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Theorem topjoin 30110
Description: Two equivalent formulations of the join of a collection of topologies. (Contributed by Jeff Hankins, 6-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
topjoin  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  ( topGen `
 ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )  =  |^| { k  e.  (TopOn `  X
)  |  A. j  e.  S  j  C_  k } )
Distinct variable groups:    j, k, S    j, V, k    j, X, k

Proof of Theorem topjoin
StepHypRef Expression
1 topontop 19296 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  (TopOn `  X
)  ->  k  e.  Top )
21ad2antrl 727 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X ) )  /\  ( k  e.  (TopOn `  X )  /\  A. j  e.  S  j  C_  k ) )  -> 
k  e.  Top )
3 toponmax 19298 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  k )
43ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X ) )  /\  ( k  e.  (TopOn `  X )  /\  A. j  e.  S  j  C_  k ) )  ->  X  e.  k )
54snssd 4178 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X ) )  /\  ( k  e.  (TopOn `  X )  /\  A. j  e.  S  j  C_  k ) )  ->  { X }  C_  k
)
6 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X ) )  /\  ( k  e.  (TopOn `  X )  /\  A. j  e.  S  j  C_  k ) )  ->  A. j  e.  S  j  C_  k )
7 unissb 4283 . . . . . . . 8  |-  ( U. S  C_  k  <->  A. j  e.  S  j  C_  k )
86, 7sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X ) )  /\  ( k  e.  (TopOn `  X )  /\  A. j  e.  S  j  C_  k ) )  ->  U. S  C_  k )
95, 8unssd 3685 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X ) )  /\  ( k  e.  (TopOn `  X )  /\  A. j  e.  S  j  C_  k ) )  -> 
( { X }  u.  U. S )  C_  k )
10 tgfiss 19361 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  Top  /\  ( { X }  u.  U. S )  C_  k
)  ->  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) ) 
C_  k )
112, 9, 10syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X ) )  /\  ( k  e.  (TopOn `  X )  /\  A. j  e.  S  j  C_  k ) )  -> 
( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )  C_  k )
1211expr 615 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X ) )  /\  k  e.  (TopOn `  X
) )  ->  ( A. j  e.  S  j  C_  k  ->  ( topGen `
 ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) ) 
C_  k ) )
1312ralrimiva 2881 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  A. k  e.  (TopOn `  X )
( A. j  e.  S  j  C_  k  ->  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )  C_  k )
)
14 ssintrab 4311 . . 3  |-  ( (
topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) ) 
C_  |^| { k  e.  (TopOn `  X )  |  A. j  e.  S  j  C_  k }  <->  A. k  e.  (TopOn `  X )
( A. j  e.  S  j  C_  k  ->  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )  C_  k )
)
1513, 14sylibr 212 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  ( topGen `
 ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) ) 
C_  |^| { k  e.  (TopOn `  X )  |  A. j  e.  S  j  C_  k } )
16 fibas 19347 . . . . . 6  |-  ( fi
`  ( { X }  u.  U. S ) )  e.  TopBases
17 tgtopon 19341 . . . . . 6  |-  ( ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) )  e.  TopBases 
->  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )  e.  (TopOn `  U. ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) ) )
1816, 17ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )  e.  (TopOn `  U. ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )
19 uniun 4270 . . . . . . . 8  |-  U. ( { X }  u.  U. S )  =  ( U. { X }  u.  U. U. S )
20 unisng 4267 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  V  ->  U. { X }  =  X
)
2120adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  U. { X }  =  X
)
2221uneq1d 3662 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  ( U. { X }  u.  U.
U. S )  =  ( X  u.  U. U. S ) )
2319, 22syl5req 2521 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  ( X  u.  U. U. S
)  =  U. ( { X }  u.  U. S ) )
24 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  S  C_  (TopOn `  X )
)
25 toponuni 19297 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. k )
26 eqimss2 3562 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X  =  U. k  ->  U. k  C_  X )
2725, 26syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  (TopOn `  X
)  ->  U. k  C_  X )
28 sspwuni 4417 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k 
C_  ~P X  <->  U. k  C_  X )
2927, 28sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  (TopOn `  X
)  ->  k  C_  ~P X )
30 selpw 4023 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ~P ~P X  <->  k 
C_  ~P X )
3129, 30sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  (TopOn `  X
)  ->  k  e.  ~P ~P X )
3231ssriv 3513 . . . . . . . . . . 11  |-  (TopOn `  X )  C_  ~P ~P X
3324, 32syl6ss 3521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  S  C_ 
~P ~P X )
34 sspwuni 4417 . . . . . . . . . 10  |-  ( S 
C_  ~P ~P X  <->  U. S  C_  ~P X )
3533, 34sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  U. S  C_ 
~P X )
36 sspwuni 4417 . . . . . . . . 9  |-  ( U. S  C_  ~P X  <->  U. U. S  C_  X )
3735, 36sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  U. U. S  C_  X )
38 ssequn2 3682 . . . . . . . 8  |-  ( U. U. S  C_  X  <->  ( X  u.  U. U. S )  =  X )
3937, 38sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  ( X  u.  U. U. S
)  =  X )
40 snex 4694 . . . . . . . . 9  |-  { X }  e.  _V
41 fvex 5882 . . . . . . . . . . . 12  |-  (TopOn `  X )  e.  _V
4241ssex 4597 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S 
C_  (TopOn `  X )  ->  S  e.  _V )
4342adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  S  e.  _V )
44 uniexg 6592 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  _V  ->  U. S  e.  _V )
4543, 44syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  U. S  e.  _V )
46 unexg 6596 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { X }  e.  _V  /\  U. S  e. 
