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Theorem topjoin 31092
Description: Two equivalent formulations of the join of a collection of topologies. (Contributed by Jeff Hankins, 6-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
topjoin  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  ( topGen `
 ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )  =  |^| { k  e.  (TopOn `  X
)  |  A. j  e.  S  j  C_  k } )
Distinct variable groups:    j, k, S    j, V, k    j, X, k

Proof of Theorem topjoin
StepHypRef Expression
1 topontop 20018 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  (TopOn `  X
)  ->  k  e.  Top )
21ad2antrl 742 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X ) )  /\  ( k  e.  (TopOn `  X )  /\  A. j  e.  S  j  C_  k ) )  -> 
k  e.  Top )
3 toponmax 20020 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  k )
43ad2antrl 742 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X ) )  /\  ( k  e.  (TopOn `  X )  /\  A. j  e.  S  j  C_  k ) )  ->  X  e.  k )
54snssd 4108 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X ) )  /\  ( k  e.  (TopOn `  X )  /\  A. j  e.  S  j  C_  k ) )  ->  { X }  C_  k
)
6 simprr 774 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X ) )  /\  ( k  e.  (TopOn `  X )  /\  A. j  e.  S  j  C_  k ) )  ->  A. j  e.  S  j  C_  k )
7 unissb 4221 . . . . . . . 8  |-  ( U. S  C_  k  <->  A. j  e.  S  j  C_  k )
86, 7sylibr 217 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X ) )  /\  ( k  e.  (TopOn `  X )  /\  A. j  e.  S  j  C_  k ) )  ->  U. S  C_  k )
95, 8unssd 3601 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X ) )  /\  ( k  e.  (TopOn `  X )  /\  A. j  e.  S  j  C_  k ) )  -> 
( { X }  u.  U. S )  C_  k )
10 tgfiss 20084 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  Top  /\  ( { X }  u.  U. S )  C_  k
)  ->  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) ) 
C_  k )
112, 9, 10syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X ) )  /\  ( k  e.  (TopOn `  X )  /\  A. j  e.  S  j  C_  k ) )  -> 
( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )  C_  k )
1211expr 626 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X ) )  /\  k  e.  (TopOn `  X
) )  ->  ( A. j  e.  S  j  C_  k  ->  ( topGen `
 ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) ) 
C_  k ) )
1312ralrimiva 2809 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  A. k  e.  (TopOn `  X )
( A. j  e.  S  j  C_  k  ->  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )  C_  k )
)
14 ssintrab 4249 . . 3  |-  ( (
topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) ) 
C_  |^| { k  e.  (TopOn `  X )  |  A. j  e.  S  j  C_  k }  <->  A. k  e.  (TopOn `  X )
( A. j  e.  S  j  C_  k  ->  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )  C_  k )
)
1513, 14sylibr 217 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  ( topGen `
 ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) ) 
C_  |^| { k  e.  (TopOn `  X )  |  A. j  e.  S  j  C_  k } )
16 fibas 20070 . . . . . 6  |-  ( fi
`  ( { X }  u.  U. S ) )  e.  TopBases
17 tgtopon 20064 . . . . . 6  |-  ( ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) )  e.  TopBases 
->  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )  e.  (TopOn `  U. ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) ) )
1816, 17ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )  e.  (TopOn `  U. ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )
19 uniun 4209 . . . . . . . 8  |-  U. ( { X }  u.  U. S )  =  ( U. { X }  u.  U. U. S )
20 unisng 4206 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  V  ->  U. { X }  =  X
)
2120adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  U. { X }  =  X
)
2221uneq1d 3578 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  ( U. { X }  u.  U.
