Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tmsxps Structured version   Unicode version

Theorem tmsxps 21482
 Description: Express the product of two metrics as another metric. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tmsxps.p toMetSp s toMetSp
tmsxps.1
tmsxps.2
Assertion
Ref Expression
tmsxps

Proof of Theorem tmsxps
StepHypRef Expression
1 eqid 2429 . . . . 5 toMetSp s toMetSp toMetSp s toMetSp
2 eqid 2429 . . . . 5 toMetSp toMetSp
3 eqid 2429 . . . . 5 toMetSp toMetSp
4 tmsxps.1 . . . . . 6
5 eqid 2429 . . . . . . 7 toMetSp toMetSp
65tmsxms 21432 . . . . . 6 toMetSp
74, 6syl 17 . . . . 5 toMetSp
8 tmsxps.2 . . . . . 6
9 eqid 2429 . . . . . . 7 toMetSp toMetSp
109tmsxms 21432 . . . . . 6 toMetSp
118, 10syl 17 . . . . 5 toMetSp
12 tmsxps.p . . . . 5 toMetSp s toMetSp
131, 2, 3, 7, 11, 12xpsdsfn2 21324 . . . 4 toMetSp s toMetSp toMetSp s toMetSp
14 fnresdm 5703 . . . 4 toMetSp s toMetSp toMetSp s toMetSp toMetSp s toMetSp toMetSp s toMetSp
1513, 14syl 17 . . 3 toMetSp s toMetSp toMetSp s toMetSp
161xpsxms 21480 . . . . 5 toMetSp toMetSp toMetSp s toMetSp
177, 11, 16syl2anc 665 . . . 4 toMetSp s toMetSp
18 eqid 2429 . . . . 5 toMetSp s toMetSp toMetSp s toMetSp
1918, 12xmsxmet2 21405 . . . 4 toMetSp s toMetSp toMetSp s toMetSp toMetSp s toMetSp toMetSp s toMetSp
2017, 19syl 17 . . 3 toMetSp s toMetSp toMetSp s toMetSp toMetSp s toMetSp
2115, 20eqeltrrd 2518 . 2 toMetSp s toMetSp
225tmsbas 21429 . . . . . 6 toMetSp
234, 22syl 17 . . . . 5 toMetSp
249tmsbas 21429 . . . . . 6 toMetSp
258, 24syl 17 . . . . 5 toMetSp
2623, 25xpeq12d 4879 . . . 4 toMetSp toMetSp
271, 2, 3, 7, 11xpsbas 15431 . . . 4 toMetSp toMetSp toMetSp s toMetSp
2826, 27eqtrd 2470 . . 3 toMetSp s toMetSp
2928fveq2d 5885 . 2 toMetSp s toMetSp
3021, 29eleqtrrd 2520 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wceq 1437   wcel 1870   cxp 4852   cres 4856   wfn 5596  cfv 5601  (class class class)co 6305  cbs 15084  cds 15161   s cxps 15363  cxmt 18890  cxme 21263  toMetSpctmt 21265 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-hash 12513  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-mulg 16627  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-xms 21266  df-tms 21268 This theorem is referenced by:  txmetcnp  21493
 Copyright terms: Public domain W3C validator