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Theorem tngngp 21293
Description: Derive the axioms for a normed group from the axioms for a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngngp.t  |-  T  =  ( G toNrmGrp  N )
tngngp.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
tngngp.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
tngngp.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
tngngp  |-  ( N : X --> RR  ->  ( T  e. NrmGrp  <->  ( G  e. 
Grp  /\  A. x  e.  X  ( (
( N `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y ) )  <_ 
( ( N `  x )  +  ( N `  y ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,  .-    x, N, y    x, T, y    x, X, y   
x,  .0. , y
Allowed substitution hints:    G( x, y)

Proof of Theorem tngngp
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tngngp.t . . . . 5  |-  T  =  ( G toNrmGrp  N )
2 tngngp.x . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  G
)
3 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( dist `  T )  =  (
dist `  T )
41, 2, 3tngngp2 21291 . . . 4  |-  ( N : X --> RR  ->  ( T  e. NrmGrp  <->  ( G  e. 
Grp  /\  ( dist `  T )  e.  ( Met `  X ) ) ) )
54simprbda 623 . . 3  |-  ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  ->  G  e.  Grp )
6 simplr 755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  T  e. NrmGrp )
7 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  x  e.  X )
8 fvex 5882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  G )  e.  _V
92, 8eqeltri 2541 . . . . . . . . . . 11  |-  X  e. 
_V
10 reex 9600 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  e.  _V
11 fex2 6754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N : X --> RR  /\  X  e.  _V  /\  RR  e.  _V )  ->  N  e.  _V )
129, 10, 11mp3an23 1316 . . . . . . . . . 10  |-  ( N : X --> RR  ->  N  e.  _V )
1312ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  N  e.  _V )
141, 2tngbas 21280 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  _V  ->  X  =  ( Base `  T
) )
1513, 14syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  X  =  ( Base `  T )
)
167, 15eleqtrd 2547 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  x  e.  ( Base `  T )
)
17 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  T )  =  (
Base `  T )
18 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( norm `  T )  =  (
norm `  T )
19 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  T )  =  ( 0g `  T
)
2017, 18, 19nmeq0 21262 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e. NrmGrp  /\  x  e.  ( Base `  T
) )  ->  (
( ( norm `  T
) `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  T ) ) )
216, 16, 20syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( (
( norm `  T ) `  x )  =  0  <-> 
x  =  ( 0g
`  T ) ) )
225adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  G  e.  Grp )
23 simpll 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  N : X
--> RR )
241, 2, 10tngnm 21290 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N : X --> RR )  ->  N  =  (
norm `  T )
)
2522, 23, 24syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  N  =  ( norm `  T )
)
2625fveq1d 5874 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( N `  x )  =  ( ( norm `  T
) `  x )
)
2726eqeq1d 2459 . . . . . 6  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( N `  x )  =  0  <->  ( ( norm `  T ) `  x )  =  0 ) )
28 tngngp.z . . . . . . . . 9  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
291, 28tng0 21282 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  _V  ->  .0.  =  ( 0g `  T ) )
3013, 29syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  .0.  =  ( 0g `  T ) )
3130eqeq2d 2471 . . . . . 6  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( x  =  .0.  <->  x  =  ( 0g `  T ) ) )
3221, 27, 313bitr4d 285 . . . . 5  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( N `  x )  =  0  <->  x  =  .0.  ) )
33 simpllr 760 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N : X
--> RR  /\  T  e. NrmGrp
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  T  e. NrmGrp )
3416adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N : X
--> RR  /\  T  e. NrmGrp
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  x  e.  ( Base `  T
) )
3515eleq2d 2527 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( y  e.  X  <->  y  e.  (
Base `  T )
) )
3635biimpa 484 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N : X
--> RR  /\  T  e. NrmGrp
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  y  e.  ( Base `  T
) )
37 eqid 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( -g `  T )  =  (
-g `  T )
3817, 18, 37nmmtri 21266 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e. NrmGrp  /\  x  e.  ( Base `  T
)  /\  y  e.  ( Base `  T )
)  ->  ( ( norm `  T ) `  ( x ( -g `  T ) y ) )  <_  ( (
