Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngngp Structured version   Unicode version

Theorem tngngp 21293
 Description: Derive the axioms for a normed group from the axioms for a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngngp.t toNrmGrp
tngngp.x
tngngp.m
tngngp.z
Assertion
Ref Expression
tngngp NrmGrp
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   , ,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem tngngp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tngngp.t . . . . 5 toNrmGrp
2 tngngp.x . . . . 5
3 eqid 2457 . . . . 5
41, 2, 3tngngp2 21291 . . . 4 NrmGrp
54simprbda 623 . . 3 NrmGrp
6 simplr 755 . . . . . . 7 NrmGrp NrmGrp
7 simpr 461 . . . . . . . 8 NrmGrp
8 fvex 5882 . . . . . . . . . . . 12
92, 8eqeltri 2541 . . . . . . . . . . 11
10 reex 9600 . . . . . . . . . . 11
11 fex2 6754 . . . . . . . . . . 11
129, 10, 11mp3an23 1316 . . . . . . . . . 10
1312ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 NrmGrp
141, 2tngbas 21280 . . . . . . . . 9
1513, 14syl 16 . . . . . . . 8 NrmGrp
167, 15eleqtrd 2547 . . . . . . 7 NrmGrp
17 eqid 2457 . . . . . . . 8
18 eqid 2457 . . . . . . . 8
19 eqid 2457 . . . . . . . 8
2017, 18, 19nmeq0 21262 . . . . . . 7 NrmGrp
216, 16, 20syl2anc 661 . . . . . 6 NrmGrp
225adantr 465 . . . . . . . . 9 NrmGrp
23 simpll 753 . . . . . . . . 9 NrmGrp
241, 2, 10tngnm 21290 . . . . . . . . 9
2522, 23, 24syl2anc 661 . . . . . . . 8 NrmGrp
2625fveq1d 5874 . . . . . . 7 NrmGrp
2726eqeq1d 2459 . . . . . 6 NrmGrp
28 tngngp.z . . . . . . . . 9
291, 28tng0 21282 . . . . . . . 8
3013, 29syl 16 . . . . . . 7 NrmGrp
3130eqeq2d 2471 . . . . . 6 NrmGrp
3221, 27, 313bitr4d 285 . . . . 5 NrmGrp
33 simpllr 760 . . . . . . . 8 NrmGrp NrmGrp
3416adantr 465 . . . . . . . 8 NrmGrp
3515eleq2d 2527 . . . . . . . . 9 NrmGrp
3635biimpa 484 . . . . . . . 8 NrmGrp
37 eqid 2457 . . . . . . . . 9
3817, 18, 37nmmtri 21266 . . . . . . . 8 NrmGrp
3933, 34, 36, 38syl3anc 1228 . . . . . . 7 NrmGrp
40 tngngp.m . . . . . . . . . . 11
412, 15syl5eqr 2512 . . . . . . . . . . . 12 NrmGrp
42 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . 14
431, 42tngplusg 21281 . . . . . . . . . . . . 13
4413, 43syl 16 . . . . . . . . . . . 12 NrmGrp
4541, 44grpsubpropd 16266 . . . . . . . . . . 11 NrmGrp
4640, 45syl5eq 2510 . . . . . . . . . 10 NrmGrp
4746oveqd 6313 . . . . . . . . 9 NrmGrp
4825, 47fveq12d 5878 . . . . . . . 8 NrmGrp
4948adantr 465 . . . . . . 7 NrmGrp
5025fveq1d 5874 . . . . . . . . 9 NrmGrp
5126, 50oveq12d 6314 . . . . . . . 8 NrmGrp
5251adantr 465 . . . . . . 7 NrmGrp
5339, 49, 523brtr4d 4486 . . . . . 6 NrmGrp
5453ralrimiva 2871 . . . . 5 NrmGrp
5532, 54jca 532 . . . 4 NrmGrp
5655ralrimiva 2871 . . 3 NrmGrp
575, 56jca 532 . 2 NrmGrp
58 simprl 756 . . 3
59 simpl 457 . . 3
60 simpl 457 . . . . . 6
6160ralimi 2850 . . . . 5
6261ad2antll 728 . . . 4
63 fveq2 5872 . . . . . . 7
6463eqeq1d 2459 . . . . . 6
65 eqeq1 2461 . . . . . 6
6664, 65bibi12d 321 . . . . 5
6766rspccva 3209 . . . 4
6862, 67sylan 471 . . 3
69 simpr 461 . . . . . 6
7069ralimi 2850 . . . . 5
7170ad2antll 728 . . . 4
72 oveq1 6303 . . . . . . . 8
7372fveq2d 5876 . . . . . . 7
7463oveq1d 6311 . . . . . . 7
7573, 74breq12d 4469 . . . . . 6
76 oveq2 6304 . . . . . . . 8
7776fveq2d 5876 . . . . . . 7
78 fveq2 5872 . . . . . . . 8
7978oveq2d 6312 . . . . . . 7
8077, 79breq12d 4469 . . . . . 6
8175, 80rspc2va 3220 . . . . 5
8281ancoms 453 . . . 4
8371, 82sylan 471 . . 3
841, 2, 40, 28, 58, 59, 68, 83tngngpd 21292 . 2 NrmGrp
8557, 84impbida 832 1 NrmGrp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1395   wcel 1819  wral 2807  cvv 3109   class class class wbr 4456  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6296  cr 9508  cc0 9509   caddc 9512   cle 9646  cbs 14643   cplusg 14711  cds 14720  c0g 14856  cgrp 16179  csg 16181  cme 18530  cnm 21222  NrmGrpcngp 21223   toNrmGrp ctng 21224 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-plusg 14724  df-tset 14730  df-ds 14733  df-rest 14839  df-topn 14840  df-0g 14858  df-topgen 14860  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-sbg 16185  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-met 18539  df-bl 18540  df-mopn 18541  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-topsp 19529  df-xms 20948  df-ms 20949  df-nm 21228  df-ngp 21229  df-tng 21230 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator