MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tmsxpsval2 Structured version   Unicode version

Theorem tmsxpsval2 20256
Description: Value of the product of two metrics. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tmsxps.p  |-  P  =  ( dist `  (
(toMetSp `  M )  X.s  (toMetSp `  N ) ) )
tmsxps.1  |-  ( ph  ->  M  e.  ( *Met `  X ) )
tmsxps.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( *Met `  Y ) )
tmsxpsval.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
tmsxpsval.b  |-  ( ph  ->  B  e.  Y )
tmsxpsval.c  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
tmsxpsval.d  |-  ( ph  ->  D  e.  Y )
Assertion
Ref Expression
tmsxpsval2  |-  ( ph  ->  ( <. A ,  B >. P <. C ,  D >. )  =  if ( ( A M C )  <_  ( B N D ) ,  ( B N D ) ,  ( A M C ) ) )

Proof of Theorem tmsxpsval2
StepHypRef Expression
1 tmsxps.p . . 3  |-  P  =  ( dist `  (
(toMetSp `  M )  X.s  (toMetSp `  N ) ) )
2 tmsxps.1 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ( *Met `  X ) )
3 tmsxps.2 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( *Met `  Y ) )
4 tmsxpsval.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
5 tmsxpsval.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  Y )
6 tmsxpsval.c . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
7 tmsxpsval.d . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  Y )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7tmsxpsval 20255 . 2  |-  ( ph  ->  ( <. A ,  B >. P <. C ,  D >. )  =  sup ( { ( A M C ) ,  ( B N D ) } ,  RR* ,  <  ) )
9 xrltso 11233 . . . 4  |-  <  Or  RR*
109a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  <  Or  RR* )
11 xmetcl 20048 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  C  e.  X
)  ->  ( A M C )  e.  RR* )
122, 4, 6, 11syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A M C )  e.  RR* )
13 xmetcl 20048 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( *Met `  Y )  /\  B  e.  Y  /\  D  e.  Y
)  ->  ( B N D )  e.  RR* )
143, 5, 7, 13syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B N D )  e.  RR* )
15 suppr 7833 . . 3  |-  ( (  <  Or  RR*  /\  ( A M C )  e. 
RR*  /\  ( B N D )  e.  RR* )  ->  sup ( { ( A M C ) ,  ( B N D ) } ,  RR* ,  <  )  =  if ( ( B N D )  < 
( A M C ) ,  ( A M C ) ,  ( B N D ) ) )
1610, 12, 14, 15syl3anc 1219 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( { ( A M C ) ,  ( B N D ) } ,  RR* ,  <  )  =  if ( ( B N D )  < 
( A M C ) ,  ( A M C ) ,  ( B N D ) ) )
17 xrltnle 9558 . . . . 5  |-  ( ( ( B N D )  e.  RR*  /\  ( A M C )  e. 
RR* )  ->  (
( B N D )  <  ( A M C )  <->  -.  ( A M C )  <_ 
( B N D ) ) )
1814, 12, 17syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( B N D )  <  ( A M C )  <->  -.  ( A M C )  <_ 
( B N D ) ) )
1918ifbid 3922 . . 3  |-  ( ph  ->  if ( ( B N D )  < 
( A M C ) ,  ( A M C ) ,  ( B N D ) )  =  if ( -.  ( A M C )  <_ 
( B N D ) ,  ( A M C ) ,  ( B N D ) ) )
20 ifnot 3945 . . 3  |-  if ( -.  ( A M C )  <_  ( B N D ) ,  ( A M C ) ,  ( B N D ) )  =  if ( ( A M C )  <_  ( B N D ) ,  ( B N D ) ,  ( A M C ) )
2119, 20syl6eq 2511 . 2  |-  ( ph  ->  if ( ( B N D )  < 
( A M C ) ,  ( A M C ) ,  ( B N D ) )  =  if ( ( A M C )  <_  ( B N D ) ,  ( B N D ) ,  ( A M C ) ) )
228, 16, 213eqtrd 2499 1  |-  ( ph  ->  ( <. A ,  B >. P <. C ,  D >. )  =  if ( ( A M C )  <_  ( B N D ) ,  ( B N D ) ,  ( A M C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1370    e. wcel 1758   ifcif 3902   {cpr 3990   <.cop 3994   class class class wbr 4403    Or wor 4751   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   supcsup 7805   RR*cxr 9532    < clt 9533    <_ cle 9534   distcds 14370    X.s cxps 14567   *Metcxmt 17936  toMetSpctmt 20036
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7962  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474  ax-pre-sup 9475
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-sup 7806  df-oi 7839  df-card 8224  df-cda 8452  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-div 10109  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-7 10500  df-8 10501  df-9 10502  df-10 10503  df-n0 10695  df-z 10762  df-dec 10871  df-uz 10977  df-q 11069  df-rp 11107  df-xneg 11204  df-xadd 11205  df-xmul 11206  df-icc 11422  df-fz 11559  df-fzo 11670  df-seq 11928  df-hash 12225  df-struct 14298  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-ress 14303  df-plusg 14374  df-mulr 14375  df-sca 14377  df-vsca 14378  df-ip 14379  df-tset 14380  df-ple 14381  df-ds 14383  df-hom 14385  df-cco 14386  df-rest 14484  df-topn 14485  df-0g 14503  df-gsum 14504  df-topgen 14505  df-prds 14509  df-xrs 14563  df-imas 14569  df-xps 14571  df-mre 14647  df-mrc 14648  df-acs 14650  df-mnd 15538  df-submnd 15588  df-mulg 15671  df-cntz 15958  df-cmn 16404  df-psmet 17944  df-xmet 17945  df-bl 17947  df-mopn 17948  df-top 18645  df-bases 18647  df-topon 18648  df-topsp 18649  df-xms 20037  df-tms 20039
This theorem is referenced by:  txmetcnp  20264
  Copyright terms: Public domain W3C validator