Theorem topjoin 31092

Description: Two equivalent formulations of the join of a collection of topologies. (Contributed by Jeff Hankins, 6-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
topjoin	|- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) = |^| { k e. (TopOn ` X ) | A. j e. S j C_ k } )

Distinct variable groups:   j, k, S   j, V, k   j, X, k

Proof of Theorem topjoin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topontop 20018	. . . . . . 7 |- ( k e. (TopOn ` X ) -> k e. Top )
2	1	ad2antrl 742	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) /\ ( k e. (TopOn ` X ) /\ A. j e. S j C_ k ) ) -> k e. Top )
3		toponmax 20020	. . . . . . . . 9 |- ( k e. (TopOn ` X ) -> X e. k )
4	3	ad2antrl 742	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) /\ ( k e. (TopOn ` X ) /\ A. j e. S j C_ k ) ) -> X e. k )
5	4	snssd 4108	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) /\ ( k e. (TopOn ` X ) /\ A. j e. S j C_ k ) ) -> { X } C_ k )
6		simprr 774	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) /\ ( k e. (TopOn ` X ) /\ A. j e. S j C_ k ) ) -> A. j e. S j C_ k )
7		unissb 4221	. . . . . . . 8 |- ( U. S C_ k <-> A. j e. S j C_ k )
8	6, 7	sylibr 217	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) /\ ( k e. (TopOn ` X ) /\ A. j e. S j C_ k ) ) -> U. S C_ k )
9	5, 8	unssd 3601	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) /\ ( k e. (TopOn ` X ) /\ A. j e. S j C_ k ) ) -> ( { X } u. U. S ) C_ k )
10		tgfiss 20084	. . . . . 6 |- ( ( k e. Top /\ ( { X } u. U. S ) C_ k ) -> ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) C_ k )
11	2, 9, 10	syl2anc 673	. . . . 5 |- ( ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) /\ ( k e. (TopOn ` X ) /\ A. j e. S j C_ k ) ) -> ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) C_ k )
12	11	expr 626	. . . 4 |- ( ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) /\ k e. (TopOn ` X ) ) -> ( A. j e. S j C_ k -> ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) C_ k ) )
13	12	ralrimiva 2809	. . 3 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> A. k e. (TopOn ` X ) ( A. j e. S j C_ k -> ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) C_ k ) )
14		ssintrab 4249	. . 3 |- ( ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) C_ |^| { k e. (TopOn ` X ) | A. j e. S j C_ k } <-> A. k e. (TopOn ` X ) ( A. j e. S j C_ k -> ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) C_ k ) )
15	13, 14	sylibr 217	. 2 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) C_ |^| { k e. (TopOn ` X ) | A. j e. S j C_ k } )
16		fibas 20070	. . . . . 6 |- ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) e. TopBases
17		tgtopon 20064	. . . . . 6 |- ( ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) e. TopBases -> ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) e. (TopOn ` U. ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) )
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) e. (TopOn ` U. ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) )
19		uniun 4209	. . . . . . . 8 |- U. ( { X } u. U. S ) = ( U. { X } u. U. U. S )
20		unisng 4206	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. V -> U. { X } = X )
21	20	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> U. { X } = X )
22	21	uneq1d 3578	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> ( U. { X } u. U. U. S ) = ( X u. U. U. S ) )
23	19, 22	syl5req 2518	. . . . . . 7 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> ( X u. U. U. S ) = U. ( { X } u. U. S ) )
24		simpr 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> S C_ (TopOn ` X ) )
25		toponuni 20019	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. (TopOn ` X ) -> X = U. k )
26		eqimss2 3471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X = U. k -> U. k C_ X )
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. (TopOn ` X ) -> U. k C_ X )
28		sspwuni 4360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k C_ ~P X <-> U. k C_ X )
29	27, 28	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. (TopOn ` X ) -> k C_ ~P X )
30		selpw 3949	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ~P ~P X <-> k C_ ~P X )
31	29, 30	sylibr 217	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. (TopOn ` X ) -> k e. ~P ~P X )
32	31	ssriv 3422	. . . . . . . . . . 11 |- (TopOn ` X ) C_ ~P ~P X
33	24, 32	syl6ss 3430	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> S C_ ~P ~P X )
34		sspwuni 4360	. . . . . . . . . 10 |- ( S C_ ~P ~P X <-> U. S C_ ~P X )
35	33, 34	sylib 201	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> U. S C_ ~P X )
36		sspwuni 4360	. . . . . . . . 9 |- ( U. S C_ ~P X <-> U. U. S C_ X )
