e. A, X, (/)) -> ~PX = ~Pif(X e. A, X, (/)))
2	1	eleq1d 1963	. . . . . . 7 |- (X = if(X e. A, X, (/)) -> (~PX e. Top <-> ~Pif(X e. A, X, (/)) e. Top))
3		iftrue 2989	. . . . . . . . . 10 |- (X e. A -> if(X e. A, X, (/)) = X)
4		elisset 2299	. . . . . . . . . 10 |- (X e. A -> X e. _V)
5	3, 4	eqeltrd 1971	. . . . . . . . 9 |- (X e. A -> if(X e. A, X, (/)) e. _V)
6		iffalse 2991	. . . . . . . . . 10 |- (-. X e. A -> if(X e. A, X, (/)) = (/))
7		0ex 3446	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. _V
8	6, 7	syl6eqel 1979	. . . . . . . . 9 |- (-. X e. A -> if(X e. A, X, (/)) e. _V)
9	5, 8	pm2.61i 140	. . . . . . . 8 |- if(X e. A, X, (/)) e. _V
10	9	distop 8919	. . . . . . 7 |- ~Pif(X e. A, X, (/)) e. Top
11	2, 10	dedth 3011	. . . . . 6 |- (X e. A -> ~PX e. Top)
12	11	3ad2ant1 897	. . . . 5 |- ((X e. A /\ S C_ {j e. Top | X = U.j} /\ S = (/)) -> ~PX e. Top)
13		unipw 3504	. . . . . 6 |- U.~PX = X
14	13	eqcomi 1888	. . . . 5 |- X = U.~PX
15	12, 14	jctir 317	. . . 4 |- ((X e. A /\ S C_ {j e. Top | X = U.j} /\ S = (/)) -> (~PX e. Top /\ X = U.~PX))
16		iftrue 2989	. . . . . . 7 |- (S = (/) -> if(S = (/), ~PX, |^|S) = ~PX)
17	16	eleq1d 1963	. . . . . 6 |- (S = (/) -> (if(S = (/), ~PX, |^|S) e. Top <-> ~PX e. Top))
18	16	unieqd 3188	. . . . . . 7 |- (S = (/) -> U.if(S = (/), ~PX, |^|S) = U.~PX)
19	18	eqeq2d 1895	. . . . . 6 |- (S = (/) -> (X = U.if(S = (/), ~PX, |^|S) <-> X = U.~PX))
20	17, 19	anbi12d 690	. . . . 5 |- (S = (/) -> ((if(S = (/), ~PX, |^|S) e. Top /\ X = U.if(S = (/), ~PX, |^|S)) <-> (~PX e. Top /\ X = U.~PX)))
21	20	3ad2ant3 899	. . . 4 |- ((X e. A /\ S C_ {j e. Top | X = U.j} /\ S = (/)) -> ((if(S = (/), ~PX, |^|S) e. Top /\ X = U.if(S = (/), ~PX, |^|S)) <-> (~PX e. Top /\ X = U.~PX)))
22	15, 21	mpbird 213	. . 3 |- ((X e. A /\ S C_ {j e. Top | X = U.j} /\ S = (/)) -> (if(S = (/), ~PX, |^|S) e. Top /\ X = U.if(S = (/), ~PX, |^|S)))
23	22	3expia 1069	. 2 |- ((X e. A /\ S C_ {j e. Top | X = U.j}) -> (S = (/) -> (if(S = (/), ~PX, |^|S) e. Top /\ X = U.if(S = (/), ~PX, |^|S))))
24		iffalse 2991	. . . . . . 7 |- (-. S = (/) -> if(S = (/), ~PX, |^|S) = |^|S)
25	24	eleq1d 1963	. . . . . 6 |- (-. S = (/) -> (if(S = (/), ~PX, |^|S) e. Top <-> |^|S e. Top))
26	24	unieqd 3188	. . . . . . 7 |- (-. S = (/) -> U.if(S = (/), ~PX, |^|S) = U.|^|S)
27	26	eqeq2d 1895	. . . . . 6 |- (-. S = (/) -> (X = U.if(S = (/), ~PX, |^|S) <-> X = U.|^|S))
28	25, 27	anbi12d 690	. . . . 5 |- (-. S = (/) -> ((if(S = (/), ~PX, |^|S) e. Top /\ X = U.if(S = (/), ~PX, |^|S)) <-> (|^|S e. Top /\ X = U.|^|S)))
29	28	3ad2ant3 899	. . . 4 |- ((X e. A /\ S C_ {j e. Top | X = U.j} /\ -. S = (/)) -> ((if(S = (/), ~PX, |^|S) e. Top /\ X = U.if(S = (/), ~PX, |^|S)) <-> (|^|S e. Top /\ X = U.|^|S)))
30		df-ne 2019	. . . . . . . . 9 |- (S =/= (/) <-> -. S = (/))
31		intex 3465	. . . . . . . . 9 |- (S =/= (/) <-> |^|S e. _V)
32	30, 31	bitr3i 192	. . . . . . . 8 |- (-. S = (/) <-> |^|S e. _V)
33	32	biimpi 168	. . . . . . 7 |- (-. S = (/) -> |^|S e. _V)
34	33	3ad2ant3 899	. . . . . 6 |- ((X e. A /\ S C_ {j e. Top | X = U.j} /\ -. S = (/)) -> |^|S e. _V)
35		istopg 8865	. . . . . 6 |- (|^|S e. _V -> (|^|S e. Top <-> (A.u(u C_ |^|S -> U.u e. |^|S) /\ A.u e. |^|SA.v e. |^|S(u i^i v) e. |^|S)))
36	34, 35	syl 12	. . . . 5 |- ((X e. A /\ S C_ {j e. Top | X = U.j} /\ -. S = (/)) -> (|^|S e. Top <-> (A.u(u C_ |^|S -> U.u e. |^|S) /\ A.u e. |^|SA.v e. |^|S(u i^i v) e. |^|S)))
37		intss1 3231	. . . . . . . . . 10 |- (t e. S -> |^|S C_ t)
38		ssel 2615	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (S C_ {j e. Top | X = U.j} -> (t e. S -> t e. {j e. Top | X = U.j}))
39		unieq 3185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (j = t -> U.j = U.t)
40	39	eqeq2d 1895	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (j = t -> (X = U.j <-> X = U.t))
41	40	elrab 2414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (t e. {j e. Top | X = U.j} <-> (t e. Top /\ X = U.t))
42		uniopn 8867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((t e. Top /\ u C_ t) -> U.u e. t)
43	42	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (t e. Top -> (u C_ t -> U.u e. t))
44	43	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((t e. Top /\ X = U.t) -> (u C_ t -> U.u e. t))
45	41, 44	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (t e. {j e. Top | X = U.j} -> (u C_ t -> U.u e. t))
46	38, 45	syl6 25	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (S C_ {j e. Top | X = U.j} -> (t e. S -> (u C_ t -> U.u e. t)))
47	46	3ad2ant2 898	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((X e. A /\ S C_ {j e. Top | X = U.j} /\ -. S = (/)) -> (t e. S -> (u C_ t -> U.u e. t)))
48	47	com23 36	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((X e. A /\ S C_ {j e. Top | X = U.j} /\ -. S = (/)) -> (u C_ t -> (t e. S -> U.u e. t)))
49		sstr 2625	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((u C_ |^|S /\ |^|S C_ t) -> u C_ t)
50	48, 49	syl5 20	. . . . . . . . . . . 12 |- ((X e. A /\ S C_ {j e. Top | X = U.j} /\ -. S = (/)) -> ((u C_ |^|S /\ |^|S C_ t) -> (t e. S -> U.u e. t)))
51	50	expdimp 406	. . . . . . . . . . 11 |- (((X e. A /\ S C_ {j e. Top | X = U.j} /\ -. S = (/)) /\ u C_ |^|S) -> (|^|S C_ t -> (t e. S -> U.u e. t)))
52	51	com23 36	. . . . . . . . . 10 |- (((X e. A /\ S C_ {j e. Top | X = U.j} /\ -. S = (/)) /\ u C_ |^|S) -> (t e. S -> (|^|S C_ t -> U.u e. t)))
