Theorem topdifinffinlem 31743

Description: This is the core of the proof of topdifinffin 31744, but to avoid the distinct variables on the definition, we need to split this proof into two. (Contributed by ML, 17-Jul-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
topdifinf.t	|- T = { x e. ~P A | ( -. ( A \ x ) e. Fin \/ ( x = (/) \/ x = A ) ) }

Assertion

Ref	Expression
topdifinffinlem	|- ( T e. (TopOn ` A ) -> A e. Fin )

Distinct variable groups:   x, A   x, T

Proof of Theorem topdifinffinlem

Dummy variables u y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1760	. . . . 5 |- F/ u -. A e. Fin
2		nfab1 2593	. . . . 5 |- F/_ u { u | E. y e. A u = { y } }
3		nfcv 2591	. . . . 5 |- F/_ u T
4		abid 2438	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. { u | E. y e. A u = { y } } <-> E. y e. A u = { y } )
5		df-rex 2742	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y e. A u = { y } <-> E. y ( y e. A /\ u = { y } ) )
6	4, 5	bitri 253	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. { u | E. y e. A u = { y } } <-> E. y ( y e. A /\ u = { y } ) )
7		eqid 2450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { y } = { y }
8		snex 4640	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- { y } e. _V
9		snelpwi 4644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( y e. A -> { y } e. ~P A )
10		eleq1 2516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( x = { y } -> ( x e. ~P A <-> { y } e. ~P A ) )
11	9, 10	syl5ibr 225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( x = { y } -> ( y e. A -> x e. ~P A ) )
12	11	imdistani 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( x = { y } /\ y e. A ) -> ( x = { y } /\ x e. ~P A ) )
13	12	anim2i 572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( -. A e. Fin /\ ( x = { y } /\ y e. A ) ) -> ( -. A e. Fin /\ ( x = { y } /\ x e. ~P A ) ) )
14	13	3impb 1203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) -> ( -. A e. Fin /\ ( x = { y } /\ x e. ~P A ) ) )
15		3anass 988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ x e. ~P A ) <-> ( -. A e. Fin /\ ( x = { y } /\ x e. ~P A ) ) )
16	14, 15	sylibr 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) -> ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ x e. ~P A ) )
17		snfi 7647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- { y } e. Fin
18		eleq1 2516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( x = { y } -> ( x e. Fin <-> { y } e. Fin ) )
19	17, 18	mpbiri 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( x = { y } -> x e. Fin )
20		difinf 7838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( -. A e. Fin /\ x e. Fin ) -> -. ( A \ x ) e. Fin )
21	19, 20	sylan2 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( -. A e. Fin /\ x = { y } ) -> -. ( A \ x ) e. Fin )
22	21	orcd 394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( -. A e. Fin /\ x = { y } ) -> ( -. ( A \ x ) e. Fin \/ ( x = (/) \/ x = A ) ) )
23	22	anim2i 572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( x e. ~P A /\ ( -. A e. Fin /\ x = { y } ) ) -> ( x e. ~P A /\ ( -. ( A \ x ) e. Fin \/ ( x = (/) \/ x = A ) ) ) )
24	23	ancoms 455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( -. A e. Fin /\ x = { y } ) /\ x e. ~P A ) -> ( x e. ~P A /\ ( -. ( A \ x ) e. Fin \/ ( x = (/) \/ x = A ) ) ) )
25	24	3impa 1202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ x e. ~P A ) -> ( x e. ~P A /\ ( -. ( A \ x ) e. Fin \/ ( x = (/) \/ x = A ) ) ) )
26	16, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) -> ( x e. ~P A /\ ( -. ( A \ x ) e. Fin \/ ( x = (/) \/ x = A ) ) ) )
27		topdifinf.t	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- T = { x e. ~P A | ( -. ( A \ x ) e. Fin \/ ( x = (/) \/ x = A ) ) }
28	27	rabeq2i 3041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. T <-> ( x e. ~P A /\ ( -. ( A \ x ) e. Fin \/ ( x = (/) \/ x = A ) ) ) )
29	26, 28	sylibr 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) -> x e. T )
30		eleq1 2516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = { y } -> ( x e. T <-> { y } e. T ) )
31	30	3ad2ant2 1029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) -> ( x e. T <-> { y } e. T ) )
32	29, 31	mpbid 214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) -> { y } e. T )
33	32	sbcth 3281	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( { y } e. _V -> [. { y } / x ]. ( ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) -> { y } e. T ) )
34	8, 33	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- [. { y } / x ]. ( ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) -> { y } e. T )
35		sbcimg 3308	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( { y } e. _V -> ( [. { y } / x ]. ( ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) -> { y } e. T ) <-> ( [. { y } / x ]. ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) -> [. { y } / x ]. { y } e. T ) ) )
36	8, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( [. { y } / x ]. ( ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) -> { y } e. T ) <-> ( [. { y } / x ]. ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) -> [. { y } / x ]. { y } e. T ) )
37	34, 36	mpbi 212	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( [. { y } / x ]. ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) -> [. { y } / x ]. { y } e. T )
38		sbc3an 3324	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( [. { y } / x ]. ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) <-> ( [. { y } / x ]. -. A e. Fin /\ [. { y } / x ]. x = { y } /\ [. { y } / x ]. y e. A ) )
39		sbcg 3332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( { y } e. _V -> ( [. { y } / x ]. -. A e. Fin <-> -. A e. Fin ) )
40	8, 39	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( [. { y } / x ]. -. A e. Fin <-> -. A e. Fin )
41	40	3anbi1i 1198	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( [. { y } / x ]. -. A e. Fin /\ [. { y } / x ]. x = { y } /\ [. { y } / x ]. y e. A ) <-> ( -. A e. Fin /\ [. { y } / x ]. x = { y } /\ [. { y } / x ]. y e. A ) )
42		eqsbc3 3306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( { y } e. _V -> ( [. { y } / x ]. x = { y } <-> { y } = { y } ) )
43	8, 42	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( [. { y } / x ]. x = { y } <-> { y } = { y } )
44	43	3anbi2i 1199	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( -. A e. Fin /\ [. { y } / x ]. x = { y } /\ [. { y } / x ]. y e. A ) <-> ( -. A e. Fin /\ { y } = { y } /\ [. { y } / x ]. y e. A ) )
45	38, 41, 44	3bitri 275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( [. { y } / x ]. ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) <-> ( -. A e. Fin /\ { y } = { y } /\ [. { y } / x ]. y e. A ) )
46		sbcg 3332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( { y } e. _V -> ( [. { y } / x ]. y e. A <-> y e. A ) )
47	8, 46	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( [. { y } / x ]. y e. A <-> y e. A )
48	47	3anbi3i 1200	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( -. A e. Fin /\ { y } = { y } /\ [. { y } / x ]. y e. A ) <-> ( -. A e. Fin /\ { y } = { y } /\ y e. A ) )
49	45, 48	bitri 253	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( [. { y } / x ]. ( -. A e. Fin /\ x = { y } /\ y e. A ) <-> ( -. A e. Fin /\ { y } = { y } /\ y e. A ) )
50		sbcg 3332	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( { y } e. _V -> ( [. { y } / x ]. { y } e. T <-> { y } e. T ) )
51	8, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( [. { y } / x ]. { y } e. T <-> { y } e. T )
52	37, 49, 51	3imtr3i 269	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -. A e. Fin /\ { y } = { y } /\ y e. A ) -> { y } e. T )
53	7, 52	mp3an2 1351	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -. A e. Fin /\ y e. A ) -> { y } e. T )
54	53	ex 436	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. A e. Fin -> ( y e. A -> { y } e. T ) )
55	54	pm4.71d 639	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. A e. Fin -> ( y e. A <-> ( y e. A /\ { y } e. T ) ) )
56	55	anbi1d 710	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. A e. Fin -> ( ( y e. A /\ u = { y } ) <-> ( ( y e. A /\ { y } e. T ) /\ u = { y } ) ) )
57	56	exbidv 1767	. . . . . . . . . 10 |- ( -. A e. Fin -> ( E. y ( y e. A /\ u = { y } ) <-> E. y ( ( y e. A /\ { y } e. T ) /\ u = { y } ) ) )
58	6, 57	syl5bb 261	. . . . . . . . 9 |- ( -. A e. Fin -> ( u e. { u | E. y e. A u = { y } } <-> E. y ( ( y e. A /\ { y } e. T ) /\ u = { y } ) ) )
59		anass 654	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. A /\ { y } e. T ) /\ u = { y } ) <-> ( y e. A /\ ( { y } e. T /\ u = { y } ) ) )
60	59	exbii 1717	. . . . . . . . . 10 |- ( E. y ( ( y e. A /\ { y } e. T ) /\ u = { y } ) <-> E. y ( y e. A /\ ( { y } e. T /\ u = { y } ) ) )
61		exsimpr 1729	. . . . . . . . . 10 |- ( E. y ( y e. A /\ ( { y } e. T /\ u = { y } ) ) -> E. y ( { y } e. T /\ u = { y } ) )
62	60, 61	sylbi 199	. . . . . . . . 9 |- ( E. y ( ( y e. A /\ { y } e. T ) /\ u = { y } ) -> E. y ( { y } e. T /\ u = { y } ) )
63	58, 62	syl6bi 232	. . . . . . . 8 |- ( -. A e. Fin -> ( u e. { u | E. y e. A u = { y } } -> E. y ( { y } e. T /\ u = { y } ) ) )
64		ancom 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { y } e. T /\ u = { y } ) <-> ( u = { y } /\ { y } e. T ) )
65		eleq1 2516	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = { y } -> ( u e. T <-> { y } e. T ) )
66	65	pm5.32i 642	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u = { y } /\ u e. T ) <-> ( u = { y } /\ { y } e. T ) )
67	64, 66	bitr4i 256	. . . . . . . . 9 |- ( ( { y } e. T /\ u = { y } ) <-> ( u = { y } /\ u e. T ) )
68	67	exbii 1717	. . . . . . . 8 |- ( E. y ( { y } e. T /\ u = { y } ) <-> E. y ( u = { y } /\ u e. T ) )
69	63, 68	syl6ib 230	. . . . . . 7 |- ( -. A e. Fin -> ( u e. { u | E. y e. A u = { y } } -> E. y ( u = { y } /\ u e. T ) ) )
70		exsimpr 1729	. . . . . . 7 |- ( E. y ( u = { y } /\ u e. T ) -> E. y u e. T )
71	69, 70	syl6 34	. . . . . 6 |- ( -. A e. Fin -> ( u e. { u | E. y e. A u = { y } } -> E. y u e. T ) )
72		ax5e 1759	. . . . . 6 |- ( E. y u e. T -> u e. T )
73	71, 72	syl6 34	. . . . 5 |- ( -. A e. Fin -> ( u e. { u | E. y e. A u = { y } } -> u e. T ) )
74	1, 2, 3, 73	ssrd 3436	. . . 4 |- ( -. A e. Fin -> { u | E. y e. A u = { y } } C_ T )
75		eqid 2450	. . . . 5 |- { u | E. y e. A u = { y } } = { u | E. y e. A u = { y } }
76	75	dissneq 31736	. . . 4 |- ( ( { u | E. y e. A u = { y } } C_ T /\ T e. (TopOn ` A ) ) -> T = ~P A )
77	74, 76	sylan 474	. . 3 |- ( ( -. A e. Fin /\ T e. (TopOn ` A ) ) -> T = ~P A )
78		nfielex 7797	. . . . 5 |- ( -. A e. Fin -> E. y y e. A )
79	78	adantr 467	. . . 4 |- ( ( -. A e. Fin /\ T e. (TopOn ` A ) ) -> E. y y e. A )
80		difss 3559	. . . . . . 7 |- ( A \ { y } ) C_ A
