MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tng0 Structured version   Unicode version

Theorem tng0 20070
Description: The group identity of a structure augmented with a norm. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngbas.t  |-  T  =  ( G toNrmGrp  N )
tng0.2  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
tng0  |-  ( N  e.  V  ->  .0.  =  ( 0g `  T ) )

Proof of Theorem tng0
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tng0.2 . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
2 eqidd 2434 . . 3  |-  ( N  e.  V  ->  ( Base `  G )  =  ( Base `  G
) )
3 tngbas.t . . . 4  |-  T  =  ( G toNrmGrp  N )
4 eqid 2433 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
53, 4tngbas 20068 . . 3  |-  ( N  e.  V  ->  ( Base `  G )  =  ( Base `  T
) )
6 eqid 2433 . . . . 5  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
73, 6tngplusg 20069 . . . 4  |-  ( N  e.  V  ->  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  T
) )
87proplem3 14611 . . 3  |-  ( ( N  e.  V  /\  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G ) ) )  ->  ( x ( +g  `  G ) y )  =  ( x ( +g  `  T
) y ) )
92, 5, 8grpidpropd 15429 . 2  |-  ( N  e.  V  ->  ( 0g `  G )  =  ( 0g `  T
) )
101, 9syl5eq 2477 1  |-  ( N  e.  V  ->  .0.  =  ( 0g `  T ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   Basecbs 14156   +g cplusg 14220   0gc0g 14360   toNrmGrp ctng 20012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-nn 10310  df-2 10367  df-3 10368  df-4 10369  df-5 10370  df-6 10371  df-7 10372  df-8 10373  df-9 10374  df-10 10375  df-n0 10567  df-z 10634  df-dec 10743  df-ndx 14159  df-slot 14160  df-base 14161  df-sets 14162  df-plusg 14233  df-tset 14239  df-ds 14242  df-0g 14362  df-tng 20018
This theorem is referenced by:  tngnm  20078  tngngp  20081
  Copyright terms: Public domain W3C validator