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Theorem tmdgsum2 20325
Description: For any neighborhood  U of  n X, there is a neighborhood  u of  X such that any sum of  n elements in  u sums to an element of  U. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tmdgsum.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
tmdgsum.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
tmdgsum2.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
tmdgsum2.1  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
tmdgsum2.2  |-  ( ph  ->  G  e. TopMnd )
tmdgsum2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
tmdgsum2.u  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
tmdgsum2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
tmdgsum2.3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  A
)  .x.  X )  e.  U )
Assertion
Ref Expression
tmdgsum2  |-  ( ph  ->  E. u  e.  J  ( X  e.  u  /\  A. f  e.  ( u  ^m  A ) ( G  gsumg  f )  e.  U
) )
Distinct variable groups:    u, f, A    f, J, u    f, X, u    B, f, u   
f, G, u    U, f, u
Allowed substitution hints:    ph( u, f)    .x. ( u, f)

Proof of Theorem tmdgsum2
Dummy variables  g 
k  t  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2462 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  ( B  ^m  A )  |->  ( G 
gsumg  f ) )  =  ( f  e.  ( B  ^m  A ) 
|->  ( G  gsumg  f ) )
21mptpreima 5493 . . . . . 6  |-  ( `' ( f  e.  ( B  ^m  A ) 
|->  ( G  gsumg  f ) ) " U )  =  {
f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U }
3 tmdgsum2.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4 tmdgsum2.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e. TopMnd )
5 tmdgsum2.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
6 tmdgsum.j . . . . . . . . 9  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
7 tmdgsum.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  G
)
86, 7tmdgsum 20324 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd  /\  A  e.  Fin )  ->  ( f  e.  ( B  ^m  A
)  |->  ( G  gsumg  f ) )  e.  ( ( J  ^ko  ~P A )  Cn  J ) )
93, 4, 5, 8syl3anc 1223 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( B  ^m  A ) 
|->  ( G  gsumg  f ) )  e.  ( ( J  ^ko  ~P A
)  Cn  J ) )
10 tmdgsum2.u . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
11 cnima 19527 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  A ) 
|->  ( G  gsumg  f ) )  e.  ( ( J  ^ko  ~P A
)  Cn  J )  /\  U  e.  J
)  ->  ( `' ( f  e.  ( B  ^m  A ) 
|->  ( G  gsumg  f ) ) " U )  e.  ( J  ^ko  ~P A ) )
129, 10, 11syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' ( f  e.  ( B  ^m  A )  |->  ( G 
gsumg  f ) ) " U )  e.  ( J  ^ko  ~P A ) )
132, 12syl5eqelr 2555 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U }  e.  ( J  ^ko  ~P A ) )
146, 7tmdtopon 20310 . . . . . . . 8  |-  ( G  e. TopMnd  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
15 topontop 19189 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  ->  J  e.  Top )
164, 14, 153syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
17 xkopt 19886 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin )  ->  ( J  ^ko  ~P A )  =  ( Xt_ `  ( A  X.  { J }
) ) )
1816, 5, 17syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( J  ^ko  ~P A )  =  ( Xt_ `  ( A  X.  { J }
) ) )
19 fnconstg 5766 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  ->  ( A  X.  { J } )  Fn  A )
204, 14, 193syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  X.  { J } )  Fn  A
)
21 eqid 2462 . . . . . . . 8  |-  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( ( A  X.  { J } ) `  y
) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J } ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( A  X.  { J } ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) }
2221ptval 19801 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( A  X.  { J } )  Fn  A
)  ->  ( Xt_ `  ( A  X.  { J } ) )  =  ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( ( A  X.  { J } ) `  y
) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
235, 20, 22syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  ( A  X.  { J }
) )  =  (
topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( ( A  X.  { J } ) `  y
) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
2418, 23eqtrd 2503 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( J  ^ko  ~P A )  =  ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( ( A  X.  { J } ) `  y
) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
2513, 24eleqtrd 2552 . . . 4  |-  ( ph  ->  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U }  e.  ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( ( A  X.  { J } ) `  y
) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
26 tmdgsum2.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
27 fconst6g 5767 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  B  ->  ( A  X.  { X }
) : A --> B )
2826, 27syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  X.  { X } ) : A --> B )
29 fvex 5869 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  G )  e.  _V
307, 29eqeltri 2546 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
31 elmapg 7425 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  _V  /\  A  e.  Fin )  ->  ( ( A  X.  { X } )  e.  ( B  ^m  A
)  <->  ( A  X.  { X } ) : A --> B ) )
3230, 5, 31sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { X } )  e.  ( B  ^m  A
)  <->  ( A  X.  { X } ) : A --> B ) )
3328, 32mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  X.  { X } )  e.  ( B  ^m  A ) )
34 fconstmpt 5037 . . . . . . . 8  |-  ( A  X.  { X }
)  =  ( k  e.  A  |->  X )
3534oveq2i 6288 . . . . . . 7  |-  ( G 
gsumg  ( A  X.  { X } ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )
36 cmnmnd 16604 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
373, 36syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
38 tmdgsum2.t . . . . . . . . 9  |-  .x.  =  (.g
