MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngnrg Structured version   Unicode version

Theorem tngnrg 20099
Description: Given any absolute value over a ring, augmenting the ring with the absolute value produces a normed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngnrg.t  |-  T  =  ( R toNrmGrp  F )
tngnrg.a  |-  A  =  (AbsVal `  R )
Assertion
Ref Expression
tngnrg  |-  ( F  e.  A  ->  T  e. NrmRing )

Proof of Theorem tngnrg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tngnrg.a . . . . 5  |-  A  =  (AbsVal `  R )
21abvrcl 16832 . . . 4  |-  ( F  e.  A  ->  R  e.  Ring )
3 rnggrp 16588 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( F  e.  A  ->  R  e.  Grp )
5 tngnrg.t . . . . 5  |-  T  =  ( R toNrmGrp  F )
6 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( -g `  R )  =  (
-g `  R )
75, 6tngds 20078 . . . 4  |-  ( F  e.  A  ->  ( F  o.  ( -g `  R ) )  =  ( dist `  T
) )
8 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
98, 1, 6abvmet 20012 . . . 4  |-  ( F  e.  A  ->  ( F  o.  ( -g `  R ) )  e.  ( Met `  ( Base `  R ) ) )
107, 9eqeltrrd 2510 . . 3  |-  ( F  e.  A  ->  ( dist `  T )  e.  ( Met `  ( Base `  R ) ) )
111, 8abvf 16834 . . . 4  |-  ( F  e.  A  ->  F : ( Base `  R
) --> RR )
12 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( dist `  T )  =  (
dist `  T )
135, 8, 12tngngp2 20082 . . . 4  |-  ( F : ( Base `  R
) --> RR  ->  ( T  e. NrmGrp  <->  ( R  e. 
Grp  /\  ( dist `  T )  e.  ( Met `  ( Base `  R ) ) ) ) )
1411, 13syl 16 . . 3  |-  ( F  e.  A  ->  ( T  e. NrmGrp  <->  ( R  e. 
Grp  /\  ( dist `  T )  e.  ( Met `  ( Base `  R ) ) ) ) )
154, 10, 14mpbir2and 908 . 2  |-  ( F  e.  A  ->  T  e. NrmGrp )
16 reex 9363 . . . . . 6  |-  RR  e.  _V
175, 8, 16tngnm 20081 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  F : ( Base `  R
) --> RR )  ->  F  =  ( norm `  T ) )
184, 11, 17syl2anc 656 . . . 4  |-  ( F  e.  A  ->  F  =  ( norm `  T
) )
19 eqidd 2436 . . . . . 6  |-  ( F  e.  A  ->  ( Base `  R )  =  ( Base `  R
) )
205, 8tngbas 20071 . . . . . 6  |-  ( F  e.  A  ->  ( Base `  R )  =  ( Base `  T
) )
21 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
225, 21tngplusg 20072 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  A  ->  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  T
) )
2322proplem3 14614 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R ) ) )  ->  ( x ( +g  `  R ) y )  =  ( x ( +g  `  T
) y ) )
24 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
255, 24tngmulr 20074 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  A  ->  ( .r `  R )  =  ( .r `  T
) )
2625proplem3 14614 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R ) ) )  ->  ( x ( .r `  R ) y )  =  ( x ( .r `  T ) y ) )
2719, 20, 23, 26abvpropd 16853 . . . . 5  |-  ( F  e.  A  ->  (AbsVal `  R )  =  (AbsVal `  T ) )
281, 27syl5eq 2479 . . . 4  |-  ( F  e.  A  ->  A  =  (AbsVal `  T )
)
2918, 28eleq12d 2503 . . 3  |-  ( F  e.  A  ->  ( F  e.  A  <->  ( norm `  T )  e.  (AbsVal `  T ) ) )
3029ibi 241 . 2  |-  ( F  e.  A  ->  ( norm `  T )  e.  (AbsVal `  T )
