MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tmslem Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem tmslem 21497
Description: Lemma for tmsbas 21498, tmsds 21499, and tmstopn 21500. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tmsval.m  |-  M  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  X >. , 
<. ( dist `  ndx ) ,  D >. }
tmsval.k  |-  K  =  (toMetSp `  D )
Assertion
Ref Expression
tmslem  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( X  =  ( Base `  K )  /\  D  =  ( dist `  K
)  /\  ( MetOpen `  D )  =  (
TopOpen `  K ) ) )

Proof of Theorem tmslem
StepHypRef Expression
1 elfvdm 5891 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  e.  dom  *Met )
2 tmsval.m . . . . 5  |-  M  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  X >. , 
<. ( dist `  ndx ) ,  D >. }
3 df-ds 15212 . . . . 5  |-  dist  = Slot ; 1 2
4 1nn 10620 . . . . . 6  |-  1  e.  NN
5 2nn0 10886 . . . . . 6  |-  2  e.  NN0
6 1nn0 10885 . . . . . 6  |-  1  e.  NN0
7 1lt10 10820 . . . . . 6  |-  1  <  10
84, 5, 6, 7declti 11076 . . . . 5  |-  1  < ; 1
2
9 2nn 10767 . . . . . 6  |-  2  e.  NN
106, 9decnncl 11064 . . . . 5  |- ; 1 2  e.  NN
112, 3, 8, 102strbas 15231 . . . 4  |-  ( X  e.  dom  *Met  ->  X  =  ( Base `  M ) )
121, 11syl 17 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  =  ( Base `  M
) )
13 xmetf 21344 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
14 ffn 5728 . . . . 5  |-  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  ->  D  Fn  ( X  X.  X ) )
15 fnresdm 5685 . . . . 5  |-  ( D  Fn  ( X  X.  X )  ->  ( D  |`  ( X  X.  X ) )  =  D )
1613, 14, 153syl 18 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( D  |`  ( X  X.  X ) )  =  D )
172, 3, 8, 102strop 15232 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  D  =  ( dist `  M
) )
1817reseq1d 5104 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( D  |`  ( X  X.  X ) )  =  ( ( dist `  M
)  |`  ( X  X.  X ) ) )
1916, 18eqtr3d 2487 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  D  =  ( ( dist `  M )  |`  ( X  X.  X ) ) )
20 tmsval.k . . . 4  |-  K  =  (toMetSp `  D )
212, 20tmsval 21496 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  K  =  ( M sSet  <. (TopSet `  ndx ) ,  (
MetOpen `  D ) >.
) )
2212, 19, 21setsmsbas 21490 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  =  ( Base `  K
) )
2312, 19, 21setsmsds 21491 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( dist `  M )  =  ( dist `  K
) )
2417, 23eqtrd 2485 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  D  =  ( dist `  K
) )
25 prex 4642 . . . . 5  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  X >. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  D >. }  e.  _V
262, 25eqeltri 2525 . . . 4  |-  M  e. 
_V
2726a1i 11 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  M  e.  _V )
2812, 19, 21, 27setsmstopn 21493 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( MetOpen
`  D )  =  ( TopOpen `  K )
)
2922, 24, 283jca 1188 1  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( X  =  ( Base `  K )  /\  D  =  ( dist `  K
)  /\  ( MetOpen `  D )  =  (
TopOpen `  K ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   _Vcvv 3045   {cpr 3970   <.cop 3974    X. cxp 4832   dom cdm 4834    |` cres 4836    Fn wfn 5577   -->wf 5578   ` cfv 5582   1c1 9540   RR*cxr 9674   2c2 10659  ;cdc 11051   ndxcnx 15118   Basecbs 15121   distcds 15199   TopOpenctopn 15320   *Metcxmt 18955   MetOpencmopn 18960  toMetSpctmt 21334
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-fz 11785  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-tset 15209  df-ds 15212  df-rest 15321  df-topn 15322  df-topgen 15342  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-tms 21337
This theorem is referenced by:  tmsbas  21498  tmsds  21499  tmstopn  21500
  Copyright terms: Public domain W3C validator