Theorem topbas 8897

Description: A topology is its own basis.

Assertion

Ref	Expression
topbas	|- (J e. Top -> J e. Bases)

Proof of Theorem topbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inopn 8869	. . . . . . . 8 |- ((J e. Top /\ x e. J /\ y e. J) -> (x i^i y) e. J)
2	1	3expb 1068	. . . . . . 7 |- ((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) -> (x i^i y) e. J)
3	2	adantr 425	. . . . . 6 |- (((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) /\ z e. (x i^i y)) -> (x i^i y) e. J)
4		simpr 350	. . . . . . 7 |- (((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) /\ z e. (x i^i y)) -> z e. (x i^i y))
5		ssid 2634	. . . . . . 7 |- (x i^i y) C_ (x i^i y)
6	4, 5	jctir 317	. . . . . 6 |- (((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) /\ z e. (x i^i y)) -> (z e. (x i^i y) /\ (x i^i y) C_ (x i^i y)))
7		eleq2 1958	. . . . . . . 8 |- (w = (x i^i y) -> (z e. w <-> z e. (x i^i y)))
8		sseq1 2637	. . . . . . . 8 |- (w = (x i^i y) -> (w C_ (x i^i y) <-> (x i^i y) C_ (x i^i y)))
9	7, 8	anbi12d 690	. . . . . . 7 |- (w = (x i^i y) -> ((z e. w /\ w C_ (x i^i y)) <-> (z e. (x i^i y) /\ (x i^i y) C_ (x i^i y))))
10	9	rcla4ev 2381	. . . . . 6 |- (((x i^i y) e. J /\ (z e. (x i^i y) /\ (x i^i y) C_ (x i^i y))) -> E.w e. J (z e. w /\ w C_ (x i^i y)))
11	3, 6, 10	syl11anc 524	. . . . 5 |- (((J e. Top /\ (x e. J /\ y e. J)) /\ z e. (x i^i y)) -> E.w e. J (z e. w /\ w C_ (x i^i y)))
12	11	exp31 407	. . . 4 |- (J e. Top -> ((x e. J /\ y e. J) -> (z e. (x i^i y) -> E.w e. J (z e. w /\ w C_ (x i^i y)))))
13	12	r19.21adv 2181	. . 3 |- (J e. Top -> ((x e. J /\ y e. J) -> A.z e. (x i^i y)E.w e. J (z e. w /\ w C_ (x i^i y))))
14	13	r19.21aivv 2183	. 2 |- (J e. Top -> A.x e. J A.y e. J A.z e. (x i^i y)E.w e. J (z e. w /\ w C_ (x i^i y)))
15		isbasis2g 8881	. 2 |- (J e. Top -> (J e. Bases <-> A.x e. J A.y e. J A.z e. (x i^i y)E.w e. J (z e. w /\ w C_ (x i^i y))))
16	14, 15	mpbird 213	1 |- (J e. Top -> J e. Bases)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106   i^i cin 2592   C_ wss 2593  Topctop 8857  Basesctb 8859

This theorem is referenced by:  tgtop 8898  eltop 8899  eltop2 8900  eltop3 8901  basgen2 8909  2basgen 8911  2ndcsb 15476  topfne 15500  topfneec 15501  topfneec2 15502  topjoin 15527

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-in 2603  df-ss 2605  df-pw 3035  df-uni 3178  df-top 8861  df-bases 8863

Copyright terms: Public domain