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Theorem topdifinffinlem 31525
Description: This is the core of the proof of topdifinffin 31526, but to avoid the distinct variables on the definition, we need to split this proof into two. (Contributed by ML, 17-Jul-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
topdifinf.t  |-  T  =  { x  e.  ~P A  |  ( -.  ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  ( x  =  (/)  \/  x  =  A ) ) }
Assertion
Ref Expression
topdifinffinlem  |-  ( T  e.  (TopOn `  A
)  ->  A  e.  Fin )
Distinct variable groups:    x, A    x, T

Proof of Theorem topdifinffinlem
Dummy variables  u  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1751 . . . . 5  |-  F/ u  -.  A  e.  Fin
2 nfab1 2584 . . . . 5  |-  F/_ u { u  |  E. y  e.  A  u  =  { y } }
3 nfcv 2582 . . . . 5  |-  F/_ u T
4 abid 2407 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  { u  |  E. y  e.  A  u  =  { y } }  <->  E. y  e.  A  u  =  { y } )
5 df-rex 2779 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  A  u  =  { y }  <->  E. y ( y  e.  A  /\  u  =  { y } ) )
64, 5bitri 252 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  { u  |  E. y  e.  A  u  =  { y } }  <->  E. y ( y  e.  A  /\  u  =  { y } ) )
7 eqid 2420 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { y }  =  { y }
8 snex 4654 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { y }  e.  _V
9 snelpwi 4658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y  e.  A  ->  { y }  e.  ~P A
)
10 eleq1 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( x  =  { y }  ->  ( x  e. 
~P A  <->  { y }  e.  ~P A
) )
119, 10syl5ibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  =  { y }  ->  ( y  e.  A  ->  x  e.  ~P A ) )
1211imdistani 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x  =  { y }  /\  y  e.  A )  ->  (
x  =  { y }  /\  x  e. 
~P A ) )
1312anim2i 571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  ( x  =  {
y }  /\  y  e.  A ) )  -> 
( -.  A  e. 
Fin  /\  ( x  =  { y }  /\  x  e.  ~P A
) ) )
14133impb 1201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  x  =  { y }  /\  y  e.  A )  ->  ( -.  A  e.  Fin  /\  ( x  =  {
y }  /\  x  e.  ~P A ) ) )
15 3anass 986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  x  =  { y }  /\  x  e. 
~P A )  <->  ( -.  A  e.  Fin  /\  (
x  =  { y }  /\  x  e. 
~P A ) ) )
1614, 15sylibr 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  x  =  { y }  /\  y  e.  A )  ->  ( -.  A  e.  Fin  /\  x  =  { y }  /\  x  e. 
~P A ) )
17 snfi 7648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  { y }  e.  Fin
18 eleq1 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( x  =  { y }  ->  ( x  e. 
Fin 
<->  { y }  e.  Fin ) )
1917, 18mpbiri 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( x  =  { y }  ->  x  e.  Fin )
20 difinf 7838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  x  e.  Fin )  ->  -.  ( A  \  x )  e.  Fin )
2119, 20sylan2 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  x  =  { y } )  ->  -.  ( A  \  x
)  e.  Fin )
2221orcd 393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  x  =  { y } )  ->  ( -.  ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  ( x  =  (/)  \/  x  =  A ) ) )
2322anim2i 571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  e.  ~P A  /\  ( -.  A  e. 
Fin  /\  x  =  { y } ) )  ->  ( x  e.  ~P A  /\  ( -.  ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  ( x  =  (/)  \/  x  =  A ) ) ) )
2423ancoms 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( -.  A  e. 
Fin  /\  x  =  { y } )  /\  x  e.  ~P A )  ->  (
x  e.  ~P A  /\  ( -.  ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  ( x  =  (/)  \/  x  =  A ) ) ) )
25243impa 1200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  x  =  { y }  /\  x  e. 