`  G )
397, 38gsumconst 16740 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( ( # `  A
)  .x.  X )
)
4037, 5, 26, 39syl3anc 1223 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( ( # `  A
)  .x.  X )
)
4135, 40syl5eq 2515 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( A  X.  { X } ) )  =  ( ( # `  A
)  .x.  X )
)
42 tmdgsum2.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( # `  A
)  .x.  X )  e.  U )
4341, 42eqeltrd 2550 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( A  X.  { X } ) )  e.  U )
44 oveq2 6285 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( A  X.  { X } )  -> 
( G  gsumg  f )  =  ( G  gsumg  ( A  X.  { X } ) ) )
4544eleq1d 2531 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( A  X.  { X } )  -> 
( ( G  gsumg  f )  e.  U  <->  ( G  gsumg  ( A  X.  { X } ) )  e.  U ) )
4645elrab 3256 . . . . 5  |-  ( ( A  X.  { X } )  e.  {
f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U } 
<->  ( ( A  X.  { X } )  e.  ( B  ^m  A
)  /\  ( G  gsumg  ( A  X.  { X } ) )  e.  U ) )
4733, 43, 46sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  X.  { X } )  e.  {
f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U } )
48 tg2 19228 . . . 4  |-  ( ( { f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U }  e.  ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( ( A  X.  { J } ) `  y
) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } )  /\  ( A  X.  { X } )  e. 
{ f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U } )  ->  E. t  e.  {
x  |  E. g
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J } ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( A  X.  { J } ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) }  ( ( A  X.  { X } )  e.  t  /\  t  C_  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U } ) )
4925, 47, 48syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  E. t  e.  {
x  |  E. g
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J } ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( A  X.  { J } ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) }  ( ( A  X.  { X } )  e.  t  /\  t  C_  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U } ) )
50 eleq2 2535 . . . . 5  |-  ( t  =  x  ->  (
( A  X.  { X } )  e.  t  <-> 
( A  X.  { X } )  e.  x
) )
51 sseq1 3520 . . . . 5  |-  ( t  =  x  ->  (
t  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } 
<->  x  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )
5250, 51anbi12d 710 . . . 4  |-  ( t  =  x  ->  (
( ( A  X.  { X } )  e.  t  /\  t  C_  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U } )  <->  ( ( A  X.  { X }
)  e.  x  /\  x  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) ) )
5352rexab2 3265 . . 3  |-  ( E. t  e.  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( ( A  X.  { J } ) `  y
) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  (
( A  X.  { X } )  e.  t  /\  t  C_  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U } )  <->  E. x
( E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( ( A  X.  { J } ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( A  X.  { J } ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )  /\  ( ( A  X.  { X } )  e.  x  /\  x  C_  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U } ) ) )
5449, 53sylib 196 . 2  |-  ( ph  ->  E. x ( E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J } ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( A  X.  { J } ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )  /\  ( ( A  X.  { X } )  e.  x  /\  x  C_  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U } ) ) )
55 toponuni 19190 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  ->  B  =  U. J )
564, 14, 553syl 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  =  U. J
)
5756ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  ->  B  =  U. J )
5857ineq1d 3694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  -> 
( B  i^i  |^| ran  g )  =  ( U. J  i^i  |^| ran  g ) )
5916ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  ->  J  e.  Top )
60 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  -> 
g  Fn  A )
61 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  ->  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( ( A  X.  { J } ) `  y
) )
62 fvconst2g 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  e.  A )  ->  ( ( A  X.  { J } ) `  y )  =  J )
6362eleq2d 2532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  e.  A )  ->  ( ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J } ) `  y
)  <->  ( g `  y )  e.  J
) )
6463ralbidva 2895 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( ( A  X.  { J } ) `  y
)  <->  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  J ) )
6559, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  -> 
( A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J } ) `  y
)  <->  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  J ) )
6661, 65mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  ->  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  J )
67 ffnfv 6040 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g : A --> J  <->  ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  J
) )
6860, 66, 67sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  -> 
g : A --> J )
69 frn 5730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g : A --> J  ->  ran  g  C_  J )
7068, 69syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  ->  ran  g  C_  J )
715ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  ->  A  e.  Fin )
72 dffn4 5794 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  Fn  A  <->  g : A -onto-> ran  g )
7360, 72sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  -> 
g : A -onto-> ran  g )
74 fofi 7797 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  g : A -onto-> ran  g
)  ->  ran  g  e. 
