Theorem topdifinffinlem 31525

Description: This is the core of the proof of topdifinffin 31526, but to avoid the distinct variables on the definition, we need to split this proof into two. (Contributed by ML, 17-Jul-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
topdifinf.t	|- T = { x e. ~P A | ( -. ( A \ x ) e. Fin \/ ( x = (/) \/ x = A ) ) }

Assertion

Ref	Expression
topdifinffinlem	|- ( T e. (TopOn ` A ) -> A e. Fin )

Distinct variable groups:   x, A   x, T

Proof of Theorem topdifinffinlem

Dummy variables u y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1751	. . . . 5 |- F/ u -. A e. Fin
2		nfab1 2584	. . . . 5 |- F/_ u { u | E. y e. A u = { y } }
3		nfcv 2582	. . . . 5 |- F/_ u T
4		abid 2407	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. { u | E. y e. A u = { y } } <-> E. y e. A u = { y } )
5		df-rex 2779	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y e. A u = { y } <-> E. y ( y e. A /\ u = { y } ) )
6	4, 5	bitri 252	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. { u | E. y e. A u = { y } } <-> E. y ( y e. A /\ u = { y } ) )
7		eqid 2420	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { y } = { y }
8		snex 4654	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- { y } e. _V
9		snelpwi 4658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( y e. A -> { y } e. ~P A )
10		eleq1 2492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( x = { y } -> ( x e. ~P A <-> { y } e. ~P A ) )
11	9, 10	syl5ibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( x = { y } -> ( y e. A -> x e. ~P A ) )
12	11	imdistani 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( x = { y } /\ y e. A ) -> ( x = { y } /\ x e. ~P A ) )
13	12	anim2i 571	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( -. A e. Fin /\ ( x = { y } /\ y e. A ) ) -> ( -. A e. Fin /\ ( x = { y } /\ x e. ~P A ) ) )
14	13	3impb 1201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) -> ( -. A e. Fin /\ ( x = { y } /\ x e. ~P A ) ) )
15		3anass 986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ x e. ~P A ) <-> ( -. A e. Fin /\ ( x = { y } /\ x e. ~P A ) ) )
16	14, 15	sylibr 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) -> ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ x e. ~P A ) )
17		snfi 7648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- { y } e. Fin
18		eleq1 2492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( x = { y } -> ( x e. Fin <-> { y } e. Fin ) )
19	17, 18	mpbiri 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( x = { y } -> x e. Fin )
20		difinf 7838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( -. A e. Fin /\ x e. Fin ) -> -. ( A \ x ) e. Fin )
21	19, 20	sylan2 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( -. A e. Fin /\ x = { y } ) -> -. ( A \ x ) e. Fin )
22	21	orcd 393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( -. A e. Fin /\ x = { y } ) -> ( -. ( A \ x ) e. Fin \/ ( x = (/) \/ x = A ) ) )
23	22	anim2i 571	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( x e. ~P A /\ ( -. A e. Fin /\ x = { y } ) ) -> ( x e. ~P A /\ ( -. ( A \ x ) e. Fin \/ ( x = (/) \/ x = A ) ) ) )
24	23	ancoms 454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( -. A e. Fin /\ x = { y } ) /\ x e. ~P A ) -> ( x e. ~P A /\ ( -. ( A \ x ) e. Fin \/ ( x = (/) \/ x = A ) ) ) )
25	24	3impa 1200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ x e. ~P A ) -> ( x e. ~P A /\ ( -. ( A \ x ) e. Fin \/ ( x = (/) \/ x = A ) ) ) )
26	16, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) -> ( x e. ~P A /\ ( -. ( A \ x ) e. Fin \/ ( x = (/) \/ x = A ) ) ) )
27		topdifinf.t	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- T = { x e. ~P A | ( -. ( A \ x ) e. Fin \/ ( x = (/) \/ x = A ) ) }
28	27	rabeq2i 3075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. T <-> ( x e. ~P A /\ ( -. ( A \ x ) e. Fin \/ ( x = (/) \/ x = A ) ) ) )
29	26, 28	sylibr 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) -> x e. T )
30		eleq1 2492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = { y } -> ( x e. T <-> { y } e. T ) )
31	30	3ad2ant2 1027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) -> ( x e. T <-> { y } e. T ) )
32	29, 31	mpbid 213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) -> { y } e. T )
33	32	sbcth 3311	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( { y } e. _V -> [. { y } / x ]. ( ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) -> { y } e. T ) )
34	8, 33	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- [. { y } / x ]. ( ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) -> { y } e. T )
35		sbcimg 3338	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( { y } e. _V -> ( [. { y } / x ]. ( ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) -> { y } e. T ) <-> ( [. { y } / x ]. ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) -> [. { y } / x ]. { y } e. T ) ) )
36	8, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( [. { y } / x ]. ( ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) -> { y } e. T ) <-> ( [. { y } / x ]. ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) -> [. { y } / x ]. { y } e. T ) )
37	34, 36	mpbi 211	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( [. { y } / x ]. ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) -> [. { y } / x ]. { y } e. T )
38		sbc3an 3354	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( [. { y } / x ]. ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) <-> ( [. { y } / x ]. -. A e. Fin /\ [. { y } / x ]. x = { y } /\ [. { y } / x ]. y e. A ) )
39		sbcg 3362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( { y } e. _V -> ( [. { y } / x ]. -. A e. Fin <-> -. A e. Fin ) )
40	8, 39	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( [. { y } / x ]. -. A e. Fin <-> -. A e. Fin )
41	40	3anbi1i 1196	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( [. { y } / x ]. -. A e. Fin /\ [. { y } / x ]. x = { y } /\ [. { y } / x ]. y e. A ) <-> ( -. A e. Fin /\ [. { y } / x ]. x = { y } /\ [. { y } / x ]. y e. A ) )
42		eqsbc3 3336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( { y } e. _V -> ( [. { y } / x ]. x = { y } <-> { y } = { y } ) )
43	8, 42	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( [. { y } / x ]. x = { y } <-> { y } = { y } )
44	43	3anbi2i 1197	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( -. A e. Fin /\ [. { y } / x ]. x = { y } /\ [. { y } / x ]. y e. A ) <-> ( -. A e. Fin /\ { y } = { y } /\ [. { y } / x ]. y e. A ) )
45	38, 41, 44	3bitri 274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( [. { y } / x ]. ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) <-> ( -. A e. Fin /\ { y } = { y } /\ [. { y } / x ]. y e. A ) )
46		sbcg 3362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( { y } e. _V -> ( [. { y } / x ]. y e. A <-> y e. A ) )
47	8, 46	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( [. { y } / x ]. y e. A <-> y e. A )
48	47	3anbi3i 1198	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( -. A e. Fin /\ { y } = { y } /\ [. { y } / x ]. y e. A ) <-> ( -. A e. Fin /\ { y } = { y } /\ y e. A ) )
