MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tnglem Structured version   Unicode version

Theorem tnglem 20884
Description: Lemma for tngbas 20885 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngbas.t  |-  T  =  ( G toNrmGrp  N )
tnglem.2  |-  E  = Slot 
K
tnglem.3  |-  K  e.  NN
tnglem.4  |-  K  <  9
Assertion
Ref Expression
tnglem  |-  ( N  e.  V  ->  ( E `  G )  =  ( E `  T ) )

Proof of Theorem tnglem
StepHypRef Expression
1 tngbas.t . . . . 5  |-  T  =  ( G toNrmGrp  N )
2 eqid 2462 . . . . 5  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
3 eqid 2462 . . . . 5  |-  ( N  o.  ( -g `  G
) )  =  ( N  o.  ( -g `  G ) )
4 eqid 2462 . . . . 5  |-  ( MetOpen `  ( N  o.  ( -g `  G ) ) )  =  ( MetOpen `  ( N  o.  ( -g `  G ) ) )
51, 2, 3, 4tngval 20883 . . . 4  |-  ( ( G  e.  _V  /\  N  e.  V )  ->  T  =  ( ( G sSet  <. ( dist `  ndx ) ,  ( N  o.  ( -g `  G
) ) >. ) sSet  <.
(TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( N  o.  ( -g `  G
) ) ) >.
) )
65fveq2d 5863 . . 3  |-  ( ( G  e.  _V  /\  N  e.  V )  ->  ( E `  T
)  =  ( E `
 ( ( G sSet  <. ( dist `  ndx ) ,  ( N  o.  ( -g `  G
) ) >. ) sSet  <.
(TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( N  o.  ( -g `  G
) ) ) >.
) ) )
7 tnglem.2 . . . . . 6  |-  E  = Slot 
K
8 tnglem.3 . . . . . 6  |-  K  e.  NN
97, 8ndxid 14502 . . . . 5  |-  E  = Slot  ( E `  ndx )
107, 8ndxarg 14501 . . . . . . . 8  |-  ( E `
 ndx )  =  K
118nnrei 10536 . . . . . . . 8  |-  K  e.  RR
1210, 11eqeltri 2546 . . . . . . 7  |-  ( E `
 ndx )  e.  RR
13 tnglem.4 . . . . . . . . 9  |-  K  <  9
1410, 13eqbrtri 4461 . . . . . . . 8  |-  ( E `
 ndx )  <  9
15 1nn 10538 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
16 2nn0 10803 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
17 9nn0 10810 . . . . . . . . 9  |-  9  e.  NN0
18 9lt10 10729 . . . . . . . . 9  |-  9  <  10
1915, 16, 17, 18declti 10992 . . . . . . . 8  |-  9  < ; 1
2
20 9re 10613 . . . . . . . . 9  |-  9  e.  RR
21 1nn0 10802 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  NN0
2221, 16deccl 10981 . . . . . . . . . 10  |- ; 1 2  e.  NN0
2322nn0rei 10797 . . . . . . . . 9  |- ; 1 2  e.  RR
2412, 20, 23lttri 9701 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( E `  ndx )  <  9  /\  9  < ; 1
2 )  ->  ( E `  ndx )  < ; 1 2 )
2514, 19, 24mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( E `
 ndx )  < ; 1 2
2612, 25ltneii 9688 . . . . . 6  |-  ( E `
 ndx )  =/= ; 1 2
27 dsndx 14649 . . . . . 6  |-  ( dist `  ndx )  = ; 1 2
2826, 27neeqtrri 2761 . . . . 5  |-  ( E `
 ndx )  =/=  ( dist `  ndx )
299, 28setsnid 14523 . . . 4  |-  ( E `
 G )  =  ( E `  ( G sSet  <. ( dist `  ndx ) ,  ( N  o.  ( -g `  G
) ) >. )
)
3012, 14ltneii 9688 . . . . . 6  |-  ( E `
 ndx )  =/=  9
31 tsetndx 14633 . . . . . 6  |-  (TopSet `  ndx )  =  9
3230, 31neeqtrri 2761 . . . . 5  |-  ( E `
 ndx )  =/=  (TopSet `  ndx )
339, 32setsnid 14523 . . . 4  |-  ( E `
 ( G sSet  <. (
dist `  ndx ) ,  ( N  o.  ( -g `  G ) )
>. ) )  =  ( E `  ( ( G sSet  <. ( dist `  ndx ) ,  ( N  o.  ( -g `  G
) ) >. ) sSet  <.
(TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( N  o.  ( -g `  G
) ) ) >.
) )
3429, 33eqtri 2491 . . 3  |-  ( E `
 G )  =  ( E `  (
( G sSet  <. ( dist `  ndx ) ,  ( N  o.  ( -g `  G ) ) >.
) sSet  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( N  o.  ( -g `  G ) ) ) >. ) )
356, 34syl6reqr 2522 . 2  |-  ( ( G  e.  _V  /\  N  e.  V )  ->  ( E `  G
)  =  ( E `
 T ) )
367str0 14519 . . 3  |-  (/)  =  ( E `  (/) )
37 fvprc 5853 . . . 4  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( E `  G )  =  (/) )
3837adantr 465 . . 3  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  N  e.  V )  ->  ( E `  G )  =  (/) )
39 reldmtng 20882 . . . . . . 7  |-  Rel  dom toNrmGrp
4039ovprc1 6305 . . . . . 6  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( G toNrmGrp  N )  =  (/) )
4140adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  N  e.  V )  ->  ( G toNrmGrp  N )  =  (/) )
421, 41syl5eq 2515 . . . 4  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  N  e.  V )  ->  T  =  (/) )
4342fveq2d 5863 . . 3  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  N  e.  V )  ->  ( E `  T )  =  ( E `  (/) ) )
4436, 38, 433eqtr4a 2529 . 2  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  N  e.  V )  ->  ( E `  G )  =  ( E `  T ) )
4535, 44pm2.61ian 788 1  |-  ( N  e.  V  ->  ( E `  G )  =  ( E `  T ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   _Vcvv 3108   (/)c0 3780   <.cop 4028   class class class wbr 4442    o. ccom 4998   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   RRcr 9482   1c1 9484    < clt 9619   NNcn 10527   2c2 10576   9c9 10583  ;cdc 10967   ndxcnx 14478   sSet csts 14479  Slot cslot 14480  TopSetcts 14552   distcds 14555   -gcsg 15721   MetOpencmopn 18174   toNrmGrp ctng 20829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-z 10856  df-dec 10968  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-sets 14487  df-tset 14565  df-ds 14568  df-tng 20835
This theorem is referenced by:  tngbas  20885  tngplusg  20886  tngmulr  20888  tngsca  20889  tngvsca  20890  tngip  20891
  Copyright terms: Public domain W3C validator