( norm `  T ) `  x )  +  ( ( norm `  T
) `  y )
) )
3933, 34, 36, 38syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N : X
--> RR  /\  T  e. NrmGrp
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
( norm `  T ) `  ( x ( -g `  T ) y ) )  <_  ( (
( norm `  T ) `  x )  +  ( ( norm `  T
) `  y )
) )
40 tngngp.m . . . . . . . . . . 11  |-  .-  =  ( -g `  G )
412, 15syl5eqr 2512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( Base `  G )  =  (
Base `  T )
)
42 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
431, 42tngplusg 21281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  _V  ->  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  T
) )
4413, 43syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  T ) )
4541, 44grpsubpropd 16266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( -g `  G )  =  (
-g `  T )
)
4640, 45syl5eq 2510 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  .-  =  (
-g `  T )
)
4746oveqd 6313 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( x  .-  y )  =  ( x ( -g `  T
) y ) )
4825, 47fveq12d 5878 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( N `  ( x  .-  y
) )  =  ( ( norm `  T
) `  ( x
( -g `  T ) y ) ) )
4948adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N : X
--> RR  /\  T  e. NrmGrp
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  ( N `  ( x  .-  y ) )  =  ( ( norm `  T
) `  ( x
( -g `  T ) y ) ) )
5025fveq1d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( N `  y )  =  ( ( norm `  T
) `  y )
)
5126, 50oveq12d 6314 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( N `  x )  +  ( N `  y ) )  =  ( ( ( norm `  T ) `  x
)  +  ( (
norm `  T ) `  y ) ) )
5251adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N : X
--> RR  /\  T  e. NrmGrp
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
( N `  x
)  +  ( N `
 y ) )  =  ( ( (
norm `  T ) `  x )  +  ( ( norm `  T
) `  y )
) )
5339, 49, 523brtr4d 4486 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N : X
--> RR  /\  T  e. NrmGrp
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  ( N `  ( x  .-  y ) )  <_ 
( ( N `  x )  +  ( N `  y ) ) )
5453ralrimiva 2871 . . . . 5  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y
) )  <_  (
( N `  x
)  +  ( N `
 y ) ) )
5532, 54jca 532 . . . 4  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( (
( N `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y ) )  <_ 
( ( N `  x )  +  ( N `  y ) ) ) )
5655ralrimiva 2871 . . 3  |-  ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  ->  A. x  e.  X  ( ( ( N `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x 
.-  y ) )  <_  ( ( N `
 x )  +  ( N `  y
) ) ) )
575, 56jca 532 . 2  |-  ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  ->  ( G  e.  Grp  /\  A. x  e.  X  ( ( ( N `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x 
.-  y ) )  <_  ( ( N `
 x )  +  ( N `  y
) ) ) ) )
58 simprl 756 . . 3  |-  ( ( N : X --> RR  /\  ( G  e.  Grp  /\ 
A. x  e.  X  ( ( ( N `
 x )  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y ) )  <_  ( ( N `  x )  +  ( N `  y ) ) ) ) )  ->  G  e.  Grp )
59 simpl 457 . . 3  |-  ( ( N : X --> RR  /\  ( G  e.  Grp  /\ 
A. x  e.  X  ( ( ( N `
 x )  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y ) )  <_  ( ( N `  x )  +  ( N `  y ) ) ) ) )  ->  N : X --> RR )
60 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x 
.-  y ) )  <_  ( ( N `
 x )  +  ( N `  y
) ) )  -> 
( ( N `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )
)
6160ralimi 2850 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  X  (
( ( N `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x 
.-  y ) )  <_  ( ( N `
 x )  +  ( N `  y
) ) )  ->  A. x  e.  X  ( ( N `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )
)
6261ad2antll 728 . . . 4  |-  ( ( N : X --> RR  /\  ( G  e.  Grp  /\ 
A. x  e.  X  ( ( ( N `
 x )  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y ) )  <_  ( ( N `  x )  +  ( N `  y ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  X  ( ( N `  x )  =  0  <->  x  =  .0.  ) )
63 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( x  =  a  ->  ( N `  x )  =  ( N `  a ) )
6463eqeq1d 2459 . . . . . 6  |-  ( x  =  a  ->  (
( N `  x
)  =  0  <->  ( N `  a )  =  0 ) )
65 eqeq1 2461 . . . . . 6  |-  ( x  =  a  ->  (
x  =  .0.  <->  a  =  .0.  ) )
6664, 65bibi12d 321 . . . . 5  |-  ( x  =  a  ->  (
( ( N `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  <->  ( ( N `  a
)  =  0  <->  a  =  .0.  ) ) )
6766rspccva 3209 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  X  ( ( N `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  /\  a  e.  X
)  ->  ( ( N `  a )  =  0  <->  a  =  .0.  ) )
6862, 67sylan 471 . . 3  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  ( G  e. 
