Theorem topfne 15500

Description: Fineness for covers corresponds precisely with fineness for topologies.

Hypotheses

Ref	Expression
topfne.1	|- X = U.J
topfne.2	|- Y = U.K

Assertion

Ref	Expression
topfne	|- ((J e. Top /\ K e. Top /\ X = Y) -> (J C_ K <-> JFneK))

Proof of Theorem topfne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgtop 8898	. . . 4 |- (J e. Top -> (topGen` J) = J)
2	1	3ad2ant1 897	. . 3 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ X = Y) -> (topGen` J) = J)
3		tgtop 8898	. . . 4 |- (K e. Top -> (topGen` K) = K)
4	3	3ad2ant2 898	. . 3 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ X = Y) -> (topGen` K) = K)
5	2, 4	sseq12d 2646	. 2 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ X = Y) -> ((topGen` J) C_ (topGen` K) <-> J C_ K))
6		topfne.1	. . . 4 |- X = U.J
7		topfne.2	. . . 4 |- Y = U.K
8	6, 7	topbasfne 15499	. . 3 |- ((J e. Bases /\ K e. Bases /\ X = Y) -> ((topGen` J) C_ (topGen` K) <-> JFneK))
9		topbas 8897	. . 3 |- (J e. Top -> J e. Bases)
10		topbas 8897	. . 3 |- (K e. Top -> K e. Bases)
11		id 73	. . 3 |- (X = Y -> X = Y)
12	8, 9, 10, 11	syl3an 1139	. 2 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ X = Y) -> ((topGen` J) C_ (topGen` K) <-> JFneK))
13	5, 12	bitr3d 589	1 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ X = Y) -> (J C_ K <-> JFneK))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   C_ wss 2593  U.cuni 3177   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  Topctop 8857  Basesctb 8859  topGenctg 8860  Fnecfne 15457

This theorem is referenced by:  limfilcf 15587  fcluscf 15612

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-fne 15463

Copyright terms: Public domain