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Theorem topjoin 31014
Description: Two equivalent formulations of the join of a collection of topologies. (Contributed by Jeff Hankins, 6-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
topjoin  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  ( topGen `
 ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )  =  |^| { k  e.  (TopOn `  X
)  |  A. j  e.  S  j  C_  k } )
Distinct variable groups:    j, k, S    j, V, k    j, X, k

Proof of Theorem topjoin
StepHypRef Expression
1 topontop 19934 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  (TopOn `  X
)  ->  k  e.  Top )
21ad2antrl 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X ) )  /\  ( k  e.  (TopOn `  X )  /\  A. j  e.  S  j  C_  k ) )  -> 
k  e.  Top )
3 toponmax 19936 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  k )
43ad2antrl 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X ) )  /\  ( k  e.  (TopOn `  X )  /\  A. j  e.  S  j  C_  k ) )  ->  X  e.  k )
54snssd 4116 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X ) )  /\  ( k  e.  (TopOn `  X )  /\  A. j  e.  S  j  C_  k ) )  ->  { X }  C_  k
)
6 simprr 765 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X ) )  /\  ( k  e.  (TopOn `  X )  /\  A. j  e.  S  j  C_  k ) )  ->  A. j  e.  S  j  C_  k )
7 unissb 4228 . . . . . . . 8  |-  ( U. S  C_  k  <->  A. j  e.  S  j  C_  k )
86, 7sylibr 216 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X ) )  /\  ( k  e.  (TopOn `  X )  /\  A. j  e.  S  j  C_  k ) )  ->  U. S  C_  k )
95, 8unssd 3609 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X ) )  /\  ( k  e.  (TopOn `  X )  /\  A. j  e.  S  j  C_  k ) )  -> 
( { X }  u.  U. S )  C_  k )
10 tgfiss 20000 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  Top  /\  ( { X }  u.  U. S )  C_  k
)  ->  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) ) 
C_  k )
112, 9, 10syl2anc 666 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X ) )  /\  ( k  e.  (TopOn `  X )  /\  A. j  e.  S  j  C_  k ) )  -> 
( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )  C_  k )
1211expr 619 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X ) )  /\  k  e.  (TopOn `  X
) )  ->  ( A. j  e.  S  j  C_  k  ->  ( topGen `
 ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) ) 
C_  k ) )
1312ralrimiva 2801 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  A. k  e.  (TopOn `  X )
( A. j  e.  S  j  C_  k  ->  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )  C_  k )
)
14 ssintrab 4257 . . 3  |-  ( (
topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) ) 
C_  |^| { k  e.  (TopOn `  X )  |  A. j  e.  S  j  C_  k }  <->  A. k  e.  (TopOn `  X )
( A. j  e.  S  j  C_  k  ->  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )  C_  k )
)
1513, 14sylibr 216 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  ( topGen `
 ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) ) 
C_  |^| { k  e.  (TopOn `  X )  |  A. j  e.  S  j  C_  k } )
16 fibas 19986 . . . . . 6  |-  ( fi
`  ( { X }  u.  U. S ) )  e.  TopBases
17 tgtopon 19980 . . . . . 6  |-  ( ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) )  e.  TopBases 
->  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )  e.  (TopOn `  U. ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) ) )
1816, 17ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )  e.  (TopOn `  U. ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )
19 uniun 4216 . . . . . . . 8  |-  U. ( { X }  u.  U. S )  =  ( U. { X }  u.  U. U. S )
20 unisng 4213 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  V  ->  U. { X }  =  X
)
2120adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  U. { X }  =  X
)
2221uneq1d 3586 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  ( U. { X }  u.  U.
U. S )  =  ( X  u.  U. U. S ) )
2319, 22syl5req 2497 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  ( X  u.  U. U. S
)  =  U. ( { X }  u.  U. S ) )
24 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  S  C_  (TopOn `  X )
)
25 toponuni 19935 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. k )
26 eqimss2 3484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X  =  U. k  ->  U. k  C_  X )
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  (TopOn `  X
)  ->  U. k  C_  X )
28 sspwuni 4366 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k 
C_  ~P X  <->  U. k  C_  X )
2927, 28sylibr 216 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  (TopOn `  X
)  ->  k  C_  ~P X )
30 selpw 3957 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ~P ~P X  <->  k 
C_  ~P X )
3129, 30sylibr 216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  (TopOn `  X
)  ->  k  e.  ~P ~P X )
3231ssriv 3435 . . . . . . . . . . 11  |-  (TopOn `  X )  C_  ~P ~P X
3324, 32syl6ss 3443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  S  C_ 
~P ~P X )
34 sspwuni 4366 . . . . . . . . . 10  |-  ( S 
C_  ~P ~P X  <->  U. S  C_  ~P X )
3533, 34sylib 200 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  U. S  C_ 
~P X )
36 sspwuni 4366 . . . . . . . . 9  |-  ( U. S  C_  ~P X  <->  U. U. S  C_  X )
3735, 36sylib 200 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  U. U. S  C_  X )
38 ssequn2 3606 . . . . . . . 8  |-  ( U. U. S  C_  X  <->  ( X  u.  U. U. S )  =  X )
3937, 38sylib 200 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  ( X  u.  U. U. S
)  =  X )
40 snex 4640 . . . . . . . . 9  |-  { X }  e.  _V
41 fvex 5873 . . . . . . . . . . . 12  |-  (TopOn `  X )  e.  _V
4241ssex 4546 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S 
C_  (TopOn `  X )  ->  S  e.  _V )
4342adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  S  e.  _V )
44 uniexg 6585 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  _V  ->  U. S  e.  _V )
4543, 44syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  U. S  e.  _V )
46 unexg 6589 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { X }  e.  _V  /\  U. S  e. 
_V )  ->  ( { X }  u.  U. S )  e.  _V )
4740, 45, 46sylancr 668 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  ( { X }  u.  U. S )  e.  _V )
48 fiuni 7939 . . . . . . . 8  |-  ( ( { X }  u.  U. S )  e.  _V  ->  U. ( { X }  u.  U. S )  =  U. ( fi
`  ( { X }  u.  U. S ) ) )
4947, 48syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  U. ( { X }  u.  U. S )  =  U. ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )
5023, 39, 493eqtr3d 2492 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  X  =  U. ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )
5150fveq2d 5867 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  (TopOn `  X )  =  (TopOn `  U. ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) ) )
5218, 51syl5eleqr 2535 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  ( topGen `
 ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )  e.  (TopOn `  X
) )
53 elssuni 4226 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  S  ->  j  C_ 
U. S )
54 ssun2 3597 . . . . . . . 8  |-  U. S  C_  ( { X }  u.  U. S )
5553, 54syl6ss 3443 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  S  ->  j  C_  ( { X }  u.  U. S ) )
56 ssfii 7930 . . . . . . . 8  |-  ( ( { X }  u.  U. S )  e.  _V  ->  ( { X }  u.  U. S )  C_  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )
5747, 56syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  ( { X }  u.  U. S )  C_  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )
5855, 57sylan9ssr 3445 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X ) )  /\  j  e.  S )  ->  j  C_  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )
59 bastg 19974 . . . . . . 7  |-  ( ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) )  e.  TopBases 
->  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) )  C_  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) ) )
6016, 59ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( fi
`  ( { X }  u.  U. S ) )  C_  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )
6158, 60syl6ss 3443 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X ) )  /\  j  e.  S )  ->  j  C_  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) ) )
6261ralrimiva 2801 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  A. j  e.  S  j  C_  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) ) )
63 sseq2 3453 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )  ->  (
j  C_  k  <->  j  C_  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) ) ) )
6463ralbidv 2826 . . . . 5  |-  ( k  =  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )  ->  ( A. j  e.  S  j  C_  k  <->  A. j  e.  S  j  C_  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) ) ) )
6564elrab 3195 . . . 4  |-  ( (
topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )  e.  { k  e.  (TopOn `  X )  |  A. j  e.  S  j  C_  k }  <->  ( ( topGen `
 ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )  e.  (TopOn `  X
)  /\  A. j  e.  S  j  C_  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) ) ) )
6652, 62, 65sylanbrc 669 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  ( topGen `
 ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )  e.  { k  e.  (TopOn `  X )  |  A. j  e.  S  j  C_  k } )
67 intss1 4248 . . 3  |-  ( (
topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )  e.  { k  e.  (TopOn `  X )  |  A. j  e.  S  j  C_  k }  ->  |^|
{ k  e.  (TopOn `  X )  |  A. j  e.  S  j  C_  k }  C_  ( topGen `
 ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) ) )
6866, 67syl 17 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  |^| { k  e.  (TopOn `  X
)  |  A. j  e.  S  j  C_  k }  C_  ( topGen `  ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) ) )
6915, 68eqssd 3448 1  |-  ( ( X  e.  V  /\  S  C_  (TopOn `  X
) )  ->  ( topGen `
 ( fi `  ( { X }  u.  U. S ) ) )  =  |^| { k  e.  (TopOn `  X
)  |  A. j  e.  S  j  C_  k } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886   A.wral 2736   {crab 2740   _Vcvv 3044    u. cun 3401    C_ wss 3403   ~Pcpw 3950   {csn 3967   U.cuni 4197   |^|cint 4233   ` cfv 5581   ficfi 7921   topGenctg 15329   Topctop 19910  TopOnctopon 19911   TopBasesctb 19913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-en 7567  df-fin 7570  df-fi 7922  df-topgen 15335  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916
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