Grp  /\  A. x  e.  X  ( (
( N `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y ) )  <_ 
( ( N `  x )  +  ( N `  y ) ) ) ) )  /\  a  e.  X
)  ->  ( ( N `  a )  =  0  <->  a  =  .0.  ) )
69 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x 
.-  y ) )  <_  ( ( N `
 x )  +  ( N `  y
) ) )  ->  A. y  e.  X  ( N `  ( x 
.-  y ) )  <_  ( ( N `
 x )  +  ( N `  y
) ) )
7069ralimi 2850 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  X  (
( ( N `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x 
.-  y ) )  <_  ( ( N `
 x )  +  ( N `  y
) ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( N `  ( x 
.-  y ) )  <_  ( ( N `
 x )  +  ( N `  y
) ) )
7170ad2antll 728 . . . 4  |-  ( ( N : X --> RR  /\  ( G  e.  Grp  /\ 
A. x  e.  X  ( ( ( N `
 x )  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y ) )  <_  ( ( N `  x )  +  ( N `  y ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y
) )  <_  (
( N `  x
)  +  ( N `
 y ) ) )
72 oveq1 6303 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  a  ->  (
x  .-  y )  =  ( a  .-  y ) )
7372fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( x  =  a  ->  ( N `  ( x  .-  y ) )  =  ( N `  (
a  .-  y )
) )
7463oveq1d 6311 . . . . . . 7  |-  ( x  =  a  ->  (
( N `  x
)  +  ( N `
 y ) )  =  ( ( N `
 a )  +  ( N `  y
) ) )
7573, 74breq12d 4469 . . . . . 6  |-  ( x  =  a  ->  (
( N `  (
x  .-  y )
)  <_  ( ( N `  x )  +  ( N `  y ) )  <->  ( N `  ( a  .-  y
) )  <_  (
( N `  a
)  +  ( N `
 y ) ) ) )
76 oveq2 6304 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  b  ->  (
a  .-  y )  =  ( a  .-  b ) )
7776fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( y  =  b  ->  ( N `  ( a  .-  y ) )  =  ( N `  (
a  .-  b )
) )
78 fveq2 5872 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  b  ->  ( N `  y )  =  ( N `  b ) )
7978oveq2d 6312 . . . . . . 7  |-  ( y  =  b  ->  (
( N `  a
)  +  ( N `
 y ) )  =  ( ( N `
 a )  +  ( N `  b
) ) )
8077, 79breq12d 4469 . . . . . 6  |-  ( y  =  b  ->  (
( N `  (
a  .-  y )
)  <_  ( ( N `  a )  +  ( N `  y ) )  <->  ( N `  ( a  .-  b
) )  <_  (
( N `  a
)  +  ( N `
 b ) ) ) )
8175, 80rspc2va 3220 . . . . 5  |-  ( ( ( a  e.  X  /\  b  e.  X
)  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y
) )  <_  (
( N `  x
)  +  ( N `
 y ) ) )  ->  ( N `  ( a  .-  b
) )  <_  (
( N `  a
)  +  ( N `
 b ) ) )
8281ancoms 453 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( N `  ( x 
.-  y ) )  <_  ( ( N `
 x )  +  ( N `  y
) )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( N `  ( a  .-  b
) )  <_  (
( N `  a
)  +  ( N `
 b ) ) )
8371, 82sylan 471 . . 3  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  ( G  e. 
Grp  /\  A. x  e.  X  ( (
( N `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y ) )  <_ 
( ( N `  x )  +  ( N `  y ) ) ) ) )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( N `  (
a  .-  b )
)  <_  ( ( N `  a )  +  ( N `  b ) ) )
841, 2, 40, 28, 58, 59, 68, 83tngngpd 21292 . 2  |-  ( ( N : X --> RR  /\  ( G  e.  Grp  /\ 
A. x  e.  X  ( ( ( N `
 x )  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y ) )  <_  ( ( N `  x )  +  ( N `  y ) ) ) ) )  ->  T  e. NrmGrp )
8557, 84impbida 832 1  |-  ( N : X --> RR  ->  ( T  e. NrmGrp  <->  ( G  e. 
Grp  /\  A. x  e.  X  ( (
( N `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y ) )  <_ 
( ( N `  x )  +  ( N `  y ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   _Vcvv 3109   class class class wbr 4456   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508   0cc0 9509    + caddc 9512    <_ cle 9646   Basecbs 14643   +g cplusg 14711   distcds 14720   0gc0g 14856   Grpcgrp 16179   -gcsg 16181   Metcme 18530   normcnm 21222  NrmGrpcngp 21223   toNrmGrp ctng 21224
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-plusg 14724  df-tset 14730  df-ds 14733  df-rest 14839  df-topn 14840  df-0g 14858  df-topgen 14860  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-sbg 16185  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-met 18539  df-bl 18540  df-mopn 18541  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-topsp 19529  df-xms 20948  df-ms 20949  df-nm 21228  df-ngp 21229  df-tng 21230
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