Theorem toplat 14638

Description: A topology when ordered by the inclusion is a lattice. This fact leads to the idea of pointless topology, that is a lattice looked at with the eyes of a topologist.

Hypothesis

Ref	Expression
toplat.1	|- C = {<.u, v>. | u C_ v}

Assertion

Ref	Expression
toplat	|- (J e. Top -> (C i^i (J X. J)) e. Lat)

Distinct variable groups:   u,C,v   u,J,v

Proof of Theorem toplat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toplat.1	. . . 4 |- C = {<.u, v>. | u C_ v}
2	1	inposet 14620	. . 3 |- (J e. Top -> (C i^i (J X. J)) e. Poset)
3	2	adantr 425	. . . . . . . . 9 |- ((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) -> (C i^i (J X. J)) e. Poset)
4		zfpair2 3525	. . . . . . . . . 10 |- {x, y} e. _V
5	4	uniex 3794	. . . . . . . . 9 |- U.{x, y} e. _V
6	3, 5	jctir 317	. . . . . . . 8 |- ((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) -> ((C i^i (J X. J)) e. Poset /\ U.{x, y} e. _V))
7		simprl 450	. . . . . . . . . 10 |- ((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) -> x e. J)
8		uniopn 8867	. . . . . . . . . . 11 |- ((J e. Top /\ {x, y} C_ J) -> U.{x, y} e. J)
9		visset 2295	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
10		visset 2295	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. _V
11	9, 10	prss 3138	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. J /\ y e. J) <-> {x, y} C_ J)
12	8, 11	sylan2b 501	. . . . . . . . . 10 |- ((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) -> U.{x, y} e. J)
13	9	prid1 3106	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. {x, y}
14	13	a1i 8	. . . . . . . . . . . 12 |- ((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) -> x e. {x, y})
15		ssid 2634	. . . . . . . . . . . 12 |- x C_ x
16	14, 15	jctil 316	. . . . . . . . . . 11 |- ((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) -> (x C_ x /\ x e. {x, y}))
17		ssuni 3201	. . . . . . . . . . 11 |- ((x C_ x /\ x e. {x, y}) -> x C_ U.{x, y})
18	16, 17	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- ((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) -> x C_ U.{x, y})
19	7, 12, 18	3jca 1050	. . . . . . . . 9 |- ((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) -> (x e. J /\ U.{x, y} e. J /\ x C_ U.{x, y}))
20	9, 5, 1	definc 14621	. . . . . . . . 9 |- (x(C i^i (J X. J))U.{x, y} <-> (x e. J /\ U.{x, y} e. J /\ x C_ U.{x, y}))
21	19, 20	sylibr 217	. . . . . . . 8 |- ((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) -> x(C i^i (J X. J))U.{x, y})
22		simprr 451	. . . . . . . . . 10 |- ((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) -> y e. J)
23	10	prid2 3107	. . . . . . . . . . . . 13 |- y e. {x, y}
24	23	a1i 8	. . . . . . . . . . . 12 |- ((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) -> y e. {x, y})
25		ssid 2634	. . . . . . . . . . . 12 |- y C_ y
26	24, 25	jctil 316	. . . . . . . . . . 11 |- ((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) -> (y C_ y /\ y e. {x, y}))
27		ssuni 3201	. . . . . . . . . . 11 |- ((y C_ y /\ y e. {x, y}) -> y C_ U.{x, y})
28	26, 27	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- ((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) -> y C_ U.{x, y})
29	22, 12, 28	3jca 1050	. . . . . . . . 9 |- ((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) -> (y e. J /\ U.{x, y} e. J /\ y C_ U.{x, y}))
30	10, 5, 1	definc 14621	. . . . . . . . 9 |- (y(C i^i (J X. J))U.{x, y} <-> (y e. J /\ U.{x, y} e. J /\ y C_ U.{x, y}))
31	29, 30	sylibr 217	. . . . . . . 8 |- ((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) -> y(C i^i (J X. J))U.{x, y})
32		visset 2295	. . . . . . . . . . . . 13 |- a e. _V
33	9, 32, 1	definc 14621	. . . . . . . . . . . 12 |- (x(C i^i (J X. J))a <-> (x e. J /\ a e. J /\ x C_ a))
34	10, 32, 1	definc 14621	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y(C i^i (J X. J))a <-> (y e. J /\ a e. J /\ y C_ a))
35		unss 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((x C_ a /\ y C_ a) <-> (x u. y) C_ a)
36	12	ad2antrl 442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((x u. y) C_ a /\ ((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) /\ a e. J)) -> U.{x, y} e. J)
37		simprr 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((x u. y) C_ a /\ ((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) /\ a e. J)) -> a e. J)
38	9, 10	unipr 3191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- U.{x, y} = (x u. y)
39	38	eqcomi 1888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (x u. y) = U.{x, y}
40	39	sseq1i 2641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((x u. y) C_ a <-> U.{x, y} C_ a)
41	40	biimpi 168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((x u. y) C_ a -> U.{x, y} C_ a)
42	41	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((x u. y) C_ a /\ ((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) /\ a e. J)) -> U.{x, y} C_ a)
43	36, 37, 42	3jca 1050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((x u. y) C_ a /\ ((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) /\ a e. J)) -> (U.{x, y} e. J /\ a e. J /\ U.{x, y} C_ a))
44	5, 32, 1	definc 14621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (U.{x, y} (C i^i (J X. J))a <-> (U.{x, y} e. J /\ a e. J /\ U.{x, y} C_ a))
45	43, 44	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((x u. y) C_ a /\ ((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) /\ a e. J)) -> U.{x, y} (C i^i (J X. J))a)
46	45	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((x u. y) C_ a -> (((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) /\ a e. J) -> U.{x, y} (C i^i (J X. J))a))
47	35, 46	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((x C_ a /\ y C_ a) -> (((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) /\ a e. J) -> U.{x, y} (C i^i (J X. J))a))
48	47	expcom 403	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y C_ a -> (x C_ a -> (((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) /\ a e. J) -> U.{x, y} (C i^i (J X. J))a)))
49	48	3ad2ant3 899	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((y e. J /\ a e. J /\ y C_ a) -> (x C_ a -> (((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) /\ a e. J) -> U.{x, y} (C i^i (J X. J))a)))
50	34, 49	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y(C i^i (J X. J))a -> (x C_ a -> (((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) /\ a e. J) -> U.{x, y} (C i^i (J X. J))a)))
51	50	com12 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x C_ a -> (y(C i^i (J X. J))a -> (((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) /\ a e. J) -> U.{x, y} (C i^i (J X. J))a)))
52	51	3ad2ant3 899	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. J /\ a e. J /\ x C_ a) -> (y(C i^i (J X. J))a -> (((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) /\ a e. J) -> U.{x, y} (C i^i (J X. J))a)))
53	33, 52	sylbi 216	. . . . . . . . . . 11 |- (x(C i^i (J X. J))a -> (y(C i^i (J X. J))a -> (((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) /\ a e. J) -> U.{x, y} (C i^i (J X. J))a)))
54	53	imp 377	. . . . . . . . . 10 |- ((x(C i^i (J X. J))a /\ y(C i^i (J X. J))a) -> (((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) /\ a e. J) -> U.{x, y} (C i^i (J X. J))a))
55	54	com12 14	. . . . . . . . 9 |- (((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) /\ a e. J) -> ((x(C i^i (J X. J))a /\ y(C i^i (J X. J))a) -> U.{x, y} (C i^i (J X. J))a))
56	55	r19.21aiva 2176	. . . . . . . 8 |- ((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) -> A.a e. J ((x(C i^i (J X. J))a /\ y(C i^i (J X. J))a) -> U.{x, y} (C i^i (J X. J))a))
57	1	domncnt 14624	. . . . . . . . . 10 |- dom ( C i^i (J X. J)) = J
58	57	eqcomi 1888	. . . . . . . . 9 |- J = dom ( C i^i (J X. J))
59	58	spwpr4 10006	. . . . . . . 8 |- ((((C i^i (J X. J)) e. Poset /\ U.{x, y} e. _V) /\ (x(C i^i (J X. J))U.{x, y} /\ y(C i^i (J X. J))U.{x, y}) /\ A.a e. J ((x(C i^i (J X. J))a /\ y(C i^i (J X. J))a) -> U.{x, y} (C i^i (J X. J))a)) -> ((C i^i (J X. J)) supw {x, y}) = U.{x, y})
60	6, 21, 31, 56, 59	syl121anc 1105	. . . . . . 7 |- ((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) -> ((C i^i (J X. J)) supw {x, y}) = U.{x, y})
61	60, 12	eqeltrd 1971	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) -> ((C i^i (J X. J)) supw {x, y}) e. J)
62	3, 4	jctir 317	. . . . . . . . 9 |- ((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) -> ((C i^i (J X. J)) e. Poset /\ {x, y} e. _V))
63		nfwval 14588	. . . . . . . . 9 |- (((C i^i (J X. J)) e. Poset /\ {x, y} e. _V) -> ((C i^i (J X. J)) infw {x, y}) = (`'(C i^i (J X. J)) supw {x, y}))
64	62, 63	syl 12	. . . . . . . 8 |- ((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) -> ((C i^i (J X. J)) infw {x, y}) = (`'(C i^i (J X. J)) supw {x, y}))
65		dupos1 14586	. . . . . . . . . . . 12 |- ((C i^i (J X. J)) e. Poset -> `'(C i^i (J X. J)) e. Poset)
66	2, 65	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- (J e. Top -> `'(C i^i (J X. J)) e. Poset)
67	66	adantr 425	. . . . . . . . . 10 |- ((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) -> `'(C i^i (J X. J)) e. Poset)
68	9	prnz 3120	. . . . . . . . . . 11 |- {x, y} =/= (/)
69		intex 3465	. . . . . . . . . . 11 |- ({x, y} =/= (/) <-> |^|{x, y} e. _V)
70	68, 69	mpbi 206	. . . . . . . . . 10 |- |^|{x, y} e. _V
71	67, 70	jctir 317	. . . . . . . . 9 |- ((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) -> (`'(C i^i (J X. J)) e. Poset /\ |^|{x, y} e. _V))
72		simpr 350	. . . . . . . . . 10 |- ((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) -> (x e. J /\ y e. J))
73		inopn 8869	. . . . . . . . . . . 12 |- ((J e. Top /\ x e. J /\ y e. J) -> (x i^i y) e. J)
74	73	3expb 1068	. . . . . . . . . . 11 |- ((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) -> (x i^i y) e. J)
75	9, 10	intpr 3250	. . . . . . . . . . 11 |- |^|{x, y} = (x i^i y)
76	74, 75	syl5eqel 1975	. . . . . . . . . 10 |- ((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) -> |^|{x, y} e. J)
77	75	eleq1i 1960	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (|^|{x, y} e. J <-> (x i^i y) e. J)
78	77	biimpi 168	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (|^|{x, y} e. J -> (x i^i y) e. J)
79	78	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((x e. J /\ |^|{x, y} e. J) -> (x i^i y) e. J)
80		simpl 346	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((x e. J /\ |^|{x, y} e. J) -> x e. J)
81		inss1 2812	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x i^i y) C_ x
82	81	a1i 8	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((x e. J /\ |^|{x, y} e. J) -> (x i^i y) C_ x)
83	79, 80, 82	3jca 1050	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((x e. J /\ |^|{x, y} e. J) -> ((x i^i y) e. J /\ x e. J /\ (x i^i y) C_ x))
84	9	inex1 3452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (x i^i y) e. _V
85	84, 9, 1	definc 14621	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((x i^i y)(C i^i (J X. J))x <-> ((x i^i y) e. J /\ x e. J /\ (x i^i y) C_ x))
86	83, 85	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. J /\ |^|{x, y} e. J) -> (x i^i y)(C i^i (J X. J))x)
87	86, 75	syl5eqbr 3370	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. J /\ |^|{x, y} e. J) -> |^|{x, y} (C i^i (J X. J))x)
88		brcnvg 4142	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. J /\ |^|{x, y} e. J) -> (x`'(C i^i (J X. J))|^|{x, y} <-> |^|{x, y} (C i^i (J X. J))x))
89	87, 88	mpbird 213	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. J /\ |^|{x, y} e. J) -> x`'(C i^i (J X. J))|^|{x, y})
90	89	adantlr 429	. . . . . . . . . . 11 |- (((x e. J /\ y e. J) /\ |^|{x, y} e. J) -> x`'(C i^i (J X. J))|^|{x, y})
91		simpr 350	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((y e. J /\ |^|{x, y} e. J) -> |^|{x, y} e. J)
92		simpl 346	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((y e. J /\ |^|{x, y} e. J) -> y e. J)
93		inss2 2813	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x i^i y) C_ y
94	75, 93	eqsstri 2647	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- |^|{x, y} C_ y
95	94	a1i 8	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((y e. J /\ |^|{x, y} e. J) -> |^|{x, y} C_ y)
96	91, 92, 95	3jca 1050	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((y e. J /\ |^|{x, y} e. J) -> (|^|{x, y} e. J /\ y e. J /\ |^|{x, y} C_ y))
97	70, 10, 1	definc 14621	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (|^|{x, y} (C i^i (J X. J))y <-> (|^|{x, y} e. J /\ y e. J /\ |^|{x, y} C_ y))
98	96, 97	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y e. J /\ |^|{x, y} e. J) -> |^|{x, y} (C i^i (J X. J))y)
99		brcnvg 4142	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y e. J /\ |^|{x, y} e. J) -> (y`'(C i^i (J X. J))|^|{x, y} <-> |^|{x, y} (C i^i (J X. J))y))
100	98, 99	mpbird 213	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y e. J /\ |^|{x, y} e. J) -> y`'(C i^i (J X. J))|^|{x, y})
101	100	adantll 428	. . . . . . . . . . 11 |- (((x e. J /\ y e. J) /\ |^|{x, y} e. J) -> y`'(C i^i (J X. J))|^|{x, y})
102	90, 101	jca 310	. . . . . . . . . 10 |- (((x e. J /\ y e. J) /\ |^|{x, y} e. J) -> (x`'(C i^i (J X. J))|^|{x, y} /\ y`'(C i^i (J X. J))|^|{x, y}))
103	72, 76, 102	syl11anc 524	. . . . . . . . 9 |- ((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) -> (x`'(C i^i (J X. J))|^|{x, y} /\ y`'(C i^i (J X. J))|^|{x, y}))
104		simprr1 924	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) /\ a e. J) /\ ((a e. J /\ x e. J /\ a C_ x) /\ (a e. J /\ y e. J /\ a C_ y))) -> a e. J)
105	76	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) /\ a e. J) /\ ((a e. J /\ x e. J /\ a C_ x) /\ (a e. J /\ y e. J /\ a C_ y))) -> |^|{x, y} e. J)
106		ssin 2814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((a C_ x /\ a C_ y) <-> a C_ (x i^i y))
107	106	biimpi 168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((a C_ x /\ a C_ y) -> a C_ (x i^i y))
108	107, 75	syl6ssr 2664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((a C_ x /\ a C_ y) -> a C_ |^|{x, y})
109	108	expcom 403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (a C_ y -> (a C_ x -> a C_ |^|{x, y}))
110	109	3ad2ant3 899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((a e. J /\ y e. J /\ a C_ y) -> (a C_ x -> a C_ |^|{x, y}))
111	110	com12 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (a C_ x -> ((a e. J /\ y e. J /\ a C_ y) -> a C_ |^|{x, y}))
112	111	3ad2ant3 899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((a e. J /\ x e. J /\ a C_ x) -> ((a e. J /\ y e. J /\ a C_ y) -> a C_ |^|{x, y}))
113	112	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((a e. J /\ x e. J /\ a C_ x) /\ (a e. J /\ y e. J /\ a C_ y)) -> a C_ |^|{x, y})
114	113	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) /\ a e. J) /\ ((a e. J /\ x e. J /\ a C_ x) /\ (a e. J /\ y e. J /\ a C_ y))) -> a C_ |^|{x, y})
115	104, 105, 114	3jca 1050	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) /\ a e. J) /\ ((a e. J /\ x e. J /\ a C_ x) /\ (a e. J /\ y e. J /\ a C_ y))) -> (a e. J /\ |^|{x, y} e. J /\ a C_ |^|{x, y}))
116	32, 70, 1	definc 14621	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (a(C i^i (J X. J))|^|{x, y} <-> (a e. J /\ |^|{x, y} e. J /\ a C_ |^|{x, y}))
117	115, 116	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) /\ a e. J) /\ ((a e. J /\ x e. J /\ a C_ x) /\ (a e. J /\ y e. J /\ a C_ y))) -> a(C i^i (J X. J))|^|{x, y})
118	117	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) /\ a e. J) -> (((a e. J /\ x e. J /\ a C_ x) /\ (a e. J /\ y e. J /\ a C_ y)) -> a(C i^i (J X. J))|^|{x, y}))
119	32, 9, 1	definc 14621	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (a(C i^i (J X. J))x <-> (a e. J /\ x e. J /\ a C_ x))
120	119	biimpi 168	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (a(C i^i (J X. J))x -> (a e. J /\ x e. J /\ a C_ x))
121	32, 10, 1	definc 14621	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (a(C i^i (J X. J))y <-> (a e. J /\ y e. J /\ a C_ y))
122	121	biimpi 168	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (a(C i^i (J X. J))y -> (a e. J /\ y e. J /\ a C_ y))
123	118, 120, 122	syl2ani 515	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) /\ a e. J) -> ((a(C i^i (J X. J))x /\ a(C i^i (J X. J))y) -> a(C i^i (J X. J))|^|{x, y}))
124		brcnvg 4142	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((x e. J /\ a e. J) -> (x`'(C i^i (J X. J))a <-> a(C i^i (J X. J))x))
125	124, 7	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) /\ a e. J) -> (x`'(C i^i (J X. J))a <-> a(C i^i (J X. J))x))
126	125	biimpd 170	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) /\ a e. J) -> (x`'(C i^i (J X. J))a -> a(C i^i (J X. J))x))
127		brcnvg 4142	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((y e. J /\ a e. J) -> (y`'(C i^i (J X. J))a <-> a(C i^i (J X. J))y))
128	127, 22	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) /\ a e. J) -> (y`'(C i^i (J X. J))a <-> a(C i^i (J X. J))y))
129	128	biimpd 170	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) /\ a e. J) -> (y`'(C i^i (J X. J))a -> a(C i^i (J X. J))y))
130	123, 126, 129	syl2and 508	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) /\ a e. J) -> ((x`'(C i^i (J X. J))a /\ y`'(C i^i (J X. J))a) -> a(C i^i (J X. J))|^|{x, y}))
131	130	imp 377	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) /\ a e. J) /\ (x`'(C i^i (J X. J))a /\ y`'(C i^i (J X. J))a)) -> a(C i^i (J X. J))|^|{x, y})
132	70, 32	pm3.2i 307	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (|^|{x, y} e. _V /\ a e. _V)
133	132	a1i 8	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) /\ a e. J) /\ (x`'(C i^i (J X. J))a /\ y`'(C i^i (J X. J))a)) -> (|^|{x, y} e. _V /\ a e. _V))
134		brcnvg 4142	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((|^|{x, y} e. _V /\ a e. _V) -> (|^|{x, y}`'(C i^i (J X. J))a <-> a(C i^i (J X. J))|^|{x, y}))
135	133, 134	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) /\ a e. J) /\ (x`'(C i^i (J X. J))a /\ y`'(C i^i (J X. J))a)) -> (|^|{x, y}`'(C i^i (J X. J))a <-> a(C i^i (J X. J))|^|{x, y}))
136	131, 135	mpbird 213	. . . . . . . . . . 11 |- ((((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) /\ a e. J) /\ (x`'(C i^i (J X. J))a /\ y`'(C i^i (J X. J))a)) -> |^|{x, y}`'(C i^i (J X. J))a)
137	136	exp31 407	. . . . . . . . . 10 |- ((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) -> (a e. J -> ((x`'(C i^i (J X. J))a /\ y`'(C i^i (J X. J))a) -> |^|{x, y}`'(C i^i (J X. J))a)))
138	137	r19.21aiv 2175	. . . . . . . . 9 |- ((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) -> A.a e. J ((x`'(C i^i (J X. J))a /\ y`'(C i^i (J X. J))a) -> |^|{x, y}`'(C i^i (J X. J))a))
139	1	ranncnt 14625	. . . . . . . . . . 11 |- ran ( C i^i (J X. J)) = J
140		df-rn 4005	. . . . . . . . . . 11 |- ran ( C i^i (J X. J)) = dom `'(C i^i (J X. J))
141	139, 140	eqtr3i 1910	. . . . . . . . . 10 |- J = dom `'(C i^i (J X. J))
142	141	spwpr4 10006	. . . . . . . . 9 |- (((`'(C i^i (J X. J)) e. Poset /\ |^|{x, y} e. _V) /\ (x`'(C i^i (J X. J))|^|{x, y} /\ y`'(C i^i (J X. J))|^|{x, y}) /\ A.a e. J ((x`'(C i^i (J X. J))a /\ y`'(C i^i (J X. J))a) -> |^|{x, y}`'(C i^i (J X. J))a)) -> (`'(C i^i (J X. J)) supw {x, y}) = |^|{x, y})
143	71, 103, 138, 142	syl111anc 1100	. . . . . . . 8 |- ((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) -> (`'(C i^i (J X. J)) supw {x, y}) = |^|{x, y})
144	75	a1i 8	. . . . . . . 8 |- ((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) -> |^|{x, y} = (x i^i y))
145	64, 143, 144	3eqtrd 1929	. . . . . . 7 |- ((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) -> ((C i^i (J X. J)) infw {x, y}) = (x i^i y))
146	145, 74	eqeltrd 1971	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) -> ((C i^i (J X. J)) infw {x, y}) e. J)
147	61, 146	jca 310	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) -> (((C i^i (J X. J)) supw {x, y}) e. J /\ ((C i^i (J X. J)) infw {x, y}) e. J))
148	147	ex 402	. . . 4 |- (J e. Top -> ((x e. J /\ y e. J) -> (((C i^i (J X. J)) supw {x, y}) e. J /\ ((C i^i (J X. J)) infw {x, y}) e. J)))
149	148	r19.21aivv 2183	. . 3 |- (J e. Top -> A.x e. J A.y e. J (((C i^i (J X. J)) supw {x, y}) e. J /\ ((C i^i (J X. J)) infw {x, y}) e. J))
150	2, 149	jca 310	. 2 |- (J e. Top -> ((C i^i (J X. J)) e. Poset /\ A.x e. J A.y e. J (((C i^i (J X. J)) supw {x, y}) e. J /\ ((C i^i (J X. J)) infw {x, y}) e. J)))
151	58	isla 10010	. 2 |- ((C i^i (J X. J)) e. Lat <-> ((C i^i (J X. J)) e. Poset /\ A.x e. J A.y e. J (((C i^i (J X. J)) supw {x, y}) e. J /\ ((C i^i (J X. J)) infw {x, y}) e. J)))
152	150, 151	sylibr 217	1 |- (J e. Top -> (C i^i (J X. J)) e. Lat)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  A.wral 2105  _Vcvv 2292   u. cun 2591   i^i cin 2592   C_ wss 2593  (/)c0 2875  {cpr 3045  U.cuni 3177  |^|cint 3214   class class class wbr 3338  {copab 3395   X. cxp 3984  `'ccnv 3985  dom cdm 3986  ran crn 3987  (class class class)co 4884  Topctop 8857  Posetcps 9980   sup_w cspw 9981   inf_w cinf 9982  Latcla 9983

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-top 8861  df-ps 9984  df-spw 9985  df-nfw 9986  df-la 9987

Copyright terms: Public domain