Theorem topjoin 30388

Description: Two equivalent formulations of the join of a collection of topologies. (Contributed by Jeff Hankins, 6-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
topjoin	|- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) = |^| { k e. (TopOn ` X ) | A. j e. S j C_ k } )

Distinct variable groups:   j, k, S   j, V, k   j, X, k

Proof of Theorem topjoin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topontop 19554	. . . . . . 7 |- ( k e. (TopOn ` X ) -> k e. Top )
2	1	ad2antrl 727	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) /\ ( k e. (TopOn ` X ) /\ A. j e. S j C_ k ) ) -> k e. Top )
3		toponmax 19556	. . . . . . . . 9 |- ( k e. (TopOn ` X ) -> X e. k )
4	3	ad2antrl 727	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) /\ ( k e. (TopOn ` X ) /\ A. j e. S j C_ k ) ) -> X e. k )
5	4	snssd 4177	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) /\ ( k e. (TopOn ` X ) /\ A. j e. S j C_ k ) ) -> { X } C_ k )
6		simprr 757	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) /\ ( k e. (TopOn ` X ) /\ A. j e. S j C_ k ) ) -> A. j e. S j C_ k )
7		unissb 4283	. . . . . . . 8 |- ( U. S C_ k <-> A. j e. S j C_ k )
8	6, 7	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) /\ ( k e. (TopOn ` X ) /\ A. j e. S j C_ k ) ) -> U. S C_ k )
9	5, 8	unssd 3676	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) /\ ( k e. (TopOn ` X ) /\ A. j e. S j C_ k ) ) -> ( { X } u. U. S ) C_ k )
10		tgfiss 19620	. . . . . 6 |- ( ( k e. Top /\ ( { X } u. U. S ) C_ k ) -> ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) C_ k )
11	2, 9, 10	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) /\ ( k e. (TopOn ` X ) /\ A. j e. S j C_ k ) ) -> ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) C_ k )
12	11	expr 615	. . . 4 |- ( ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) /\ k e. (TopOn ` X ) ) -> ( A. j e. S j C_ k -> ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) C_ k ) )
13	12	ralrimiva 2871	. . 3 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> A. k e. (TopOn ` X ) ( A. j e. S j C_ k -> ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) C_ k ) )
14		ssintrab 4312	. . 3 |- ( ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) C_ |^| { k e. (TopOn ` X ) | A. j e. S j C_ k } <-> A. k e. (TopOn ` X ) ( A. j e. S j C_ k -> ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) C_ k ) )
15	13, 14	sylibr 212	. 2 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) C_ |^| { k e. (TopOn ` X ) | A. j e. S j C_ k } )
16		fibas 19606	. . . . . 6 |- ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) e. TopBases
17		tgtopon 19600	. . . . . 6 |- ( ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) e. TopBases -> ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) e. (TopOn ` U. ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) )
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) e. (TopOn ` U. ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) )
19		uniun 4270	. . . . . . . 8 |- U. ( { X } u. U. S ) = ( U. { X } u. U. U. S )
20		unisng 4267	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. V -> U. { X } = X )
21	20	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> U. { X } = X )
22	21	uneq1d 3653	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> ( U. { X } u. U. U. S ) = ( X u. U. U. S ) )
23	19, 22	syl5req 2511	. . . . . . 7 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> ( X u. U. U. S ) = U. ( { X } u. U. S ) )
24		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> S C_ (TopOn ` X ) )
25		toponuni 19555	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. (TopOn ` X ) -> X = U. k )
26		eqimss2 3552	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X = U. k -> U. k C_ X )
27	25, 26	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. (TopOn ` X ) -> U. k C_ X )
28		sspwuni 4421	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k C_ ~P X <-> U. k C_ X )
29	27, 28	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. (TopOn ` X ) -> k C_ ~P X )
30		selpw 4022	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ~P ~P X <-> k C_ ~P X )
31	29, 30	sylibr 212	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. (TopOn ` X ) -> k e. ~P ~P X )
32	31	ssriv 3503	. . . . . . . . . . 11 |- (TopOn ` X ) C_ ~P ~P X
33	24, 32	syl6ss 3511	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> S C_ ~P ~P X )
34		sspwuni 4421	. . . . . . . . . 10 |- ( S C_ ~P ~P X <-> U. S C_ ~P X )
35	33, 34	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> U. S C_ ~P X )
36		sspwuni 4421	. . . . . . . . 9 |- ( U. S C_ ~P X <-> U. U. S C_ X )
37	35, 36	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> U. U. S C_ X )