49	45, 48	bitri 252	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( [. { y } / x ]. ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) <-> ( -. A e. Fin /\ { y } = { y } /\ y e. A ) )
50		sbcg 3362	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( { y } e. _V -> ( [. { y } / x ]. { y } e. T <-> { y } e. T ) )
51	8, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( [. { y } / x ]. { y } e. T <-> { y } e. T )
52	37, 49, 51	3imtr3i 268	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -. A e. Fin /\ { y } = { y } /\ y e. A ) -> { y } e. T )
53	7, 52	mp3an2 1348	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -. A e. Fin /\ y e. A ) -> { y } e. T )
54	53	ex 435	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. A e. Fin -> ( y e. A -> { y } e. T ) )
55	54	pm4.71d 638	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. A e. Fin -> ( y e. A <-> ( y e. A /\ { y } e. T ) ) )
56	55	anbi1d 709	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. A e. Fin -> ( ( y e. A /\ u = { y } ) <-> ( ( y e. A /\ { y } e. T ) /\ u = { y } ) ) )
57	56	exbidv 1758	. . . . . . . . . 10 |- ( -. A e. Fin -> ( E. y ( y e. A /\ u = { y } ) <-> E. y ( ( y e. A /\ { y } e. T ) /\ u = { y } ) ) )
58	6, 57	syl5bb 260	. . . . . . . . 9 |- ( -. A e. Fin -> ( u e. { u | E. y e. A u = { y } } <-> E. y ( ( y e. A /\ { y } e. T ) /\ u = { y } ) ) )
59		anass 653	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. A /\ { y } e. T ) /\ u = { y } ) <-> ( y e. A /\ ( { y } e. T /\ u = { y } ) ) )
60	59	exbii 1712	. . . . . . . . . 10 |- ( E. y ( ( y e. A /\ { y } e. T ) /\ u = { y } ) <-> E. y ( y e. A /\ ( { y } e. T /\ u = { y } ) ) )
61		exsimpr 1723	. . . . . . . . . 10 |- ( E. y ( y e. A /\ ( { y } e. T /\ u = { y } ) ) -> E. y ( { y } e. T /\ u = { y } ) )
62	60, 61	sylbi 198	. . . . . . . . 9 |- ( E. y ( ( y e. A /\ { y } e. T ) /\ u = { y } ) -> E. y ( { y } e. T /\ u = { y } ) )
63	58, 62	syl6bi 231	. . . . . . . 8 |- ( -. A e. Fin -> ( u e. { u | E. y e. A u = { y } } -> E. y ( { y } e. T /\ u = { y } ) ) )
64		ancom 451	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { y } e. T /\ u = { y } ) <-> ( u = { y } /\ { y } e. T ) )
65		eleq1 2492	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = { y } -> ( u e. T <-> { y } e. T ) )
66	65	pm5.32i 641	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u = { y } /\ u e. T ) <-> ( u = { y } /\ { y } e. T ) )
67	64, 66	bitr4i 255	. . . . . . . . 9 |- ( ( { y } e. T /\ u = { y } ) <-> ( u = { y } /\ u e. T ) )
68	67	exbii 1712	. . . . . . . 8 |- ( E. y ( { y } e. T /\ u = { y } ) <-> E. y ( u = { y } /\ u e. T ) )
69	63, 68	syl6ib 229	. . . . . . 7 |- ( -. A e. Fin -> ( u e. { u | E. y e. A u = { y } } -> E. y ( u = { y } /\ u e. T ) ) )
70		exsimpr 1723	. . . . . . 7 |- ( E. y ( u = { y } /\ u e. T ) -> E. y u e. T )
71	69, 70	syl6 34	. . . . . 6 |- ( -. A e. Fin -> ( u e. { u | E. y e. A u = { y } } -> E. y u e. T ) )
72		ax5e 1750	. . . . . 6 |- ( E. y u e. T -> u e. T )
73	71, 72	syl6 34	. . . . 5 |- ( -. A e. Fin -> ( u e. { u | E. y e. A u = { y } } -> u e. T ) )
74	1, 2, 3, 73	ssrd 3466	. . . 4 |- ( -. A e. Fin -> { u | E. y e. A u = { y } } C_ T )
75		eqid 2420	. . . . 5 |- { u | E. y e. A u = { y } } = { u | E. y e. A u = { y } }
76	75	dissneq 31518	. . . 4 |- ( ( { u | E. y e. A u = { y } } C_ T /\ T e. (TopOn ` A ) ) -> T = ~P A )
77	74, 76	sylan 473	. . 3 |- ( ( -. A e. Fin /\ T e. (TopOn ` A ) ) -> T = ~P A )
78		nfielex 7797	. . . . 5 |- ( -. A e. Fin -> E. y y e. A )
79	78	adantr 466	. . . 4 |- ( ( -. A e. Fin /\ T e. (TopOn ` A ) ) -> E. y y e. A )
80		difss 3589	. . . . . . 7 |- ( A \ { y } ) C_ A
