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Theorem topdifinffinlem 31743
Description: This is the core of the proof of topdifinffin 31744, but to avoid the distinct variables on the definition, we need to split this proof into two. (Contributed by ML, 17-Jul-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
topdifinf.t  |-  T  =  { x  e.  ~P A  |  ( -.  ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  ( x  =  (/)  \/  x  =  A ) ) }
Assertion
Ref Expression
topdifinffinlem  |-  ( T  e.  (TopOn `  A
)  ->  A  e.  Fin )
Distinct variable groups:    x, A    x, T

Proof of Theorem topdifinffinlem
Dummy variables  u  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1760 . . . . 5  |-  F/ u  -.  A  e.  Fin
2 nfab1 2593 . . . . 5  |-  F/_ u { u  |  E. y  e.  A  u  =  { y } }
3 nfcv 2591 . . . . 5  |-  F/_ u T
4 abid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  { u  |  E. y  e.  A  u  =  { y } }  <->  E. y  e.  A  u  =  { y } )
5 df-rex 2742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  A  u  =  { y }  <->  E. y ( y  e.  A  /\  u  =  { y } ) )
64, 5bitri 253 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  { u  |  E. y  e.  A  u  =  { y } }  <->  E. y ( y  e.  A  /\  u  =  { y } ) )
7 eqid 2450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { y }  =  { y }
8 snex 4640 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { y }  e.  _V
9 snelpwi 4644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y  e.  A  ->  { y }  e.  ~P A
)
10 eleq1 2516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( x  =  { y }  ->  ( x  e. 
~P A  <->  { y }  e.  ~P A
) )
119, 10syl5ibr 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  =  { y }  ->  ( y  e.  A  ->  x  e.  ~P A ) )
1211imdistani 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x  =  { y }  /\  y  e.  A )  ->  (
x  =  { y }  /\  x  e. 
~P A ) )
1312anim2i 572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  ( x  =  {
y }  /\  y  e.  A ) )  -> 
( -.  A  e. 
Fin  /\  ( x  =  { y }  /\  x  e.  ~P A
) ) )
14133impb 1203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  x  =  { y }  /\  y  e.  A )  ->  ( -.  A  e.  Fin  /\  ( x  =  {
y }  /\  x  e.  ~P A ) ) )
15 3anass 988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  x  =  { y }  /\  x  e. 
~P A )  <->  ( -.  A  e.  Fin  /\  (
x  =  { y }  /\  x  e. 
~P A ) ) )
1614, 15sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  x  =  { y }  /\  y  e.  A )  ->  ( -.  A  e.  Fin  /\  x  =  { y }  /\  x  e. 
~P A ) )
17 snfi 7647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  { y }  e.  Fin
18 eleq1 2516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( x  =  { y }  ->  ( x  e. 
Fin 
<->  { y }  e.  Fin ) )
1917, 18mpbiri 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( x  =  { y }  ->  x  e.  Fin )
20 difinf 7838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  x  e.  Fin )  ->  -.  ( A  \  x )  e.  Fin )
2119, 20sylan2 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  x  =  { y } )  ->  -.  ( A  \  x
)  e.  Fin )
2221orcd 394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  x  =  { y } )  ->  ( -.  ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  ( x  =  (/)  \/  x  =  A ) ) )
2322anim2i 572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  e.  ~P A  /\  ( -.  A  e. 
Fin  /\  x  =  { y } ) )  ->  ( x  e.  ~P A  /\  ( -.  ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  ( x  =  (/)  \/  x  =  A ) ) ) )
2423ancoms 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( -.  A  e. 
Fin  /\  x  =  { y } )  /\  x  e.  ~P A )  ->  (
x  e.  ~P A  /\  ( -.  ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  ( x  =  (/)  \/  x  =  A ) ) ) )
25243impa 1202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  x  =  { y }  /\  x  e. 
~P A )  -> 
( x  e.  ~P A  /\  ( -.  ( A  \  x )  e. 
