MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tmslem Structured version   Unicode version

Theorem tmslem 21111
Description: Lemma for tmsbas 21112, tmsds 21113, and tmstopn 21114. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tmsval.m  |-  M  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  X >. , 
<. ( dist `  ndx ) ,  D >. }
tmsval.k  |-  K  =  (toMetSp `  D )
Assertion
Ref Expression
tmslem  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( X  =  ( Base `  K )  /\  D  =  ( dist `  K
)  /\  ( MetOpen `  D )  =  (
TopOpen `  K ) ) )

Proof of Theorem tmslem
StepHypRef Expression
1 elfvdm 5898 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  e.  dom  *Met )
2 tmsval.m . . . . 5  |-  M  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  X >. , 
<. ( dist `  ndx ) ,  D >. }
3 df-ds 14734 . . . . 5  |-  dist  = Slot ; 1 2
4 1nn 10567 . . . . . 6  |-  1  e.  NN
5 2nn0 10833 . . . . . 6  |-  2  e.  NN0
6 1nn0 10832 . . . . . 6  |-  1  e.  NN0
7 1lt10 10767 . . . . . 6  |-  1  <  10
84, 5, 6, 7declti 11025 . . . . 5  |-  1  < ; 1
2
9 2nn 10714 . . . . . 6  |-  2  e.  NN
106, 9decnncl 11013 . . . . 5  |- ; 1 2  e.  NN
112, 3, 8, 102strbas 14753 . . . 4  |-  ( X  e.  dom  *Met  ->  X  =  ( Base `  M ) )
121, 11syl 16 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  =  ( Base `  M
) )
13 xmetf 20958 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
14 ffn 5737 . . . . 5  |-  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  ->  D  Fn  ( X  X.  X ) )
15 fnresdm 5696 . . . . 5  |-  ( D  Fn  ( X  X.  X )  ->  ( D  |`  ( X  X.  X ) )  =  D )
1613, 14, 153syl 20 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( D  |`  ( X  X.  X ) )  =  D )
172, 3, 8, 102strop 14754 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  D  =  ( dist `  M
) )
1817reseq1d 5282 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( D  |`  ( X  X.  X ) )  =  ( ( dist `  M
)  |`  ( X  X.  X ) ) )
1916, 18eqtr3d 2500 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  D  =  ( ( dist `  M )  |`  ( X  X.  X ) ) )
20 tmsval.k . . . 4  |-  K  =  (toMetSp `  D )
212, 20tmsval 21110 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  K  =  ( M sSet  <. (TopSet `  ndx ) ,  (
MetOpen `  D ) >.
) )
2212, 19, 21setsmsbas 21104 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  =  ( Base `  K
) )
2312, 19, 21setsmsds 21105 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( dist `  M )  =  ( dist `  K
) )
2417, 23eqtrd 2498 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  D  =  ( dist `  K
) )
25 prex 4698 . . . . 5  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  X >. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  D >. }  e.  _V
262, 25eqeltri 2541 . . . 4  |-  M  e. 
_V
2726a1i 11 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  M  e.  _V )
2812, 19, 21, 27setsmstopn 21107 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( MetOpen
`  D )  =  ( TopOpen `  K )
)
2922, 24, 283jca 1176 1  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( X  =  ( Base `  K )  /\  D  =  ( dist `  K
)  /\  ( MetOpen `  D )  =  (
TopOpen `  K ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   _Vcvv 3109   {cpr 4034   <.cop 4038    X. cxp 5006   dom cdm 5008    |` cres 5010    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594   1c1 9510   RR*cxr 9644   2c2 10606  ;cdc 11000   ndxcnx 14641   Basecbs 14644   distcds 14721   TopOpenctopn 14839   *Metcxmt 18530   MetOpencmopn 18535  toMetSpctmt 20948
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-fz 11698  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-tset 14731  df-ds 14734  df-rest 14840  df-topn 14841  df-topgen 14861  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-tms 20951
This theorem is referenced by:  tmsbas  21112  tmsds  21113  tmstopn  21114
  Copyright terms: Public domain W3C validator