MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tmslem Structured version   Unicode version

Theorem tmslem 20159
Description: Lemma for tmsbas 20160, tmsds 20161, and tmstopn 20162. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tmsval.m  |-  M  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  X >. , 
<. ( dist `  ndx ) ,  D >. }
tmsval.k  |-  K  =  (toMetSp `  D )
Assertion
Ref Expression
tmslem  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( X  =  ( Base `  K )  /\  D  =  ( dist `  K
)  /\  ( MetOpen `  D )  =  (
TopOpen `  K ) ) )

Proof of Theorem tmslem
StepHypRef Expression
1 elfvdm 5801 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  e.  dom  *Met )
2 tmsval.m . . . . 5  |-  M  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  X >. , 
<. ( dist `  ndx ) ,  D >. }
3 df-ds 14348 . . . . 5  |-  dist  = Slot ; 1 2
4 1nn 10420 . . . . . 6  |-  1  e.  NN
5 2nn0 10683 . . . . . 6  |-  2  e.  NN0
6 1nn0 10682 . . . . . 6  |-  1  e.  NN0
7 1lt10 10619 . . . . . 6  |-  1  <  10
84, 5, 6, 7declti 10867 . . . . 5  |-  1  < ; 1
2
9 2nn 10566 . . . . . 6  |-  2  e.  NN
106, 9decnncl 10855 . . . . 5  |- ; 1 2  e.  NN
112, 3, 8, 102strbas 14363 . . . 4  |-  ( X  e.  dom  *Met  ->  X  =  ( Base `  M ) )
121, 11syl 16 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  =  ( Base `  M
) )
13 xmetf 20006 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
14 ffn 5643 . . . . 5  |-  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  ->  D  Fn  ( X  X.  X ) )
15 fnresdm 5604 . . . . 5  |-  ( D  Fn  ( X  X.  X )  ->  ( D  |`  ( X  X.  X ) )  =  D )
1613, 14, 153syl 20 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( D  |`  ( X  X.  X ) )  =  D )
172, 3, 8, 102strop 14364 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  D  =  ( dist `  M
) )
1817reseq1d 5193 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( D  |`  ( X  X.  X ) )  =  ( ( dist `  M
)  |`  ( X  X.  X ) ) )
1916, 18eqtr3d 2492 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  D  =  ( ( dist `  M )  |`  ( X  X.  X ) ) )
20 tmsval.k . . . 4  |-  K  =  (toMetSp `  D )
212, 20tmsval 20158 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  K  =  ( M sSet  <. (TopSet `  ndx ) ,  (
MetOpen `  D ) >.
) )
2212, 19, 21setsmsbas 20152 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  =  ( Base `  K
) )
2312, 19, 21setsmsds 20153 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( dist `  M )  =  ( dist `  K
) )
2417, 23eqtrd 2490 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  D  =  ( dist `  K
) )
25 prex 4618 . . . . 5  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  X >. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  D >. }  e.  _V
262, 25eqeltri 2532 . . . 4  |-  M  e. 
_V
2726a1i 11 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  M  e.  _V )
2812, 19, 21, 27setsmstopn 20155 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( MetOpen
`  D )  =  ( TopOpen `  K )
)
2922, 24, 283jca 1168 1  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( X  =  ( Base `  K )  /\  D  =  ( dist `  K
)  /\  ( MetOpen `  D )  =  (
TopOpen `  K ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1757   _Vcvv 3054   {cpr 3963   <.cop 3967    X. cxp 4922   dom cdm 4924    |` cres 4926    Fn wfn 5497   -->wf 5498   ` cfv 5502   1c1 9370   RR*cxr 9504   2c2 10458  ;cdc 10842   ndxcnx 14259   Basecbs 14262   distcds 14335   TopOpenctopn 14448   *Metcxmt 17896   MetOpencmopn 17901  toMetSpctmt 19996
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445  ax-pre-mulgt0 9446  ax-pre-sup 9447
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-int 4213  df-iun 4257  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-om 6563  df-1st 6663  df-2nd 6664  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-1o 7006  df-oadd 7010  df-er 7187  df-map 7302  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-fin 7400  df-sup 7778  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-sub 9684  df-neg 9685  df-div 10081  df-nn 10410  df-2 10467  df-3 10468  df-4 10469  df-5 10470  df-6 10471  df-7 10472  df-8 10473  df-9 10474  df-10 10475  df-n0 10667  df-z 10734  df-dec 10843  df-uz 10949  df-q 11041  df-rp 11079  df-xneg 11176  df-xadd 11177  df-xmul 11178  df-fz 11525  df-struct 14264  df-ndx 14265  df-slot 14266  df-base 14267  df-sets 14268  df-tset 14345  df-ds 14348  df-rest 14449  df-topn 14450  df-topgen 14470  df-psmet 17904  df-xmet 17905  df-bl 17907  df-mopn 17908  df-top 18605  df-bases 18607  df-topon 18608  df-tms 19999
This theorem is referenced by:  tmsbas  20160  tmsds  20161  tmstopn  20162
  Copyright terms: Public domain W3C validator