53	37, 52	mpdi 59	. . . . . . . . 9 |- (((X e. A /\ S C_ {j e. Top | X = U.j} /\ -. S = (/)) /\ u C_ |^|S) -> (t e. S -> U.u e. t))
54	53	19.21aiv 1664	. . . . . . . 8 |- (((X e. A /\ S C_ {j e. Top | X = U.j} /\ -. S = (/)) /\ u C_ |^|S) -> A.t(t e. S -> U.u e. t))
55		visset 2295	. . . . . . . . . 10 |- u e. _V
56	55	uniex 3794	. . . . . . . . 9 |- U.u e. _V
57	56	elint 3220	. . . . . . . 8 |- (U.u e. |^|S <-> A.t(t e. S -> U.u e. t))
58	54, 57	sylibr 217	. . . . . . 7 |- (((X e. A /\ S C_ {j e. Top | X = U.j} /\ -. S = (/)) /\ u C_ |^|S) -> U.u e. |^|S)
59	58	ex 402	. . . . . 6 |- ((X e. A /\ S C_ {j e. Top | X = U.j} /\ -. S = (/)) -> (u C_ |^|S -> U.u e. |^|S))
60	59	19.21aiv 1664	. . . . 5 |- ((X e. A /\ S C_ {j e. Top | X = U.j} /\ -. S = (/)) -> A.u(u C_ |^|S -> U.u e. |^|S))
61		elinti 3223	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (u e. |^|S -> (t e. S -> u e. t))
62	61	com12 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (t e. S -> (u e. |^|S -> u e. t))
63		elinti 3223	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (v e. |^|S -> (t e. S -> v e. t))
64	63	com12 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (t e. S -> (v e. |^|S -> v e. t))
65	62, 64	anim12d 617	. . . . . . . . . . . . 13 |- (t e. S -> ((u e. |^|S /\ v e. |^|S) -> (u e. t /\ v e. t)))
66	65	a1i 8	. . . . . . . . . . . 12 |- ((X e. A /\ S C_ {j e. Top | X = U.j} /\ -. S = (/)) -> (t e. S -> ((u e. |^|S /\ v e. |^|S) -> (u e. t /\ v e. t))))
67		inopn 8869	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((t e. Top /\ u e. t /\ v e. t) -> (u i^i v) e. t)
68	67	3expib 1070	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (t e. Top -> ((u e. t /\ v e. t) -> (u i^i v) e. t))
69	68	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((t e. Top /\ X = U.t) -> ((u e. t /\ v e. t) -> (u i^i v) e. t))
70	41, 69	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (t e. {j e. Top | X = U.j} -> ((u e. t /\ v e. t) -> (u i^i v) e. t))
71	38, 70	syl6 25	. . . . . . . . . . . . 13 |- (S C_ {j e. Top | X = U.j} -> (t e. S -> ((u e. t /\ v e. t) -> (u i^i v) e. t)))
72	71	3ad2ant2 898	. . . . . . . . . . . 12 |- ((X e. A /\ S C_ {j e. Top | X = U.j} /\ -. S = (/)) -> (t e. S -> ((u e. t /\ v e. t) -> (u i^i v) e. t)))
73	66, 72	syldd 61	. . . . . . . . . . 11 |- ((X e. A /\ S C_ {j e. Top | X = U.j} /\ -. S = (/)) -> (t e. S -> ((u e. |^|S /\ v e. |^|S) -> (u i^i v) e. t)))
74	73	com23 36	. . . . . . . . . 10 |- ((X e. A /\ S C_ {j e. Top | X = U.j} /\ -. S = (/)) -> ((u e. |^|S /\ v e. |^|S) -> (t e. S -> (u i^i v) e. t)))
75	74	imp 377	. . . . . . . . 9 |- (((X e. A /\ S C_ {j e. Top | X = U.j} /\ -. S = (/)) /\ (u e. |^|S /\ v e. |^|S)) -> (t e. S -> (u i^i v) e. t))