81		elfvex 5899	. . . . . . . 8 |- ( T e. (TopOn ` A ) -> A e. _V )
82		difexg 4564	. . . . . . . 8 |- ( A e. _V -> ( A \ { y } ) e. _V )
83		elpwg 3984	. . . . . . . 8 |- ( ( A \ { y } ) e. _V -> ( ( A \ { y } ) e. ~P A <-> ( A \ { y } ) C_ A ) )
84	81, 82, 83	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( T e. (TopOn ` A ) -> ( ( A \ { y } ) e. ~P A <-> ( A \ { y } ) C_ A ) )
85	80, 84	mpbiri 236	. . . . . 6 |- ( T e. (TopOn ` A ) -> ( A \ { y } ) e. ~P A )
86	85	adantl 467	. . . . 5 |- ( ( -. A e. Fin /\ T e. (TopOn ` A ) ) -> ( A \ { y } ) e. ~P A )
87		difinf 7838	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. A e. Fin /\ { y } e. Fin ) -> -. ( A \ { y } ) e. Fin )
88	17, 87	mpan2 675	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. A e. Fin -> -. ( A \ { y } ) e. Fin )
89		0fin 7796	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. Fin
90		eleq1 2492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A \ { y } ) = (/) -> ( ( A \ { y } ) e. Fin <-> (/) e. Fin ) )
91	89, 90	mpbiri 236	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A \ { y } ) = (/) -> ( A \ { y } ) e. Fin )
92	88, 91	nsyl 124	. . . . . . . . . 10 |- ( -. A e. Fin -> -. ( A \ { y } ) = (/) )
93	92	ad2antrl 732	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. A /\ ( -. A e. Fin /\ T e. (TopOn ` A ) ) ) -> -. ( A \ { y } ) = (/) )
94		ssnid 4022	. . . . . . . . . . . . . 14 |- y e. { y }
95		inelcm 3844	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. A /\ y e. { y } ) -> ( A i^i { y } ) =/= (/) )
96	94, 95	mpan2 675	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. A -> ( A i^i { y } ) =/= (/) )
97		disj4 3838	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A i^i { y } ) = (/) <-> -. ( A \ { y } ) C. A )
98	97	necon2abii 2688	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A \ { y } ) C. A <-> ( A i^i { y } ) =/= (/) )
99	96, 98	sylibr 215	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. A -> ( A \ { y } ) C. A )
100	99	pssned 3560	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. A -> ( A \ { y } ) =/= A )
101	100	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. A /\ ( -. A e. Fin /\ T e. (TopOn ` A ) ) ) -> ( A \ { y } ) =/= A )
102	101	neneqd 2623	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. A /\ ( -. A e. Fin /\ T e. (TopOn ` A ) ) ) -> -. ( A \ { y } ) = A )
103	93, 102	jca 534	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. A /\ ( -. A e. Fin /\ T e. (TopOn ` A ) ) ) -> ( -. ( A \ { y } ) = (/) /\ -. ( A \ { y } ) = A ) )
104		pm4.56 497	. . . . . . . 8 |- ( ( -. ( A \ { y } ) = (/) /\ -. ( A \ { y } ) = A ) <-> -. ( ( A \ { y } ) = (/) \/ ( A \ { y } ) = A ) )
105	103, 104	sylib 199	. . . . . . 7 |- ( ( y e. A /\ ( -. A e. Fin /\ T e. (TopOn ` A ) ) ) -> -. ( ( A \ { y } ) = (/) \/ ( A \ { y } ) = A ) )
106	85	biantrurd 510	. . . . . . . . . 10 |- ( T e. (TopOn ` A ) -> ( ( -. ( A \ ( A \ { y } ) ) e. Fin \/ ( ( A \ { y } ) = (/) \/ ( A \ { y } ) = A ) ) <-> ( ( A \ { y } ) e. ~P A /\ ( -. ( A \ ( A \ { y } ) ) e. Fin \/ ( ( A \ { y } ) = (/) \/ ( A \ { y } ) = A ) ) ) ) )
107		difeq2 3574	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( A \ { y } ) -> ( A \ x ) = ( A \ ( A \ { y } ) ) )
108	107	eleq1d 2489	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( A \ { y } ) -> ( ( A \ x ) e. Fin <-> ( A \ ( A \ { y } ) ) e. Fin ) )
109	108	notbid 295	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( A \ { y } ) -> ( -. ( A \ x ) e. Fin <-> -. ( A \ ( A \ { y } ) ) e. Fin ) )
110		eqeq1 2424	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( A \ { y } ) -> ( x = (/) <-> ( A \ { y } ) = (/) ) )
