Theorem top2usne 14898

Description: If a topology has two elements its underlying set can't be empty.

Assertion

Ref	Expression
top2usne	|- ((J e. Top /\ J ~~ 2o) -> U.J =/= (/))

Proof of Theorem top2usne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		top2ind 14897	. . . 4 |- ((J e. Top /\ J ~~ 2o) -> J = {(/), U.J})
2		uni0b 3203	. . . . . 6 |- (U.J = (/) <-> J C_ {(/)})
3		sssn 3142	. . . . . . 7 |- (J C_ {(/)} <-> (J = (/) \/ J = {(/)}))
4		breq1 3341	. . . . . . . . . . . . 13 |- (J = (/) -> (J ~~ 2o <-> (/) ~~ 2o))
5		sssucid 3742	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (/) C_ suc (/)
6		sssucid 3742	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- suc (/) C_ suc suc (/)
7		sstr 2625	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((/) C_ suc (/) /\ suc (/) C_ suc suc (/)) -> (/) C_ suc suc (/))
8		nsuceq0 3749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- suc suc (/) =/= (/)
9		necom 2094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (suc suc (/) =/= (/) <-> (/) =/= suc suc (/))
10	8, 9	mpbi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (/) =/= suc suc (/)
11		df-pss 2607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((/) C. suc suc (/) <-> ((/) C_ suc suc (/) /\ (/) =/= suc suc (/)))
12		peano1 3971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (/) e. om
13		peano2 3972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((/) e. om -> suc (/) e. om)
14	12, 13	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- suc (/) e. om
15		peano2 3972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (suc (/) e. om -> suc suc (/) e. om)
16	14, 15	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- suc suc (/) e. om
17		php 5607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((suc suc (/) e. om /\ (/) C. suc suc (/)) -> -. suc suc (/) ~~ (/))
18		ensymg 5470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (suc suc (/) e. om -> ((/) ~~ suc suc (/) -> suc suc (/) ~~ (/)))
19	16, 18	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((/) ~~ suc suc (/) -> suc suc (/) ~~ (/))
20	17, 19	nsyl 131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((suc suc (/) e. om /\ (/) C. suc suc (/)) -> -. (/) ~~ suc suc (/))
21	16, 20	mpan 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((/) C. suc suc (/) -> -. (/) ~~ suc suc (/))
22	11, 21	sylbir 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((/) C_ suc suc (/) /\ (/) =/= suc suc (/)) -> -. (/) ~~ suc suc (/))
23	10, 22	mpan2 760	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((/) C_ suc suc (/) -> -. (/) ~~ suc suc (/))
24	7, 23	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((/) C_ suc (/) /\ suc (/) C_ suc suc (/)) -> -. (/) ~~ suc suc (/))
25	5, 6, 24	mp2an 761	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -. (/) ~~ suc suc (/)
26		df-2o 5178	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2o = suc 1o
27		df-1o 5177	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1o = suc (/)
28		suceq 3729	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (1o = suc (/) -> suc 1o = suc suc (/))
29	27, 28	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- suc 1o = suc suc (/)
30	26, 29	eqtri 1908	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2o = suc suc (/)
31	30	breq2i 3346	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((/) ~~ 2o <-> (/) ~~ suc suc (/))
32	25, 31	mtbir 209	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -. (/) ~~ 2o
33	32	pm2.21i 93	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((/) ~~ 2o -> -. U.J = (/))
34	4, 33	syl6bi 231	. . . . . . . . . . . 12 |- (J = (/) -> (J ~~ 2o -> -. U.J = (/)))
35	34	a1i 8	. . . . . . . . . . 11 |- (J = {(/), U.J} -> (J = (/) -> (J ~~ 2o -> -. U.J = (/))))
36	35	com13 37	. . . . . . . . . 10 |- (J ~~ 2o -> (J = (/) -> (J = {(/), U.J} -> -. U.J = (/))))
37	36	adantl 424	. . . . . . . . 9 |- ((J e. Top /\ J ~~ 2o) -> (J = (/) -> (J = {(/), U.J} -> -. U.J = (/))))