Fin )
7571, 73, 74syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  ->  ran  g  e.  Fin )
76 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. J  =  U. J
7776rintopn 19180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ran  g  C_  J  /\  ran  g  e.  Fin )  ->  ( U. J  i^i  |^| ran  g )  e.  J )
7859, 70, 75, 77syl3anc 1223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  -> 
( U. J  i^i  |^|
ran  g )  e.  J )
7958, 78eqeltrd 2550 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  -> 
( B  i^i  |^| ran  g )  e.  J
)
8026ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  ->  X  e.  B )
81 fconstmpt 5037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  X.  { X }
)  =  ( y  e.  A  |->  X )
82 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  -> 
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )
)
8381, 82syl5eqelr 2555 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  -> 
( y  e.  A  |->  X )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )
)
84 mptelixpg 7498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( y  e.  A  |->  X )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  <->  A. y  e.  A  X  e.  ( g `  y
) ) )
8571, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  -> 
( ( y  e.  A  |->  X )  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  <->  A. y  e.  A  X  e.  ( g `  y ) ) )
8683, 85mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  ->  A. y  e.  A  X  e.  ( g `  y ) )
87 eleq2 2535 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( g `  y )  ->  ( X  e.  z  <->  X  e.  ( g `  y
) ) )
8887ralrn 6017 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  Fn  A  ->  ( A. z  e.  ran  g  X  e.  z  <->  A. y  e.  A  X  e.  ( g `  y
) ) )
8960, 88syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  -> 
( A. z  e. 
ran  g  X  e.  z  <->  A. y  e.  A  X  e.  ( g `  y ) ) )
9086, 89mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  ->  A. z  e.  ran  g  X  e.  z
)
91 elrint 4318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  ( B  i^i  |^|
ran  g )  <->  ( X  e.  B  /\  A. z  e.  ran  g  X  e.  z ) )
9280, 90, 91sylanbrc 664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  ->  X  e.  ( B  i^i  |^| ran  g ) )
9330inex1 4583 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  i^i  |^| ran  g )  e.  _V
94 ixpconstg 7470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( B  i^i  |^| ran  g )  e.  _V )  ->  X_ y  e.  A  ( B  i^i  |^| ran  g )  =  ( ( B  i^i  |^| ran  g )  ^m  A
) )
9571, 93, 94sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  ->  X_ y  e.  A  ( B  i^i  |^| ran  g )  =  ( ( B  i^i  |^| ran  g )  ^m  A
) )
96 inss2 3714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  i^i  |^| ran  g ) 
C_  |^| ran  g
97 fnfvelrn 6011 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g  Fn  A  /\  y  e.  A )  ->  ( g `  y
)  e.  ran  g
)
98 intss1 4292 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g `  y )  e.  ran  g  ->  |^| ran  g  C_  (
g `  y )
)
9997, 98syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g  Fn  A  /\  y  e.  A )  ->  |^| ran  g  C_  ( g `  y
) )
10096, 99syl5ss 3510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g  Fn  A  /\  y  e.  A )  ->  ( B  i^i  |^| ran  g )  C_  (
g `  y )
)
101100ralrimiva 2873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  Fn  A  ->  A. y  e.  A  ( B  i^i  |^| ran  g ) 
C_  ( g `  y ) )
102 ss2ixp 7474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y  e.  A  ( B  i^i  |^| ran  g ) 
C_  ( g `  y )  ->  X_ y  e.  A  ( B  i^i  |^| ran  g ) 
C_  X_ y  e.  A  ( g `  y
) )
10360, 101, 1023syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  ->  X_ y  e.  A  ( B  i^i  |^| ran  g )  C_  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )
10495, 103eqsstr3d 3534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  -> 
( ( B  i^i  |^|
ran  g )  ^m  A )  C_  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )
105 ssrab 3573 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X_ y  e.  A  (
g `  y )  C_ 
{ f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U }  <->  ( X_ y  e.  A  (
g `  y )  C_  ( B  ^m  A
)  /\  A. f  e.  X_  y  e.  A  ( g `  y
) ( G  gsumg  f )  e.  U ) )
106105simprbi 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X_ y  e.  A  (
g `  y )  C_ 
{ f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U }  ->  A. f  e.  X_  y  e.  A  ( g `  y ) ( G 
gsumg  f )  e.  U
)
107106ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  ->  A. f  e.  X_  y  e.  A  ( g `  y ) ( G 
gsumg  f )  e.  U
)
108 ssralv 3559 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  i^i  |^| ran  g )  ^m  A
)  C_  X_ y  e.  A  ( g `  y )  ->  ( A. f  e.  X_  y  e.  A  ( g `  y ) ( G 
gsumg  f )  e.  U  ->  A. f  e.  ( ( B  i^i  |^| ran  g )  ^m  A
) ( G  gsumg  f )  e.  U ) )
109104, 107, 108sylc 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  ->  A. f  e.  (
( B  i^i  |^| ran  g )  ^m  A
) ( G  gsumg  f )  e.  U )
110 eleq2 2535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  ( B  i^i  |^|
ran  g )  -> 
( X  e.  u  <->  X  e.  ( B  i^i  |^|
ran  g ) ) )
111 oveq1 6284 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( B  i^i  |^|
ran  g )  -> 
( u  ^m  A
)  =  ( ( B  i^i  |^| ran  g )  ^m  A
) )
112111raleqdv 3059 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  ( B  i^i  |^|
ran  g )  -> 
( A. f  e.  ( u  ^m  A
) ( G  gsumg  f )  e.  U  <->  A. f  e.  ( ( B  i^i  |^|
ran  g )  ^m  A ) ( G 
gsumg  f )  e.  U
) )
113110, 112anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  ( B  i^i  |^|
ran  g )  -> 
( ( X  e.  u  /\  A. f  e.  ( u  ^m  A
) ( G  gsumg  f )  e.  U )  <->  ( X  e.  ( B  i^i  |^| ran  g )  /\  A. f  e.  ( ( B  i^i  |^| ran  g )  ^m  A ) ( G  gsumg  f )  e.  U
) ) )
114113rspcev 3209 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  i^i  |^| ran  g )  e.  J  /\  ( X  e.  ( B  i^i  |^| ran  g )  /\  A. f  e.  ( ( B  i^i  |^| ran  g )  ^m  A ) ( G  gsumg  f )  e.  U
) )  ->  E. u  e.  J  ( X  e.  u  /\  A. f  e.  ( u  ^m  A
) ( G  gsumg  f )  e.  U ) )
11579, 92, 109, 114syl12anc 1221 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  ->  E. u  e.  J  ( X  e.  u  /\  A. f  e.  ( u  ^m  A ) ( G  gsumg  f )  e.  U
) )
116115ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J } ) `  y
) ) )  -> 
( ( ( A  X.  { X }
)  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U } )  ->  E. u  e.  J  ( X  e.  u  /\  A. f  e.  ( u  ^m  A
) ( G  gsumg  f )  e.  U ) ) )
1171163adantr3 1152 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J } ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( A  X.  { J } ) `  y ) ) )  ->  ( ( ( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } )  ->  E. u  e.  J  ( X  e.  u  /\  A. f  e.  ( u  ^m  A
) ( G  gsumg  f )  e.  U ) ) )
118 eleq2 2535 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  ->  ( ( A  X.  { X }
)  e.  x  <->  ( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) )
119 sseq1 3520 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  ->  ( x  C_ 
{ f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U }  <->  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U } ) )
120118, 119anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  ->  ( (
( A  X.  { X } )  e.  x  /\  x  C_  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U } )  <->  ( ( A  X.  { X }
)  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U } ) ) )
121120imbi1d 317 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  ->  ( (
( ( A  X.  { X } )  e.  x  /\  x  C_  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U } )  ->  E. u  e.  J  ( X  e.  u  /\  A. f  e.  ( u  ^m  A
) ( G  gsumg  f )  e.  U ) )  <-> 
( ( ( A  X.  { X }
)  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U } )  ->  E. u  e.  J  ( X  e.  u  /\  A. f  e.  ( u  ^m  A