~P A )  -> 
( x  e.  ~P A  /\  ( -.  ( A  \  x )  e. 
Fin  \/  ( x  =  (/)  \/  x  =  A ) ) ) )
2616, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  x  =  { y }  /\  y  e.  A )  ->  (
x  e.  ~P A  /\  ( -.  ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  ( x  =  (/)  \/  x  =  A ) ) ) )
27 topdifinf.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  T  =  { x  e.  ~P A  |  ( -.  ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  ( x  =  (/)  \/  x  =  A ) ) }
2827rabeq2i 3075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  T  <->  ( x  e.  ~P A  /\  ( -.  ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  ( x  =  (/)  \/  x  =  A ) ) ) )
2926, 28sylibr 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  x  =  { y }  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  T )
30 eleq1 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  { y }  ->  ( x  e.  T  <->  { y }  e.  T ) )
31303ad2ant2 1027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  x  =  { y }  /\  y  e.  A )  ->  (
x  e.  T  <->  { y }  e.  T )
)
3229, 31mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  x  =  { y }  /\  y  e.  A )  ->  { y }  e.  T )
3332sbcth 3311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { y }  e.  _V  ->  [. { y }  /  x ]. (
( -.  A  e. 
Fin  /\  x  =  { y }  /\  y  e.  A )  ->  { y }  e.  T ) )
348, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  [. {
y }  /  x ]. ( ( -.  A  e.  Fin  /\  x  =  { y }  /\  y  e.  A )  ->  { y }  e.  T )
35 sbcimg 3338 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { y }  e.  _V  ->  ( [. { y }  /  x ]. ( ( -.  A  e.  Fin  /\  x  =  { y }  /\  y  e.  A )  ->  { y }  e.  T )  <->  ( [. { y }  /  x ]. ( -.  A  e.  Fin  /\  x  =  { y }  /\  y  e.  A )  ->  [. { y }  /  x ]. {
y }  e.  T
) ) )
368, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( [. { y }  /  x ]. ( ( -.  A  e.  Fin  /\  x  =  { y }  /\  y  e.  A
)  ->  { y }  e.  T )  <->  (
[. { y }  /  x ]. ( -.  A  e.  Fin  /\  x  =  { y }  /\  y  e.  A )  ->  [. {
y }  /  x ]. { y }  e.  T ) )
3734, 36mpbi 211 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( [. { y }  /  x ]. ( -.  A  e.  Fin  /\  x  =  { y }  /\  y  e.  A )  ->  [. { y }  /  x ]. {
y }  e.  T
)
38 sbc3an 3354 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( [. { y }  /  x ]. ( -.  A  e.  Fin  /\  x  =  { y }  /\  y  e.  A )  <->  (
[. { y }  /  x ].  -.  A  e.  Fin  /\  [. {
y }  /  x ]. x  =  {
y }  /\  [. {
y }  /  x ]. y  e.  A
) )
39 sbcg 3362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( { y }  e.  _V  ->  ( [. { y }  /  x ].  -.  A  e.  Fin  <->  -.  A  e.  Fin )
)
408, 39ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( [. { y }  /  x ].  -.  A  e. 