38		ssequn2 3673	. . . . . . . 8 |- ( U. U. S C_ X <-> ( X u. U. U. S ) = X )
39	37, 38	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> ( X u. U. U. S ) = X )
40		snex 4697	. . . . . . . . 9 |- { X } e. _V
41		fvex 5882	. . . . . . . . . . . 12 |- (TopOn ` X ) e. _V
42	41	ssex 4600	. . . . . . . . . . 11 |- ( S C_ (TopOn ` X ) -> S e. _V )
43	42	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> S e. _V )
44		uniexg 6596	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. _V -> U. S e. _V )
45	43, 44	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> U. S e. _V )
46		unexg 6600	. . . . . . . . 9 |- ( ( { X } e. _V /\ U. S e. _V ) -> ( { X } u. U. S ) e. _V )
47	40, 45, 46	sylancr 663	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> ( { X } u. U. S ) e. _V )
48		fiuni 7906	. . . . . . . 8 |- ( ( { X } u. U. S ) e. _V -> U. ( { X } u. U. S ) = U. ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) )
49	47, 48	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> U. ( { X } u. U. S ) = U. ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) )
50	23, 39, 49	3eqtr3d 2506	. . . . . 6 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> X = U. ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) )
51	50	fveq2d 5876	. . . . 5 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> (TopOn ` X ) = (TopOn ` U. ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) )
52	18, 51	syl5eleqr 2552	. . . 4 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) e. (TopOn ` X ) )
53		elssuni 4281	. . . . . . . 8 |- ( j e. S -> j C_ U. S )
54		ssun2 3664	. . . . . . . 8 |- U. S C_ ( { X } u. U. S )
55	53, 54	syl6ss 3511	. . . . . . 7 |- ( j e. S -> j C_ ( { X } u. U. S ) )
56		ssfii 7897	. . . . . . . 8 |- ( ( { X } u. U. S ) e. _V -> ( { X } u. U. S ) C_ ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) )
57	47, 56	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> ( { X } u. U. S ) C_ ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) )
58	55, 57	sylan9ssr 3513	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) /\ j e. S ) -> j C_ ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) )
59		bastg 19594	. . . . . . 7 |- ( ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) e. TopBases -> ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) C_ ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) )
60	16, 59	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) C_ ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) )
61	58, 60	syl6ss 3511	. . . . 5 |- ( ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) /\ j e. S ) -> j C_ ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) )
62	61	ralrimiva 2871	. . . 4 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> A. j e. S j C_ ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) )
63		sseq2 3521	. . . . . 6 |- ( k = ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) -> ( j C_ k <-> j C_ ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) ) )
64	63	ralbidv 2896	. . . . 5 |- ( k = ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) -> ( A. j e. S j C_ k <-> A. j e. S j C_ ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) ) )
65	64	elrab 3257	. . . 4 |- ( ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) e. { k e. (TopOn ` X ) | A. j e. S j C_ k } <-> ( ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) e. (TopOn ` X ) /\ A. j e. S j C_ ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) ) )
66	52, 62, 65	sylanbrc 664	. . 3 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) e. { k e. (TopOn ` X ) | A. j e. S j C_ k } )
67		intss1 4303	. . 3 |- ( ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) e. { k e. (TopOn ` X ) | A. j e. S j C_ k } -> |^| { k e. (TopOn ` X ) | A. j e. S j C_ k } C_ ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) )
68	66, 67	syl 16	. 2 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> |^| { k e. (TopOn ` X ) | A. j e. S j C_ k } C_ ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) )
69	15, 68	eqssd 3516	1 |- ( ( X e. V /\ S C_ (TopOn ` X ) ) -> ( topGen ` ( fi ` ( { X } u. U. S ) ) ) = |^| { k e. (TopOn ` X ) | A. j e. S j C_ k } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   A.wral 2807   {crab 2811   _Vcvv 3109   u. cun 3469   C_ wss 3471   ~Pcpw 4015   {csn 4032   U.cuni 4251   |^|cint 4288   ` cfv 5594   ficfi 7888   topGenctg 14855   Topctop 19521  TopOnctopon 19522   TopBasesctb 19525

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-fin 7539  df-fi 7889  df-topgen 14861  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529

This theorem is referenced by: (None)