MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tmsxpsval2 Structured version   Unicode version

Theorem tmsxpsval2 20915
Description: Value of the product of two metrics. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tmsxps.p  |-  P  =  ( dist `  (
(toMetSp `  M )  X.s  (toMetSp `  N ) ) )
tmsxps.1  |-  ( ph  ->  M  e.  ( *Met `  X ) )
tmsxps.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( *Met `  Y ) )
tmsxpsval.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
tmsxpsval.b  |-  ( ph  ->  B  e.  Y )
tmsxpsval.c  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
tmsxpsval.d  |-  ( ph  ->  D  e.  Y )
Assertion
Ref Expression
tmsxpsval2  |-  ( ph  ->  ( <. A ,  B >. P <. C ,  D >. )  =  if ( ( A M C )  <_  ( B N D ) ,  ( B N D ) ,  ( A M C ) ) )

Proof of Theorem tmsxpsval2
StepHypRef Expression
1 tmsxps.p . . 3  |-  P  =  ( dist `  (
(toMetSp `  M )  X.s  (toMetSp `  N ) ) )
2 tmsxps.1 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ( *Met `  X ) )
3 tmsxps.2 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( *Met `  Y ) )
4 tmsxpsval.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
5 tmsxpsval.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  Y )
6 tmsxpsval.c . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
7 tmsxpsval.d . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  Y )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7tmsxpsval 20914 . 2  |-  ( ph  ->  ( <. A ,  B >. P <. C ,  D >. )  =  sup ( { ( A M C ) ,  ( B N D ) } ,  RR* ,  <  ) )
9 xrltso 11356 . . . 4  |-  <  Or  RR*
109a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  <  Or  RR* )
11 xmetcl 20707 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  C  e.  X
)  ->  ( A M C )  e.  RR* )
122, 4, 6, 11syl3anc 1229 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A M C )  e.  RR* )
13 xmetcl 20707 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( *Met `  Y )  /\  B  e.  Y  /\  D  e.  Y
)  ->  ( B N D )  e.  RR* )
143, 5, 7, 13syl3anc 1229 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B N D )  e.  RR* )
15 suppr 7932 . . 3  |-  ( (  <  Or  RR*  /\  ( A M C )  e. 
RR*  /\  ( B N D )  e.  RR* )  ->  sup ( { ( A M C ) ,  ( B N D ) } ,  RR* ,  <  )  =  if ( ( B N D )  < 
( A M C ) ,  ( A M C ) ,  ( B N D ) ) )
1610, 12, 14, 15syl3anc 1229 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( { ( A M C ) ,  ( B N D ) } ,  RR* ,  <  )  =  if ( ( B N D )  < 
( A M C ) ,  ( A M C ) ,  ( B N D ) ) )
17 xrltnle 9656 . . . . 5  |-  ( ( ( B N D )  e.  RR*  /\  ( A M C )  e. 
RR* )  ->  (
( B N D )  <  ( A M C )  <->  -.  ( A M C )  <_ 
( B N D ) ) )
1814, 12, 17syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( B N D )  <  ( A M C )  <->  -.  ( A M C )  <_ 
( B N D ) ) )
1918ifbid 3948 . . 3  |-  ( ph  ->  if ( ( B N D )  < 
( A M C ) ,  ( A M C ) ,  ( B N D ) )  =  if ( -.  ( A M C )  <_ 
( B N D ) ,  ( A M C ) ,  ( B N D ) ) )
20 ifnot 3971 . . 3  |-  if ( -.  ( A M C )  <_  ( B N D ) ,  ( A M C ) ,  ( B N D ) )  =  if ( ( A M C )  <_  ( B N D ) ,  ( B N D ) ,  ( A M C ) )
2119, 20syl6eq 2500 . 2  |-  ( ph  ->  if ( ( B N D )  < 
( A M C ) ,  ( A M C ) ,  ( B N D ) )  =  if ( ( A M C )  <_  ( B N D ) ,  ( B N D ) ,  ( A M C ) ) )
228, 16, 213eqtrd 2488 1  |-  ( ph  ->  ( <. A ,  B >. P <. C ,  D >. )  =  if ( ( A M C )  <_  ( B N D ) ,  ( B N D ) ,  ( A M C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1383    e. wcel 1804   ifcif 3926   {cpr 4016   <.cop 4020   class class class wbr 4437    Or wor 4789   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   supcsup 7902   RR*cxr 9630    < clt 9631    <_ cle 9632   distcds 14583    X.s cxps 14780   *Metcxmt 18277  toMetSpctmt 20695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-7 10605  df-8 10606  df-9 10607  df-10 10608  df-n0 10802  df-z 10871  df-dec 10985  df-uz 11091  df-q 11192  df-rp 11230  df-xneg 11327  df-xadd 11328  df-xmul 11329  df-icc 11545  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-seq 12087  df-hash 12385  df-struct 14511  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-sca 14590  df-vsca 14591  df-ip 14592  df-tset 14593  df-ple 14594  df-ds 14596  df-hom 14598  df-cco 14599  df-rest 14697  df-topn 14698  df-0g 14716  df-gsum 14717  df-topgen 14718  df-prds 14722  df-xrs 14776  df-imas 14782  df-xps 14784  df-mre 14860  df-mrc 14861  df-acs 14863  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15841  df-mulg 15934  df-cntz 16229  df-cmn 16674  df-psmet 18285  df-xmet 18286  df-bl 18288  df-mopn 18289  df-top 19272  df-bases 19274  df-topon 19275  df-topsp 19276  df-xms 20696  df-tms 20698
This theorem is referenced by:  txmetcnp  20923
  Copyright terms: Public domain W3C validator