Theorem topfneec2 15502

Description: A topology is precisely identified with its equivalence class.

Hypothesis

Ref	Expression
topfneec2.1	|- R = (Fne i^i `'Fne)

Assertion

Ref	Expression
topfneec2	|- ((J e. Top /\ K e. Top) -> ([J]R = [K]R <-> J = K))

Proof of Theorem topfneec2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 1958	. . . 4 |- ([J]R = [K]R -> (J e. [J]R <-> J e. [K]R))
2		topfneec2.1	. . . . . . 7 |- R = (Fne i^i `'Fne)
3	2	topfneec 15501	. . . . . 6 |- (J e. Top -> (J e. [J]R <-> (J e. Bases /\ (topGen` J) = J)))
4		topbas 8897	. . . . . 6 |- (J e. Top -> J e. Bases)
5		tgtop 8898	. . . . . 6 |- (J e. Top -> (topGen` J) = J)
6	3, 4, 5	mpbir2and 802	. . . . 5 |- (J e. Top -> J e. [J]R)
7	6	adantr 425	. . . 4 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> J e. [J]R)
8	1, 7	syl5cbi 226	. . 3 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> ([J]R = [K]R -> J e. [K]R))
9	2	topfneec 15501	. . . . 5 |- (K e. Top -> (J e. [K]R <-> (J e. Bases /\ (topGen` J) = K)))
10	9	adantl 424	. . . 4 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (J e. [K]R <-> (J e. Bases /\ (topGen` J) = K)))
11	5	eqeq1d 1892	. . . . . . 7 |- (J e. Top -> ((topGen` J) = K <-> J = K))
12	11	biimpd 170	. . . . . 6 |- (J e. Top -> ((topGen` J) = K -> J = K))
13	12	adantld 426	. . . . 5 |- (J e. Top -> ((J e. Bases /\ (topGen` J) = K) -> J = K))
14	13	adantr 425	. . . 4 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> ((J e. Bases /\ (topGen` J) = K) -> J = K))
15	10, 14	sylbid 220	. . 3 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (J e. [K]R -> J = K))
16	8, 15	syld 30	. 2 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> ([J]R = [K]R -> J = K))
17		eceq2 5336	. 2 |- (J = K -> [J]R = [K]R)
18	16, 17	impbid1 575	1 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> ([J]R = [K]R <-> J = K))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   i^i cin 2592  `'ccnv 3985  ` cfv 3998  [cec 5316  Topctop 8857  Basesctb 8859  topGenctg 8860  Fnecfne 15457

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-ec 5320  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-fne 15463

Copyright terms: Public domain