)
31 eqid 2435 . . 3  |-  ( norm `  T )  =  (
norm `  T )
32 eqid 2435 . . 3  |-  (AbsVal `  T )  =  (AbsVal `  T )
3331, 32isnrg 20085 . 2  |-  ( T  e. NrmRing 
<->  ( T  e. NrmGrp  /\  ( norm `  T )  e.  (AbsVal `  T )
) )
3415, 30, 33sylanbrc 659 1  |-  ( F  e.  A  ->  T  e. NrmRing )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1757    o. ccom 4833   -->wf 5404   ` cfv 5408  (class class class)co 6082   RRcr 9271   Basecbs 14159   +g cplusg 14223   .rcmulr 14224   distcds 14232   Grpcgrp 15395   -gcsg 15398   Ringcrg 16579  AbsValcabv 16827   Metcme 17648   normcnm 20013  NrmGrpcngp 20014   toNrmGrp ctng 20015  NrmRingcnrg 20016
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2416  ax-rep 4393  ax-sep 4403  ax-nul 4411  ax-pow 4460  ax-pr 4521  ax-un 6363  ax-cnex 9328  ax-resscn 9329  ax-1cn 9330  ax-icn 9331  ax-addcl 9332  ax-addrcl 9333  ax-mulcl 9334  ax-mulrcl 9335  ax-mulcom 9336  ax-addass 9337  ax-mulass 9338  ax-distr 9339  ax-i2m1 9340  ax-1ne0 9341  ax-1rid 9342  ax-rnegex 9343  ax-rrecex 9344  ax-cnre 9345  ax-pre-lttri 9346  ax-pre-lttrn 9347  ax-pre-ltadd 9348  ax-pre-mulgt0 9349  ax-pre-sup 9350
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1702  df-eu 2260  df-mo 2261  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2966  df-sbc 3178  df-csb 3279  df-dif 3321  df-un 3323  df-in 3325  df-ss 3332  df-pss 3334  df-nul 3628  df-if 3782  df-pw 3852  df-sn 3868  df-pr 3870  df-tp 3872  df-op 3874  df-uni 4082  df-iun 4163  df-br 4283  df-opab 4341  df-mpt 4342  df-tr 4376  df-eprel 4621  df-id 4625  df-po 4630  df-so 4631  df-fr 4668  df-we 4670  df-ord 4711  df-on 4712  df-lim 4713  df-suc 4714  df-xp 4835  df-rel 4836  df-cnv 4837  df-co 4838  df-dm 4839  df-rn 4840  df-res 4841  df-ima 4842  df-iota 5371  df-fun 5410  df-fn 5411  df-f 5412  df-f1 5413  df-fo 5414  df-f1o 5415  df-fv 5416  df-riota 6041  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-om 6468  df-1st 6568  df-2nd 6569  df-recs 6820  df-rdg 6854  df-er 7091  df-map 7206  df-en 7301  df-dom 7302  df-sdom 7303  df-sup 7681  df-pnf 9410  df-mnf 9411  df-xr 9412  df-ltxr 9413  df-le 9414  df-sub 9587  df-neg 9588  df-div 9984  df-nn 10313  df-2 10370  df-3 10371  df-4 10372  df-5 10373  df-6 10374  df-7 10375  df-8 10376  df-9 10377  df-10 10378  df-n0 10570  df-z 10637  df-dec 10746  df-uz 10852  df-q 10944  df-rp 10982  df-xneg 11079  df-xadd 11080  df-xmul 11081  df-ico 11296  df-seq 11793  df-exp 11852  df-ndx 14162  df-slot 14163  df-base 14164  df-sets 14165  df-plusg 14236  df-mulr 14237  df-tset 14242  df-ds 14245  df-rest 14346  df-topn 14347  df-0g 14365  df-topgen 14367  df-mnd 15400  df-grp 15527  df-minusg 15528  df-sbg 15529  df-mgp 16568  df-rng 16582  df-ur 16584  df-abv 16828  df-psmet 17655  df-xmet 17656  df-met 17657  df-bl 17658  df-mopn 17659  df-top 18347  df-bases 18349  df-topon 18350  df-topsp 18351  df-xms 19739  df-ms 19740  df-nm 20019  df-ngp 20020  df-tng 20021  df-nrg 20022
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator