MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngtset Structured version   Unicode version

Theorem tngtset 20235
Description: The topology generated by a normed structure. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngbas.t  |-  T  =  ( G toNrmGrp  N )
tngtset.2  |-  D  =  ( dist `  T
)
tngtset.3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
tngtset  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  J  =  (TopSet `  T ) )

Proof of Theorem tngtset
StepHypRef Expression
1 ovex 6116 . . 3  |-  ( G sSet  <. ( dist `  ndx ) ,  ( N  o.  ( -g `  G
) ) >. )  e.  _V
2 fvex 5701 . . 3  |-  ( MetOpen `  ( N  o.  ( -g `  G ) ) )  e.  _V
3 tsetid 14326 . . . 4  |- TopSet  = Slot  (TopSet ` 
ndx )
43setsid 14215 . . 3  |-  ( ( ( G sSet  <. ( dist `  ndx ) ,  ( N  o.  ( -g `  G ) )
>. )  e.  _V  /\  ( MetOpen `  ( N  o.  ( -g `  G
) ) )  e. 
_V )  ->  ( MetOpen
`  ( N  o.  ( -g `  G ) ) )  =  (TopSet `  ( ( G sSet  <. (
dist `  ndx ) ,  ( N  o.  ( -g `  G ) )
>. ) sSet  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( N  o.  ( -g `  G ) ) ) >. ) ) )
51, 2, 4mp2an 672 . 2  |-  ( MetOpen `  ( N  o.  ( -g `  G ) ) )  =  (TopSet `  ( ( G sSet  <. (
dist `  ndx ) ,  ( N  o.  ( -g `  G ) )
>. ) sSet  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( N  o.  ( -g `  G ) ) ) >. ) )
6 tngtset.3 . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
7 tngbas.t . . . . . . 7  |-  T  =  ( G toNrmGrp  N )
8 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
97, 8tngds 20234 . . . . . 6  |-  ( N  e.  W  ->  ( N  o.  ( -g `  G ) )  =  ( dist `  T
) )
10 tngtset.2 . . . . . 6  |-  D  =  ( dist `  T
)
119, 10syl6reqr 2494 . . . . 5  |-  ( N  e.  W  ->  D  =  ( N  o.  ( -g `  G ) ) )
1211adantl 466 . . . 4  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  D  =  ( N  o.  ( -g `  G
) ) )
1312fveq2d 5695 . . 3  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  ( MetOpen `  D )  =  ( MetOpen `  ( N  o.  ( -g `  G ) ) ) )
146, 13syl5eq 2487 . 2  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  J  =  ( MetOpen `  ( N  o.  ( -g `  G ) ) ) )
15 eqid 2443 . . . 4  |-  ( N  o.  ( -g `  G
) )  =  ( N  o.  ( -g `  G ) )
16 eqid 2443 . . . 4  |-  ( MetOpen `  ( N  o.  ( -g `  G ) ) )  =  ( MetOpen `  ( N  o.  ( -g `  G ) ) )
177, 8, 15, 16tngval 20225 . . 3  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  T  =  ( ( G sSet  <. ( dist `  ndx ) ,  ( N  o.  ( -g `  G
) ) >. ) sSet  <.
(TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( N  o.  ( -g `  G
) ) ) >.
) )
1817fveq2d 5695 . 2  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  (TopSet `  T )  =  (TopSet `  ( ( G sSet  <. ( dist `  ndx ) ,  ( N  o.  ( -g `  G
) ) >. ) sSet  <.
(TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( N  o.  ( -g `  G
) ) ) >.
) ) )
195, 14, 183eqtr4a 2501 1  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  J  =  (TopSet `  T ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2972   <.cop 3883    o. ccom 4844   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   ndxcnx 14171   sSet csts 14172  TopSetcts 14244   distcds 14247   -gcsg 15413   MetOpencmopn 17806   toNrmGrp ctng 20171
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-sets 14180  df-tset 14257  df-ds 14260  df-tng 20177
This theorem is referenced by:  tngtopn  20236
  Copyright terms: Public domain W3C validator