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Theorem tngngp 20199
Description: Derive the axioms for a normed group from the axioms for a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngngp.t  |-  T  =  ( G toNrmGrp  N )
tngngp.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
tngngp.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
tngngp.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
tngngp  |-  ( N : X --> RR  ->  ( T  e. NrmGrp  <->  ( G  e. 
Grp  /\  A. x  e.  X  ( (
( N `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y ) )  <_ 
( ( N `  x )  +  ( N `  y ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,  .-    x, N, y    x, T, y    x, X, y   
x,  .0. , y
Allowed substitution hints:    G( x, y)

Proof of Theorem tngngp
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tngngp.t . . . . 5  |-  T  =  ( G toNrmGrp  N )
2 tngngp.x . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  G
)
3 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( dist `  T )  =  (
dist `  T )
41, 2, 3tngngp2 20197 . . . 4  |-  ( N : X --> RR  ->  ( T  e. NrmGrp  <->  ( G  e. 
Grp  /\  ( dist `  T )  e.  ( Met `  X ) ) ) )
54simprbda 620 . . 3  |-  ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  ->  G  e.  Grp )
6 simplr 749 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  T  e. NrmGrp )
7 simpr 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  x  e.  X )
8 fvex 5698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  G )  e.  _V
92, 8eqeltri 2511 . . . . . . . . . . 11  |-  X  e. 
_V
10 reex 9369 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  e.  _V
11 fex2 6531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N : X --> RR  /\  X  e.  _V  /\  RR  e.  _V )  ->  N  e.  _V )
129, 10, 11mp3an23 1301 . . . . . . . . . 10  |-  ( N : X --> RR  ->  N  e.  _V )
1312ad2antrr 720 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  N  e.  _V )
141, 2tngbas 20186 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  _V  ->  X  =  ( Base `  T
) )
1513, 14syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  X  =  ( Base `  T )
)
167, 15eleqtrd 2517 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  x  e.  ( Base `  T )
)
17 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  T )  =  (
Base `  T )
18 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( norm `  T )  =  (
norm `  T )
19 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  T )  =  ( 0g `  T
)
2017, 18, 19nmeq0 20168 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e. NrmGrp  /\  x  e.  ( Base `  T
) )  ->  (
( ( norm `  T
) `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  T ) ) )
216, 16, 20syl2anc 656 . . . . . 6  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( (
( norm `  T ) `  x )  =  0  <-> 
x  =  ( 0g
`  T ) ) )
225adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  G  e.  Grp )
23 simpll 748 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  N : X
--> RR )
241, 2, 10tngnm 20196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N : X --> RR )  ->  N  =  (
norm `  T )
)
2522, 23, 24syl2anc 656 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  N  =  ( norm `  T )
)
2625fveq1d 5690 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( N `  x )  =  ( ( norm `  T
) `  x )
)
2726eqeq1d 2449 . . . . . 6  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( N `  x )  =  0  <->  ( ( norm `  T ) `  x )  =  0 ) )
28 tngngp.z . . . . . . . . 9  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
291, 28tng0 20188 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  _V  ->  .0.  =  ( 0g `  T ) )
3013, 29syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  .0.  =  ( 0g `  T ) )
3130eqeq2d 2452 . . . . . 6  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( x  =  .0.  <->  x  =  ( 0g `  T ) ) )
3221, 27, 313bitr4d 285 . . . . 5  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( N `  x )  =  0  <->  x  =  .0.  ) )
33 simpllr 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N : X
--> RR  /\  T  e. NrmGrp
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  T  e. NrmGrp )
3416adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N : X
--> RR  /\  T  e. NrmGrp
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  x  e.  ( Base `  T
) )
3515eleq2d 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( y  e.  X  <->  y  e.  (
Base `  T )
) )
3635biimpa 481 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N : X
--> RR  /\  T  e. NrmGrp
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  y  e.  ( Base `  T
) )
37 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( -g `  T )  =  (
-g `  T )
3817, 18, 37nmmtri 20172 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e. NrmGrp  /\  x  e.  ( Base `  T
)  /\  y  e.  ( Base `  T )
)  ->  ( ( norm `  T ) `  ( x ( -g `  T ) y ) )  <_  ( (
( norm `  T ) `  x )  +  ( ( norm `  T
) `  y )
) )
3933, 34, 36, 38syl3anc 1213 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N : X
--> RR  /\  T  e. NrmGrp
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
( norm `  T ) `  ( x ( -g `  T ) y ) )  <_  ( (
( norm `  T ) `  x )  +  ( ( norm `  T
) `  y )
) )
40 tngngp.m . . . . . . . . . . 11  |-  .-  =  ( -g `  G )
412, 15syl5eqr 2487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( Base `  G )  =  (
Base `  T )
)
42 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
431, 42tngplusg 20187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  _V  ->  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  T
) )
4413, 43syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  T ) )
4541, 44grpsubpropd 15619 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( -g `  G )  =  (
-g `  T )
)
4640, 45syl5eq 2485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  .-  =  (
-g `  T )
)
4746oveqd 6107 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( x  .-  y )  =  ( x ( -g `  T
) y ) )
4825, 47fveq12d 5694 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( N `  ( x  .-  y
) )  =  ( ( norm `  T
) `  ( x
( -g `  T ) y ) ) )
4948adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N : X
--> RR  /\  T  e. NrmGrp
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  ( N `  ( x  .-  y ) )  =  ( ( norm `  T
) `  ( x
( -g `  T ) y ) ) )
5025fveq1d 5690 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( N `  y )  =  ( ( norm `  T
) `  y )
)
5126, 50oveq12d 6108 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( N `  x )  +  ( N `  y ) )  =  ( ( ( norm `  T ) `  x
)  +  ( (
norm `  T ) `  y ) ) )
5251adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N : X
--> RR  /\  T  e. NrmGrp
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
( N `  x
)  +  ( N `
 y ) )  =  ( ( (
norm `  T ) `  x )  +  ( ( norm `  T
) `  y )
) )
5339, 49, 523brtr4d 4319 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N : X
--> RR  /\  T  e. NrmGrp
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  ( N `  ( x  .-  y ) )  <_ 
( ( N `  x )  +  ( N `  y ) ) )
5453ralrimiva 2797 . . . . 5  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y
) )  <_  (
( N `  x
)  +  ( N `
 y ) ) )
5532, 54jca 529 . . . 4  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( (
( N `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y ) )  <_ 
( ( N `  x )  +  ( N `  y ) ) ) )
5655ralrimiva 2797 . . 3  |-  ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  ->  A. x  e.  X  ( ( ( N `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x 
.-  y ) )  <_  ( ( N `
 x )  +  ( N `  y
) ) ) )
575, 56jca 529 . 2  |-  ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  ->  ( G  e.  Grp  /\  A. x  e.  X  ( ( ( N `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x 
.-  y ) )  <_  ( ( N `
 x )  +  ( N `  y
) ) ) ) )
58 simprl 750 . . 3  |-  ( ( N : X --> RR  /\  ( G  e.  Grp  /\ 
A. x  e.  X  ( ( ( N `
 x )  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y ) )  <_  ( ( N `  x )  +  ( N `  y ) ) ) ) )  ->  G  e.  Grp )
59 simpl 454 . . 3  |-  ( ( N : X --> RR  /\  ( G  e.  Grp  /\ 
A. x  e.  X  ( ( ( N `
 x )  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y ) )  <_  ( ( N `  x )  +  ( N `  y ) ) ) ) )  ->  N : X --> RR )
60 simpl 454 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x 
.-  y ) )  <_  ( ( N `
 x )  +  ( N `  y
) ) )  -> 
( ( N `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )
)
6160ralimi 2789 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  X  (
( ( N `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x 
.-  y ) )  <_  ( ( N `
 x )  +  ( N `  y
) ) )  ->  A. x  e.  X  ( ( N `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )
)
6261ad2antll 723 . . . 4  |-  ( ( N : X --> RR  /\  ( G  e.  Grp  /\ 
A. x  e.  X  ( ( ( N `
 x )  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y ) )  <_  ( ( N `  x )  +  ( N `  y ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  X  ( ( N `  x )  =  0  <->  x  =  .0.  ) )
63 fveq2 5688 . . . . . . 7  |-  ( x  =  a  ->  ( N `  x )  =  ( N `  a ) )
6463eqeq1d 2449 . . . . . 6  |-  ( x  =  a  ->  (
( N `  x
)  =  0  <->  ( N `  a )  =  0 ) )
65 eqeq1 2447 . . . . . 6  |-  ( x  =  a  ->  (
x  =  .0.  <->  a  =  .0.  ) )
6664, 65bibi12d 321 . . . . 5  |-  ( x  =  a  ->  (
( ( N `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  <->  ( ( N `  a
)  =  0  <->  a  =  .0.  ) ) )
6766rspccva 3069 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  X  ( ( N `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  /\  a  e.  X
)  ->  ( ( N `  a )  =  0  <->  a  =  .0.  ) )
6862, 67sylan 468 . . 3  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  ( G  e. 