Fin 
<->  -.  A  e.  Fin )
41403anbi1i 1196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
[. { y }  /  x ].  -.  A  e.  Fin  /\  [. {
y }  /  x ]. x  =  {
y }  /\  [. {
y }  /  x ]. y  e.  A
)  <->  ( -.  A  e.  Fin  /\  [. {
y }  /  x ]. x  =  {
y }  /\  [. {
y }  /  x ]. y  e.  A
) )
42 eqsbc3 3336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( { y }  e.  _V  ->  ( [. { y }  /  x ]. x  =  { y } 
<->  { y }  =  { y } ) )
438, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( [. { y }  /  x ]. x  =  {
y }  <->  { y }  =  { y } )
44433anbi2i 1197 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\ 
[. { y }  /  x ]. x  =  { y }  /\  [. { y }  /  x ]. y  e.  A
)  <->  ( -.  A  e.  Fin  /\  { y }  =  { y }  /\  [. {
y }  /  x ]. y  e.  A
) )
4538, 41, 443bitri 274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( [. { y }  /  x ]. ( -.  A  e.  Fin  /\  x  =  { y }  /\  y  e.  A )  <->  ( -.  A  e.  Fin  /\ 
{ y }  =  { y }  /\  [. { y }  /  x ]. y  e.  A
) )
46 sbcg 3362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( { y }  e.  _V  ->  ( [. { y }  /  x ]. y  e.  A  <->  y  e.  A ) )
478, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( [. { y }  /  x ]. y  e.  A  <->  y  e.  A )
48473anbi3i 1198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\ 
{ y }  =  { y }  /\  [. { y }  /  x ]. y  e.  A
)  <->  ( -.  A  e.  Fin  /\  { y }  =  { y }  /\  y  e.  A ) )
4945, 48bitri 252 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( [. { y }  /  x ]. ( -.  A  e.  Fin  /\  x  =  { y }  /\  y  e.  A )  <->  ( -.  A  e.  Fin  /\ 
{ y }  =  { y }  /\  y  e.  A )
)
50 sbcg 3362 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { y }  e.  _V  ->  ( [. { y }  /  x ]. { y }  e.  T 
<->  { y }  e.  T ) )
518, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( [. { y }  /  x ]. { y }  e.  T  <->  { y }  e.  T )
5237, 49, 513imtr3i 268 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\ 
{ y }  =  { y }  /\  y  e.  A )  ->  { y }  e.  T )
537, 52mp3an2 1348 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  y  e.  A )  ->  { y }  e.  T )
5453ex 435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( y  e.  A  ->  { y }  e.  T ) )
5554pm4.71d 638 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( y  e.  A  <->  ( y  e.  A  /\  { y }  e.  T ) ) )
5655anbi1d 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( ( y  e.  A  /\  u  =  {
y } )  <->  ( (
y  e.  A  /\  { y }  e.  T
)  /\  u  =  { y } ) ) )
5756exbidv 1758 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( E. y ( y  e.  A  /\  u  =  { y } )  <->  E. y ( ( y  e.  A  /\  {
y }  e.  T
)  /\  u  =  { y } ) ) )
586, 57syl5bb 260 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( u  e.  { u  |  E. y  e.  A  u  =  { y } }  <->  E. y ( ( y  e.  A  /\  { y }  e.  T
)  /\  u  =  { y } ) ) )
59 anass 653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  { y }  e.  T )  /\  u  =  { y } )  <-> 
( y  e.  A  /\  ( { y }  e.  T  /\  u  =  { y } ) ) )
6059exbii 1712 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y ( ( y  e.  A  /\  {
y }  e.  T
)  /\  u  =  { y } )  <->  E. y ( y  e.  A  /\  ( { y }  e.  T  /\  u  =  {
y } ) ) )
61 exsimpr 1723 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y ( y  e.  A  /\  ( { y }  e.  T  /\  u  =  {
y } ) )  ->  E. y ( { y }  e.  T  /\  u  =  {
y } ) )
6260, 61sylbi 198 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y ( ( y  e.  A  /\  {
y }  e.  T
)  /\  u  =  { y } )  ->  E. y ( { y }  e.  T  /\  u  =  {
y } ) )
6358, 62syl6bi 231 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( u  e.  { u  |  E. y  e.  A  u  =  { y } }  ->  E. y
