Theorem topindis 14859

Description: A topology includes the indiscrete topology and is included in the discrete topology. It also means that when the topologies over the same underlying set are ordered by the inclusion, the greater element is the discrete topology and the smaller element is the indiscrete one.

Assertion

Ref	Expression
topindis	|- (J e. Top -> ({(/), U.J} C_ J /\ J C_ ~PU.J))

Proof of Theorem topindis

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0opn 8870	. . . 4 |- (J e. Top -> (/) e. J)
2		eqid 1884	. . . . 5 |- U.J = U.J
3	2	topopn 8871	. . . 4 |- (J e. Top -> U.J e. J)
4	1, 3	jca 310	. . 3 |- (J e. Top -> ((/) e. J /\ U.J e. J))
5		uniexg 3795	. . . . 5 |- (J e. Top -> U.J e. _V)
6		0ex 3446	. . . . 5 |- (/) e. _V
7	5, 6	jctil 316	. . . 4 |- (J e. Top -> ((/) e. _V /\ U.J e. _V))
8		prssg 3140	. . . 4 |- (((/) e. _V /\ U.J e. _V) -> (((/) e. J /\ U.J e. J) <-> {(/), U.J} C_ J))
9	7, 8	syl 12	. . 3 |- (J e. Top -> (((/) e. J /\ U.J e. J) <-> {(/), U.J} C_ J))
10	4, 9	mpbid 212	. 2 |- (J e. Top -> {(/), U.J} C_ J)
11		eltopsp 8873	. . 3 |- (<.U.J, J>. e. TopSp <-> J e. Top)
12		istps2 8876	. . . 4 |- (<.U.J, J>. e. TopSp <-> ((J e. Top /\ J C_ ~PU.J) /\ ((/) e. J /\ U.J e. J)))
13		simplr 449	. . . 4 |- (((J e. Top /\ J C_ ~PU.J) /\ ((/) e. J /\ U.J e. J)) -> J C_ ~PU.J)
14	12, 13	sylbi 216	. . 3 |- (<.U.J, J>. e. TopSp -> J C_ ~PU.J)
15	11, 14	sylbir 218	. 2 |- (J e. Top -> J C_ ~PU.J)
16	10, 15	jca 310	1 |- (J e. Top -> ({(/), U.J} C_ J /\ J C_ ~PU.J))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   e. wcel 1300  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  (/)c0 2875  ~Pcpw 3032  {cpr 3045  <.cop 3046  U.cuni 3177  Topctop 8857  TopSpctps 8858

This theorem is referenced by:  ptincpw 14912  topsinind 14967

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-xp 4000  df-rel 4001  df-top 8861  df-topsp 8862

Copyright terms: Public domain