Fin  \/  ( x  =  (/)  \/  x  =  A ) ) ) )
2616, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  x  =  { y }  /\  y  e.  A )  ->  (
x  e.  ~P A  /\  ( -.  ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  ( x  =  (/)  \/  x  =  A ) ) ) )
27 topdifinf.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  T  =  { x  e.  ~P A  |  ( -.  ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  ( x  =  (/)  \/  x  =  A ) ) }
2827rabeq2i 3041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  T  <->  ( x  e.  ~P A  /\  ( -.  ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  ( x  =  (/)  \/  x  =  A ) ) ) )
2926, 28sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  x  =  { y }  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  T )
30 eleq1 2516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  { y }  ->  ( x  e.  T  <->  { y }  e.  T ) )
31303ad2ant2 1029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  x  =  { y }  /\  y  e.  A )  ->  (
x  e.  T  <->  { y }  e.  T )
)
3229, 31mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  x  =  { y }  /\  y  e.  A )  ->  { y }  e.  T )
3332sbcth 3281 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { y }  e.  _V  ->  [. { y }  /  x ]. (
( -.  A  e. 
Fin  /\  x  =  { y }  /\  y  e.  A )  ->  { y }  e.  T ) )
348, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  [. {
y }  /  x ]. ( ( -.  A  e.  Fin  /\  x  =  { y }  /\  y  e.  A )  ->  { y }  e.  T )
35 sbcimg 3308 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { y }  e.  _V  ->  ( [. { y }  /  x ]. ( ( -.  A  e.  Fin  /\  x  =  { y }  /\  y  e.  A )  ->  { y }  e.  T )  <->  ( [. { y }  /  x ]. ( -.  A  e.  Fin  /\  x  =  { y }  /\  y  e.  A )  ->  [. { y }  /  x ]. {
y }  e.  T
) ) )
368, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( [. { y }  /  x ]. ( ( -.  A  e.  Fin  /\  x  =  { y }  /\  y  e.  A
)  ->  { y }  e.  T )  <->  (
[. { y }  /  x ]. ( -.  A  e.  Fin  /\  x  =  { y }  /\  y  e.  A )  ->  [. {
y }  /  x ]. { y }  e.  T ) )
3734, 36mpbi 212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( [. { y }  /  x ]. ( -.  A  e.  Fin  /\  x  =  { y }  /\  y  e.  A )  ->  [. { y }  /  x ]. {
y }  e.  T
)
38 sbc3an 3324 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( [. { y }  /  x ]. ( -.  A  e.  Fin  /\  x  =  { y }  /\  y  e.  A )  <->  (
[. { y }  /  x ].  -.  A  e.  Fin  /\  [. {
y }  /  x ]. x  =  {
y }  /\  [. {
y }  /  x ]. y  e.  A
) )
39 sbcg 3332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( { y }  e.  _V  ->  ( [. { y }  /  x ].  -.  A  e.  Fin  <->  -.  A  e.  Fin )
)
408, 39ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( [. { y }  /  x ].  -.  A  e. 
