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Theorem tngngp 20243
Description: Derive the axioms for a normed group from the axioms for a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngngp.t  |-  T  =  ( G toNrmGrp  N )
tngngp.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
tngngp.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
tngngp.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
tngngp  |-  ( N : X --> RR  ->  ( T  e. NrmGrp  <->  ( G  e. 
Grp  /\  A. x  e.  X  ( (
( N `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y ) )  <_ 
( ( N `  x )  +  ( N `  y ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,  .-    x, N, y    x, T, y    x, X, y   
x,  .0. , y
Allowed substitution hints:    G( x, y)

Proof of Theorem tngngp
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tngngp.t . . . . 5  |-  T  =  ( G toNrmGrp  N )
2 tngngp.x . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  G
)
3 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( dist `  T )  =  (
dist `  T )
41, 2, 3tngngp2 20241 . . . 4  |-  ( N : X --> RR  ->  ( T  e. NrmGrp  <->  ( G  e. 
Grp  /\  ( dist `  T )  e.  ( Met `  X ) ) ) )
54simprbda 623 . . 3  |-  ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  ->  G  e.  Grp )
6 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  T  e. NrmGrp )
7 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  x  e.  X )
8 fvex 5704 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  G )  e.  _V
92, 8eqeltri 2513 . . . . . . . . . . 11  |-  X  e. 
_V
10 reex 9376 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  e.  _V
11 fex2 6535 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N : X --> RR  /\  X  e.  _V  /\  RR  e.  _V )  ->  N  e.  _V )
129, 10, 11mp3an23 1306 . . . . . . . . . 10  |-  ( N : X --> RR  ->  N  e.  _V )
1312ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  N  e.  _V )
141, 2tngbas 20230 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  _V  ->  X  =  ( Base `  T
) )
1513, 14syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  X  =  ( Base `  T )
)
167, 15eleqtrd 2519 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  x  e.  ( Base `  T )
)
17 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  T )  =  (
Base `  T )
18 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( norm `  T )  =  (
norm `  T )
19 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  T )  =  ( 0g `  T
)
2017, 18, 19nmeq0 20212 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e. NrmGrp  /\  x  e.  ( Base `  T
) )  ->  (
( ( norm `  T
) `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  T ) ) )
216, 16, 20syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( (
( norm `  T ) `  x )  =  0  <-> 
x  =  ( 0g
`  T ) ) )
225adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  G  e.  Grp )
23 simpll 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  N : X
--> RR )
241, 2, 10tngnm 20240 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N : X --> RR )  ->  N  =  (
norm `  T )
)
2522, 23, 24syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  N  =  ( norm `  T )
)
2625fveq1d 5696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( N `  x )  =  ( ( norm `  T
) `  x )
)
2726eqeq1d 2451 . . . . . 6  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( N `  x )  =  0  <->  ( ( norm `  T ) `  x )  =  0 ) )
28 tngngp.z . . . . . . . . 9  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
291, 28tng0 20232 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  _V  ->  .0.  =  ( 0g `  T ) )
3013, 29syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  .0.  =  ( 0g `  T ) )
3130eqeq2d 2454 . . . . . 6  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( x  =  .0.  <->  x  =  ( 0g `  T ) ) )
3221, 27, 313bitr4d 285 . . . . 5  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( N `  x )  =  0  <->  x  =  .0.  ) )
33 simpllr 758 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N : X
--> RR  /\  T  e. NrmGrp
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  T  e. NrmGrp )
3416adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N : X
--> RR  /\  T  e. NrmGrp
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  x  e.  ( Base `  T
) )
3515eleq2d 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( y  e.  X  <->  y  e.  (
Base `  T )
) )
3635biimpa 484 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N : X
--> RR  /\  T  e. NrmGrp
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  y  e.  ( Base `  T
) )
37 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( -g `  T )  =  (
-g `  T )
3817, 18, 37nmmtri 20216 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e. NrmGrp  /\  x  e.  ( Base `  T
)  /\  y  e.  ( Base `  T )
)  ->  ( ( norm `  T ) `  ( x ( -g `  T ) y ) )  <_  ( (
( norm `  T ) `  x )  +  ( ( norm `  T
) `  y )
) )
3933, 34, 36, 38syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N : X
--> RR  /\  T  e. NrmGrp
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
( norm `  T ) `  ( x ( -g `  T ) y ) )  <_  ( (
( norm `  T ) `  x )  +  ( ( norm `  T
) `  y )
) )
40 tngngp.m . . . . . . . . . . 11  |-  .-  =  ( -g `  G )
412, 15syl5eqr 2489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( Base `  G )  =  (
Base `  T )
)
42 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
431, 42tngplusg 20231 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  _V  ->  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  T
) )
4413, 43syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  T ) )
4541, 44grpsubpropd 15629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( -g `  G )  =  (
-g `  T )
)
4640, 45syl5eq 2487 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  .-  =  (
-g `  T )
)
4746oveqd 6111 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( x  .-  y )  =  ( x ( -g `  T
) y ) )
4825, 47fveq12d 5700 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( N `  ( x  .-  y
) )  =  ( ( norm `  T
) `  ( x
( -g `  T ) y ) ) )
4948adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N : X
--> RR  /\  T  e. NrmGrp
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  ( N `  ( x  .-  y ) )  =  ( ( norm `  T
) `  ( x
( -g `  T ) y ) ) )
5025fveq1d 5696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( N `  y )  =  ( ( norm `  T
) `  y )
)
5126, 50oveq12d 6112 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( N `  x )  +  ( N `  y ) )  =  ( ( ( norm `  T ) `  x
)  +  ( (
norm `  T ) `  y ) ) )
5251adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N : X
--> RR  /\  T  e. NrmGrp
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
( N `  x
)  +  ( N `
 y ) )  =  ( ( (
norm `  T ) `  x )  +  ( ( norm `  T
) `  y )
) )
5339, 49, 523brtr4d 4325 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N : X
--> RR  /\  T  e. NrmGrp
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  ( N `  ( x  .-  y ) )  <_ 
( ( N `  x )  +  ( N `  y ) ) )
5453ralrimiva 2802 . . . . 5  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y
) )  <_  (
( N `  x
)  +  ( N `
 y ) ) )
5532, 54jca 532 . . . 4  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( (
( N `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y ) )  <_ 
( ( N `  x )  +  ( N `  y ) ) ) )
5655ralrimiva 2802 . . 3  |-  ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  ->  A. x  e.  X  ( ( ( N `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x 
.-  y ) )  <_  ( ( N `
 x )  +  ( N `  y
) ) ) )
575, 56jca 532 . 2  |-  ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  ->  ( G  e.  Grp  /\  A. x  e.  X  ( ( ( N `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x 
.-  y ) )  <_  ( ( N `
 x )  +  ( N `  y
) ) ) ) )
58 simprl 755 . . 3  |-  ( ( N : X --> RR  /\  ( G  e.  Grp  /\ 
A. x  e.  X  ( ( ( N `
 x )  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y ) )  <_  ( ( N `  x )  +  ( N `  y ) ) ) ) )  ->  G  e.  Grp )
59 simpl 457 . . 3  |-  ( ( N : X --> RR  /\  ( G  e.  Grp  /\ 
A. x  e.  X  ( ( ( N `
 x )  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y ) )  <_  ( ( N `  x )  +  ( N `  y ) ) ) ) )  ->  N : X --> RR )
60 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x 
.-  y ) )  <_  ( ( N `
 x )  +  ( N `  y
) ) )  -> 
( ( N `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )
)
6160ralimi 2794 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  X  (
( ( N `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x 
.-  y ) )  <_  ( ( N `
 x )  +  ( N `  y
) ) )  ->  A. x  e.  X  ( ( N `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )
)
6261ad2antll 728 . . . 4  |-  ( ( N : X --> RR  /\  ( G  e.  Grp  /\ 
A. x  e.  X  ( ( ( N `
 x )  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y ) )  <_  ( ( N `  x )  +  ( N `  y ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  X  ( ( N `  x )  =  0  <->  x  =  .0.  ) )
63 fveq2 5694 . . . . . . 7  |-  ( x  =  a  ->  ( N `  x )  =  ( N `  a ) )
6463eqeq1d 2451 . . . . . 6  |-  ( x  =  a  ->  (
( N `  x
)  =  0  <->  ( N `  a )  =  0 ) )
65 eqeq1 2449 . . . . . 6  |-  ( x  =  a  ->  (
x  =  .0.  <->  a  =  .0.  ) )
6664, 65bibi12d 321 . . . . 5  |-  ( x  =  a  ->  (
( ( N `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  <->  ( ( N `  a
)  =  0  <->  a  =  .0.  ) ) )
6766rspccva 3075 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  X  ( ( N `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  /\  a  e.  X
)  ->  ( ( N `  a )  =  0  <->  a  =  .0.  ) )
6862, 67sylan 471 . . 3  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  ( G  e. 
Grp  /\  A. x  e.  X  ( (
( N `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y ) )  <_ 
( ( N `  x )  +  ( N `  y ) ) ) ) )  /\  a  e.  X
)  ->  ( ( N `  a )  =  0  <->  a  =  .0.  ) )
69 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x 
.-  y ) )  <_  ( ( N `
 x )  +  ( N `  y
) ) )  ->  A. y  e.  X  ( N `  ( x 
.-  y ) )  <_  ( ( N `
 x )  +  ( N `  y
) ) )
7069ralimi 2794 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  X  (
( ( N `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x 
.-  y ) )  <_  ( ( N `
 x )  +  ( N `  y
) ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( N `  ( x 
.-  y ) )  <_  ( ( N `
 x )  +  ( N `  y
) ) )
7170ad2antll 728 . . . 4  |-  ( ( N : X --> RR  /\  ( G  e.  Grp  /\ 
A. x  e.  X  ( ( ( N `
 x )  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y ) )  <_  ( ( N `  x )  +  ( N `  y ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y
) )  <_  (
( N `  x
)  +  ( N `
 y ) ) )
72 oveq1 6101 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  a  ->  (
x  .-  y )  =  ( a  .-  y ) )
7372fveq2d 5698 . . . . . . 7  |-  ( x  =  a  ->  ( N `  ( x  .-  y ) )  =  ( N `  (
a  .-  y )
) )
7463oveq1d 6109 . . . . . . 7  |-  ( x  =  a  ->  (
( N `  x
)  +  ( N `
 y ) )  =  ( ( N `
 a )  +  ( N `  y
) ) )
7573, 74breq12d 4308 . . . . . 6  |-  ( x  =  a  ->  (
( N `  (
x  .-  y )
)  <_  ( ( N `  x )  +  ( N `  y ) )  <->  ( N `  ( a  .-  y
) )  <_  (
( N `  a
)  +  ( N `
 y ) ) ) )
76 oveq2 6102 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  b  ->  (
a  .-  y )  =  ( a  .-  b ) )
7776fveq2d 5698 . . . . . . 7  |-  ( y  =  b  ->  ( N `  ( a  .-  y ) )  =  ( N `  (
a  .-  b )
) )
78 fveq2 5694 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  b  ->  ( N `  y )  =  ( N `  b ) )
7978oveq2d 6110 . . . . . . 7  |-  ( y  =  b  ->  (
( N `  a
)  +  ( N `
 y ) )  =  ( ( N `
 a )  +  ( N `  b
) ) )
8077, 79breq12d 4308 . . . . . 6  |-  ( y  =  b  ->  (
( N `  (
a  .-  y )
)  <_  ( ( N `  a )  +  ( N `  y ) )  <->  ( N `  ( a  .-  b
) )  <_  (
( N `  a
)  +  ( N `
 b ) ) ) )
8175, 80rspc2va 3083 . . . . 5  |-  ( ( ( a  e.  X  /\  b  e.  X
)  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y
) )  <_  (
( N `  x
)  +  ( N `
 y ) ) )  ->  ( N `  ( a  .-  b
) )  <_  (
( N `  a
)  +  ( N `
 b ) ) )
8281ancoms 453 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( N `  ( x 
.-  y ) )  <_  ( ( N `
 x )  +  ( N `  y
) )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( N `  ( a  .-  b
) )  <_  (
( N `  a
)  +  ( N `
 b ) ) )
8371, 82sylan 471 . . 3  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  ( G  e. 
Grp  /\  A. x  e.  X  ( (
( N `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y ) )  <_ 
( ( N `  x )  +  ( N `  y ) ) ) ) )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( N `  (
a  .-  b )
)  <_  ( ( N `  a )  +  ( N `  b ) ) )
841, 2, 40, 28, 58, 59, 68, 83tngngpd 20242 . 2  |-  ( ( N : X --> RR  /\  ( G  e.  Grp  /\ 
A. x  e.  X  ( ( ( N `
 x )  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y ) )  <_  ( ( N `  x )  +  ( N `  y ) ) ) ) )  ->  T  e. NrmGrp )
8557, 84impbida 828 1  |-  ( N : X --> RR  ->  ( T  e. NrmGrp  <->  ( G  e. 
Grp  /\  A. x  e.  X  ( (
( N `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y ) )  <_ 
( ( N `  x )  +  ( N `  y ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2718   _Vcvv 2975   class class class wbr 4295   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   RRcr 9284   0cc0 9285    + caddc 9288    <_ cle 9422   Basecbs 14177   +g cplusg 14241   distcds 14250   0gc0g 14381   Grpcgrp 15413   -gcsg 15416   Metcme 17805   normcnm 20172  NrmGrpcngp 20173   toNrmGrp ctng 20174
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362  ax-pre-sup 9363
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-er 7104  df-map 7219  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-sup 7694  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-div 9997  df-nn 10326  df-2 10383  df-3 10384  df-4 10385  df-5 10386  df-6 10387  df-7 10388  df-8 10389  df-9 10390  df-10 10391  df-n0 10583  df-z 10650  df-dec 10759  df-uz 10865  df-q 10957  df-rp 10995  df-xneg 11092  df-xadd 11093  df-xmul 11094  df-ndx 14180  df-slot 14181  df-base 14182  df-sets 14183  df-plusg 14254  df-tset 14260  df-ds 14263  df-rest 14364  df-topn 14365  df-0g 14383  df-topgen 14385  df-mnd 15418  df-grp 15548  df-minusg 15549  df-sbg 15550  df-psmet 17812  df-xmet 17813  df-met 17814  df-bl 17815  df-mopn 17816  df-top 18506  df-bases 18508  df-topon 18509  df-topsp 18510  df-xms 19898  df-ms 19899  df-nm 20178  df-ngp 20179  df-tng 20180
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