MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngtopn Structured version   Unicode version

Theorem tngtopn 20216
Description: The topology generated by a normed structure. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngbas.t  |-  T  =  ( G toNrmGrp  N )
tngtset.2  |-  D  =  ( dist `  T
)
tngtset.3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
tngtopn  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  J  =  ( TopOpen `  T ) )

Proof of Theorem tngtopn
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tngbas.t . . 3  |-  T  =  ( G toNrmGrp  N )
2 tngtset.2 . . 3  |-  D  =  ( dist `  T
)
3 tngtset.3 . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
41, 2, 3tngtset 20215 . 2  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  J  =  (TopSet `  T ) )
5 df-mopn 17793 . . . . . . . . 9  |-  MetOpen  =  ( x  e.  U. ran  *Met  |->  ( topGen `  ran  ( ball `  x )
) )
65dmmptss 5329 . . . . . . . 8  |-  dom  MetOpen  C_  U. ran  *Met
76sseli 3347 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  dom  MetOpen  ->  D  e.  U. ran  *Met )
8 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
91, 8tngds 20214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  W  ->  ( N  o.  ( -g `  G ) )  =  ( dist `  T
) )
109, 2syl6eqr 2488 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  W  ->  ( N  o.  ( -g `  G ) )  =  D )
1110adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  ( N  o.  ( -g `  G ) )  =  D )
1211dmeqd 5037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  dom  ( N  o.  ( -g `  G ) )  =  dom  D
)
13 dmcoss 5094 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  dom  ( N  o.  ( -g `  G ) )  C_  dom  ( -g `  G
)
14 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
15 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
16 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
1714, 15, 16, 8grpsubfval 15571 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -g `  G )  =  ( x  e.  ( Base `  G ) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( x ( +g  `  G ) ( ( invg `  G ) `  y
) ) )
18 ovex 6111 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x ( +g  `  G
) ( ( invg `  G ) `
 y ) )  e.  _V
1917, 18dmmpt2 6639 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  dom  ( -g `  G )  =  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) )
2013, 19sseqtri 3383 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  ( N  o.  ( -g `  G ) )  C_  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) )
2112, 20syl6eqssr 3402 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  dom  D  C_  (
( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) )
2221adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W
)  /\  D  e.  U.
ran  *Met )  ->  dom  D  C_  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) )
23 dmss 5034 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( dom 
D  C_  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) )  ->  dom  dom 
D  C_  dom  ( (
Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W
)  /\  D  e.  U.
ran  *Met )  ->  dom  dom  D  C_  dom  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) )
25 dmxpid 5054 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  (
( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) )  =  (
Base `  G )
2624, 25syl6sseq 3397 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W
)  /\  D  e.  U.
ran  *Met )  ->  dom  dom  D  C_  ( Base `  G ) )
27 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W
)  /\  D  e.  U.
ran  *Met )  ->  D  e.  U. ran  *Met )
28 xmetunirn 19892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  U. ran  *Met 
<->  D  e.  ( *Met `  dom  dom  D ) )
2927, 28sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W
)  /\  D  e.  U.
ran  *Met )  ->  D  e.  ( *Met `  dom  dom  D
) )
30 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( MetOpen `  D )  =  (
MetOpen `  D )
3130mopnuni 19996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  ( *Met ` 
dom  dom  D )  ->  dom  dom  D  =  U. ( MetOpen `  D )
)
3229, 31syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W
)  /\  D  e.  U.
ran  *Met )  ->  dom  dom  D  =  U. ( MetOpen `  D )
)
331, 14tngbas 20207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  W  ->  ( Base `  G )  =  ( Base `  T
) )
3433ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W
)  /\  D  e.  U.
ran  *Met )  -> 
( Base `  G )  =  ( Base `  T
) )
3526, 32, 343sstr3d 3393 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W
)  /\  D  e.  U.
ran  *Met )  ->  U. ( MetOpen `  D )  C_  ( Base `  T
) )
36 sspwuni 4251 . . . . . . . . 9  |-  ( (
MetOpen `  D )  C_  ~P ( Base `  T
)  <->  U. ( MetOpen `  D
)  C_  ( Base `  T ) )
3735, 36sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W
)  /\  D  e.  U.
ran  *Met )  -> 
( MetOpen `  D )  C_ 
~P ( Base `  T
) )
3837ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  ( D  e.  U. ran  *Met  ->  ( MetOpen
`  D )  C_  ~P ( Base `  T
) ) )
397, 38syl5 32 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  ( D  e.  dom  MetOpen  ->  ( MetOpen `  D )  C_ 
~P ( Base `  T
) ) )
40 ndmfv 5709 . . . . . . 7  |-  ( -.  D  e.  dom  MetOpen  ->  ( MetOpen
`  D )  =  (/) )
41 0ss 3661 . . . . . . 7  |-  (/)  C_  ~P ( Base `  T )
4240, 41syl6eqss 3401 . . . . . 6  |-  ( -.  D  e.  dom  MetOpen  ->  ( MetOpen
`  D )  C_  ~P ( Base `  T
) )
4339, 42pm2.61d1 159 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  ( MetOpen `  D )  C_ 
~P ( Base `  T
) )
443, 43syl5eqss 3395 . . . 4  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  J  C_  ~P ( Base `  T ) )
454, 44eqsstr3d 3386 . . 3  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  (TopSet `  T )  C_ 
~P ( Base `  T
) )
46 eqid 2438 . . . 4  |-  ( Base `  T )  =  (
Base `  T )
47 eqid 2438 . . . 4  |-  (TopSet `  T )  =  (TopSet `  T )
4846, 47topnid 14366 . . 3  |-  ( (TopSet `  T )  C_  ~P ( Base `  T )  ->  (TopSet `  T )  =  ( TopOpen `  T
) )
4945, 48syl 16 . 2  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  (TopSet `  T )  =  ( TopOpen `  T
) )
504, 49eqtrd 2470 1  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  J  =  ( TopOpen `  T ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    C_ wss 3323   (/)c0 3632   ~Pcpw 3855   U.cuni 4086    X. cxp 4833   dom cdm 4835   ran crn 4836    o. ccom 4839   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   Basecbs 14166   +g cplusg 14230  TopSetcts 14236   distcds 14239   TopOpenctopn 14352   topGenctg 14368   invgcminusg 15403   -gcsg 15405   *Metcxmt 17781   ballcbl 17783   MetOpencmopn 17786   toNrmGrp ctng 20151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-tset 14249  df-ds 14252  df-rest 14353  df-topn 14354  df-topgen 14374  df-sbg 15538  df-psmet 17789  df-xmet 17790  df-bl 17792  df-mopn 17793  df-top 18483  df-bases 18485  df-topon 18486  df-tng 20157
This theorem is referenced by:  tngngp2  20218  tchtopn  20721
  Copyright terms: Public domain W3C validator