Theorem topdifinffinlem 31820

Description: This is the core of the proof of topdifinffin 31821, but to avoid the distinct variables on the definition, we need to split this proof into two. (Contributed by ML, 17-Jul-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
topdifinf.t	|- T = { x e. ~P A | ( -. ( A \ x ) e. Fin \/ ( x = (/) \/ x = A ) ) }

Assertion

Ref	Expression
topdifinffinlem	|- ( T e. (TopOn ` A ) -> A e. Fin )

Distinct variable groups:   x, A   x, T

Proof of Theorem topdifinffinlem

Dummy variables u y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1769	. . . . 5 |- F/ u -. A e. Fin
2		nfab1 2614	. . . . 5 |- F/_ u { u | E. y e. A u = { y } }
3		nfcv 2612	. . . . 5 |- F/_ u T
4		abid 2459	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. { u | E. y e. A u = { y } } <-> E. y e. A u = { y } )
5		df-rex 2762	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y e. A u = { y } <-> E. y ( y e. A /\ u = { y } ) )
6	4, 5	bitri 257	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. { u | E. y e. A u = { y } } <-> E. y ( y e. A /\ u = { y } ) )
7		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { y } = { y }
8		snex 4641	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- { y } e. _V
9		snelpwi 4645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( y e. A -> { y } e. ~P A )
10		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( x = { y } -> ( x e. ~P A <-> { y } e. ~P A ) )
11	9, 10	syl5ibr 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( x = { y } -> ( y e. A -> x e. ~P A ) )
12	11	imdistani 704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( x = { y } /\ y e. A ) -> ( x = { y } /\ x e. ~P A ) )
13	12	anim2i 579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( -. A e. Fin /\ ( x = { y } /\ y e. A ) ) -> ( -. A e. Fin /\ ( x = { y } /\ x e. ~P A ) ) )
14	13	3impb 1227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) -> ( -. A e. Fin /\ ( x = { y } /\ x e. ~P A ) ) )
15		3anass 1011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ x e. ~P A ) <-> ( -. A e. Fin /\ ( x = { y } /\ x e. ~P A ) ) )
16	14, 15	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) -> ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ x e. ~P A ) )
17		snfi 7668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- { y } e. Fin
18		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( x = { y } -> ( x e. Fin <-> { y } e. Fin ) )
19	17, 18	mpbiri 241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( x = { y } -> x e. Fin )
20		difinf 7859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( -. A e. Fin /\ x e. Fin ) -> -. ( A \ x ) e. Fin )
21	19, 20	sylan2 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( -. A e. Fin /\ x = { y } ) -> -. ( A \ x ) e. Fin )
22	21	orcd 399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( -. A e. Fin /\ x = { y } ) -> ( -. ( A \ x ) e. Fin \/ ( x = (/) \/ x = A ) ) )
23	22	anim2i 579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( x e. ~P A /\ ( -. A e. Fin /\ x = { y } ) ) -> ( x e. ~P A /\ ( -. ( A \ x ) e. Fin \/ ( x = (/) \/ x = A ) ) ) )
24	23	ancoms 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( -. A e. Fin /\ x = { y } ) /\ x e. ~P A ) -> ( x e. ~P A /\ ( -. ( A \ x ) e. Fin \/ ( x = (/) \/ x = A ) ) ) )
25	24	3impa 1226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ x e. ~P A ) -> ( x e. ~P A /\ ( -. ( A \ x ) e. Fin \/ ( x = (/) \/ x = A ) ) ) )
26	16, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) -> ( x e. ~P A /\ ( -. ( A \ x ) e. Fin \/ ( x = (/) \/ x = A ) ) ) )
27		topdifinf.t	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- T = { x e. ~P A | ( -. ( A \ x ) e. Fin \/ ( x = (/) \/ x = A ) ) }
28	27	rabeq2i 3028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. T <-> ( x e. ~P A /\ ( -. ( A \ x ) e. Fin \/ ( x = (/) \/ x = A ) ) ) )
29	26, 28	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) -> x e. T )
30		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = { y } -> ( x e. T <-> { y } e. T ) )
31	30	3ad2ant2 1052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) -> ( x e. T <-> { y } e. T ) )
32	29, 31	mpbid 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) -> { y } e. T )
33	32	sbcth 3270	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( { y } e. _V -> [. { y } / x ]. ( ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) -> { y } e. T ) )
34	8, 33	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- [. { y } / x ]. ( ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) -> { y } e. T )
35		sbcimg 3297	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( { y } e. _V -> ( [. { y } / x ]. ( ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) -> { y } e. T ) <-> ( [. { y } / x ]. ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) -> [. { y } / x ]. { y } e. T ) ) )
36	8, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( [. { y } / x ]. ( ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) -> { y } e. T ) <-> ( [. { y } / x ]. ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) -> [. { y } / x ]. { y } e. T ) )
37	34, 36	mpbi 213	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( [. { y } / x ]. ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) -> [. { y } / x ]. { y } e. T )
38		sbc3an 3313	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( [. { y } / x ]. ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) <-> ( [. { y } / x ]. -. A e. Fin /\ [. { y } / x ]. x = { y } /\ [. { y } / x ]. y e. A ) )
39		sbcg 3321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( { y } e. _V -> ( [. { y } / x ]. -. A e. Fin <-> -. A e. Fin ) )
40	8, 39	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( [. { y } / x ]. -. A e. Fin <-> -. A e. Fin )
41	40	3anbi1i 1221	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( [. { y } / x ]. -. A e. Fin /\ [. { y } / x ]. x = { y } /\ [. { y } / x ]. y e. A ) <-> ( -. A e. Fin /\ [. { y } / x ]. x = { y } /\ [. { y } / x ]. y e. A ) )
42		eqsbc3 3295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( { y } e. _V -> ( [. { y } / x ]. x = { y } <-> { y } = { y } ) )
43	8, 42	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( [. { y } / x ]. x = { y } <-> { y } = { y } )
44	43	3anbi2i 1222	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( -. A e. Fin /\ [. { y } / x ]. x = { y } /\ [. { y } / x ]. y e. A ) <-> ( -. A e. Fin /\ { y } = { y } /\ [. { y } / x ]. y e. A ) )
45	38, 41, 44	3bitri 279	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( [. { y } / x ]. ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) <-> ( -. A e. Fin /\ { y } = { y } /\ [. { y } / x ]. y e. A ) )
46		sbcg 3321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( { y } e. _V -> ( [. { y } / x ]. y e. A <-> y e. A ) )
47	8, 46	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( [. { y } / x ]. y e. A <-> y e. A )
48	47	3anbi3i 1223	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( -. A e. Fin /\ { y } = { y } /\ [. { y } / x ]. y e. A ) <-> ( -. A e. Fin /\ { y } = { y } /\ y e. A ) )
