MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tmsms Structured version   Unicode version

Theorem tmsms 21207
Description: The constructed metric space is a metric space given a metric. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
tmsbas.k  |-  K  =  (toMetSp `  D )
Assertion
Ref Expression
tmsms  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  K  e.  MetSp
)

Proof of Theorem tmsms
StepHypRef Expression
1 metxmet 21054 . . 3  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
2 tmsbas.k . . . 4  |-  K  =  (toMetSp `  D )
32tmsxms 21206 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  K  e.  *MetSp )
41, 3syl 16 . 2  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  K  e.  *MetSp )
52tmsds 21204 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  D  =  ( dist `  K
) )
61, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  =  ( dist `  K )
)
72tmsbas 21203 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  =  ( Base `  K
) )
81, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  X  =  ( Base `  K )
)
98fveq2d 5876 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  ( Met `  X )  =  ( Met `  ( Base `  K ) ) )
106, 9eleq12d 2539 . . . 4  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  ( D  e.  ( Met `  X
)  <->  ( dist `  K
)  e.  ( Met `  ( Base `  K
) ) ) )
1110ibi 241 . . 3  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  ( dist `  K )  e.  ( Met `  ( Base `  K ) ) )
12 ssid 3518 . . 3  |-  ( Base `  K )  C_  ( Base `  K )
13 metres2 21083 . . 3  |-  ( ( ( dist `  K
)  e.  ( Met `  ( Base `  K
) )  /\  ( Base `  K )  C_  ( Base `  K )
)  ->  ( ( dist `  K )  |`  ( ( Base `  K
)  X.  ( Base `  K ) ) )  e.  ( Met `  ( Base `  K ) ) )
1411, 12, 13sylancl 662 . 2  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  ( ( dist `  K )  |`  ( ( Base `  K
)  X.  ( Base `  K ) ) )  e.  ( Met `  ( Base `  K ) ) )
15 eqid 2457 . . 3  |-  ( TopOpen `  K )  =  (
TopOpen `  K )
16 eqid 2457 . . 3  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
17 eqid 2457 . . 3  |-  ( (
dist `  K )  |`  ( ( Base `  K
)  X.  ( Base `  K ) ) )  =  ( ( dist `  K )  |`  (
( Base `  K )  X.  ( Base `  K
) ) )
1815, 16, 17isms 21169 . 2  |-  ( K  e.  MetSp 
<->  ( K  e.  *MetSp  /\  ( ( dist `  K )  |`  (
( Base `  K )  X.  ( Base `  K
) ) )  e.  ( Met `  ( Base `  K ) ) ) )
194, 14, 18sylanbrc 664 1  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  K  e.  MetSp
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1395    e. wcel 1819    C_ wss 3471    X. cxp 5006    |` cres 5010   ` cfv 5594   Basecbs 14735   distcds 14812   TopOpenctopn 14930   *Metcxmt 18621   Metcme 18622   *MetSpcxme 21037   MetSpcmt 21038  toMetSpctmt 21039
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-fz 11698  df-struct 14737  df-ndx 14738  df-slot 14739  df-base 14740  df-sets 14741  df-tset 14822  df-ds 14825  df-rest 14931  df-topn 14932  df-topgen 14952  df-psmet 18629  df-xmet 18630  df-met 18631  df-bl 18632  df-mopn 18633  df-top 19617  df-bases 19619  df-topon 19620  df-topsp 19621  df-xms 21040  df-ms 21041  df-tms 21042
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator