MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  topcld Structured version   Unicode version

Theorem topcld 19409
Description: The underlying set of a topology is closed. Part of Theorem 6.1(1) of [Munkres] p. 93. (Contributed by NM, 3-Oct-2006.)
Hypothesis
Ref Expression
iscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
topcld  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  ( Clsd `  J
) )

Proof of Theorem topcld
StepHypRef Expression
1 difid 3882 . . . 4  |-  ( X 
\  X )  =  (/)
2 0opn 19286 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  (/)  e.  J
)
31, 2syl5eqel 2535 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( X  \  X )  e.  J )
4 ssid 3508 . . 3  |-  X  C_  X
53, 4jctil 537 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( X  C_  X  /\  ( X  \  X )  e.  J ) )
6 iscld.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
76iscld 19401 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( X  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( X  C_  X  /\  ( X 
\  X )  e.  J ) ) )
85, 7mpbird 232 1  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  ( Clsd `  J
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    \ cdif 3458    C_ wss 3461   (/)c0 3770   U.cuni 4234   ` cfv 5578   Topctop 19267   Clsdccld 19390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fv 5586  df-top 19272  df-cld 19393
This theorem is referenced by:  clsval  19411  riincld  19418  clscld  19421  clstop  19443  cldmre  19452  indiscld  19465  iscon2  19788  cnmpt2pc  21301  rlmbn  21674  ubthlem1  25658  unicls  27758  cmpfiiin  30604  kelac1  30984
  Copyright terms: Public domain W3C validator