111		eqeq1 2424	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( A \ { y } ) -> ( x = A <-> ( A \ { y } ) = A ) )
112	110, 111	orbi12d 714	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( A \ { y } ) -> ( ( x = (/) \/ x = A ) <-> ( ( A \ { y } ) = (/) \/ ( A \ { y } ) = A ) ) )
113	109, 112	orbi12d 714	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( A \ { y } ) -> ( ( -. ( A \ x ) e. Fin \/ ( x = (/) \/ x = A ) ) <-> ( -. ( A \ ( A \ { y } ) ) e. Fin \/ ( ( A \ { y } ) = (/) \/ ( A \ { y } ) = A ) ) ) )
114	113, 27	elrab2 3228	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A \ { y } ) e. T <-> ( ( A \ { y } ) e. ~P A /\ ( -. ( A \ ( A \ { y } ) ) e. Fin \/ ( ( A \ { y } ) = (/) \/ ( A \ { y } ) = A ) ) ) )
115	106, 114	syl6rbbr 267	. . . . . . . . 9 |- ( T e. (TopOn ` A ) -> ( ( A \ { y } ) e. T <-> ( -. ( A \ ( A \ { y } ) ) e. Fin \/ ( ( A \ { y } ) = (/) \/ ( A \ { y } ) = A ) ) ) )
116		dfin4 3710	. . . . . . . . . . 11 |- ( A i^i { y } ) = ( A \ ( A \ { y } ) )
117		inss2 3680	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A i^i { y } ) C_ { y }
118		ssfi 7789	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { y } e. Fin /\ ( A i^i { y } ) C_ { y } ) -> ( A i^i { y } ) e. Fin )
119	17, 117, 118	mp2an 676	. . . . . . . . . . 11 |- ( A i^i { y } ) e. Fin
120	116, 119	eqeltrri 2505	. . . . . . . . . 10 |- ( A \ ( A \ { y } ) ) e. Fin
121		biortn 407	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A \ ( A \ { y } ) ) e. Fin -> ( ( ( A \ { y } ) = (/) \/ ( A \ { y } ) = A ) <-> ( -. ( A \ ( A \ { y } ) ) e. Fin \/ ( ( A \ { y } ) = (/) \/ ( A \ { y } ) = A ) ) ) )
122	120, 121	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A \ { y } ) = (/) \/ ( A \ { y } ) = A ) <-> ( -. ( A \ ( A \ { y } ) ) e. Fin \/ ( ( A \ { y } ) = (/) \/ ( A \ { y } ) = A ) ) )
123	115, 122	syl6bbr 266	. . . . . . . 8 |- ( T e. (TopOn ` A ) -> ( ( A \ { y } ) e. T <-> ( ( A \ { y } ) = (/) \/ ( A \ { y } ) = A ) ) )
124	123	ad2antll 733	. . . . . . 7 |- ( ( y e. A /\ ( -. A e. Fin /\ T e. (TopOn ` A ) ) ) -> ( ( A \ { y } ) e. T <-> ( ( A \ { y } ) = (/) \/ ( A \ { y } ) = A ) ) )
125	105, 124	mtbird 302	. . . . . 6 |- ( ( y e. A /\ ( -. A e. Fin /\ T e. (TopOn ` A ) ) ) -> -. ( A \ { y } ) e. T )
126	125	expcom 436	. . . . 5 |- ( ( -. A e. Fin /\ T e. (TopOn ` A ) ) -> ( y e. A -> -. ( A \ { y } ) e. T ) )
127		nelneq2 2538	. . . . . 6 |- ( ( ( A \ { y } ) e. ~P A /\ -. ( A \ { y } ) e. T ) -> -. ~P A = T )
128		eqcom 2429	. . . . . 6 |- ( T = ~P A <-> ~P A = T )
129	127, 128	sylnibr 306	. . . . 5 |- ( ( ( A \ { y } ) e. ~P A /\ -. ( A \ { y } ) e. T ) -> -. T = ~P A )
130	86, 126, 129	syl6an 547	. . . 4 |- ( ( -. A e. Fin /\ T e. (TopOn ` A ) ) -> ( y e. A -> -. T = ~P A ) )
131	79, 130	exellimddv 31523	. . 3 |- ( ( -. A e. Fin /\ T e. (TopOn ` A ) ) -> -. T = ~P A )
132	77, 131	pm2.65da 578	. 2 |- ( -. A e. Fin -> -. T e. (TopOn ` A ) )
133	132	con4i 133	1 |- ( T e. (TopOn ` A ) -> A e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   \/ wo 369   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   E.wex 1659   e. wcel 1867   {cab 2405   =/= wne 2616   E.wrex 2774   {crab 2777   _Vcvv 3078   [.wsbc 3296   \ cdif 3430   i^i cin 3432   C_ wss 3433   C. wpss 3434   (/)c0 3758   ~Pcpw 3976   {csn 3993   ` cfv 5592   Fincfn 7568  TopOnctopon 19855

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-er 7362  df-en 7569  df-fin 7572  df-topgen 15302  df-top 19858  df-topon 19860

This theorem is referenced by:  topdifinffin  31526