_V )  ->  ( { X }  u.  U. S )  e.  _V )
4740, 45, 46sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  ( { X }  u.  U. S )  e.  _V )
48 fiuni 7900 . . . . . . . 8  |-  ( ( { X }  u.  U. S )  e.  _V  ->  U. ( { X }  u.  U. S )  =  U. ( fi
`  ( { X }  u.  U. S ) ) )
4947, 48syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  U. ( { X }  u.  U. S )  =  U. ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )
5023, 39, 493eqtr3d 2516 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  X  =  U. ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )
5150fveq2d 5876 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  (TopOn `  X )  =  (TopOn `  U. ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) ) )
5218, 51syl5eleqr 2562 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  ( topGen `
 ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )  e.  (TopOn `  X
) )
53 elssuni 4281 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  S  ->  j  C_ 
U. S )
54 ssun2 3673 . . . . . . . 8  |-  U. S  C_  ( { X }  u.  U. S )
5553, 54syl6ss 3521 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  S  ->  j  C_  ( { X }  u.  U. S ) )
56 ssfii 7891 . . . . . . . 8  |-  ( ( { X }  u.  U. S )  e.  _V  ->  ( { X }  u.  U. S )  C_  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )
5747, 56syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  ( { X }  u.  U. S )  C_  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )
5855, 57sylan9ssr 3523 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X ) )  /\  j  e.  S )  ->  j  C_  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )
59 bastg 19336 . . . . . . 7  |-  ( ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) )  e.  TopBases 
->  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) )  C_  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) ) )
6016, 59ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( fi
`  ( { X }  u.  U. S ) )  C_  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )
6158, 60syl6ss 3521 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X ) )  /\  j  e.  S )  ->  j  C_  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) ) )
6261ralrimiva 2881 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  A. j  e.  S  j  C_  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) ) )
63 sseq2 3531 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )  ->  (
j  C_  k  <->  j  C_  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) ) ) )
6463ralbidv 2906 . . . . 5  |-  ( k  =  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )  ->  ( A. j  e.  S  j  C_  k  <->  A. j  e.  S  j  C_  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) ) ) )
6564elrab 3266 . . . 4  |-  ( (
topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )  e.  { k  e.  (TopOn `  X )  |  A. j  e.  S  j  C_  k }  <->  ( ( topGen `
 ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )  e.  (TopOn `  X
)  /\  A. j  e.  S  j  C_  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) ) ) )
6652, 62, 65sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  ( topGen `
 ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )  e.  { k  e.  (TopOn `  X )  |  A. j  e.  S  j  C_  k } )
67 intss1 4303 . . 3  |-  ( (
topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )  e.  { k  e.  (TopOn `  X )  |  A. j  e.  S  j  C_  k }  ->  |^|
{ k  e.  (TopOn `  X )  |  A. j  e.  S  j  C_  k }  C_  ( topGen `
 ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) ) )
6866, 67syl 16 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  |^| { k  e.  (TopOn `  X
)  |  A. j  e.  S  j  C_  k }  C_  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) ) )
6915, 68eqssd 3526 1  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  ( topGen `
 ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )  =  |^| { k  e.  (TopOn `  X
)  |  A. j  e.  S  j  C_  k } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   {crab 2821   _Vcvv 3118    u. cun 3479    C_ wss 3481   ~Pcpw 4016   {csn 4033   U.cuni 4251   |^|cint 4288   ` cfv 5594   ficfi 7882   topGenctg 14710   Topctop 19263  TopOnctopon 19264   TopBasesctb 19267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-fin 7532  df-fi 7883  df-topgen 14716  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271
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