Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngnm Structured version   Unicode version

Theorem tngnm 21291
 Description: The topology generated by a normed structure. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngnm.t toNrmGrp
tngnm.x
tngnm.a
Assertion
Ref Expression
tngnm

Proof of Theorem tngnm
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . 3
21feqmptd 5926 . 2
3 tngnm.x . . . . . . . 8
4 eqid 2457 . . . . . . . 8
53, 4grpsubf 16244 . . . . . . 7
65ad2antrr 725 . . . . . 6
7 simpr 461 . . . . . . 7
8 eqid 2457 . . . . . . . . 9
93, 8grpidcl 16205 . . . . . . . 8
109ad2antrr 725 . . . . . . 7
11 opelxpi 5040 . . . . . . 7
127, 10, 11syl2anc 661 . . . . . 6
13 fvco3 5950 . . . . . 6
146, 12, 13syl2anc 661 . . . . 5
15 df-ov 6299 . . . . 5
16 df-ov 6299 . . . . . 6
1716fveq2i 5875 . . . . 5
1814, 15, 173eqtr4g 2523 . . . 4
193, 8, 4grpsubid1 16250 . . . . . 6
2019adantlr 714 . . . . 5
2120fveq2d 5876 . . . 4
2218, 21eqtr2d 2499 . . 3
2322mpteq2dva 4543 . 2
24 fvex 5882 . . . . . . . 8
253, 24eqeltri 2541 . . . . . . 7
26 tngnm.a . . . . . . 7
27 fex2 6754 . . . . . . 7
2825, 26, 27mp3an23 1316 . . . . . 6
2928adantl 466 . . . . 5
30 tngnm.t . . . . . 6 toNrmGrp
3130, 3tngbas 21281 . . . . 5
3229, 31syl 16 . . . 4
3330, 4tngds 21288 . . . . . 6
3429, 33syl 16 . . . . 5
35 eqidd 2458 . . . . 5
3630, 8tng0 21283 . . . . . 6
3729, 36syl 16 . . . . 5
3834, 35, 37oveq123d 6317 . . . 4
3932, 38mpteq12dv 4535 . . 3
40 eqid 2457 . . . 4
41 eqid 2457 . . . 4
42 eqid 2457 . . . 4
43 eqid 2457 . . . 4
4440, 41, 42, 43nmfval 21235 . . 3
4539, 44syl6eqr 2516 . 2
462, 23, 453eqtrd 2502 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1395   wcel 1819  cvv 3109  cop 4038   cmpt 4515   cxp 5006   ccom 5012  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6296  cbs 14644  cds 14721  c0g 14857  cgrp 16180  csg 16182  cnm 21223   toNrmGrp ctng 21225 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-plusg 14725  df-tset 14731  df-ds 14734  df-0g 14859  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-nm 21229  df-tng 21231 This theorem is referenced by:  tngngp2  21292  tngngp  21294  tngnrg  21309  tchnmfval  21797  tchcph  21806
 Copyright terms: Public domain W3C validator