38	37	com12 14	. . . . . . . 8 |- (J = (/) -> ((J e. Top /\ J ~~ 2o) -> (J = {(/), U.J} -> -. U.J = (/))))
39		0ex 3446	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. _V
40	39	ensn1 5483	. . . . . . . . 9 |- {(/)} ~~ 1o
41		breq1 3341	. . . . . . . . . . 11 |- ({(/)} = J -> ({(/)} ~~ 1o <-> J ~~ 1o))
42		2onn 5311	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2o e. om
43		ensymg 5470	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (2o e. om -> (J ~~ 2o -> 2o ~~ J))
44		entr 5473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((2o ~~ J /\ J ~~ 1o) -> 2o ~~ 1o)
45		1onn 5310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 1o e. om
46	45	elisseti 2301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1o e. _V
47		ensymg 5470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (1o e. _V -> (2o ~~ 1o -> 1o ~~ 2o))
48		php5 5611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (1o e. om -> -. 1o ~~ suc 1o)
49	45, 48	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- -. 1o ~~ suc 1o
50	26	breq2i 3346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (1o ~~ 2o <-> 1o ~~ suc 1o)
51	49, 50	mtbir 209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- -. 1o ~~ 2o
52	51	pm2.21i 93	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (1o ~~ 2o -> -. U.J = (/))
53	47, 52	syl6 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (1o e. _V -> (2o ~~ 1o -> -. U.J = (/)))
54	46, 53	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (2o ~~ 1o -> -. U.J = (/))
55	54	a1d 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (2o ~~ 1o -> (J = {(/), U.J} -> -. U.J = (/)))
56	44, 55	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((2o ~~ J /\ J ~~ 1o) -> (J = {(/), U.J} -> -. U.J = (/)))
57	56	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (2o ~~ J -> (J ~~ 1o -> (J = {(/), U.J} -> -. U.J = (/))))
58	43, 57	syl6 25	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (2o e. om -> (J ~~ 2o -> (J ~~ 1o -> (J = {(/), U.J} -> -. U.J = (/)))))
59	42, 58	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . 13 |- (J ~~ 2o -> (J ~~ 1o -> (J = {(/), U.J} -> -. U.J = (/))))
60	59	adantl 424	. . . . . . . . . . . 12 |- ((J e. Top /\ J ~~ 2o) -> (J ~~ 1o -> (J = {(/), U.J} -> -. U.J = (/))))
61	60	com12 14	. . . . . . . . . . 11 |- (J ~~ 1o -> ((J e. Top /\ J ~~ 2o) -> (J = {(/), U.J} -> -. U.J = (/))))
62	41, 61	syl6bi 231	. . . . . . . . . 10 |- ({(/)} = J -> ({(/)} ~~ 1o -> ((J e. Top /\ J ~~ 2o) -> (J = {(/), U.J} -> -. U.J = (/)))))
63	62	eqcoms 1887	. . . . . . . . 9 |- (J = {(/)} -> ({(/)} ~~ 1o -> ((J e. Top /\ J ~~ 2o) -> (J = {(/), U.J} -> -. U.J = (/)))))
64	40, 63	mpi 55	. . . . . . . 8 |- (J = {(/)} -> ((J e. Top /\ J ~~ 2o) -> (J = {(/), U.J} -> -. U.J = (/))))
65	38, 64	jaoi 368	. . . . . . 7 |- ((J = (/) \/ J = {(/)}) -> ((J e. Top /\ J ~~ 2o) -> (J = {(/), U.J} -> -. U.J = (/))))
66	3, 65	sylbi 216	. . . . . 6 |- (J C_ {(/)} -> ((J e. Top /\ J ~~ 2o) -> (J = {(/), U.J} -> -. U.J = (/))))
67	2, 66	sylbi 216	. . . . 5 |- (U.J = (/) -> ((J e. Top /\ J ~~ 2o) -> (J = {(/), U.J} -> -. U.J = (/))))
68	67	com13 37	. . . 4 |- (J = {(/), U.J} -> ((J e. Top /\ J ~~ 2o) -> (U.J = (/) -> -. U.J = (/))))
69	1, 68	mpcom 60	. . 3 |- ((J e. Top /\ J ~~ 2o) -> (U.J = (/) -> -. U.J = (/)))
70	69	pm2.01d 105	. 2 |- ((J e. Top /\ J ~~ 2o) -> -. U.J = (/))
71		df-ne 2019	. 2 |- (U.J =/= (/) <-> -. U.J = (/))
72	70, 71	sylibr 217	1 |- ((J e. Top /\ J ~~ 2o) -> U.J =/= (/))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   \/ wo 239   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  _Vcvv 2292   C_ wss 2593   C. wpss 2594  (/)c0 2875  {csn 3044  {cpr 3045  U.cuni 3177   class class class wbr 3338  suc csuc 3659  omcom 3949  1oc1o 5172  2oc2o 5173   ~~ cen 5423  Topctop 8857

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-1o 5177  df-2o 5178  df-er 5318  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-fin 5430  df-top 8861

Copyright terms: Public domain