Theorem topbasfne 15499

Description: A condition for a topology to be finer than another.

Hypotheses

Ref	Expression
topbasfne.1	|- X = U.B
topbasfne.2	|- Y = U.C

Assertion

Ref	Expression
topbasfne	|- ((B e. Bases /\ C e. Bases /\ X = Y) -> ((topGen` B) C_ (topGen` C) <-> BFneC))

Proof of Theorem topbasfne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgss2 8907	. . 3 |- ((B e. Bases /\ C e. Bases /\ U.B = U.C) -> ((topGen` B) C_ (topGen` C) <-> A.x e. U.BA.y e. B (x e. y -> E.z e. C (x e. z /\ z C_ y))))
2		topbasfne.1	. . . 4 |- X = U.B
3		topbasfne.2	. . . 4 |- Y = U.C
4	2, 3	eqeq12i 1897	. . 3 |- (X = Y <-> U.B = U.C)
5	1, 4	syl3an3b 1135	. 2 |- ((B e. Bases /\ C e. Bases /\ X = Y) -> ((topGen` B) C_ (topGen` C) <-> A.x e. U.BA.y e. B (x e. y -> E.z e. C (x e. z /\ z C_ y))))
6	2, 3	isfne2 15481	. . . . 5 |- (C e. Bases -> (BFneC <-> (X = Y /\ A.y e. B A.x e. y E.z e. C (x e. z /\ z C_ y))))
7		ibar 705	. . . . . 6 |- (X = Y -> (A.y e. B A.x e. y E.z e. C (x e. z /\ z C_ y) <-> (X = Y /\ A.y e. B A.x e. y E.z e. C (x e. z /\ z C_ y))))
8	7	bicomd 580	. . . . 5 |- (X = Y -> ((X = Y /\ A.y e. B A.x e. y E.z e. C (x e. z /\ z C_ y)) <-> A.y e. B A.x e. y E.z e. C (x e. z /\ z C_ y)))
9	6, 8	sylan9bb 599	. . . 4 |- ((C e. Bases /\ X = Y) -> (BFneC <-> A.y e. B A.x e. y E.z e. C (x e. z /\ z C_ y)))
10	9	3adant1 894	. . 3 |- ((B e. Bases /\ C e. Bases /\ X = Y) -> (BFneC <-> A.y e. B A.x e. y E.z e. C (x e. z /\ z C_ y)))
11		hbra2 2148	. . . . 5 |- (A.x e. U.BA.y e. B (x e. y -> E.z e. C (x e. z /\ z C_ y)) -> A.yA.x e. U.BA.y e. B (x e. y -> E.z e. C (x e. z /\ z C_ y)))
12		elunii 3182	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. y /\ y e. B) -> x e. U.B)
13	12	expcom 403	. . . . . . . . . 10 |- (y e. B -> (x e. y -> x e. U.B))
14		pm2.27 76	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. U.B -> ((x e. U.B -> A.y e. B (x e. y -> E.z e. C (x e. z /\ z C_ y))) -> A.y e. B (x e. y -> E.z e. C (x e. z /\ z C_ y))))
15		ra4 2155	. . . . . . . . . . . 12 |- (A.y e. B (x e. y -> E.z e. C (x e. z /\ z C_ y)) -> (y e. B -> (x e. y -> E.z e. C (x e. z /\ z C_ y))))
16	14, 15	syl6 25	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. U.B -> ((x e. U.B -> A.y e. B (x e. y -> E.z e. C (x e. z /\ z C_ y))) -> (y e. B -> (x e. y -> E.z e. C (x e. z /\ z C_ y)))))
17	16	com4t 44	. . . . . . . . . 10 |- (y e. B -> (x e. y -> (x e. U.B -> ((x e. U.B -> A.y e. B (x e. y -> E.z e. C (x e. z /\ z C_ y))) -> E.z e. C (x e. z /\ z C_ y)))))
18	13, 17	mpdd 57	. . . . . . . . 9 |- (y e. B -> (x e. y -> ((x e. U.B -> A.y e. B (x e. y -> E.z e. C (x e. z /\ z C_ y))) -> E.z e. C (x e. z /\ z C_ y))))
19	18	com23 36	. . . . . . . 8 |- (y e. B -> ((x e. U.B -> A.y e. B (x e. y -> E.z e. C (x e. z /\ z C_ y))) -> (x e. y -> E.z e. C (x e. z /\ z C_ y))))
20	19	alimdv 1668	. . . . . . 7 |- (y e. B -> (A.x(x e. U.B -> A.y e. B (x e. y -> E.z e. C (x e. z /\ z C_ y))) -> A.x(x e. y -> E.z e. C (x e. z /\ z C_ y))))
21		df-ral 2109	. . . . . . 7 |- (A.x e. U.BA.y e. B (x e. y -> E.z e. C (x e. z /\ z C_ y)) <-> A.x(x e. U.B -> A.y e. B (x e. y -> E.z e. C (x e. z /\ z C_ y))))
22		df-ral 2109	. . . . . . 7 |- (A.x e. y E.z e. C (x e. z /\ z C_ y) <-> A.x(x e. y -> E.z e. C (x e. z /\ z C_ y)))
23	20, 21, 22	3imtr4g 612	. . . . . 6 |- (y e. B -> (A.x e. U.BA.y e. B (x e. y -> E.z e. C (x e. z /\ z C_ y)) -> A.x e. y E.z e. C (x e. z /\ z C_ y)))
24	23	com12 14	. . . . 5 |- (A.x e. U.BA.y e. B (x e. y -> E.z e. C (x e. z /\ z C_ y)) -> (y e. B -> A.x e. y E.z e. C (x e. z /\ z C_ y)))
25	11, 24	r19.21ai 2174	. . . 4 |- (A.x e. U.BA.y e. B (x e. y -> E.z e. C (x e. z /\ z C_ y)) -> A.y e. B A.x e. y E.z e. C (x e. z /\ z C_ y))
26		hbra2 2148	. . . . 5 |- (A.y e. B A.x e. y E.z e. C (x e. z /\ z C_ y) -> A.xA.y e. B A.x e. y E.z e. C (x e. z /\ z C_ y))
27		ra4 2155	. . . . . . 7 |- (A.x e. y E.z e. C (x e. z /\ z C_ y) -> (x e. y -> E.z e. C (x e. z /\ z C_ y)))
28	27	ralimi 2168	. . . . . 6 |- (A.y e. B A.x e. y E.z e. C (x e. z /\ z C_ y) -> A.y e. B (x e. y -> E.z e. C (x e. z /\ z C_ y)))
29	28	a1d 15	. . . . 5 |- (A.y e. B A.x e. y E.z e. C (x e. z /\ z C_ y) -> (x e. U.B -> A.y e. B (x e. y -> E.z e. C (x e. z /\ z C_ y))))
30	26, 29	r19.21ai 2174	. . . 4 |- (A.y e. B A.x e. y E.z e. C (x e. z /\ z C_ y) -> A.x e. U.BA.y e. B (x e. y -> E.z e. C (x e. z /\ z C_ y)))
31	25, 30	impbii 174	. . 3 |- (A.x e. U.BA.y e. B (x e. y -> E.z e. C (x e. z /\ z C_ y)) <-> A.y e. B A.x e. y E.z e. C (x e. z /\ z C_ y))
32	10, 31	syl6rbbr 598	. 2 |- ((B e. Bases /\ C e. Bases /\ X = Y) -> (A.x e. U.BA.y e. B (x e. y -> E.z e. C (x e. z /\ z C_ y)) <-> BFneC))
33	5, 32	bitrd 587	1 |- ((B e. Bases /\ C e. Bases /\ X = Y) -> ((topGen` B) C_ (topGen` C) <-> BFneC))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106   C_ wss 2593  U.cuni 3177   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  Basesctb 8859  topGenctg 8860  Fnecfne 15457

This theorem is referenced by:  topfne 15500  topfneec 15501

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-fne 15463

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