MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  topcld Structured version   Unicode version

Theorem topcld 18755
Description: The underlying set of a topology is closed. Part of Theorem 6.1(1) of [Munkres] p. 93. (Contributed by NM, 3-Oct-2006.)
Hypothesis
Ref Expression
iscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
topcld  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  ( Clsd `  J
) )

Proof of Theorem topcld
StepHypRef Expression
1 difid 3845 . . . 4  |-  ( X 
\  X )  =  (/)
2 0opn 18633 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  (/)  e.  J
)
31, 2syl5eqel 2543 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( X  \  X )  e.  J )
4 ssid 3473 . . 3  |-  X  C_  X
53, 4jctil 537 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( X  C_  X  /\  ( X  \  X )  e.  J ) )
6 iscld.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
76iscld 18747 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( X  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( X  C_  X  /\  ( X 
\  X )  e.  J ) ) )
85, 7mpbird 232 1  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  ( Clsd `  J
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    \ cdif 3423    C_ wss 3426   (/)c0 3735   U.cuni 4189   ` cfv 5516   Topctop 18614   Clsdccld 18736
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-op 3982  df-uni 4190  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-id 4734  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fv 5524  df-top 18619  df-cld 18739
This theorem is referenced by:  clsval  18757  riincld  18764  clscld  18767  clstop  18789  cldmre  18798  indiscld  18811  iscon2  19134  cnmpt2pc  20616  rlmbn  20989  ubthlem1  24406  unicls  26467  cmpfiiin  29171  kelac1  29554
  Copyright terms: Public domain W3C validator