Theorem topgele 14910

Description: The topologies over the same set have a greatest element (the discrete topology) and a least element (the undiscrete topology).

Hypothesis

Ref	Expression
topgele.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
topgele	|- (J e. Top -> ({(/), X} C_ J /\ J C_ ~PX))

Proof of Theorem topgele

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istps2 8876	. . 3 |- (<.U.J, J>. e. TopSp <-> ((J e. Top /\ J C_ ~PU.J) /\ ((/) e. J /\ U.J e. J)))
2		eltopsp 8873	. . 3 |- (<.U.J, J>. e. TopSp <-> J e. Top)
3	1, 2	bitr3i 192	. 2 |- (((J e. Top /\ J C_ ~PU.J) /\ ((/) e. J /\ U.J e. J)) <-> J e. Top)
4		topgele.1	. . . . . . . 8 |- X = U.J
5		id 73	. . . . . . . . . . 11 |- (U.J = X -> U.J = X)
6	5	eqcoms 1887	. . . . . . . . . 10 |- (X = U.J -> U.J = X)
7	6	eleq1d 1963	. . . . . . . . 9 |- (X = U.J -> (U.J e. J <-> X e. J))
8	7	anbi2d 678	. . . . . . . 8 |- (X = U.J -> (((/) e. J /\ U.J e. J) <-> ((/) e. J /\ X e. J)))
9	4, 8	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (((/) e. J /\ U.J e. J) <-> ((/) e. J /\ X e. J))
10		prssg 3140	. . . . . . . 8 |- (((/) e. J /\ X e. J) -> (((/) e. J /\ X e. J) <-> {(/), X} C_ J))
11	10	ibi 652	. . . . . . 7 |- (((/) e. J /\ X e. J) -> {(/), X} C_ J)
12	9, 11	sylbi 216	. . . . . 6 |- (((/) e. J /\ U.J e. J) -> {(/), X} C_ J)
13		pweq 3036	. . . . . . . . . 10 |- (X = U.J -> ~PX = ~PU.J)
14	4, 13	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- ~PX = ~PU.J
15	14	eqcomi 1888	. . . . . . . 8 |- ~PU.J = ~PX
16	15	sseq2i 2642	. . . . . . 7 |- (J C_ ~PU.J <-> J C_ ~PX)
17	16	biimpi 168	. . . . . 6 |- (J C_ ~PU.J -> J C_ ~PX)
18	12, 17	anim12i 360	. . . . 5 |- ((((/) e. J /\ U.J e. J) /\ J C_ ~PU.J) -> ({(/), X} C_ J /\ J C_ ~PX))
19	18	expcom 403	. . . 4 |- (J C_ ~PU.J -> (((/) e. J /\ U.J e. J) -> ({(/), X} C_ J /\ J C_ ~PX)))
20	19	a1i 8	. . 3 |- (J e. Top -> (J C_ ~PU.J -> (((/) e. J /\ U.J e. J) -> ({(/), X} C_ J /\ J C_ ~PX))))
21	20	imp31 389	. 2 |- (((J e. Top /\ J C_ ~PU.J) /\ ((/) e. J /\ U.J e. J)) -> ({(/), X} C_ J /\ J C_ ~PX))
22	3, 21	sylbir 218	1 |- (J e. Top -> ({(/), X} C_ J /\ J C_ ~PX))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   C_ wss 2593  (/)c0 2875  ~Pcpw 3032  {cpr 3045  <.cop 3046  U.cuni 3177  Topctop 8857  TopSpctps 8858

This theorem is referenced by:  topge 14911

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-xp 4000  df-rel 4001  df-top 8861  df-topsp 8862

Copyright terms: Public domain