MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngds Structured version   Unicode version

Theorem tngds 20076
Description: The metric function of a structure augmented with a norm. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngbas.t  |-  T  =  ( G toNrmGrp  N )
tngds.2  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
tngds  |-  ( N  e.  V  ->  ( N  o.  .-  )  =  ( dist `  T
) )

Proof of Theorem tngds
StepHypRef Expression
1 dsid 14325 . . . 4  |-  dist  = Slot  ( dist `  ndx )
2 9re 10396 . . . . . 6  |-  9  e.  RR
3 1nn 10321 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
4 2nn0 10584 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN0
5 9nn0 10591 . . . . . . 7  |-  9  e.  NN0
6 9lt10 10512 . . . . . . 7  |-  9  <  10
73, 4, 5, 6declti 10768 . . . . . 6  |-  9  < ; 1
2
82, 7gtneii 9474 . . . . 5  |- ; 1 2  =/=  9
9 dsndx 14324 . . . . . 6  |-  ( dist `  ndx )  = ; 1 2
10 tsetndx 14308 . . . . . 6  |-  (TopSet `  ndx )  =  9
119, 10neeq12i 2610 . . . . 5  |-  ( (
dist `  ndx )  =/=  (TopSet `  ndx )  <-> ; 1 2  =/=  9
)
128, 11mpbir 209 . . . 4  |-  ( dist `  ndx )  =/=  (TopSet ` 
ndx )
131, 12setsnid 14199 . . 3  |-  ( dist `  ( G sSet  <. ( dist `  ndx ) ,  ( N  o.  .-  ) >. ) )  =  ( dist `  (
( G sSet  <. ( dist `  ndx ) ,  ( N  o.  .-  ) >. ) sSet  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( N  o.  .-  )
) >. ) )
14 tngds.2 . . . . . 6  |-  .-  =  ( -g `  G )
15 fvex 5689 . . . . . 6  |-  ( -g `  G )  e.  _V
1614, 15eqeltri 2503 . . . . 5  |-  .-  e.  _V
17 coexg 6517 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  V  /\  .-  e.  _V )  -> 
( N  o.  .-  )  e.  _V )
1816, 17mpan2 664 . . . 4  |-  ( N  e.  V  ->  ( N  o.  .-  )  e. 
_V )
191setsid 14198 . . . 4  |-  ( ( G  e.  _V  /\  ( N  o.  .-  )  e.  _V )  ->  ( N  o.  .-  )  =  ( dist `  ( G sSet  <. ( dist `  ndx ) ,  ( N  o.  .-  ) >. )
) )
2018, 19sylan2 471 . . 3  |-  ( ( G  e.  _V  /\  N  e.  V )  ->  ( N  o.  .-  )  =  ( dist `  ( G sSet  <. ( dist `  ndx ) ,  ( N  o.  .-  ) >. ) ) )
21 tngbas.t . . . . 5  |-  T  =  ( G toNrmGrp  N )
22 eqid 2433 . . . . 5  |-  ( N  o.  .-  )  =  ( N  o.  .-  )
23 eqid 2433 . . . . 5  |-  ( MetOpen `  ( N  o.  .-  )
)  =  ( MetOpen `  ( N  o.  .-  )
)
2421, 14, 22, 23tngval 20067 . . . 4  |-  ( ( G  e.  _V  /\  N  e.  V )  ->  T  =  ( ( G sSet  <. ( dist `  ndx ) ,  ( N  o.  .-  ) >. ) sSet  <.
(TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( N  o.  .-  ) ) >.
) )
2524fveq2d 5683 . . 3  |-  ( ( G  e.  _V  /\  N  e.  V )  ->  ( dist `  T
)  =  ( dist `  ( ( G sSet  <. (
dist `  ndx ) ,  ( N  o.  .-  ) >. ) sSet  <. (TopSet ` 
ndx ) ,  (
MetOpen `  ( N  o.  .-  ) ) >. )
) )
2613, 20, 253eqtr4a 2491 . 2  |-  ( ( G  e.  _V  /\  N  e.  V )  ->  ( N  o.  .-  )  =  ( dist `  T ) )
27 co02 5339 . . . . 5  |-  ( N  o.  (/) )  =  (/)
28 df-ds 14243 . . . . . 6  |-  dist  = Slot ; 1 2
2928str0 14195 . . . . 5  |-  (/)  =  (
dist `  (/) )
3027, 29eqtri 2453 . . . 4  |-  ( N  o.  (/) )  =  (
dist `  (/) )
31 fvprc 5673 . . . . . 6  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  (
-g `  G )  =  (/) )
3214, 31syl5eq 2477 . . . . 5  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  .-  =  (/) )
3332coeq2d 4989 . . . 4  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( N  o.  .-  )  =  ( N  o.  (/) ) )
34 reldmtng 20066 . . . . . . 7  |-  Rel  dom toNrmGrp
3534ovprc1 6108 . . . . . 6  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( G toNrmGrp  N )  =  (/) )
3621, 35syl5eq 2477 . . . . 5  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  T  =  (/) )
3736fveq2d 5683 . . . 4  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  (
dist `  T )  =  ( dist `  (/) ) )
3830, 33, 373eqtr4a 2491 . . 3  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( N  o.  .-  )  =  ( dist `  T
) )
3938adantr 462 . 2  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  N  e.  V )  ->  ( N  o.  .-  )  =  ( dist `  T ) )
4026, 39pm2.61ian 781 1  |-  ( N  e.  V  ->  ( N  o.  .-  )  =  ( dist `  T
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755    =/= wne 2596   _Vcvv 2962   (/)c0 3625   <.cop 3871    o. ccom 4831   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   1c1 9271   2c2 10359   9c9 10366  ;cdc 10743   ndxcnx 14154   sSet csts 14155  TopSetcts 14227   distcds 14230   -gcsg 15396   MetOpencmopn 17650   toNrmGrp ctng 20013
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-10 10376  df-n0 10568  df-z 10635  df-dec 10744  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-sets 14163  df-tset 14240  df-ds 14243  df-tng 20019
This theorem is referenced by:  tngtset  20077  tngtopn  20078  tngnm  20079  tngngp2  20080  tngngpd  20081  tngnrg  20097  tchds  20588
  Copyright terms: Public domain W3C validator