( { y }  e.  T  /\  u  =  { y } ) ) )
64 ancom 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { y }  e.  T  /\  u  =  {
y } )  <->  ( u  =  { y }  /\  { y }  e.  T
) )
65 eleq1 2492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  { y }  ->  ( u  e.  T  <->  { y }  e.  T ) )
6665pm5.32i 641 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  =  { y }  /\  u  e.  T )  <->  ( u  =  { y }  /\  { y }  e.  T
) )
6764, 66bitr4i 255 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { y }  e.  T  /\  u  =  {
y } )  <->  ( u  =  { y }  /\  u  e.  T )
)
6867exbii 1712 . . . . . . . 8  |-  ( E. y ( { y }  e.  T  /\  u  =  { y } )  <->  E. y
( u  =  {
y }  /\  u  e.  T ) )
6963, 68syl6ib 229 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( u  e.  { u  |  E. y  e.  A  u  =  { y } }  ->  E. y
( u  =  {
y }  /\  u  e.  T ) ) )
70 exsimpr 1723 . . . . . . 7  |-  ( E. y ( u  =  { y }  /\  u  e.  T )  ->  E. y  u  e.  T )
7169, 70syl6 34 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( u  e.  { u  |  E. y  e.  A  u  =  { y } }  ->  E. y  u  e.  T )
)
72 ax5e 1750 . . . . . 6  |-  ( E. y  u  e.  T  ->  u  e.  T )
7371, 72syl6 34 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( u  e.  { u  |  E. y  e.  A  u  =  { y } }  ->  u  e.  T ) )
741, 2, 3, 73ssrd 3466 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  { u  |  E. y  e.  A  u  =  { y } }  C_  T )
75 eqid 2420 . . . . 5  |-  { u  |  E. y  e.  A  u  =  { y } }  =  {
u  |  E. y  e.  A  u  =  { y } }
7675dissneq 31518 . . . 4  |-  ( ( { u  |  E. y  e.  A  u  =  { y } }  C_  T  /\  T  e.  (TopOn `  A )
)  ->  T  =  ~P A )
7774, 76sylan 473 . . 3  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  T  e.  (TopOn `  A ) )  ->  T  =  ~P A
)
78 nfielex 7797 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  E. y  y  e.  A
)
7978adantr 466 . . . 4  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  T  e.  (TopOn `  A ) )  ->  E. y  y  e.  A )
80 difss 3589 . . . . . . 7  |-  ( A 
\  { y } )  C_  A
81 elfvex 5899 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  (TopOn `  A
)  ->  A  e.  _V )
82 difexg 4564 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  \  { y } )  e.  _V )
83 elpwg 3984 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  \  { y } )  e.  _V  ->  ( ( A  \  { y } )  e.  ~P A  <->  ( A  \  { y } ) 
C_  A ) )
8481, 82, 833syl 18 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  (TopOn `  A
)  ->  ( ( A  \  { y } )  e.  ~P A  <->  ( A  \  { y } )  C_  A
) )
8580, 84mpbiri 236 . . . . . 6  |-  ( T  e.  (TopOn `  A
)  ->  ( A  \  { y } )  e.  ~P A )
8685adantl 467 . . . . 5  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  T  e.  (TopOn `  A ) )  -> 
( A  \  {
y } )  e. 
~P A )
87 difinf 7838 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\ 
{ y }  e.  Fin )  ->  -.  ( A  \  { y } )  e.  Fin )
8817, 87mpan2 675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  -.  ( A  \  {
y } )  e. 
Fin )
89 0fin 7796 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  Fin
90 eleq1 2492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  \  { y } )  =  (/)  ->  ( ( A  \  { y } )  e.  Fin  <->  (/)  e.  Fin ) )
9189, 90mpbiri 236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  \  { y } )  =  (/)  ->  ( A  \  {
y } )  e. 
Fin )
9288, 91nsyl 124 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  -.  ( A  \  {
y } )  =  (/) )
9392ad2antrl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( -.  A  e.  Fin  /\  T  e.  (TopOn `  A ) ) )  ->  -.  ( A  \  { y } )  =  (/) )
94 ssnid 4022 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  y  e. 
{ y }
95 inelcm 3844 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  y  e.  { y } )  ->  ( A  i^i  { y } )  =/=  (/) )
9694, 95mpan2 675 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  A  ->  ( A  i^i  { y } )  =/=  (/) )
97 disj4 3838 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  i^i  { y } )  =  (/)  <->  -.  ( A  \  { y } )  C.  A
)
9897necon2abii 2688 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  \  { y } )  C.  A  <->  ( A  i^i  { y } )  =/=  (/) )
9996, 98sylibr 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  A  ->  ( A  \  { y } )  C.  A )
10099pssned 3560 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  A  ->  ( A  \  { y } )  =/=  A )
101100adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( -.  A  e.  Fin  /\  T  e.  (TopOn `  A ) ) )  ->  ( A  \  { y } )  =/=  A )
102101neneqd 2623 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( -.  A  e.  Fin  /\  T  e.  (TopOn `  A ) ) )  ->  -.  ( A  \  { y } )  =  A )
10393, 102jca 534 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( -.  A  e.  Fin  /\  T  e.  (TopOn `  A ) ) )  ->  ( -.  ( A  \  { y } )  =  (/)  /\  -.  ( A  \  { y } )  =  A ) )
104 pm4.56 497 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  ( A  \  { y } )  =  (/)  /\  -.  ( A  \  { y } )  =  A )  <->  -.  ( ( A  \  { y } )  =  (/)  \/  ( A  \  { y } )  =  A ) )
105103, 104sylib 199 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( -.  A  e.  Fin  /\  T  e.  (TopOn `  A ) ) )  ->  -.  ( ( A  \  { y } )  =  (/)  \/  ( A  \  { y } )  =  A ) )
10685biantrurd 510 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  (TopOn `  A
)  ->  ( ( -.  ( A  \  ( A  \  { y } ) )  e.  Fin  \/  ( ( A  \  { y } )  =  (/)  \/  ( A  \  { y } )  =  A ) )  <->  ( ( A 
\  { y } )  e.  ~P A  /\  ( -.  ( A 
\  ( A  \  { y } ) )  e.  Fin  \/  ( ( A  \  { y } )  =  (/)  \/  ( A  \  { y } )  =  A ) ) ) ) )
107 difeq2 3574 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( A  \  { y } )  ->  ( A  \  x )  =  ( A  \  ( A 
\  { y } ) ) )
108107eleq1d 2489 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( A  \  { y } )  ->  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin 
<->  ( A  \  ( A  \  { y } ) )  e.  Fin ) )
109108notbid 295 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( A  \  { y } )  ->  ( -.  ( A  \  x )  e. 
Fin 
<->  -.  ( A  \ 
( A  \  {
y } ) )  e.  Fin ) )
110 eqeq1 2424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( A  \  { y } )  ->  ( x  =  (/) 
<->  ( A  \  {
y } )  =  (/) ) )
111 eqeq1 2424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( A  \  { y } )  ->  ( x  =  A  <->  ( A  \  { y } )  =  A ) )
112110, 111orbi12d 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( A  \  { y } )  ->  ( ( x  =  (/)  \/  x  =  A )  <->  ( ( A  \  { y } )  =  (/)  \/  ( A  \  { y } )  =  A ) ) )
113109, 112orbi12d 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( A  \  { y } )  ->  ( ( -.  ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  ( x  =  (/)  \/  x  =  A ) )  <->  ( -.  ( A  \  ( A  \  { y } ) )  e.  Fin  \/  ( ( A  \  { y } )  =  (/)  \/  ( A  \  { y } )  =  A ) ) ) )
114113, 27elrab2 3228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  \  { y } )  e.  T  <->  ( ( A  \  {
y } )  e. 