81		elfvex 5890	. . . . . . . 8 |- ( T e. (TopOn ` A ) -> A e. _V )
82		difexg 4550	. . . . . . . 8 |- ( A e. _V -> ( A \ { y } ) e. _V )
83		elpwg 3958	. . . . . . . 8 |- ( ( A \ { y } ) e. _V -> ( ( A \ { y } ) e. ~P A <-> ( A \ { y } ) C_ A ) )
84	81, 82, 83	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( T e. (TopOn ` A ) -> ( ( A \ { y } ) e. ~P A <-> ( A \ { y } ) C_ A ) )
85	80, 84	mpbiri 237	. . . . . 6 |- ( T e. (TopOn ` A ) -> ( A \ { y } ) e. ~P A )
86	85	adantl 468	. . . . 5 |- ( ( -. A e. Fin /\ T e. (TopOn ` A ) ) -> ( A \ { y } ) e. ~P A )
87		difinf 7838	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. A e. Fin /\ { y } e. Fin ) -> -. ( A \ { y } ) e. Fin )
88	17, 87	mpan2 676	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. A e. Fin -> -. ( A \ { y } ) e. Fin )
89		0fin 7796	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. Fin
90		eleq1 2516	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A \ { y } ) = (/) -> ( ( A \ { y } ) e. Fin <-> (/) e. Fin ) )
91	89, 90	mpbiri 237	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A \ { y } ) = (/) -> ( A \ { y } ) e. Fin )
92	88, 91	nsyl 125	. . . . . . . . . 10 |- ( -. A e. Fin -> -. ( A \ { y } ) = (/) )
93	92	ad2antrl 733	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. A /\ ( -. A e. Fin /\ T e. (TopOn ` A ) ) ) -> -. ( A \ { y } ) = (/) )
94		ssnid 3996	. . . . . . . . . . . . . 14 |- y e. { y }
95		inelcm 3818	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. A /\ y e. { y } ) -> ( A i^i { y } ) =/= (/) )
96	94, 95	mpan2 676	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. A -> ( A i^i { y } ) =/= (/) )
97		disj4 3812	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A i^i { y } ) = (/) <-> -. ( A \ { y } ) C. A )
98	97	necon2abii 2673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A \ { y } ) C. A <-> ( A i^i { y } ) =/= (/) )
99	96, 98	sylibr 216	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. A -> ( A \ { y } ) C. A )
100	99	pssned 3530	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. A -> ( A \ { y } ) =/= A )
101	100	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. A /\ ( -. A e. Fin /\ T e. (TopOn ` A ) ) ) -> ( A \ { y } ) =/= A )
102	101	neneqd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. A /\ ( -. A e. Fin /\ T e. (TopOn ` A ) ) ) -> -. ( A \ { y } ) = A )
103	93, 102	jca 535	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. A /\ ( -. A e. Fin /\ T e. (TopOn ` A ) ) ) -> ( -. ( A \ { y } ) = (/) /\ -. ( A \ { y } ) = A ) )
104		pm4.56 498	. . . . . . . 8 |- ( ( -. ( A \ { y } ) = (/) /\ -. ( A \ { y } ) = A ) <-> -. ( ( A \ { y } ) = (/) \/ ( A \ { y } ) = A ) )
105	103, 104	sylib 200	. . . . . . 7 |- ( ( y e. A /\ ( -. A e. Fin /\ T e. (TopOn ` A ) ) ) -> -. ( ( A \ { y } ) = (/) \/ ( A \ { y } ) = A ) )
106	85	biantrurd 511	. . . . . . . . . 10 |- ( T e. (TopOn ` A ) -> ( ( -. ( A \ ( A \ { y } ) ) e. Fin \/ ( ( A \ { y } ) = (/) \/ ( A \ { y } ) = A ) ) <-> ( ( A \ { y } ) e. ~P A /\ ( -. ( A \ ( A \ { y } ) ) e. Fin \/ ( ( A \ { y } ) = (/) \/ ( A \ { y } ) = A ) ) ) ) )
107		difeq2 3544	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( A \ { y } ) -> ( A \ x ) = ( A \ ( A \ { y } ) ) )
108	107	eleq1d 2512	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( A \ { y } ) -> ( ( A \ x ) e. Fin <-> ( A \ ( A \ { y } ) ) e. Fin ) )
109	108	notbid 296	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( A \ { y } ) -> ( -. ( A \ x ) e. Fin <-> -. ( A \ ( A \ { y } ) ) e. Fin ) )
110		eqeq1 2454	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( A \ { y } ) -> ( x = (/) <-> ( A \ { y } ) = (/) ) )
111		eqeq1 2454	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( A \ { y } ) -> ( x = A <-> ( A \ { y } ) = A ) )
112	110, 111	orbi12d 715	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( A \ { y } ) -> ( ( x = (/) \/ x = A ) <-> ( ( A \ { y } ) = (/) \/ ( A \ { y } ) = A ) ) )
113	109, 112	orbi12d 715	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( A \ { y } ) -> ( ( -. ( A \ x ) e. Fin \/ ( x = (/) \/ x = A ) ) <-> ( -. ( A \ ( A \ { y } ) ) e. Fin \/ ( ( A \ { y } ) = (/) \/ ( A \ { y } ) = A ) ) ) )
114	113, 27	elrab2 3197	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A \ { y } ) e. T <-> ( ( A \ { y } ) e. ~P A /\ ( -. ( A \ ( A \ { y } ) ) e. Fin \/ ( ( A \ { y } ) = (/) \/ ( A \ { y } ) = A ) ) ) )
115	106, 114	syl6rbbr 268	. . . . . . . . 9 |- ( T e. (TopOn ` A ) -> ( ( A \ { y } ) e. T <-> ( -. ( A \ ( A \ { y } ) ) e. Fin \/ ( ( A \ { y } ) = (/) \/ ( A \ { y } ) = A ) ) ) )
116		dfin4 3682	. . . . . . . . . . 11 |- ( A i^i { y } ) = ( A \ ( A \ { y } ) )
117		inss2 3652	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A i^i { y } ) C_ { y }
118		ssfi 7789	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { y } e. Fin /\ ( A i^i { y } ) C_ { y } ) -> ( A i^i { y } ) e. Fin )
119	17, 117, 118	mp2an 677	. . . . . . . . . . 11 |- ( A i^i { y } ) e. Fin
120	116, 119	eqeltrri 2525	. . . . . . . . . 10 |- ( A \ ( A \ { y } ) ) e. Fin
121		biortn 408	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A \ ( A \ { y } ) ) e. Fin -> ( ( ( A \ { y } ) = (/) \/ ( A \ { y } ) = A ) <-> ( -. ( A \ ( A \ { y } ) ) e. Fin \/ ( ( A \ { y } ) = (/) \/ ( A \ { y } ) = A ) ) ) )
122	120, 121	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A \ { y } ) = (/) \/ ( A \ { y } ) = A ) <-> ( -. ( A \ ( A \ { y } ) ) e. Fin \/ ( ( A \ { y } ) = (/) \/ ( A \ { y } ) = A ) ) )
123	115, 122	syl6bbr 267	. . . . . . . 8 |- ( T e. (TopOn ` A ) -> ( ( A \ { y } ) e. T <-> ( ( A \ { y } ) = (/) \/ ( A \ { y } ) = A ) ) )
124	123	ad2antll 734	. . . . . . 7 |- ( ( y e. A /\ ( -. A e. Fin /\ T e. (TopOn ` A ) ) ) -> ( ( A \ { y } ) e. T <-> ( ( A \ { y } ) = (/) \/ ( A \ { y } ) = A ) ) )
125	105, 124	mtbird 303	. . . . . 6 |- ( ( y e. A /\ ( -. A e. Fin /\ T e. (TopOn ` A ) ) ) -> -. ( A \ { y } ) e. T )
126	125	expcom 437	. . . . 5 |- ( ( -. A e. Fin /\ T e. (TopOn ` A ) ) -> ( y e. A -> -. ( A \ { y } ) e. T ) )
127		nelneq2 2553	. . . . . 6 |- ( ( ( A \ { y } ) e. ~P A /\ -. ( A \ { y } ) e. T ) -> -. ~P A = T )
128		eqcom 2457	. . . . . 6 |- ( T = ~P A <-> ~P A = T )
129	127, 128	sylnibr 307	. . . . 5 |- ( ( ( A \ { y } ) e. ~P A /\ -. ( A \ { y } ) e. T ) -> -. T = ~P A )
130	86, 126, 129	syl6an 548	. . . 4 |- ( ( -. A e. Fin /\ T e. (TopOn ` A ) ) -> ( y e. A -> -. T = ~P A ) )
131	79, 130	exellimddv 31741	. . 3 |- ( ( -. A e. Fin /\ T e. (TopOn ` A ) ) -> -. T = ~P A )
132	77, 131	pm2.65da 579	. 2 |- ( -. A e. Fin -> -. T e. (TopOn ` A ) )
133	132	con4i 134	1 |- ( T e. (TopOn ` A ) -> A e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   \/ wo 370   /\ wa 371   /\ w3a 984   = wceq 1443   E.wex 1662   e. wcel 1886   {cab 2436   =/= wne 2621   E.wrex 2737   {crab 2740   _Vcvv 3044   [.wsbc 3266   \ cdif 3400   i^i cin 3402   C_ wss 3403   C. wpss 3404   (/)c0 3730   ~Pcpw 3950   {csn 3967   ` cfv 5581   Fincfn 7566  TopOnctopon 19911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-en 7567  df-fin 7570  df-topgen 15335  df-top 19914  df-topon 19916

This theorem is referenced by:  topdifinffin  31744