Grp  /\  A. x  e.  X  ( (
( N `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y ) )  <_ 
( ( N `  x )  +  ( N `  y ) ) ) ) )  /\  a  e.  X
)  ->  ( ( N `  a )  =  0  <->  a  =  .0.  ) )
69 simpr 458 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x 
.-  y ) )  <_  ( ( N `
 x )  +  ( N `  y
) ) )  ->  A. y  e.  X  ( N `  ( x 
.-  y ) )  <_  ( ( N `
 x )  +  ( N `  y
) ) )
7069ralimi 2789 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  X  (
( ( N `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x 
.-  y ) )  <_  ( ( N `
 x )  +  ( N `  y
) ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( N `  ( x 
.-  y ) )  <_  ( ( N `
 x )  +  ( N `  y
) ) )
7170ad2antll 723 . . . 4  |-  ( ( N : X --> RR  /\  ( G  e.  Grp  /\ 
A. x  e.  X  ( ( ( N `
 x )  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y ) )  <_  ( ( N `  x )  +  ( N `  y ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y
) )  <_  (
( N `  x
)  +  ( N `
 y ) ) )
72 oveq1 6097 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  a  ->  (
x  .-  y )  =  ( a  .-  y ) )
7372fveq2d 5692 . . . . . . 7  |-  ( x  =  a  ->  ( N `  ( x  .-  y ) )  =  ( N `  (
a  .-  y )
) )
7463oveq1d 6105 . . . . . . 7  |-  ( x  =  a  ->  (
( N `  x
)  +  ( N `
 y ) )  =  ( ( N `
 a )  +  ( N `  y
) ) )
7573, 74breq12d 4302 . . . . . 6  |-  ( x  =  a  ->  (
( N `  (
x  .-  y )
)  <_  ( ( N `  x )  +  ( N `  y ) )  <->  ( N `  ( a  .-  y
) )  <_  (
( N `  a
)  +  ( N `
 y ) ) ) )
76 oveq2 6098 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  b  ->  (
a  .-  y )  =  ( a  .-  b ) )
7776fveq2d 5692 . . . . . . 7  |-  ( y  =  b  ->  ( N `  ( a  .-  y ) )  =  ( N `  (
a  .-  b )
) )
78 fveq2 5688 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  b  ->  ( N `  y )  =  ( N `  b ) )
7978oveq2d 6106 . . . . . . 7  |-  ( y  =  b  ->  (
( N `  a
)  +  ( N `
 y ) )  =  ( ( N `
 a )  +  ( N `  b
) ) )
8077, 79breq12d 4302 . . . . . 6  |-  ( y  =  b  ->  (
( N `  (
a  .-  y )
)  <_  ( ( N `  a )  +  ( N `  y ) )  <->  ( N `  ( a  .-  b
) )  <_  (
( N `  a
)  +  ( N `
 b ) ) ) )
8175, 80rspc2va 3077 . . . . 5  |-  ( ( ( a  e.  X  /\  b  e.  X
)  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y
) )  <_  (
( N `  x
)  +  ( N `
 y ) ) )  ->  ( N `  ( a  .-  b
) )  <_  (
( N `  a
)  +  ( N `
 b ) ) )
8281ancoms 450 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( N `  ( x 
.-  y ) )  <_  ( ( N `
 x )  +  ( N `  y
) )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( N `  ( a  .-  b
) )  <_  (
( N `  a
)  +  ( N `
 b ) ) )
8371, 82sylan 468 . . 3  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  ( G  e. 
Grp  /\  A. x  e.  X  ( (
( N `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y ) )  <_ 
( ( N `  x )  +  ( N `  y ) ) ) ) )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( N `  (
a  .-  b )
)  <_  ( ( N `  a )  +  ( N `  b ) ) )
841, 2, 40, 28, 58, 59, 68, 83tngngpd 20198 . 2  |-  ( ( N : X --> RR  /\  ( G  e.  Grp  /\ 
A. x  e.  X  ( ( ( N `
 x )  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y ) )  <_  ( ( N `  x )  +  ( N `  y ) ) ) ) )  ->  T  e. NrmGrp )
8557, 84impbida 823 1  |-  ( N : X --> RR  ->  ( T  e. NrmGrp  <->  ( G  e. 
Grp  /\  A. x  e.  X  ( (
( N `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y ) )  <_ 
( ( N `  x )  +  ( N `  y ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   _Vcvv 2970   class class class wbr 4289   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   RRcr 9277   0cc0 9278    + caddc 9281    <_ cle 9415   Basecbs 14170   +g cplusg 14234   distcds 14243   0gc0g 14374   Grpcgrp 15406   -gcsg 15409   Metcme 17761   normcnm 20128  NrmGrpcngp 20129   toNrmGrp ctng 20130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-sup 7687  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-plusg 14247  df-tset 14253  df-ds 14256  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-topgen 14378  df-mnd 15411  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-sbg 15540  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-xms 19854  df-ms 19855  df-nm 20134  df-ngp 20135  df-tng 20136
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