MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tmsxpsval2 Structured version   Unicode version

Theorem tmsxpsval2 20887
Description: Value of the product of two metrics. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tmsxps.p  |-  P  =  ( dist `  (
(toMetSp `  M )  X.s  (toMetSp `  N ) ) )
tmsxps.1  |-  ( ph  ->  M  e.  ( *Met `  X ) )
tmsxps.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( *Met `  Y ) )
tmsxpsval.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
tmsxpsval.b  |-  ( ph  ->  B  e.  Y )
tmsxpsval.c  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
tmsxpsval.d  |-  ( ph  ->  D  e.  Y )
Assertion
Ref Expression
tmsxpsval2  |-  ( ph  ->  ( <. A ,  B >. P <. C ,  D >. )  =  if ( ( A M C )  <_  ( B N D ) ,  ( B N D ) ,  ( A M C ) ) )

Proof of Theorem tmsxpsval2
StepHypRef Expression
1 tmsxps.p . . 3  |-  P  =  ( dist `  (
(toMetSp `  M )  X.s  (toMetSp `  N ) ) )
2 tmsxps.1 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ( *Met `  X ) )
3 tmsxps.2 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( *Met `  Y ) )
4 tmsxpsval.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
5 tmsxpsval.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  Y )
6 tmsxpsval.c . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
7 tmsxpsval.d . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  Y )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7tmsxpsval 20886 . 2  |-  ( ph  ->  ( <. A ,  B >. P <. C ,  D >. )  =  sup ( { ( A M C ) ,  ( B N D ) } ,  RR* ,  <  ) )
9 xrltso 11357 . . . 4  |-  <  Or  RR*
109a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  <  Or  RR* )
11 xmetcl 20679 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  C  e.  X
)  ->  ( A M C )  e.  RR* )
122, 4, 6, 11syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A M C )  e.  RR* )
13 xmetcl 20679 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( *Met `  Y )  /\  B  e.  Y  /\  D  e.  Y
)  ->  ( B N D )  e.  RR* )
143, 5, 7, 13syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B N D )  e.  RR* )
15 suppr 7939 . . 3  |-  ( (  <  Or  RR*  /\  ( A M C )  e. 
RR*  /\  ( B N D )  e.  RR* )  ->  sup ( { ( A M C ) ,  ( B N D ) } ,  RR* ,  <  )  =  if ( ( B N D )  < 
( A M C ) ,  ( A M C ) ,  ( B N D ) ) )
1610, 12, 14, 15syl3anc 1228 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( { ( A M C ) ,  ( B N D ) } ,  RR* ,  <  )  =  if ( ( B N D )  < 
( A M C ) ,  ( A M C ) ,  ( B N D ) ) )
17 xrltnle 9663 . . . . 5  |-  ( ( ( B N D )  e.  RR*  /\  ( A M C )  e. 
RR* )  ->  (
( B N D )  <  ( A M C )  <->  -.  ( A M C )  <_ 
( B N D ) ) )
1814, 12, 17syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( B N D )  <  ( A M C )  <->  -.  ( A M C )  <_ 
( B N D ) ) )
1918ifbid 3966 . . 3  |-  ( ph  ->  if ( ( B N D )  < 
( A M C ) ,  ( A M C ) ,  ( B N D ) )  =  if ( -.  ( A M C )  <_ 
( B N D ) ,  ( A M C ) ,  ( B N D ) ) )
20 ifnot 3989 . . 3  |-  if ( -.  ( A M C )  <_  ( B N D ) ,  ( A M C ) ,  ( B N D ) )  =  if ( ( A M C )  <_  ( B N D ) ,  ( B N D ) ,  ( A M C ) )
2119, 20syl6eq 2524 . 2  |-  ( ph  ->  if ( ( B N D )  < 
( A M C ) ,  ( A M C ) ,  ( B N D ) )  =  if ( ( A M C )  <_  ( B N D ) ,  ( B N D ) ,  ( A M C ) ) )
228, 16, 213eqtrd 2512 1  |-  ( ph  ->  ( <. A ,  B >. P <. C ,  D >. )  =  if ( ( A M C )  <_  ( B N D ) ,  ( B N D ) ,  ( A M C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1379    e. wcel 1767   ifcif 3944   {cpr 4034   <.cop 4038   class class class wbr 4452    Or wor 4804   ` cfv 5593  (class class class)co 6294   supcsup 7910   RR*cxr 9637    < clt 9638    <_ cle 9639   distcds 14576    X.s cxps 14773   *Metcxmt 18250  toMetSpctmt 20667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-inf2 8068  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579  ax-pre-sup 9580
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-iin 4333  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-of 6534  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-supp 6912  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-2o 7141  df-oadd 7144  df-er 7321  df-map 7432  df-ixp 7480  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-fsupp 7840  df-sup 7911  df-oi 7945  df-card 8330  df-cda 8558  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-div 10217  df-nn 10547  df-2 10604  df-3 10605  df-4 10606  df-5 10607  df-6 10608  df-7 10609  df-8 10610  df-9 10611  df-10 10612  df-n0 10806  df-z 10875  df-dec 10987  df-uz 11093  df-q 11193  df-rp 11231  df-xneg 11328  df-xadd 11329  df-xmul 11330  df-icc 11546  df-fz 11683  df-fzo 11803  df-seq 12086  df-hash 12384  df-struct 14504  df-ndx 14505  df-slot 14506  df-base 14507  df-sets 14508  df-ress 14509  df-plusg 14580  df-mulr 14581  df-sca 14583  df-vsca 14584  df-ip 14585  df-tset 14586  df-ple 14587  df-ds 14589  df-hom 14591  df-cco 14592  df-rest 14690  df-topn 14691  df-0g 14709  df-gsum 14710  df-topgen 14711  df-prds 14715  df-xrs 14769  df-imas 14775  df-xps 14777  df-mre 14853  df-mrc 14854  df-acs 14856  df-mgm 15741  df-sgrp 15764  df-mnd 15774  df-submnd 15820  df-mulg 15909  df-cntz 16204  df-cmn 16650  df-psmet 18258  df-xmet 18259  df-bl 18261  df-mopn 18262  df-top 19245  df-bases 19247  df-topon 19248  df-topsp 19249  df-xms 20668  df-tms 20670
This theorem is referenced by:  txmetcnp  20895
  Copyright terms: Public domain W3C validator