49	45, 48	bitri 257	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( [. { y } / x ]. ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) <-> ( -. A e. Fin /\ { y } = { y } /\ y e. A ) )
50		sbcg 3321	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( { y } e. _V -> ( [. { y } / x ]. { y } e. T <-> { y } e. T ) )
51	8, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( [. { y } / x ]. { y } e. T <-> { y } e. T )
52	37, 49, 51	3imtr3i 273	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -. A e. Fin /\ { y } = { y } /\ y e. A ) -> { y } e. T )
53	7, 52	mp3an2 1378	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -. A e. Fin /\ y e. A ) -> { y } e. T )
54	53	ex 441	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. A e. Fin -> ( y e. A -> { y } e. T ) )
55	54	pm4.71d 646	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. A e. Fin -> ( y e. A <-> ( y e. A /\ { y } e. T ) ) )
56	55	anbi1d 719	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. A e. Fin -> ( ( y e. A /\ u = { y } ) <-> ( ( y e. A /\ { y } e. T ) /\ u = { y } ) ) )
57	56	exbidv 1776	. . . . . . . . . 10 |- ( -. A e. Fin -> ( E. y ( y e. A /\ u = { y } ) <-> E. y ( ( y e. A /\ { y } e. T ) /\ u = { y } ) ) )
58	6, 57	syl5bb 265	. . . . . . . . 9 |- ( -. A e. Fin -> ( u e. { u | E. y e. A u = { y } } <-> E. y ( ( y e. A /\ { y } e. T ) /\ u = { y } ) ) )
59		anass 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. A /\ { y } e. T ) /\ u = { y } ) <-> ( y e. A /\ ( { y } e. T /\ u = { y } ) ) )
60	59	exbii 1726	. . . . . . . . . 10 |- ( E. y ( ( y e. A /\ { y } e. T ) /\ u = { y } ) <-> E. y ( y e. A /\ ( { y } e. T /\ u = { y } ) ) )
61		exsimpr 1738	. . . . . . . . . 10 |- ( E. y ( y e. A /\ ( { y } e. T /\ u = { y } ) ) -> E. y ( { y } e. T /\ u = { y } ) )
62	60, 61	sylbi 200	. . . . . . . . 9 |- ( E. y ( ( y e. A /\ { y } e. T ) /\ u = { y } ) -> E. y ( { y } e. T /\ u = { y } ) )
63	58, 62	syl6bi 236	. . . . . . . 8 |- ( -. A e. Fin -> ( u e. { u | E. y e. A u = { y } } -> E. y ( { y } e. T /\ u = { y } ) ) )
64		ancom 457	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { y } e. T /\ u = { y } ) <-> ( u = { y } /\ { y } e. T ) )
65		eleq1 2537	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = { y } -> ( u e. T <-> { y } e. T ) )
66	65	pm5.32i 649	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u = { y } /\ u e. T ) <-> ( u = { y } /\ { y } e. T ) )
67	64, 66	bitr4i 260	. . . . . . . . 9 |- ( ( { y } e. T /\ u = { y } ) <-> ( u = { y } /\ u e. T ) )
68	67	exbii 1726	. . . . . . . 8 |- ( E. y ( { y } e. T /\ u = { y } ) <-> E. y ( u = { y } /\ u e. T ) )
69	63, 68	syl6ib 234	. . . . . . 7 |- ( -. A e. Fin -> ( u e. { u | E. y e. A u = { y } } -> E. y ( u = { y } /\ u e. T ) ) )
70		exsimpr 1738	. . . . . . 7 |- ( E. y ( u = { y } /\ u e. T ) -> E. y u e. T )
71	69, 70	syl6 33	. . . . . 6 |- ( -. A e. Fin -> ( u e. { u | E. y e. A u = { y } } -> E. y u e. T ) )
72		ax5e 1768	. . . . . 6 |- ( E. y u e. T -> u e. T )
73	71, 72	syl6 33	. . . . 5 |- ( -. A e. Fin -> ( u e. { u | E. y e. A u = { y } } -> u e. T ) )
74	1, 2, 3, 73	ssrd 3423	. . . 4 |- ( -. A e. Fin -> { u | E. y e. A u = { y } } C_ T )
75		eqid 2471	. . . . 5 |- { u | E. y e. A u = { y } } = { u | E. y e. A u = { y } }
76	75	dissneq 31813	. . . 4 |- ( ( { u | E. y e. A u = { y } } C_ T /\ T e. (TopOn ` A ) ) -> T = ~P A )
77	74, 76	sylan 479	. . 3 |- ( ( -. A e. Fin /\ T e. (TopOn ` A ) ) -> T = ~P A )
78		nfielex 7818	. . . . 5 |- ( -. A e. Fin -> E. y y e. A )
79	78	adantr 472	. . . 4 |- ( ( -. A e. Fin /\ T e. (TopOn ` A ) ) -> E. y y e. A )
80		difss 3549	. . . . . . 7 |- ( A \ { y } ) C_ A
81		elfvex 5906	. . . . . . . 8 |- ( T e. (TopOn ` A ) -> A e. _V )
82		difexg 4545	. . . . . . . 8 |- ( A e. _V -> ( A \ { y } ) e. _V )
83		elpwg 3950	. . . . . . . 8 |- ( ( A \ { y } ) e. _V -> ( ( A \ { y } ) e. ~P A <-> ( A \ { y } ) C_ A ) )
84	81, 82, 83	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( T e. (TopOn ` A ) -> ( ( A \ { y } ) e. ~P A <-> ( A \ { y } ) C_ A ) )
85	80, 84	mpbiri 241	. . . . . 6 |- ( T e. (TopOn ` A ) -> ( A \ { y } ) e. ~P A )
86	85	adantl 473	. . . . 5 |- ( ( -. A e. Fin /\ T e. (TopOn ` A ) ) -> ( A \ { y } ) e. ~P A )
87		difinf 7859	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. A e. Fin /\ { y } e. Fin ) -> -. ( A \ { y } ) e. Fin )
88	17, 87	mpan2 685	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. A e. Fin -> -. ( A \ { y } ) e. Fin )
89		0fin 7817	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. Fin
90		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A \ { y } ) = (/) -> ( ( A \ { y } ) e. Fin <-> (/) e. Fin ) )
91	89, 90	mpbiri 241	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A \ { y } ) = (/) -> ( A \ { y } ) e. Fin )
92	88, 91	nsyl 125	. . . . . . . . . 10 |- ( -. A e. Fin -> -. ( A \ { y } ) = (/) )
93	92	ad2antrl 742	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. A /\ ( -. A e. Fin /\ T e. (TopOn ` A ) ) ) -> -. ( A \ { y } ) = (/) )
94		ssnid 3989	. . . . . . . . . . . . . 14 |- y e. { y }
95		inelcm 3823	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. A /\ y e. { y } ) -> ( A i^i { y } ) =/= (/) )
96	94, 95	mpan2 685	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. A -> ( A i^i { y } ) =/= (/) )
97		disj4 3817	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A i^i { y } ) = (/) <-> -. ( A \ { y } ) C. A )
98	97	necon2abii 2693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A \ { y } ) C. A <-> ( A i^i { y } ) =/= (/) )
99	96, 98	sylibr 217	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. A -> ( A \ { y } ) C. A )
100	99	pssned 3517	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. A -> ( A \ { y } ) =/= A )
101	100	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. A /\ ( -. A e. Fin /\ T e. (TopOn ` A ) ) ) -> ( A \ { y } ) =/= A )
102	101	neneqd 2648	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. A /\ ( -. A e. Fin /\ T e. (TopOn ` A ) ) ) -> -. ( A \ { y } ) = A )
103	93, 102	jca 541	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. A /\ ( -. A e. Fin /\ T e. (TopOn ` A ) ) ) -> ( -. ( A \ { y } ) = (/) /\ -. ( A \ { y } ) = A ) )
104		pm4.56 503	. . . . . . . 8 |- ( ( -. ( A \ { y } ) = (/) /\ -. ( A \ { y } ) = A ) <-> -. ( ( A \ { y } ) = (/) \/ ( A \ { y } ) = A ) )
105	103, 104	sylib 201	. . . . . . 7 |- ( ( y e. A /\ ( -. A e. Fin /\ T e. (TopOn ` A ) ) ) -> -. ( ( A \ { y } ) = (/) \/ ( A \ { y } ) = A ) )
106	85	biantrurd 516	. . . . . . . . . 10 |- ( T e. (TopOn ` A ) -> ( ( -. ( A \ ( A \ { y } ) ) e. Fin \/ ( ( A \ { y } ) = (/) \/ ( A \ { y } ) = A ) ) <-> ( ( A \ { y } ) e. ~P A /\ ( -. ( A \ ( A \ { y } ) ) e. Fin \/ ( ( A \ { y } ) = (/) \/ ( A \ { y } ) = A ) ) ) ) )
107		difeq2 3534	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( A \ { y } ) -> ( A \ x ) = ( A \ ( A \ { y } ) ) )
108	107	eleq1d 2533	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( A \ { y } ) -> ( ( A \ x ) e. Fin <-> ( A \ ( A \ { y } ) ) e. Fin ) )
109	108	notbid 301	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( A \ { y } ) -> ( -. ( A \ x ) e. Fin <-> -. ( A \ ( A \ { y } ) ) e. Fin ) )
110		eqeq1 2475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( A \ { y } ) -> ( x = (/) <-> ( A \ { y } ) = (/) ) )