37	35, 36	sylib 201	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> U. U. S C_ X )
38		ssequn2 3598	. . . . . . . 8 |- ( U. U. S C_ X <-> ( X u. U. U. S ) = X )
39	37, 38	sylib 201	. . . . . . 7 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> ( X u. U. U. S ) = X )
40		snex 4641	. . . . . . . . 9 |- { X } e. _V
41		fvex 5889	. . . . . . . . . . . 12 |- (TopOn ` X ) e. _V
42	41	ssex 4540	. . . . . . . . . . 11 |- ( S C_ (TopOn ` X ) -> S e. _V )
43	42	adantl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> S e. _V )
44		uniexg 6607	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. _V -> U. S e. _V )
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> U. S e. _V )
46		unexg 6611	. . . . . . . . 9 |- ( ( { X } e. _V /\ U. S e. _V ) -> ( { X } u. U. S ) e. _V )
47	40, 45, 46	sylancr 676	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> ( { X } u. U. S ) e. _V )
48		fiuni 7960	. . . . . . . 8 |- ( ( { X } u. U. S ) e. _V -> U. ( { X } u. U. S ) = U. ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) )
49	47, 48	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> U. ( { X } u. U. S ) = U. ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) )
50	23, 39, 49	3eqtr3d 2513	. . . . . 6 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> X = U. ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) )
51	50	fveq2d 5883	. . . . 5 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> (TopOn ` X ) = (TopOn ` U. ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) )
52	18, 51	syl5eleqr 2556	. . . 4 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) e. (TopOn ` X ) )
53		elssuni 4219	. . . . . . . 8 |- ( j e. S -> j C_ U. S )
54		ssun2 3589	. . . . . . . 8 |- U. S C_ ( { X } u. U. S )
55	53, 54	syl6ss 3430	. . . . . . 7 |- ( j e. S -> j C_ ( { X } u. U. S ) )
56		ssfii 7951	. . . . . . . 8 |- ( ( { X } u. U. S ) e. _V -> ( { X } u. U. S ) C_ ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) )
57	47, 56	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> ( { X } u. U. S ) C_ ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) )
58	55, 57	sylan9ssr 3432	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) /\ j e. S ) -> j C_ ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) )
59		bastg 20058	. . . . . . 7 |- ( ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) e. TopBases -> ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) C_ ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) )
60	16, 59	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) C_ ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) )
61	58, 60	syl6ss 3430	. . . . 5 |- ( ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) /\ j e. S ) -> j C_ ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) )
62	61	ralrimiva 2809	. . . 4 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> A. j e. S j C_ ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) )
63		sseq2 3440	. . . . . 6 |- ( k = ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) -> ( j C_ k <-> j C_ ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) ) )
64	63	ralbidv 2829	. . . . 5 |- ( k = ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) -> ( A. j e. S j C_ k <-> A. j e. S j C_ ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) ) )
65	64	elrab 3184	. . . 4 |- ( ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) e. { k e. (TopOn ` X ) | A. j e. S j C_ k } <-> ( ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) e. (TopOn ` X ) /\ A. j e. S j C_ ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) ) )
66	52, 62, 65	sylanbrc 677	. . 3 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) e. { k e. (TopOn ` X ) | A. j e. S j C_ k } )
67		intss1 4241	. . 3 |- ( ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) e. { k e. (TopOn ` X ) | A. j e. S j C_ k } -> |^| { k e. (TopOn ` X ) | A. j e. S j C_ k } C_ ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) )
68	66, 67	syl 17	. 2 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> |^| { k e. (TopOn ` X ) | A. j e. S j C_ k } C_ ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) )
69	15, 68	eqssd 3435	1 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) = |^| { k e. (TopOn ` X ) | A. j e. S j C_ k } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   {crab 2760   _Vcvv 3031   u. cun 3388   C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   {csn 3959   U.cuni 4190   |^|cint 4226   ` cfv 5589   ficfi 7942   topGenctg 15414   Topctop 19994  TopOnctopon 19995   TopBasesctb 19997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-fin 7591  df-fi 7943  df-topgen 15420  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000

This theorem is referenced by: (None)