~P A  /\  ( -.  ( A  \  ( A  \  { y } ) )  e.  Fin  \/  ( ( A  \  { y } )  =  (/)  \/  ( A  \  { y } )  =  A ) ) ) )
115106, 114syl6rbbr 267 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  (TopOn `  A
)  ->  ( ( A  \  { y } )  e.  T  <->  ( -.  ( A  \  ( A  \  { y } ) )  e.  Fin  \/  ( ( A  \  { y } )  =  (/)  \/  ( A  \  { y } )  =  A ) ) ) )
116 dfin4 3710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  i^i  { y } )  =  ( A 
\  ( A  \  { y } ) )
117 inss2 3680 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  i^i  { y } )  C_  { y }
118 ssfi 7789 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { y }  e.  Fin  /\  ( A  i^i  { y } )  C_  { y } )  -> 
( A  i^i  {
y } )  e. 
Fin )
11917, 117, 118mp2an 676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  i^i  { y } )  e.  Fin
120116, 119eqeltrri 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
\  ( A  \  { y } ) )  e.  Fin
121 biortn 407 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  \  ( A 
\  { y } ) )  e.  Fin  ->  ( ( ( A 
\  { y } )  =  (/)  \/  ( A  \  { y } )  =  A )  <-> 
( -.  ( A 
\  ( A  \  { y } ) )  e.  Fin  \/  ( ( A  \  { y } )  =  (/)  \/  ( A  \  { y } )  =  A ) ) ) )
122120, 121ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  \  {
y } )  =  (/)  \/  ( A  \  { y } )  =  A )  <->  ( -.  ( A  \  ( A  \  { y } ) )  e.  Fin  \/  ( ( A  \  { y } )  =  (/)  \/  ( A  \  { y } )  =  A ) ) )
123115, 122syl6bbr 266 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  (TopOn `  A
)  ->  ( ( A  \  { y } )  e.  T  <->  ( ( A  \  { y } )  =  (/)  \/  ( A  \  { y } )  =  A ) ) )
124123ad2antll 733 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( -.  A  e.  Fin  /\  T  e.  (TopOn `  A ) ) )  ->  ( ( A 
\  { y } )  e.  T  <->  ( ( A  \  { y } )  =  (/)  \/  ( A  \  { y } )  =  A ) ) )
125105, 124mtbird 302 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( -.  A  e.  Fin  /\  T  e.  (TopOn `  A ) ) )  ->  -.  ( A  \  { y } )  e.  T )
126125expcom 436 . . . . 5  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  T  e.  (TopOn `  A ) )  -> 
( y  e.  A  ->  -.  ( A  \  { y } )  e.  T ) )
127 nelneq2 2538 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  \  {
y } )  e. 
~P A  /\  -.  ( A  \  { y } )  e.  T
)  ->  -.  ~P A  =  T )
128 eqcom 2429 . . . . . 6  |-  ( T  =  ~P A  <->  ~P A  =  T )
129127, 128sylnibr 306 . . . . 5  |-  ( ( ( A  \  {
y } )  e. 
~P A  /\  -.  ( A  \  { y } )  e.  T
)  ->  -.  T  =  ~P A )
13086, 126, 129syl6an 547 . . . 4  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  T  e.  (TopOn `  A ) )  -> 
( y  e.  A  ->  -.  T  =  ~P A ) )
13179, 130exellimddv 31523 . . 3  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  T  e.  (TopOn `  A ) )  ->  -.  T  =  ~P A )
13277, 131pm2.65da 578 . 2  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  -.  T  e.  (TopOn `  A ) )
133132con4i 133 1  |-  ( T  e.  (TopOn `  A
)  ->  A  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1867   {cab 2405    =/= wne 2616   E.wrex 2774   {crab 2777   _Vcvv 3078   [.wsbc 3296    \ cdif 3430    i^i cin 3432    C_ wss 3433    C. wpss 3434   (/)c0 3758   ~Pcpw 3976   {csn 3993   ` cfv 5592   Fincfn 7568  TopOnctopon 19855
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-er 7362  df-en 7569  df-fin 7572  df-topgen 15302  df-top 19858  df-topon 19860
This theorem is referenced by:  topdifinffin  31526
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