MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngnrg Structured version   Unicode version

Theorem tngnrg 20277
Description: Given any absolute value over a ring, augmenting the ring with the absolute value produces a normed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngnrg.t  |-  T  =  ( R toNrmGrp  F )
tngnrg.a  |-  A  =  (AbsVal `  R )
Assertion
Ref Expression
tngnrg  |-  ( F  e.  A  ->  T  e. NrmRing )

Proof of Theorem tngnrg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tngnrg.a . . . . 5  |-  A  =  (AbsVal `  R )
21abvrcl 16928 . . . 4  |-  ( F  e.  A  ->  R  e.  Ring )
3 rnggrp 16672 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( F  e.  A  ->  R  e.  Grp )
5 tngnrg.t . . . . 5  |-  T  =  ( R toNrmGrp  F )
6 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( -g `  R )  =  (
-g `  R )
75, 6tngds 20256 . . . 4  |-  ( F  e.  A  ->  ( F  o.  ( -g `  R ) )  =  ( dist `  T
) )
8 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
98, 1, 6abvmet 20190 . . . 4  |-  ( F  e.  A  ->  ( F  o.  ( -g `  R ) )  e.  ( Met `  ( Base `  R ) ) )
107, 9eqeltrrd 2518 . . 3  |-  ( F  e.  A  ->  ( dist `  T )  e.  ( Met `  ( Base `  R ) ) )
111, 8abvf 16930 . . . 4  |-  ( F  e.  A  ->  F : ( Base `  R
) --> RR )
12 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( dist `  T )  =  (
dist `  T )
135, 8, 12tngngp2 20260 . . . 4  |-  ( F : ( Base `  R
) --> RR  ->  ( T  e. NrmGrp  <->  ( R  e. 
Grp  /\  ( dist `  T )  e.  ( Met `  ( Base `  R ) ) ) ) )
1411, 13syl 16 . . 3  |-  ( F  e.  A  ->  ( T  e. NrmGrp  <->  ( R  e. 
Grp  /\  ( dist `  T )  e.  ( Met `  ( Base `  R ) ) ) ) )
154, 10, 14mpbir2and 913 . 2  |-  ( F  e.  A  ->  T  e. NrmGrp )
16 reex 9394 . . . . . 6  |-  RR  e.  _V
175, 8, 16tngnm 20259 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  F : ( Base `  R
) --> RR )  ->  F  =  ( norm `  T ) )
184, 11, 17syl2anc 661 . . . 4  |-  ( F  e.  A  ->  F  =  ( norm `  T
) )
19 eqidd 2444 . . . . . 6  |-  ( F  e.  A  ->  ( Base `  R )  =  ( Base `  R
) )
205, 8tngbas 20249 . . . . . 6  |-  ( F  e.  A  ->  ( Base `  R )  =  ( Base `  T
) )
21 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
225, 21tngplusg 20250 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  A  ->  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  T
) )
2322proplem3 14650 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R ) ) )  ->  ( x ( +g  `  R ) y )  =  ( x ( +g  `  T
) y ) )
24 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
255, 24tngmulr 20252 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  A  ->  ( .r `  R )  =  ( .r `  T
) )
2625proplem3 14650 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R ) ) )  ->  ( x ( .r `  R ) y )  =  ( x ( .r `  T ) y ) )
2719, 20, 23, 26abvpropd 16949 . . . . 5  |-  ( F  e.  A  ->  (AbsVal `  R )  =  (AbsVal `  T ) )
281, 27syl5eq 2487 . . . 4  |-  ( F  e.  A  ->  A  =  (AbsVal `  T )
)
2918, 28eleq12d 2511 . . 3  |-  ( F  e.  A  ->  ( F  e.  A  <->  ( norm `  T )  e.  (AbsVal `  T ) ) )
3029ibi 241 . 2  |-  ( F  e.  A  ->  ( norm `  T )  e.  (AbsVal `  T )
)
31 eqid 2443 . . 3  |-  ( norm `  T )  =  (
norm `  T )
32 eqid 2443 . . 3  |-  (AbsVal `  T )  =  (AbsVal `  T )
3331, 32isnrg 20263 . 2  |-  ( T  e. NrmRing 
<->  ( T  e. NrmGrp  /\  ( norm `  T )  e.  (AbsVal `  T )
) )
3415, 30, 33sylanbrc 664 1  |-  ( F  e.  A  ->  T  e. NrmRing )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    o. ccom 4865   -->wf 5435   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   RRcr 9302   Basecbs 14195   +g cplusg 14259   .rcmulr 14260   distcds 14268   Grpcgrp 15431   -gcsg 15434   Ringcrg 16667  AbsValcabv 16923   Metcme 17824   normcnm 20191  NrmGrpcngp 20192   toNrmGrp ctng 20193  NrmRingcnrg 20194
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-er 7122  df-map 7237  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-sup 7712  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-7 10406  df-8 10407  df-9 10408  df-10 10409  df-n0 10601  df-z 10668  df-dec 10777  df-uz 10883  df-q 10975  df-rp 11013  df-xneg 11110  df-xadd 11111  df-xmul 11112  df-ico 11327  df-seq 11828  df-exp 11887  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-plusg 14272  df-mulr 14273  df-tset 14278  df-ds 14281  df-rest 14382  df-topn 14383  df-0g 14401  df-topgen 14403  df-mnd 15436  df-grp 15566  df-minusg 15567  df-sbg 15568  df-mgp 16614  df-ur 16626  df-rng 16669  df-abv 16924  df-psmet 17831  df-xmet 17832  df-met 17833  df-bl 17834  df-mopn 17835  df-top 18525  df-bases 18527  df-topon 18528  df-topsp 18529  df-xms 19917  df-ms 19918  df-nm 20197  df-ngp 20198  df-tng 20199  df-nrg 20200
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator