Theorem top2ind 14897

Description: If a topology has two element it is the indiscrete topology.

Assertion

Ref	Expression
top2ind	|- ((J e. Top /\ J ~~ 2o) -> J = {(/), U.J})

Proof of Theorem top2ind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0opn 8870	. . . 4 |- (J e. Top -> (/) e. J)
2		0top 8905	. . . . . 6 |- (J e. Top -> (U.J = (/) <-> J = {(/)}))
3		0ex 3446	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. _V
4	3	ensn1 5483	. . . . . . . . . . 11 |- {(/)} ~~ 1o
5		breq1 3341	. . . . . . . . . . 11 |- (J = {(/)} -> (J ~~ 1o <-> {(/)} ~~ 1o))
6	4, 5	mpbiri 211	. . . . . . . . . 10 |- (J = {(/)} -> J ~~ 1o)
7		1sdom2 5619	. . . . . . . . . . 11 |- 1o ~< 2o
8		ensdomtr 5534	. . . . . . . . . . . 12 |- ((J ~~ 1o /\ 1o ~< 2o) -> J ~< 2o)
9		sdomnen 5446	. . . . . . . . . . . 12 |- (J ~< 2o -> -. J ~~ 2o)
10	8, 9	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- ((J ~~ 1o /\ 1o ~< 2o) -> -. J ~~ 2o)
11	7, 10	mpan2 760	. . . . . . . . . 10 |- (J ~~ 1o -> -. J ~~ 2o)
12	6, 11	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (J = {(/)} -> -. J ~~ 2o)
13	12	con2i 113	. . . . . . . 8 |- (J ~~ 2o -> -. J = {(/)})
14		bibif 745	. . . . . . . . . 10 |- (-. J = {(/)} -> ((U.J = (/) <-> J = {(/)}) <-> -. U.J = (/)))
15		df-ne 2019	. . . . . . . . . . 11 |- (U.J =/= (/) <-> -. U.J = (/))
16		necom 2094	. . . . . . . . . . . 12 |- (U.J =/= (/) <-> (/) =/= U.J)
17		set2elt 14408	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((J ~~ 2o /\ (/) e. J /\ U.J e. J) -> ((/) =/= U.J -> J = {(/), U.J}))
18	17	3exp 1066	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (J ~~ 2o -> ((/) e. J -> (U.J e. J -> ((/) =/= U.J -> J = {(/), U.J}))))
19	18	com24 41	. . . . . . . . . . . . 13 |- (J ~~ 2o -> ((/) =/= U.J -> (U.J e. J -> ((/) e. J -> J = {(/), U.J}))))
20	19	com12 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ((/) =/= U.J -> (J ~~ 2o -> (U.J e. J -> ((/) e. J -> J = {(/), U.J}))))
21	16, 20	sylbi 216	. . . . . . . . . . 11 |- (U.J =/= (/) -> (J ~~ 2o -> (U.J e. J -> ((/) e. J -> J = {(/), U.J}))))
22	15, 21	sylbir 218	. . . . . . . . . 10 |- (-. U.J = (/) -> (J ~~ 2o -> (U.J e. J -> ((/) e. J -> J = {(/), U.J}))))
23	14, 22	syl6bi 231	. . . . . . . . 9 |- (-. J = {(/)} -> ((U.J = (/) <-> J = {(/)}) -> (J ~~ 2o -> (U.J e. J -> ((/) e. J -> J = {(/), U.J})))))
24	23	com3r 39	. . . . . . . 8 |- (J ~~ 2o -> (-. J = {(/)} -> ((U.J = (/) <-> J = {(/)}) -> (U.J e. J -> ((/) e. J -> J = {(/), U.J})))))
25	13, 24	mpd 29	. . . . . . 7 |- (J ~~ 2o -> ((U.J = (/) <-> J = {(/)}) -> (U.J e. J -> ((/) e. J -> J = {(/), U.J}))))
26	25	com4l 43	. . . . . 6 |- ((U.J = (/) <-> J = {(/)}) -> (U.J e. J -> ((/) e. J -> (J ~~ 2o -> J = {(/), U.J}))))
27	2, 26	syl 12	. . . . 5 |- (J e. Top -> (U.J e. J -> ((/) e. J -> (J ~~ 2o -> J = {(/), U.J}))))
28		eqid 1884	. . . . . 6 |- U.J = U.J
29	28	topopn 8871	. . . . 5 |- (J e. Top -> U.J e. J)
30	27, 29	syl5 20	. . . 4 |- (J e. Top -> (J e. Top -> ((/) e. J -> (J ~~ 2o -> J = {(/), U.J}))))
31	1, 30	mpid 58	. . 3 |- (J e. Top -> (J e. Top -> (J ~~ 2o -> J = {(/), U.J})))
32	31	pm2.43i 78	. 2 |- (J e. Top -> (J ~~ 2o -> J = {(/), U.J}))
33	32	imp 377	1 |- ((J e. Top /\ J ~~ 2o) -> J = {(/), U.J})

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  (/)c0 2875  {csn 3044  {cpr 3045  U.cuni 3177   class class class wbr 3338  1oc1o 5172  2oc2o 5173   ~~ cen 5423   ~< csdm 5425  Topctop 8857

This theorem is referenced by:  top2usne 14898  homindlem3 14900

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-1o 5177  df-2o 5178  df-er 5318  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-fin 5430  df-top 8861

Copyright terms: Public domain