76	75	19.21aiv 1664	. . . . . . . 8 |- (((X e. A /\ S C_ {j e. Top | X = U.j} /\ -. S = (/)) /\ (u e. |^|S /\ v e. |^|S)) -> A.t(t e. S -> (u i^i v) e. t))
77	55	inex1 3452	. . . . . . . . 9 |- (u i^i v) e. _V
78	77	elint 3220	. . . . . . . 8 |- ((u i^i v) e. |^|S <-> A.t(t e. S -> (u i^i v) e. t))
79	76, 78	sylibr 217	. . . . . . 7 |- (((X e. A /\ S C_ {j e. Top | X = U.j} /\ -. S = (/)) /\ (u e. |^|S /\ v e. |^|S)) -> (u i^i v) e. |^|S)
80	79	ex 402	. . . . . 6 |- ((X e. A /\ S C_ {j e. Top | X = U.j} /\ -. S = (/)) -> ((u e. |^|S /\ v e. |^|S) -> (u i^i v) e. |^|S))
81	80	r19.21aivv 2183	. . . . 5 |- ((X e. A /\ S C_ {j e. Top | X = U.j} /\ -. S = (/)) -> A.u e. |^|SA.v e. |^|S(u i^i v) e. |^|S)
82	36, 60, 81	mpbir2and 802	. . . 4 |- ((X e. A /\ S C_ {j e. Top | X = U.j} /\ -. S = (/)) -> |^|S e. Top)
83		simpr 350	. . . . . . . . . . . 12 |- ((t e. Top /\ X = U.t) -> X = U.t)
84		eqid 1884	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U.t = U.t
85	84	topopn 8871	. . . . . . . . . . . . 13 |- (t e. Top -> U.t e. t)
86	85	adantr 425	. . . . . . . . . . . 12 |- ((t e. Top /\ X = U.t) -> U.t e. t)
87	83, 86	eqeltrd 1971	. . . . . . . . . . 11 |- ((t e. Top /\ X = U.t) -> X e. t)
88	41, 87	sylbi 216	. . . . . . . . . 10 |- (t e. {j e. Top | X = U.j} -> X e. t)
89	38, 88	syl6 25	. . . . . . . . 9 |- (S C_ {j e. Top | X = U.j} -> (t e. S -> X e. t))
90	89	3ad2ant2 898	. . . . . . . 8 |- ((X e. A /\ S C_ {j e. Top | X = U.j} /\ -. S = (/)) -> (t e. S -> X e. t))
91	90	r19.21aiv 2175	. . . . . . 7 |- ((X e. A /\ S C_ {j e. Top | X = U.j} /\ -. S = (/)) -> A.t e. S X e. t)
92		elintg 3222	. . . . . . . 8 |- (X e. A -> (X e. |^|S <-> A.t e. S X e. t))
93	92	3ad2ant1 897	. . . . . . 7 |- ((X e. A /\ S C_ {j e. Top | X = U.j} /\ -. S = (/)) -> (X e. |^|S <-> A.t e. S X e. t))
94	91, 93	mpbird 213	. . . . . 6 |- ((X e. A /\ S C_ {j e. Top | X = U.j} /\ -. S = (/)) -> X e. |^|S)
95		elssuni 3206	. . . . . 6 |- (X e. |^|S -> X C_ U.|^|S)
96	94, 95	syl 12	. . . . 5 |- ((X e. A /\ S C_ {j e. Top | X = U.j} /\ -. S = (/)) -> X C_ U.|^|S)
97		neq0 2885	. . . . . . . . . 10 |- (-. S = (/) <-> E.t t e. S)
98		elinti 3223	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (o e. |^|S -> (t e. S -> o e. t))
99	98	com12 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- (t e. S -> (o e. |^|S -> o e. t))
100	84	eltopss 8872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((t e. Top /\ o e. t) -> o C_ U.t)
101	100	3adant2 895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((t e. Top /\ X = U.t /\ o e. t) -> o C_ U.t)
102		simp2 877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((t e. Top /\ X = U.t /\ o e. t) -> X = U.t)