111		eqeq1 2475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( A \ { y } ) -> ( x = A <-> ( A \ { y } ) = A ) )
112	110, 111	orbi12d 724	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( A \ { y } ) -> ( ( x = (/) \/ x = A ) <-> ( ( A \ { y } ) = (/) \/ ( A \ { y } ) = A ) ) )
113	109, 112	orbi12d 724	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( A \ { y } ) -> ( ( -. ( A \ x ) e. Fin \/ ( x = (/) \/ x = A ) ) <-> ( -. ( A \ ( A \ { y } ) ) e. Fin \/ ( ( A \ { y } ) = (/) \/ ( A \ { y } ) = A ) ) ) )
114	113, 27	elrab2 3186	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A \ { y } ) e. T <-> ( ( A \ { y } ) e. ~P A /\ ( -. ( A \ ( A \ { y } ) ) e. Fin \/ ( ( A \ { y } ) = (/) \/ ( A \ { y } ) = A ) ) ) )
115	106, 114	syl6rbbr 272	. . . . . . . . 9 |- ( T e. (TopOn ` A ) -> ( ( A \ { y } ) e. T <-> ( -. ( A \ ( A \ { y } ) ) e. Fin \/ ( ( A \ { y } ) = (/) \/ ( A \ { y } ) = A ) ) ) )
116		dfin4 3674	. . . . . . . . . . 11 |- ( A i^i { y } ) = ( A \ ( A \ { y } ) )
117		inss2 3644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A i^i { y } ) C_ { y }
118		ssfi 7810	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { y } e. Fin /\ ( A i^i { y } ) C_ { y } ) -> ( A i^i { y } ) e. Fin )
119	17, 117, 118	mp2an 686	. . . . . . . . . . 11 |- ( A i^i { y } ) e. Fin
120	116, 119	eqeltrri 2546	. . . . . . . . . 10 |- ( A \ ( A \ { y } ) ) e. Fin
121		biortn 413	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A \ ( A \ { y } ) ) e. Fin -> ( ( ( A \ { y } ) = (/) \/ ( A \ { y } ) = A ) <-> ( -. ( A \ ( A \ { y } ) ) e. Fin \/ ( ( A \ { y } ) = (/) \/ ( A \ { y } ) = A ) ) ) )
122	120, 121	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A \ { y } ) = (/) \/ ( A \ { y } ) = A ) <-> ( -. ( A \ ( A \ { y } ) ) e. Fin \/ ( ( A \ { y } ) = (/) \/ ( A \ { y } ) = A ) ) )
123	115, 122	syl6bbr 271	. . . . . . . 8 |- ( T e. (TopOn ` A ) -> ( ( A \ { y } ) e. T <-> ( ( A \ { y } ) = (/) \/ ( A \ { y } ) = A ) ) )
124	123	ad2antll 743	. . . . . . 7 |- ( ( y e. A /\ ( -. A e. Fin /\ T e. (TopOn ` A ) ) ) -> ( ( A \ { y } ) e. T <-> ( ( A \ { y } ) = (/) \/ ( A \ { y } ) = A ) ) )
125	105, 124	mtbird 308	. . . . . 6 |- ( ( y e. A /\ ( -. A e. Fin /\ T e. (TopOn ` A ) ) ) -> -. ( A \ { y } ) e. T )
126	125	expcom 442	. . . . 5 |- ( ( -. A e. Fin /\ T e. (TopOn ` A ) ) -> ( y e. A -> -. ( A \ { y } ) e. T ) )
127		nelneq2 2574	. . . . . 6 |- ( ( ( A \ { y } ) e. ~P A /\ -. ( A \ { y } ) e. T ) -> -. ~P A = T )
128		eqcom 2478	. . . . . 6 |- ( T = ~P A <-> ~P A = T )
129	127, 128	sylnibr 312	. . . . 5 |- ( ( ( A \ { y } ) e. ~P A /\ -. ( A \ { y } ) e. T ) -> -. T = ~P A )
130	86, 126, 129	syl6an 554	. . . 4 |- ( ( -. A e. Fin /\ T e. (TopOn ` A ) ) -> ( y e. A -> -. T = ~P A ) )
131	79, 130	exellimddv 31818	. . 3 |- ( ( -. A e. Fin /\ T e. (TopOn ` A ) ) -> -. T = ~P A )
132	77, 131	pm2.65da 586	. 2 |- ( -. A e. Fin -> -. T e. (TopOn ` A ) )
133	132	con4i 135	1 |- ( T e. (TopOn ` A ) -> A e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   \/ wo 375   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   E.wex 1671   e. wcel 1904   {cab 2457   =/= wne 2641   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031   [.wsbc 3255   \ cdif 3387   i^i cin 3389   C_ wss 3390   C. wpss 3391   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   {csn 3959   ` cfv 5589   Fincfn 7587  TopOnctopon 19995

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-fin 7591  df-topgen 15420  df-top 19998  df-topon 20000

This theorem is referenced by:  topdifinffin  31821