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Theorem topdifinffinlem 31820
Description: This is the core of the proof of topdifinffin 31821, but to avoid the distinct variables on the definition, we need to split this proof into two. (Contributed by ML, 17-Jul-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
topdifinf.t  |-  T  =  { x  e.  ~P A  |  ( -.  ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  ( x  =  (/)  \/  x  =  A ) ) }
Assertion
Ref Expression
topdifinffinlem  |-  ( T  e.  (TopOn `  A
)  ->  A  e.  Fin )
Distinct variable groups:    x, A    x, T

Proof of Theorem topdifinffinlem
Dummy variables  u  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1769 . . . . 5  |-  F/ u  -.  A  e.  Fin
2 nfab1 2614 . . . . 5  |-  F/_ u { u  |  E. y  e.  A  u  =  { y } }
3 nfcv 2612 . . . . 5  |-  F/_ u T
4 abid 2459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  { u  |  E. y  e.  A  u  =  { y } }  <->  E. y  e.  A  u  =  { y } )
5 df-rex 2762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  A  u  =  { y }  <->  E. y ( y  e.  A  /\  u  =  { y } ) )
64, 5bitri 257 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  { u  |  E. y  e.  A  u  =  { y } }  <->  E. y ( y  e.  A  /\  u  =  { y } ) )
7 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { y }  =  { y }
8 snex 4641 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { y }  e.  _V
9 snelpwi 4645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y  e.  A  ->  { y }  e.  ~P A
)
10 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( x  =  { y }  ->  ( x  e. 
~P A  <->  { y }  e.  ~P A
) )
119, 10syl5ibr 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  =  { y }  ->  ( y  e.  A  ->  x  e.  ~P A ) )
1211imdistani 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x  =  { y }  /\  y  e.  A )  ->  (
x  =  { y }  /\  x  e. 
~P A ) )
1312anim2i 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  ( x  =  {
y }  /\  y  e.  A ) )  -> 
( -.  A  e. 
Fin  /\  ( x  =  { y }  /\  x  e.  ~P A
) ) )
14133impb 1227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  x  =  { y }  /\  y  e.  A )  ->  ( -.  A  e.  Fin  /\  ( x  =  {
y }  /\  x  e.  ~P A ) ) )
15 3anass 1011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  x  =  { y }  /\  x  e. 
~P A )  <->  ( -.  A  e.  Fin  /\  (
x  =  { y }  /\  x  e. 
~P A ) ) )
1614, 15sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  x  =  { y }  /\  y  e.  A )  ->  ( -.  A  e.  Fin  /\  x  =  { y }  /\  x  e. 
~P A ) )
17 snfi 7668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  { y }  e.  Fin
18 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( x  =  { y }  ->  ( x  e. 
Fin 
<->  { y }  e.  Fin ) )
1917, 18mpbiri 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( x  =  { y }  ->  x  e.  Fin )
20 difinf 7859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  x  e.  Fin )  ->  -.  ( A  \  x )  e.  Fin )
2119, 20sylan2 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  x  =  { y } )  ->  -.  ( A  \  x
)  e.  Fin )
2221orcd 399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  x  =  { y } )  ->  ( -.  ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  ( x  =  (/)  \/  x  =  A ) ) )
2322anim2i 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  e.  ~P A  /\  ( -.  A  e. 
Fin  /\  x  =  { y } ) )  ->  ( x  e.  ~P A  /\  ( -.  ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  ( x  =  (/)  \/  x  =  A ) ) ) )
2423ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( -.  A  e. 
Fin  /\  x  =  { y } )  /\  x  e.  ~P A )  ->  (
x  e.  ~P A  /\  ( -.  ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  ( x  =  (/)  \/  x  =  A ) ) ) )
25243impa 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  x  =  { y }  /\  x  e. 
~P A )  -> 
( x  e.  ~P A  /\  ( -.  ( A  \  x )  e. 
Fin  \/  ( x  =  (/)  \/  x  =  A ) ) ) )
2616, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  x  =  { y }  /\  y  e.  A )  ->  (
x  e.  ~P A  /\  ( -.  ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  ( x  =  (/)  \/  x  =  A ) ) ) )
27 topdifinf.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  T  =  { x  e.  ~P A  |  ( -.  ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  ( x  =  (/)  \/  x  =  A ) ) }
2827rabeq2i 3028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  T  <->  ( x  e.  ~P A  /\  ( -.  ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  ( x  =  (/)  \/  x  =  A ) ) ) )
2926, 28sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  x  =  { y }  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  T )
30 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  { y }  ->  ( x  e.  T  <->  { y }  e.  T ) )
31303ad2ant2 1052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  x  =  { y }  /\  y  e.  A )  ->  (
x  e.  T  <->  { y }  e.  T )
)
3229, 31mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  x  =  { y }  /\  y  e.  A )  ->  { y }  e.  T )
3332sbcth 3270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { y }  e.  _V  ->  [. { y }  /  x ]. (
( -.  A  e. 
Fin  /\  x  =  { y }  /\  y  e.  A )  ->  { y }  e.  T ) )
348, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  [. {
y }  /  x ]. ( ( -.  A  e.  Fin  /\  x  =  { y }  /\  y  e.  A )  ->  { y }  e.  T )
35 sbcimg 3297 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { y }  e.  _V  ->  ( [. { y }  /  x ]. ( ( -.  A  e.  Fin  /\  x  =  { y }  /\  y  e.  A )  ->  { y }  e.  T )  <->  ( [. { y }  /  x ]. ( -.  A  e.  Fin  /\  x  =  { y }  /\  y  e.  A )  ->  [. { y }  /  x ]. {
y }  e.  T
) ) )
368, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( [. { y }  /  x ]. ( ( -.  A  e.  Fin  /\  x  =  { y }  /\  y  e.  A
)  ->  { y }  e.  T )  <->  (
[. { y }  /  x ]. ( -.  A  e.  Fin  /\  x  =  { y }  /\  y  e.  A )  ->  [. {
y }  /  x ]. { y }  e.  T ) )
3734, 36mpbi 213 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( [. { y }  /  x ]. ( -.  A  e.  Fin  /\  x  =  { y }  /\  y  e.  A )  ->  [. { y }  /  x ]. {
y }  e.  T
)
38 sbc3an 3313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( [. { y }  /  x ]. ( -.  A  e.  Fin  /\  x  =  { y }  /\  y  e.  A )  <->  (
[. { y }  /  x ].  -.  A  e.  Fin  /\  [. {
y }  /  x ]. x  =  {
y }  /\  [. {
y }  /  x ]. y  e.  A
) )
39 sbcg 3321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( { y }  e.  _V  ->  ( [. { y }  /  x ].  -.  A  e.  Fin  <->  -.  A  e.  Fin )
)
408, 39ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( [. { y }  /  x ].  -.  A  e. 
Fin 
<->  -.  A  e.  Fin )
41403anbi1i 1221 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
[. { y }  /  x ].  -.  A  e.  Fin  /\  [. {
y }  /  x ]. x  =  {
y }  /\  [. {
y }  /  x ]. y  e.  A
)  <->  ( -.  A  e.  Fin  /\  [. {
y }  /  x ]. x  =  {
y }  /\  [. {
y }  /  x ]. y  e.  A
) )
42 eqsbc3 3295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( { y }  e.  _V  ->  ( [. { y }  /  x ]. x  =  { y } 
<->  { y }  =  { y } ) )
438, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( [. { y }  /  x ]. x  =  {
y }  <->  { y }  =  { y } )
44433anbi2i 1222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\ 
[. { y }  /  x ]. x  =  { y }  /\  [. { y }  /  x ]. y  e.  A
)  <->  ( -.  A  e.  Fin  /\  { y }  =  { y }  /\  [. {
y }  /  x ]. y  e.  A
) )
4538, 41, 443bitri 279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( [. { y }  /  x ]. ( -.  A  e.  Fin  /\  x  =  { y }  /\  y  e.  A )  <->  ( -.  A  e.  Fin  /\ 
{ y }  =  { y }  /\  [. { y }  /  x ]. y  e.  A
) )
46 sbcg 3321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( { y }  e.  _V  ->  ( [. { y }  /  x ]. y  e.  A  <->  y  e.  A ) )
478, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( [. { y }  /  x ]. y  e.  A  <->  y  e.  A )
48473anbi3i 1223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\ 
{ y }  =  { y }  /\  [. { y }  /  x ]. y  e.  A
)  <->  ( -.  A  e.  Fin  /\  { y }  =  { y }  /\  y  e.  A ) )
4945, 48bitri 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( [. { y }  /  x ]. ( -.  A  e.  Fin  /\  x  =  { y }  /\  y  e.  A )  <->  ( -.  A  e.  Fin  /\ 
{ y }  =  { y }  /\  y  e.  A )
)
50 sbcg 3321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { y }  e.  _V  ->  ( [. { y }  /  x ]. { y }  e.  T 
<->  { y }  e.  T ) )
518, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( [. { y }  /  x ]. { y }  e.  T  <->  { y }  e.  T )
5237, 49, 513imtr3i 273 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\ 
{ y }  =  { y }  /\  y  e.  A )  ->  { y }  e.  T )
537, 52mp3an2 1378 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  y  e.  A )  ->  { y }  e.  T )
5453ex 441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( y  e.  A  ->  { y }  e.  T ) )
5554pm4.71d 646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( y  e.  A  <->  ( y  e.  A  /\  { y }  e.  T ) ) )
5655anbi1d 719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( ( y  e.  A  /\  u  =  {
y } )  <->  ( (
y  e.  A  /\  { y }  e.  T
)  /\  u  =  { y } ) ) )
5756exbidv 1776 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( E. y ( y  e.  A  /\  u  =  { y } )  <->  E. y ( ( y  e.  A  /\  {
y }  e.  T
)  /\  u  =  { y } ) ) )
586, 57syl5bb 265 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( u  e.  { u  |  E. y  e.  A  u  =  { y } }  <->  E. y ( ( y  e.  A  /\  { y }  e.  T
)  /\  u  =  { y } ) ) )
59 anass 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  { y }  e.  T )  /\  u  =  { y } )  <-> 
( y  e.  A  /\  ( { y }  e.  T  /\  u  =  { y } ) ) )
6059exbii 1726 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y ( ( y  e.  A  /\  {
y }  e.  T
)  /\  u  =  { y } )  <->  E. y ( y  e.  A  /\  ( { y }  e.  T  /\  u  =  {
y } ) ) )
61 exsimpr 1738 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y ( y  e.  A  /\  ( { y }  e.  T  /\  u  =  {
y } ) )  ->  E. y ( { y }  e.  T  /\  u  =  {
y } ) )
6260, 61sylbi 200 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y ( ( y  e.  A  /\  {
y }  e.  T
)  /\  u  =  { y } )  ->  E. y ( { y }  e.  T  /\  u  =  {
y } ) )
6358, 62syl6bi 236 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( u  e.  { u  |  E. y  e.  A  u  =  { y } }  ->  E. y
( { y }  e.  T  /\  u  =  { y } ) ) )
64 ancom 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { y }  e.  T  /\  u  =  {
y } )  <->  ( u  =  { y }  /\  { y }  e.  T
) )
65 eleq1 2537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  { y }  ->  ( u  e.  T  <->  { y }  e.  T ) )
6665pm5.32i 649 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  =  { y }  /\  u  e.  T )  <->  ( u  =  { y }  /\  { y }  e.  T
) )
6764, 66bitr4i 260 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { y }  e.  T  /\  u  =  {
y } )  <->  ( u  =  { y }  /\  u  e.  T )
)
6867exbii 1726 . . . . . . . 8  |-  ( E. y ( { y }  e.  T  /\  u  =  { y } )  <->  E. y
( u  =  {
y }  /\  u  e.  T ) )
6963, 68syl6ib 234 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( u  e.  { u  |  E. y  e.  A  u  =  { y } }  ->  E. y
( u  =  {
y }  /\  u  e.  T ) ) )
70 exsimpr 1738 . . . . . . 7  |-  ( E. y ( u  =  { y }  /\  u  e.  T )  ->  E. y  u  e.  T )
7169, 70syl6 33 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( u  e.  { u  |  E. y  e.  A  u  =  { y } }  ->  E. y  u  e.  T )
)
72 ax5e 1768 . . . . . 6  |-  ( E. y  u  e.  T  ->  u  e.  T )
7371, 72syl6 33 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( u  e.  { u  |  E. y  e.  A  u  =  { y } }  ->  u  e.  T ) )
741, 2, 3, 73ssrd 3423 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  { u  |  E. y  e.  A  u  =  { y } }  C_  T )
75 eqid 2471 . . . . 5  |-  { u  |  E. y  e.  A  u  =  { y } }  =  {
u  |  E. y  e.  A  u  =  { y } }
7675dissneq 31813 . . . 4  |-  ( ( { u  |  E. y  e.  A  u  =  { y } }  C_  T  /\  T  e.  (TopOn `  A )
)  ->  T  =  ~P A )
7774, 76sylan 479 . . 3  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  T  e.  (TopOn `  A ) )  ->  T  =  ~P A
)
78 nfielex 7818 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  E. y  y  e.  A
)
7978adantr 472 . . . 4  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  T  e.  (TopOn `  A ) )  ->  E. y  y  e.  A )
80 difss 3549 . . . . . . 7  |-  ( A 
\  { y } )  C_  A
81 elfvex 5906 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  (TopOn `  A
)  ->  A  e.  _V )
82 difexg 4545 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  \  { y } )  e.  _V )
83 elpwg 3950 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  \  { y } )  e.  _V  ->  ( ( A  \  { y } )  e.  ~P A  <->  ( A  \  { y } ) 
C_  A ) )
8481, 82, 833syl 18 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  (TopOn `  A
)  ->  ( ( A  \  { y } )  e.  ~P A  <->  ( A  \  { y } )  C_  A
) )
8580, 84mpbiri 241 . . . . . 6  |-  ( T  e.  (TopOn `  A
)  ->  ( A  \  { y } )  e.  ~P A )
8685adantl 473 . . . . 5  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  T  e.  (TopOn `  A ) )  -> 
( A  \  {
y } )  e. 
~P A )
87 difinf 7859 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\ 
{ y }  e.  Fin )  ->  -.  ( A  \  { y } )  e.  Fin )
8817, 87mpan2 685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  -.  ( A  \  {
y } )  e. 
Fin )
89 0fin 7817 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  Fin
90 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  \  { y } )  =  (/)  ->  ( ( A  \  { y } )  e.  Fin  <->  (/)  e.  Fin ) )
9189, 90mpbiri 241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  \  { y } )  =  (/)  ->  ( A  \  {
y } )  e. 
Fin )
9288, 91nsyl 125 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  -.  ( A  \  {
y } )  =  (/) )
9392ad2antrl 742 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( -.  A  e.  Fin  /\  T  e.  (TopOn `  A ) ) )  ->  -.  ( A  \  { y } )  =  (/) )
94 ssnid 3989 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  y  e. 
{ y }
95 inelcm 3823 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  y  e.  { y } )  ->  ( A  i^i  { y } )  =/=  (/) )
9694, 95mpan2 685 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  A  ->  ( A  i^i  { y } )  =/=  (/) )
97 disj4 3817 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  i^i  { y } )  =  (/)  <->  -.  ( A  \  { y } )  C.  A
)
9897necon2abii 2693 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  \  { y } )  C.  A  <->  ( A  i^i  { y } )  =/=  (/) )
9996, 98sylibr 217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  A  ->  ( A  \  { y } )  C.  A )
10099pssned 3517 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  A  ->  ( A  \  { y } )  =/=  A )
101100adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( -.  A  e.  Fin  /\  T  e.  (TopOn `  A ) ) )  ->  ( A  \  { y } )  =/=  A )
102101neneqd 2648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( -.  A  e.  Fin  /\  T  e.  (TopOn `  A ) ) )  ->  -.  ( A  \  { y } )  =  A )
10393, 102jca 541 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( -.  A  e.  Fin  /\  T  e.  (TopOn `  A ) ) )  ->  ( -.  ( A  \  { y } )  =  (/)  /\  -.  ( A  \  { y } )  =  A ) )
104 pm4.56 503 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  ( A  \  { y } )  =  (/)  /\  -.  ( A  \  { y } )  =  A )  <->  -.  ( ( A  \  { y } )  =  (/)  \/  ( A  \  { y } )  =  A ) )
105103, 104sylib 201 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( -.  A  e.  Fin  /\  T  e.  (TopOn `  A ) ) )  ->  -.  ( ( A  \  { y } )  =  (/)  \/  ( A  \  { y } )  =  A ) )
10685biantrurd 516 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  (TopOn `  A
)  ->  ( ( -.  ( A  \  ( A  \  { y } ) )  e.  Fin  \/  ( ( A  \  { y } )  =  (/)  \/  ( A  \  { y } )  =  A ) )  <->  ( ( A 
\  { y } )  e.  ~P A  /\  ( -.  ( A 
\  ( A  \  { y } ) )  e.  Fin  \/  ( ( A  \  { y } )  =  (/)  \/  ( A  \  { y } )  =  A ) ) ) ) )
107 difeq2 3534 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( A  \  { y } )  ->  ( A  \  x )  =  ( A  \  ( A 
\  { y } ) ) )
108107eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( A  \  { y } )  ->  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin 
<->  ( A  \  ( A  \  { y } ) )  e.  Fin ) )
109108notbid 301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( A  \  { y } )  ->  ( -.  ( A  \  x )  e. 
Fin 
<->  -.  ( A  \ 
( A  \  {
y } ) )  e.  Fin ) )
110 eqeq1 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( A  \  { y } )  ->  ( x  =  (/) 
<->  ( A  \  {
y } )  =  (/) ) )
111 eqeq1 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( A  \  { y } )  ->  ( x  =  A  <->  ( A  \  { y } )  =  A ) )
112110, 111orbi12d 724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( A  \  { y } )  ->  ( ( x  =  (/)  \/  x  =  A )  <->  ( ( A  \  { y } )  =  (/)  \/  ( A  \  { y } )  =  A ) ) )
113109, 112orbi12d 724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( A  \  { y } )  ->  ( ( -.  ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  ( x  =  (/)  \/  x  =  A ) )  <->  ( -.  ( A  \  ( A  \  { y } ) )  e.  Fin  \/  ( ( A  \  { y } )  =  (/)  \/  ( A  \  { y } )  =  A ) ) ) )
114113, 27elrab2 3186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  \  { y } )  e.  T  <->  ( ( A  \  {
y } )  e. 
~P A  /\  ( -.  ( A  \  ( A  \  { y } ) )  e.  Fin  \/  ( ( A  \  { y } )  =  (/)  \/  ( A  \  { y } )  =  A ) ) ) )
115106, 114syl6rbbr 272 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  (TopOn `  A
)  ->  ( ( A  \  { y } )  e.  T  <->  ( -.  ( A  \  ( A  \  { y } ) )  e.  Fin  \/  ( ( A  \  { y } )  =  (/)  \/  ( A  \  { y } )  =  A ) ) ) )
116 dfin4 3674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  i^i  { y } )  =  ( A 
\  ( A  \  { y } ) )
117 inss2 3644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  i^i  { y } )  C_  { y }
118 ssfi 7810 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { y }  e.  Fin  /\  ( A  i^i  { y } )  C_  { y } )  -> 
( A  i^i  {
y } )  e. 
Fin )
11917, 117, 118mp2an 686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  i^i  { y } )  e.  Fin
120116, 119eqeltrri 2546 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
\  ( A  \  { y } ) )  e.  Fin
121 biortn 413 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  \  ( A 
\  { y } ) )  e.  Fin  ->  ( ( ( A 
\  { y } )  =  (/)  \/  ( A  \  { y } )  =  A )  <-> 
( -.  ( A 
\  ( A  \  { y } ) )  e.  Fin  \/  ( ( A  \  { y } )  =  (/)  \/  ( A  \  { y } )  =  A ) ) ) )
122120, 121ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  \  {
y } )  =  (/)  \/  ( A  \  { y } )  =  A )  <->  ( -.  ( A  \  ( A  \  { y } ) )  e.  Fin  \/  ( ( A  \  { y } )  =  (/)  \/  ( A  \  { y } )  =  A ) ) )
123115, 122syl6bbr 271 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  (TopOn `  A
)  ->  ( ( A  \  { y } )  e.  T  <->  ( ( A  \  { y } )  =  (/)  \/  ( A  \  { y } )  =  A ) ) )
124123ad2antll 743 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( -.  A  e.  Fin  /\  T  e.  (TopOn `  A ) ) )  ->  ( ( A 
\  { y } )  e.  T  <->  ( ( A  \  { y } )  =  (/)  \/  ( A  \  { y } )  =  A ) ) )
125105, 124mtbird 308 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  A  /\  ( -.  A  e.  Fin  /\  T  e.  (TopOn `  A ) ) )  ->  -.  ( A  \  { y } )  e.  T )
126125expcom 442 . . . . 5  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  T  e.  (TopOn `  A ) )  -> 
( y  e.  A  ->  -.  ( A  \  { y } )  e.  T ) )
127 nelneq2 2574 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  \  {
y } )  e. 
~P A  /\  -.  ( A  \  { y } )  e.  T
)  ->  -.  ~P A  =  T )
128 eqcom 2478 . . . . . 6  |-  ( T  =  ~P A  <->  ~P A  =  T )
129127, 128sylnibr 312 . . . . 5  |-  ( ( ( A  \  {
y } )  e. 
~P A  /\  -.  ( A  \  { y } )  e.  T
)  ->  -.  T  =  ~P A )
13086, 126, 129syl6an 554 . . . 4  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  T  e.  (TopOn `  A ) )  -> 
( y  e.  A  ->  -.  T  =  ~P A ) )
13179, 130exellimddv 31818 . . 3  |-  ( ( -.  A  e.  Fin  /\  T  e.  (TopOn `  A ) )  ->  -.  T  =  ~P A )
13277, 131pm2.65da 586 . 2  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  -.  T  e.  (TopOn `  A ) )
133132con4i 135 1  |-  ( T  e.  (TopOn `  A
)  ->  A  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904   {cab 2457    =/= wne 2641   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031   [.wsbc 3255    \ cdif 3387    i^i cin 3389    C_ wss 3390    C. wpss 3391   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   {csn 3959   ` cfv 5589   Fincfn 7587  TopOnctopon 19995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-fin 7591  df-topgen 15420  df-top 19998  df-topon 20000
This theorem is referenced by:  topdifinffin  31821
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