MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngtopn Structured version   Unicode version

Theorem tngtopn 20078
Description: The topology generated by a normed structure. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngbas.t  |-  T  =  ( G toNrmGrp  N )
tngtset.2  |-  D  =  ( dist `  T
)
tngtset.3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
tngtopn  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  J  =  ( TopOpen `  T ) )

Proof of Theorem tngtopn
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tngbas.t . . 3  |-  T  =  ( G toNrmGrp  N )
2 tngtset.2 . . 3  |-  D  =  ( dist `  T
)
3 tngtset.3 . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
41, 2, 3tngtset 20077 . 2  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  J  =  (TopSet `  T ) )
5 df-mopn 17657 . . . . . . . . 9  |-  MetOpen  =  ( x  e.  U. ran  *Met  |->  ( topGen `  ran  ( ball `  x )
) )
65dmmptss 5322 . . . . . . . 8  |-  dom  MetOpen  C_  U. ran  *Met
76sseli 3340 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  dom  MetOpen  ->  D  e.  U. ran  *Met )
8 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
91, 8tngds 20076 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  W  ->  ( N  o.  ( -g `  G ) )  =  ( dist `  T
) )
109, 2syl6eqr 2483 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  W  ->  ( N  o.  ( -g `  G ) )  =  D )
1110adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  ( N  o.  ( -g `  G ) )  =  D )
1211dmeqd 5029 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  dom  ( N  o.  ( -g `  G ) )  =  dom  D
)
13 dmcoss 5086 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  dom  ( N  o.  ( -g `  G ) )  C_  dom  ( -g `  G
)
14 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
15 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
16 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
1714, 15, 16, 8grpsubfval 15560 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -g `  G )  =  ( x  e.  ( Base `  G ) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( x ( +g  `  G ) ( ( invg `  G ) `  y
) ) )
18 ovex 6105 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x ( +g  `  G
) ( ( invg `  G ) `
 y ) )  e.  _V
1917, 18dmmpt2 6633 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  dom  ( -g `  G )  =  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) )
2013, 19sseqtri 3376 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  ( N  o.  ( -g `  G ) )  C_  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) )
2112, 20syl6eqssr 3395 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  dom  D  C_  (
( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) )
2221adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W
)  /\  D  e.  U.
ran  *Met )  ->  dom  D  C_  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) )
23 dmss 5026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( dom 
D  C_  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) )  ->  dom  dom 
D  C_  dom  ( (
Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W
)  /\  D  e.  U.
ran  *Met )  ->  dom  dom  D  C_  dom  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) )
25 dmxpid 5046 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  (
( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) )  =  (
Base `  G )
2624, 25syl6sseq 3390 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W
)  /\  D  e.  U.
ran  *Met )  ->  dom  dom  D  C_  ( Base `  G ) )
27 simpr 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W
)  /\  D  e.  U.
ran  *Met )  ->  D  e.  U. ran  *Met )
28 xmetunirn 19754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  U. ran  *Met 
<->  D  e.  ( *Met `  dom  dom  D ) )
2927, 28sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W
)  /\  D  e.  U.
ran  *Met )  ->  D  e.  ( *Met `  dom  dom  D
) )
30 eqid 2433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( MetOpen `  D )  =  (
MetOpen `  D )
3130mopnuni 19858 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  ( *Met ` 
dom  dom  D )  ->  dom  dom  D  =  U. ( MetOpen `  D )
)
3229, 31syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W
)  /\  D  e.  U.
ran  *Met )  ->  dom  dom  D  =  U. ( MetOpen `  D )
)
331, 14tngbas 20069 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  W  ->  ( Base `  G )  =  ( Base `  T
) )
3433ad2antlr 719 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W
)  /\  D  e.  U.
ran  *Met )  -> 
( Base `  G )  =  ( Base `  T
) )
3526, 32, 343sstr3d 3386 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W
)  /\  D  e.  U.
ran  *Met )  ->  U. ( MetOpen `  D )  C_  ( Base `  T
) )
36 sspwuni 4244 . . . . . . . . 9  |-  ( (
MetOpen `  D )  C_  ~P ( Base `  T
)  <->  U. ( MetOpen `  D
)  C_  ( Base `  T ) )
3735, 36sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W
)  /\  D  e.  U.
ran  *Met )  -> 
( MetOpen `  D )  C_ 
~P ( Base `  T
) )
3837ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  ( D  e.  U. ran  *Met  ->  ( MetOpen
`  D )  C_  ~P ( Base `  T
) ) )
397, 38syl5 32 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  ( D  e.  dom  MetOpen  ->  ( MetOpen `  D )  C_ 
~P ( Base `  T
) ) )
40 ndmfv 5702 . . . . . . 7  |-  ( -.  D  e.  dom  MetOpen  ->  ( MetOpen
`  D )  =  (/) )
41 0ss 3654 . . . . . . 7  |-  (/)  C_  ~P ( Base `  T )
4240, 41syl6eqss 3394 . . . . . 6  |-  ( -.  D  e.  dom  MetOpen  ->  ( MetOpen
`  D )  C_  ~P ( Base `  T
) )
4339, 42pm2.61d1 159 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  ( MetOpen `  D )  C_ 
~P ( Base `  T
) )
443, 43syl5eqss 3388 . . . 4  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  J  C_  ~P ( Base `  T ) )
454, 44eqsstr3d 3379 . . 3  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  (TopSet `  T )  C_ 
~P ( Base `  T
) )
46 eqid 2433 . . . 4  |-  ( Base `  T )  =  (
Base `  T )
47 eqid 2433 . . . 4  |-  (TopSet `  T )  =  (TopSet `  T )
4846, 47topnid 14357 . . 3  |-  ( (TopSet `  T )  C_  ~P ( Base `  T )  ->  (TopSet `  T )  =  ( TopOpen `  T
) )
4945, 48syl 16 . 2  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  (TopSet `  T )  =  ( TopOpen `  T
) )
504, 49eqtrd 2465 1  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  J  =  ( TopOpen `  T ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755    C_ wss 3316   (/)c0 3625   ~Pcpw 3848   U.cuni 4079    X. cxp 4825   dom cdm 4827   ran crn 4828    o. ccom 4831   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   Basecbs 14157   +g cplusg 14221  TopSetcts 14227   distcds 14230   TopOpenctopn 14343   topGenctg 14359   invgcminusg 15394   -gcsg 15396   *Metcxmt 17645   ballcbl 17647   MetOpencmopn 17650   toNrmGrp ctng 20013
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-map 7204  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-sup 7679  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-10 10376  df-n0 10568  df-z 10635  df-dec 10744  df-uz 10850  df-q 10942  df-rp 10980  df-xneg 11077  df-xadd 11078  df-xmul 11079  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-tset 14240  df-ds 14243  df-rest 14344  df-topn 14345  df-topgen 14365  df-sbg 15527  df-psmet 17653  df-xmet 17654  df-bl 17656  df-mopn 17657  df-top 18345  df-bases 18347  df-topon 18348  df-tng 20019
This theorem is referenced by:  tngngp2  20080  tchtopn  20583
  Copyright terms: Public domain W3C validator