Fin 
<->  -.  A  e.  Fin )
41403anbi1i 1198 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
[. { y }  /  x ].  -.  A  e.  Fin  /\  [. {
y }  /  x ]. x  =  {
y }  /\  [. {
y }  /  x ]. y  e.  A
)  <->  ( -.  A  e.  Fin  /\  [. {
y }  /  x ]. x  =  {
y }  /\  [. {
y }  /  x ]. y  e.  A
) )
42 eqsbc3 3306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( { y }  e.  _V  ->  ( [. { y }  /  x ]. x  =  { y } 
<->  { y }  =  { y } ) )
438, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( [. { y }  /  x ]. x  =  {
y }  <->  { y }  =  { y } )
44433anbi2i 1199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\ 
[. { y }  /  x ]. x  =  { y }  /\  [. { y }  /  x ]. y  e.  A
)  <->  ( -.  A  e.  Fin  /\  { y }  =  { y }  /\  [. {
y }  /  x ]. y  e.  A
) )
4538, 41, 443bitri 275 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( [. { y }  /  x ]. ( -.  A  e.  Fin  /\  x  =  { y }  /\  y  e.  A )  <->  ( -.  A  e.  Fin  /\ 
{ y }  =  { y }  /\  [. { y }  /  x ]. y  e.  A
) )
46 sbcg 3332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( { y }  e.  _V  ->  ( [. { y }  /  x ]. y  e.  A  <->  y  e.  A ) )
478, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( [. { y }  /  x ]. y  e.  A  <->  y  e.  A )
48473anbi3i 1200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\ 
{ y }  =  { y }  /\  [. { y }  /  x ]. y  e.  A
)  <->  ( -.  A  e.  Fin  /\  { y }  =  { y }  /\  y  e.  A ) )
4945, 48bitri 253 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( [. { y }  /  x ]. ( -.  A  e.  Fin  /\  x  =  { y }  /\  y  e.  A )  <->  ( -.  A  e.  Fin  /\ 
{ y }  =  { y }  /\  y  e.  A )
)
50 sbcg 3332 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { y }  e.  _V  ->  ( [. { y }  /  x ]. { y }  e.  T 
<->  { y }  e.  T ) )
518, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( [. { y }  /  x ]. { y }  e.  T  <->  { y }  e.  T )
5237, 49, 513imtr3i 269 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\ 
{ y }  =  { y }  /\  y  e.  A )  ->  { y }  e.  T )
537, 52mp3an2 1351 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  y  e.  A )  ->  { y }  e.  T )
5453ex 436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( y  e.  A  ->  { y }  e.  T ) )
5554pm4.71d 639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( y  e.  A  <->  ( y  e.  A  /\  { y }  e.  T ) ) )
5655anbi1d 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( ( y  e.  A  /\  u  =  {
y } )  <->  ( (
y  e.  A  /\  { y }  e.  T
)  /\  u  =  { y } ) ) )
5756exbidv 1767 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( E. y ( y  e.  A  /\  u  =  { y } )  <->  E. y ( ( y  e.  A  /\  {
y }  e.  T
)  /\  u  =  { y } ) ) )
586, 57syl5bb 261 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( u  e.  { u  |  E. y  e.  A  u  =  { y } }  <->  E. y ( ( y  e.  A  /\  { y }  e.  T
)  /\  u  =  { y } ) ) )
59 anass 654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  { y }  e.  T )  /\  u  =  { y } )  <-> 
( y  e.  A  /\  ( { y }  e.  T  /\  u  =  { y } ) ) )
6059exbii 1717 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y ( ( y  e.  A  /\  {
y }  e.  T
)  /\  u  =  { y } )  <->  E. y ( y  e.  A  /\  ( { y }  e.  T  /\  u  =  {
y } ) ) )
61 exsimpr 1729 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y ( y  e.  A  /\  ( { y }  e.  T  /\  u  =  {
y } ) )  ->  E. y ( { y }  e.  T  /\  u  =  {
y } ) )
6260, 61sylbi 199 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y ( ( y  e.  A  /\  {
y }  e.  T
)  /\  u  =  { y } )  ->  E. y ( { y }  e.  T  /\  u  =  {
y } ) )
6358, 62syl6bi 232 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( u  e.  { u  |  E. y  e.  A  u  =  { y } }  ->  E. y
( { y }  e.  T  /\  u  =  { y } ) ) )
64 ancom 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { y }  e.  T  /\  u  =  {
y } )  <->  ( u  =  { y }  /\  { y }  e.  T
) )
65 eleq1 2516 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  { y }  ->  ( u  e.  T  <->  { y }  e.  T ) )
6665pm5.32i 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  =  { y }  /\  u  e.  T )  <->  ( u  =  { y }  /\  { y }  e.  T
) )
6764, 66bitr4i 256 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { y }  e.  T  /\  u  =  {
y } )  <->  ( u  =  { y }  /\  u  e.  T )
)
6867exbii 1717 . . . . . . . 8  |-  ( E. y ( { y }  e.  T  /\  u  =  { y } )  <->  E. y
( u  =  {
y }  /\  u  e.  T ) )
6963, 68syl6ib 230 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( u  e.  { u  |  E. y  e.  A  u  =  { y } }  ->  E. y
( u  =  {
y }  /\  u  e.  T ) ) )
70 exsimpr 1729 . . . . . . 7  |-  ( E. y ( u  =  { y }  /\  u  e.  T )  ->  E. y  u  e.  T )
7169, 70syl6 34 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( u  e.  { u  |  E. y  e.  A  u  =  { y } }  ->  E. y  u  e.  T )
)
72 ax5e 1759 . . . . . 6  |-  ( E. y  u  e.  T  ->  u  e.  T )
7371, 72syl6 34 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( u  e.  { u  |  E. y  e.  A  u  =  { y } }  ->  u  e.  T ) )
741, 2, 3, 73ssrd 3436 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  { u  |  E. y  e.  A  u  =  { y } }  C_  T )
75 eqid 2450 . . . . 5  |-  { u  |  E. y  e.  A  u  =  { y } }  =  {
u  |  E. y  e.  A  u  =  { y } }
7675dissneq 31736 . . . 4  |-  ( ( { u  |  E. y  e.  A  u  =  { y } }  C_  T  /\  T  e.  (TopOn `  A )
)  ->  T  =  ~P A )
7774, 76sylan 474 . . 3  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  T  e.  (TopOn `  A ) )  ->  T  =  ~P A
)
78 nfielex 7797 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  E. y  y  e.  A
)
7978adantr 467 . . . 4  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  T  e.  (TopOn `  A ) )  ->  E. y  y  e.  A )
80 difss 3559 . . . . . . 7  |-  ( A 
\  { y } )  C_  A
81 elfvex 5890 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  (TopOn `  A
)  ->  A  e.  _V )
82 difexg 4550 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  \  { y } )  e.  _V )
83 elpwg 3958 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  \  { y } )  e.  _V  ->  ( ( A  \  { y } )  e.  ~P A  <->  ( A  \  { y } ) 
C_  A ) )
8481, 82, 833syl 18 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  (TopOn `  A
)  ->  ( ( A  \  { y } )  e.  ~P A  <->  ( A  \  { y } )  C_  A
) )
8580, 84mpbiri 237 . . . . . 6  |-  ( T  e.  (TopOn `  A
)  ->  ( A  \  { y } )  e.  ~P A )
8685adantl 468 . . . . 5  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  T  e.  (TopOn `  A ) )  -> 
( A  \  {
y } )  e. 
~P A )
87 difinf 7838 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\ 
{ y }  e.  Fin )  ->  -.  ( A  \  { y } )  e.  Fin )
8817, 87mpan2 676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  -.  ( A  \  {
y } )  e. 
Fin )
89 0fin 7796 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  Fin
90 eleq1 2516 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  \  { y } )  =  (/)  ->  ( ( A  \  { y } )  e.  Fin  <->  (/)  e.  Fin ) )
9189, 90mpbiri 237 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  \  { y } )  =  (/)  ->  ( A  \  {
y } )  e. 
Fin )
9288, 91nsyl 125 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  -.  ( A  \  {
y } )  =  (/) )
9392ad2antrl 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( -.  A  e.  Fin  /\  T  e.  (TopOn `  A ) ) )  ->  -.  ( A  \  { y } )  =  (/) )
94 ssnid 3996 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  y  e. 