) ( G  gsumg  f )  e.  U ) ) ) )
122117, 121syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J } ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( A  X.  { J } ) `  y ) ) )  ->  ( x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
)  ->  ( (
( A  X.  { X } )  e.  x  /\  x  C_  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U } )  ->  E. u  e.  J  ( X  e.  u  /\  A. f  e.  ( u  ^m  A
) ( G  gsumg  f )  e.  U ) ) ) )
123122expimpd 603 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J } ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( A  X.  { J } ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )  -> 
( ( ( A  X.  { X }
)  e.  x  /\  x  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } )  ->  E. u  e.  J  ( X  e.  u  /\  A. f  e.  ( u  ^m  A
) ( G  gsumg  f )  e.  U ) ) ) )
124123exlimdv 1695 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( ( A  X.  { J } ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( A  X.  { J } ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )  -> 
( ( ( A  X.  { X }
)  e.  x  /\  x  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } )  ->  E. u  e.  J  ( X  e.  u  /\  A. f  e.  ( u  ^m  A
) ( G  gsumg  f )  e.  U ) ) ) )
125124impd 431 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( E. g
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J } ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( A  X.  { J } ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )  /\  ( ( A  X.  { X } )  e.  x  /\  x  C_  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U } ) )  ->  E. u  e.  J  ( X  e.  u  /\  A. f  e.  ( u  ^m  A ) ( G  gsumg  f )  e.  U
) ) )
126125exlimdv 1695 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. x ( E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( ( A  X.  { J } ) `  y
) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  x  /\  x  C_  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U } ) )  ->  E. u  e.  J  ( X  e.  u  /\  A. f  e.  ( u  ^m  A ) ( G  gsumg  f )  e.  U
) ) )
12754, 126mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. u  e.  J  ( X  e.  u  /\  A. f  e.  ( u  ^m  A ) ( G  gsumg  f )  e.  U
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374   E.wex 1591    e. wcel 1762   {cab 2447   A.wral 2809   E.wrex 2810   {crab 2813   _Vcvv 3108    \ cdif 3468    i^i cin 3470    C_ wss 3471   ~Pcpw 4005   {csn 4022   U.cuni 4240   |^|cint 4277    |-> cmpt 4500    X. cxp 4992   `'ccnv 4993   ran crn 4995   "cima 4997    Fn wfn 5576   -->wf 5577   -onto->wfo 5579   ` cfv 5581  (class class class)co 6277    ^m cmap 7412   X_cixp 7461   Fincfn 7508   #chash 12362   Basecbs 14481   TopOpenctopn 14668   topGenctg 14684   Xt_cpt 14685    gsumg cgsu 14687   Mndcmnd 15717  .gcmg 15722  CMndccmn 16589   Topctop 19156  TopOnctopon 19157    Cn ccn 19486    ^ko cxko 19792  TopMndctmd 20299
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-iin 4323  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6517  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-supp 6894  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-ixp 7462  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-fsupp 7821  df-fi 7862  df-oi 7926  df-card 8311  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-2 10585  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-seq 12066  df-hash 12363  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-rest 14669  df-0g 14688  df-gsum 14689  df-topgen 14690  df-pt 14691  df-mre 14832  df-mrc 14833  df-acs 14835  df-mnd 15723  df-plusf 15724  df-submnd 15773  df-mulg 15856  df-cntz 16145  df-cmn 16591  df-top 19161  df-bases 19163  df-topon 19164  df-topsp 19165  df-cn 19489  df-cnp 19490  df-cmp 19648  df-tx 19793  df-xko 19794  df-tmd 20301
This theorem is referenced by:  tsmsxp  20387
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