103	101, 102	sseqtr4d 2654	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((t e. Top /\ X = U.t /\ o e. t) -> o C_ X)
104	103	3expia 1069	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((t e. Top /\ X = U.t) -> (o e. t -> o C_ X))
105	41, 104	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (t e. {j e. Top | X = U.j} -> (o e. t -> o C_ X))
106	38, 105	syl6 25	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (S C_ {j e. Top | X = U.j} -> (t e. S -> (o e. t -> o C_ X)))
107	106	com3l 38	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (t e. S -> (o e. t -> (S C_ {j e. Top | X = U.j} -> o C_ X)))
108	107	a1dd 53	. . . . . . . . . . . . 13 |- (t e. S -> (o e. t -> (X e. A -> (S C_ {j e. Top | X = U.j} -> o C_ X))))
109	99, 108	syld 30	. . . . . . . . . . . 12 |- (t e. S -> (o e. |^|S -> (X e. A -> (S C_ {j e. Top | X = U.j} -> o C_ X))))
110	109	com24 41	. . . . . . . . . . 11 |- (t e. S -> (S C_ {j e. Top | X = U.j} -> (X e. A -> (o e. |^|S -> o C_ X))))
111	110	19.23aiv 1674	. . . . . . . . . 10 |- (E.t t e. S -> (S C_ {j e. Top | X = U.j} -> (X e. A -> (o e. |^|S -> o C_ X))))
112	97, 111	sylbi 216	. . . . . . . . 9 |- (-. S = (/) -> (S C_ {j e. Top | X = U.j} -> (X e. A -> (o e. |^|S -> o C_ X))))
113	112	com13 37	. . . . . . . 8 |- (X e. A -> (S C_ {j e. Top | X = U.j} -> (-. S = (/) -> (o e. |^|S -> o C_ X))))
114	113	3imp 1061	. . . . . . 7 |- ((X e. A /\ S C_ {j e. Top | X = U.j} /\ -. S = (/)) -> (o e. |^|S -> o C_ X))
115	114	r19.21aiv 2175	. . . . . 6 |- ((X e. A /\ S C_ {j e. Top | X = U.j} /\ -. S = (/)) -> A.o e. |^|So C_ X)
116		unissb 3208	. . . . . 6 |- (U.|^|S C_ X <-> A.o e. |^|So C_ X)
117	115, 116	sylibr 217	. . . . 5 |- ((X e. A /\ S C_ {j e. Top | X = U.j} /\ -. S = (/)) -> U.|^|S C_ X)
118	96, 117	eqssd 2633	. . . 4 |- ((X e. A /\ S C_ {j e. Top | X = U.j} /\ -. S = (/)) -> X = U.|^|S)
119	29, 82, 118	mpbir2and 802	. . 3 |- ((X e. A /\ S C_ {j e. Top | X = U.j} /\ -. S = (/)) -> (if(S = (/), ~PX, |^|S) e. Top /\ X = U.if(S = (/), ~PX, |^|S)))
120	119	3expia 1069	. 2 |- ((X e. A /\ S C_ {j e. Top | X = U.j}) -> (-. S = (/) -> (if(S = (/), ~PX, |^|S) e. Top /\ X = U.if(S = (/), ~PX, |^|S))))
121	23, 120	pm2.61d 141	1 |- ((X e. A /\ S C_ {j e. Top | X = U.j}) -> (if(S = (/), ~PX, |^|S) e. Top /\ X = U.if(S = (/), ~PX, |^|S)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326   =/= wne 2017  A.wral 2105  {crab 2108  _Vcvv 2292   i^i cin 2592   C_ wss 2593  (/)c0 2875  ifcif 2982  ~Pcpw 3032  U.cuni 3177  |^|cint 3214  Topctop 8857

This theorem is referenced by:  topmeet 15526

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-uni 3178  df-int 3215  df-top 8861

Copyright terms: Public domain