{ y }
95 inelcm 3818 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  y  e.  { y } )  ->  ( A  i^i  { y } )  =/=  (/) )
9694, 95mpan2 676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  A  ->  ( A  i^i  { y } )  =/=  (/) )
97 disj4 3812 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  i^i  { y } )  =  (/)  <->  -.  ( A  \  { y } )  C.  A
)
9897necon2abii 2673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  \  { y } )  C.  A  <->  ( A  i^i  { y } )  =/=  (/) )
9996, 98sylibr 216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  A  ->  ( A  \  { y } )  C.  A )
10099pssned 3530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  A  ->  ( A  \  { y } )  =/=  A )
101100adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( -.  A  e.  Fin  /\  T  e.  (TopOn `  A ) ) )  ->  ( A  \  { y } )  =/=  A )
102101neneqd 2628 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( -.  A  e.  Fin  /\  T  e.  (TopOn `  A ) ) )  ->  -.  ( A  \  { y } )  =  A )
10393, 102jca 535 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( -.  A  e.  Fin  /\  T  e.  (TopOn `  A ) ) )  ->  ( -.  ( A  \  { y } )  =  (/)  /\  -.  ( A  \  { y } )  =  A ) )
104 pm4.56 498 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  ( A  \  { y } )  =  (/)  /\  -.  ( A  \  { y } )  =  A )  <->  -.  ( ( A  \  { y } )  =  (/)  \/  ( A  \  { y } )  =  A ) )
105103, 104sylib 200 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( -.  A  e.  Fin  /\  T  e.  (TopOn `  A ) ) )  ->  -.  ( ( A  \  { y } )  =  (/)  \/  ( A  \  { y } )  =  A ) )
10685biantrurd 511 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  (TopOn `  A
)  ->  ( ( -.  ( A  \  ( A  \  { y } ) )  e.  Fin  \/  ( ( A  \  { y } )  =  (/)  \/  ( A  \  { y } )  =  A ) )  <->  ( ( A 
\  { y } )  e.  ~P A  /\  ( -.  ( A 
\  ( A  \  { y } ) )  e.  Fin  \/  ( ( A  \  { y } )  =  (/)  \/  ( A  \  { y } )  =  A ) ) ) ) )
107 difeq2 3544 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( A  \  { y } )  ->  ( A  \  x )  =  ( A  \  ( A 
\  { y } ) ) )
108107eleq1d 2512 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( A  \  { y } )  ->  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin 
<->  ( A  \  ( A  \  { y } ) )  e.  Fin ) )
109108notbid 296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( A  \  { y } )  ->  ( -.  ( A  \  x )  e. 
Fin 
<->  -.  ( A  \ 
( A  \  {
y } ) )  e.  Fin ) )
110 eqeq1 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( A  \  { y } )  ->  ( x  =  (/) 
<->  ( A  \  {
y } )  =  (/) ) )
111 eqeq1 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( A  \  { y } )  ->  ( x  =  A  <->  ( A  \  { y } )  =  A ) )
112110, 111orbi12d 715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( A  \  { y } )  ->  ( ( x  =  (/)  \/  x  =  A )  <->  ( ( A  \  { y } )  =  (/)  \/  ( A  \  { y } )  =  A ) ) )
113109, 112orbi12d 715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( A  \  { y } )  ->  ( ( -.  ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  ( x  =  (/)  \/  x  =  A ) )  <->  ( -.  ( A  \  ( A  \  { y } ) )  e.  Fin  \/  ( ( A  \  { y } )  =  (/)  \/  ( A  \  { y } )  =  A ) ) ) )
114113, 27elrab2 3197 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  \  { y } )  e.  T  <->  ( ( A  \  {
y } )  e. 
~P A  /\  ( -.  ( A  \  ( A  \  { y } ) )  e.  Fin  \/  ( ( A  \  { y } )  =  (/)  \/  ( A  \  { y } )  =  A ) ) ) )
115106, 114syl6rbbr 268 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  (TopOn `  A
)  ->  ( ( A  \  { y } )  e.  T  <->  ( -.  ( A  \  ( A  \  { y } ) )  e.  Fin  \/  ( ( A  \  { y } )  =  (/)  \/  ( A  \  { y } )  =  A ) ) ) )
116 dfin4 3682 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  i^i  { y } )  =  ( A 
\  ( A  \  { y } ) )
117 inss2 3652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  i^i  { y } )  C_  { y }
118 ssfi 7789 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { y }  e.  Fin  /\  ( A  i^i  { y } )  C_  { y } )  -> 
( A  i^i  {
y } )  e. 
Fin )
11917, 117, 118mp2an 677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  i^i  { y } )  e.  Fin
120116, 119eqeltrri 2525 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
\  ( A  \  { y } ) )  e.  Fin
121 biortn 408 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  \  ( A 
\  { y } ) )  e.  Fin  ->  ( ( ( A 
\  { y } )  =  (/)  \/  ( A  \  { y } )  =  A )  <-> 
( -.  ( A 
\  ( A  \  { y } ) )  e.  Fin  \/  ( ( A  \  { y } )  =  (/)  \/  ( A  \  { y } )  =  A ) ) ) )
122120, 121ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  \  {
y } )  =  (/)  \/  ( A  \  { y } )  =  A )  <->  ( -.  ( A  \  ( A  \  { y } ) )  e.  Fin  \/  ( ( A  \  { y } )  =  (/)  \/  ( A  \  { y } )  =  A ) ) )
123115, 122syl6bbr 267 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  (TopOn `  A
)  ->  ( ( A  \  { y } )  e.  T  <->  ( ( A  \  { y } )  =  (/)  \/  ( A  \  { y } )  =  A ) ) )
124123ad2antll 734 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( -.  A  e.  Fin  /\  T  e.  (TopOn `  A ) ) )  ->  ( ( A 
\  { y } )  e.  T  <->  ( ( A  \  { y } )  =  (/)  \/  ( A  \  { y } )  =  A ) ) )
125105, 124mtbird 303 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( -.  A  e.  Fin  /\  T  e.  (TopOn `  A ) ) )  ->  -.  ( A  \  { y } )  e.  T )
126125expcom 437 . . . . 5  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  T  e.  (TopOn `  A ) )  -> 
( y  e.  A  ->  -.  ( A  \  { y } )  e.  T ) )
127 nelneq2 2553 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  \  {
y } )  e. 
~P A  /\  -.  ( A  \  { y } )  e.  T
)  ->  -.  ~P A  =  T )
128 eqcom 2457 . . . . . 6  |-  ( T  =  ~P A  <->  ~P A  =  T )
129127, 128sylnibr 307 . . . . 5  |-  ( ( ( A  \  {
y } )  e. 
~P A  /\  -.  ( A  \  { y } )  e.  T
)  ->  -.  T  =  ~P A )
13086, 126, 129syl6an 548 . . . 4  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  T  e.  (TopOn `  A ) )  -> 
( y  e.  A  ->  -.  T  =  ~P A ) )
13179, 130exellimddv 31741 . . 3  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  T  e.  (TopOn `  A ) )  ->  -.  T  =  ~P A )
13277, 131pm2.65da 579 . 2  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  -.  T  e.  (TopOn `  A ) )
133132con4i 134 1  |-  ( T  e.  (TopOn `  A
)  ->  A  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443   E.wex 1662    e. wcel 1886   {cab 2436    =/= wne 2621   E.wrex 2737   {crab 2740   _Vcvv 3044   [.wsbc 3266    \ cdif 3400    i^i cin 3402    C_ wss 3403    C. wpss 3404   (/)c0 3730   ~Pcpw 3950   {csn 3967   ` cfv 5581   Fincfn 7566  TopOnctopon 19911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-en 7567  df-fin 7570  df-topgen 15335  df-top 19914  df-topon 19916
This theorem is referenced by:  topdifinffin  31744
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