MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tnglem Structured version   Unicode version

Theorem tnglem 20342
Description: Lemma for tngbas 20343 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngbas.t  |-  T  =  ( G toNrmGrp  N )
tnglem.2  |-  E  = Slot 
K
tnglem.3  |-  K  e.  NN
tnglem.4  |-  K  <  9
Assertion
Ref Expression
tnglem  |-  ( N  e.  V  ->  ( E `  G )  =  ( E `  T ) )

Proof of Theorem tnglem
StepHypRef Expression
1 tngbas.t . . . . 5  |-  T  =  ( G toNrmGrp  N )
2 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
3 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( N  o.  ( -g `  G
) )  =  ( N  o.  ( -g `  G ) )
4 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( MetOpen `  ( N  o.  ( -g `  G ) ) )  =  ( MetOpen `  ( N  o.  ( -g `  G ) ) )
51, 2, 3, 4tngval 20341 . . . 4  |-  ( ( G  e.  _V  /\  N  e.  V )  ->  T  =  ( ( G sSet  <. ( dist `  ndx ) ,  ( N  o.  ( -g `  G
) ) >. ) sSet  <.
(TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( N  o.  ( -g `  G
) ) ) >.
) )
65fveq2d 5793 . . 3  |-  ( ( G  e.  _V  /\  N  e.  V )  ->  ( E `  T
)  =  ( E `
 ( ( G sSet  <. ( dist `  ndx ) ,  ( N  o.  ( -g `  G
) ) >. ) sSet  <.
(TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( N  o.  ( -g `  G
) ) ) >.
) ) )
7 tnglem.2 . . . . . 6  |-  E  = Slot 
K
8 tnglem.3 . . . . . 6  |-  K  e.  NN
97, 8ndxid 14297 . . . . 5  |-  E  = Slot  ( E `  ndx )
107, 8ndxarg 14296 . . . . . . . 8  |-  ( E `
 ndx )  =  K
118nnrei 10432 . . . . . . . 8  |-  K  e.  RR
1210, 11eqeltri 2535 . . . . . . 7  |-  ( E `
 ndx )  e.  RR
13 tnglem.4 . . . . . . . . 9  |-  K  <  9
1410, 13eqbrtri 4409 . . . . . . . 8  |-  ( E `
 ndx )  <  9
15 1nn 10434 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
16 2nn0 10697 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
17 9nn0 10704 . . . . . . . . 9  |-  9  e.  NN0
18 9lt10 10625 . . . . . . . . 9  |-  9  <  10
1915, 16, 17, 18declti 10881 . . . . . . . 8  |-  9  < ; 1
2
20 9re 10509 . . . . . . . . 9  |-  9  e.  RR
21 1nn0 10696 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  NN0
2221, 16deccl 10870 . . . . . . . . . 10  |- ; 1 2  e.  NN0
2322nn0rei 10691 . . . . . . . . 9  |- ; 1 2  e.  RR
2412, 20, 23lttri 9601 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( E `  ndx )  <  9  /\  9  < ; 1
2 )  ->  ( E `  ndx )  < ; 1 2 )
2514, 19, 24mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( E `
 ndx )  < ; 1 2
2612, 25ltneii 9588 . . . . . 6  |-  ( E `
 ndx )  =/= ; 1 2
27 dsndx 14443 . . . . . 6  |-  ( dist `  ndx )  = ; 1 2
2826, 27neeqtrri 2747 . . . . 5  |-  ( E `
 ndx )  =/=  ( dist `  ndx )
299, 28setsnid 14318 . . . 4  |-  ( E `
 G )  =  ( E `  ( G sSet  <. ( dist `  ndx ) ,  ( N  o.  ( -g `  G
) ) >. )
)
3012, 14ltneii 9588 . . . . . 6  |-  ( E `
 ndx )  =/=  9
31 tsetndx 14427 . . . . . 6  |-  (TopSet `  ndx )  =  9
3230, 31neeqtrri 2747 . . . . 5  |-  ( E `
 ndx )  =/=  (TopSet `  ndx )
339, 32setsnid 14318 . . . 4  |-  ( E `
 ( G sSet  <. (
dist `  ndx ) ,  ( N  o.  ( -g `  G ) )
>. ) )  =  ( E `  ( ( G sSet  <. ( dist `  ndx ) ,  ( N  o.  ( -g `  G
) ) >. ) sSet  <.
(TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( N  o.  ( -g `  G
) ) ) >.
) )
3429, 33eqtri 2480 . . 3  |-  ( E `
 G )  =  ( E `  (
( G sSet  <. ( dist `  ndx ) ,  ( N  o.  ( -g `  G ) ) >.
) sSet  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( N  o.  ( -g `  G ) ) ) >. ) )
356, 34syl6reqr 2511 . 2  |-  ( ( G  e.  _V  /\  N  e.  V )  ->  ( E `  G
)  =  ( E `
 T ) )
367str0 14314 . . 3  |-  (/)  =  ( E `  (/) )
37 fvprc 5783 . . . 4  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( E `  G )  =  (/) )
3837adantr 465 . . 3  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  N  e.  V )  ->  ( E `  G )  =  (/) )
39 reldmtng 20340 . . . . . . 7  |-  Rel  dom toNrmGrp
4039ovprc1 6218 . . . . . 6  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( G toNrmGrp  N )  =  (/) )
4140adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  N  e.  V )  ->  ( G toNrmGrp  N )  =  (/) )
421, 41syl5eq 2504 . . . 4  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  N  e.  V )  ->  T  =  (/) )
4342fveq2d 5793 . . 3  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  N  e.  V )  ->  ( E `  T )  =  ( E `  (/) ) )
4436, 38, 433eqtr4a 2518 . 2  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  N  e.  V )  ->  ( E `  G )  =  ( E `  T ) )
4535, 44pm2.61ian 788 1  |-  ( N  e.  V  ->  ( E `  G )  =  ( E `  T ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3068   (/)c0 3735   <.cop 3981   class class class wbr 4390    o. ccom 4942   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   RRcr 9382   1c1 9384    < clt 9519   NNcn 10423   2c2 10472   9c9 10479  ;cdc 10856   ndxcnx 14273   sSet csts 14274  Slot cslot 14275  TopSetcts 14346   distcds 14349   -gcsg 15515   MetOpencmopn 17915   toNrmGrp ctng 20287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-4 10483  df-5 10484  df-6 10485  df-7 10486  df-8 10487  df-9 10488  df-10 10489  df-n0 10681  df-z 10748  df-dec 10857  df-ndx 14279  df-slot 14280  df-sets 14282  df-tset 14359  df-ds 14362  df-tng 20293
This theorem is referenced by:  tngbas  20343  tngplusg  20344  tngmulr  20346  tngsca  20347  tngvsca  20348  tngip  20349
  Copyright terms: Public domain W3C validator