U. S )  =  ( X  u.  U. U. S ) )
2319, 22syl5req 2518 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  ( X  u.  U. U. S
)  =  U. ( { X }  u.  U. S ) )
24 simpr 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  S  C_  (TopOn `  X )
)
25 toponuni 20019 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. k )
26 eqimss2 3471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X  =  U. k  ->  U. k  C_  X )
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  (TopOn `  X
)  ->  U. k  C_  X )
28 sspwuni 4360 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k 
C_  ~P X  <->  U. k  C_  X )
2927, 28sylibr 217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  (TopOn `  X
)  ->  k  C_  ~P X )
30 selpw 3949 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ~P ~P X  <->  k 
C_  ~P X )
3129, 30sylibr 217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  (TopOn `  X
)  ->  k  e.  ~P ~P X )
3231ssriv 3422 . . . . . . . . . . 11  |-  (TopOn `  X )  C_  ~P ~P X
3324, 32syl6ss 3430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  S  C_ 
~P ~P X )
34 sspwuni 4360 . . . . . . . . . 10  |-  ( S 
C_  ~P ~P X  <->  U. S  C_  ~P X )
3533, 34sylib 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  U. S  C_ 
~P X )
36 sspwuni 4360 . . . . . . . . 9  |-  ( U. S  C_  ~P X  <->  U. U. S  C_  X )
3735, 36sylib 201 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  U. U. S  C_  X )
38 ssequn2 3598 . . . . . . . 8  |-  ( U. U. S  C_  X  <->  ( X  u.  U. U. S )  =  X )
3937, 38sylib 201 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  ( X  u.  U. U. S
)  =  X )
40 snex 4641 . . . . . . . . 9  |-  { X }  e.  _V
41 fvex 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  (TopOn `  X )  e.  _V
4241ssex 4540 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S 
C_  (TopOn `  X )  ->  S  e.  _V )
4342adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  S  e.  _V )
44 uniexg 6607 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  _V  ->  U. S  e.  _V )
4543, 44syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  U. S  e.  _V )
46 unexg 6611 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { X }  e.  _V  /\  U. S  e. 
_V )  ->  ( { X }  u.  U. S )  e.  _V )
4740, 45, 46sylancr 676 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  ( { X }  u.  U. S )  e.  _V )
48 fiuni 7960 . . . . . . . 8  |-  ( ( { X }  u.  U. S )  e.  _V  ->  U. ( { X }  u.  U. S )  =  U. ( fi
`  ( { X }  u.  U. S ) ) )
4947, 48syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  U. ( { X }  u.  U. S )  =  U. ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )
5023, 39, 493eqtr3d 2513 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  X  =  U. ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )
5150fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  (TopOn `  X )  =  (TopOn `  U. ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) ) )
5218, 51syl5eleqr 2556 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  ( topGen `
 ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )  e.  (TopOn `  X
) )
53 elssuni 4219 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  S  ->  j  C_ 
U. S )
54 ssun2 3589 . . . . . . . 8  |-  U. S  C_  ( { X }  u.  U. S )
5553, 54syl6ss 3430 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  S  ->  j  C_  ( { X }  u.  U. S ) )
56 ssfii 7951 . . . . . . . 8  |-  ( ( { X }  u.  U. S )  e.  _V  ->  ( { X }  u.  U. S )  C_  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )
5747, 56syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  ( { X }  u.  U. S )  C_  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )
5855, 57sylan9ssr 3432 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X ) )  /\  j  e.  S )  ->  j  C_  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )
59 bastg 20058 . . . . . . 7  |-  ( ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) )  e.  TopBases 
->  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) )  C_  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) ) )
6016, 59ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( fi
`  ( { X }  u.  U. S ) )  C_  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )
6158, 60syl6ss 3430 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X ) )  /\  j  e.  S )  ->  j  C_  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) ) )
6261ralrimiva 2809 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  A. j  e.  S  j  C_  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) ) )
63 sseq2 3440 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )  ->  (
j  C_  k  <->  j  C_  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) ) ) )
6463ralbidv 2829 . . . . 5  |-  ( k  =  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )  ->  ( A. j  e.  S  j  C_  k  <->  A. j  e.  S  j  C_  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) ) ) )
6564elrab 3184 . . . 4  |-  ( (
topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )  e.  { k  e.  (TopOn `  X )  |  A. j  e.  S  j  C_  k }  <->  ( ( topGen `
 ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )  e.  (TopOn `  X
)  /\  A. j  e.  S  j  C_  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) ) ) )
6652, 62, 65sylanbrc 677 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  ( topGen `
 ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )  e.  { k  e.  (TopOn `  X )  |  A. j  e.  S  j  C_  k } )
67 intss1 4241 . . 3  |-  ( (
topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )  e.  { k  e.  (TopOn `  X )  |  A. j  e.  S  j  C_  k }  ->  |^|
{ k  e.  (TopOn `  X )  |  A. j  e.  S  j  C_  k }  C_  ( topGen `
 ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) ) )
6866, 67syl 17 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  |^| { k  e.  (TopOn `  X
)  |  A. j  e.  S  j  C_  k }  C_  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) ) )
6915, 68eqssd 3435 1  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  ( topGen `
 ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )  =  |^| { k  e.  (TopOn `  X
)  |  A. j  e.  S  j  C_  k } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   {crab 2760   _Vcvv 3031    u. cun 3388    C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   {csn 3959   U.cuni 4190   |^|cint 4226   ` cfv 5589   ficfi 7942   topGenctg 15414   Topctop 19994  TopOnctopon 19995   TopBasesctb 19997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-fin 7591  df-fi 7943  df-topgen 15420  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000
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