Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tmdgsum2 Structured version   Unicode version

Theorem tmdgsum2 20721
 Description: For any neighborhood of , there is a neighborhood of such that any sum of elements in sums to an element of . (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tmdgsum.j
tmdgsum.b
tmdgsum2.t .g
tmdgsum2.1 CMnd
tmdgsum2.2 TopMnd
tmdgsum2.a
tmdgsum2.u
tmdgsum2.x
tmdgsum2.3
Assertion
Ref Expression
tmdgsum2 g
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem tmdgsum2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2457 . . . . . . 7 g g
21mptpreima 5506 . . . . . 6 g g
3 tmdgsum2.1 . . . . . . . 8 CMnd
4 tmdgsum2.2 . . . . . . . 8 TopMnd
5 tmdgsum2.a . . . . . . . 8
6 tmdgsum.j . . . . . . . . 9
7 tmdgsum.b . . . . . . . . 9
86, 7tmdgsum 20720 . . . . . . . 8 CMnd TopMnd g
93, 4, 5, 8syl3anc 1228 . . . . . . 7 g
10 tmdgsum2.u . . . . . . 7
11 cnima 19893 . . . . . . 7 g g
129, 10, 11syl2anc 661 . . . . . 6 g
132, 12syl5eqelr 2550 . . . . 5 g
146, 7tmdtopon 20706 . . . . . . . 8 TopMnd TopOn
15 topontop 19554 . . . . . . . 8 TopOn
164, 14, 153syl 20 . . . . . . 7
17 xkopt 20282 . . . . . . 7
1816, 5, 17syl2anc 661 . . . . . 6
19 fnconstg 5779 . . . . . . . 8 TopOn
204, 14, 193syl 20 . . . . . . 7
21 eqid 2457 . . . . . . . 8
2221ptval 20197 . . . . . . 7
235, 20, 22syl2anc 661 . . . . . 6
2418, 23eqtrd 2498 . . . . 5
2513, 24eleqtrd 2547 . . . 4 g
26 tmdgsum2.x . . . . . . 7
27 fconst6g 5780 . . . . . . 7
2826, 27syl 16 . . . . . 6
29 fvex 5882 . . . . . . . 8
307, 29eqeltri 2541 . . . . . . 7
31 elmapg 7451 . . . . . . 7
3230, 5, 31sylancr 663 . . . . . 6
3328, 32mpbird 232 . . . . 5
34 fconstmpt 5052 . . . . . . . 8
3534oveq2i 6307 . . . . . . 7 g g
36 cmnmnd 16940 . . . . . . . . 9 CMnd
373, 36syl 16 . . . . . . . 8
38 tmdgsum2.t . . . . . . . . 9 .g
397, 38gsumconst 17081 . . . . . . . 8 g
4037, 5, 26, 39syl3anc 1228 . . . . . . 7 g
4135, 40syl5eq 2510 . . . . . 6 g
42 tmdgsum2.3 . . . . . 6
4341, 42eqeltrd 2545 . . . . 5 g
44 oveq2 6304 . . . . . . 7 g g
4544eleq1d 2526 . . . . . 6 g g
4645elrab 3257 . . . . 5 g g
4733, 43, 46sylanbrc 664 . . . 4 g
48 tg2 19593 . . . 4 g g g
4925, 47, 48syl2anc 661 . . 3 g
50 eleq2 2530 . . . . 5
51 sseq1 3520 . . . . 5 g g
5250, 51anbi12d 710 . . . 4 g g
5352rexab2 3266 . . 3 g g
5449, 53sylib 196 . 2 g
55 toponuni 19555 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn
564, 14, 553syl 20 . . . . . . . . . . . . 13
5756ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 g
5857ineq1d 3695 . . . . . . . . . . 11 g
5916ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 g
60 simplrl 761 . . . . . . . . . . . . . 14 g
61 simplrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 g
62 fvconst2g 6126 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6362eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6463ralbidva 2893 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6559, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 g
6661, 65mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14 g
67 ffnfv 6058 . . . . . . . . . . . . . 14
6860, 66, 67sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . 13 g
69 frn 5743 . . . . . . . . . . . . 13
7068, 69syl 16 . . . . . . . . . . . 12 g
715ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 g
72 dffn4 5807 . . . . . . . . . . . . . 14
7360, 72sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13 g
74 fofi 7824 . . . . . . . . . . . . 13
7571, 73, 74syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12 g
76 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . 13
7776rintopn 19545 . . . . . . . . . . . 12
7859, 70, 75, 77syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11 g
7958, 78eqeltrd 2545 . . . . . . . . . 10 g
8026ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 g
81 fconstmpt 5052 . . . . . . . . . . . . . 14
82 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . 14 g
8381, 82syl5eqelr 2550 . . . . . . . . . . . . 13 g
84 mptelixpg 7525 . . . . . . . . . . . . . 14
8571, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 g
8683, 85mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12 g
87 eleq2 2530 . . . . . . . . . . . . . 14
8887ralrn 6035 . . . . . . . . . . . . 13
8960, 88syl 16 . . . . . . . . . . . 12 g
9086, 89mpbird 232 . . . . . . . . . . 11 g
91 elrint 4330 . . . . . . . . . . 11
9280, 90, 91sylanbrc 664 . . . . . . . . . 10 g
9330inex1 4597 . . . . . . . . . . . . 13
94 ixpconstg 7497 . . . . . . . . . . . . 13
9571, 93, 94sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12 g
96 inss2 3715 . . . . . . . . . . . . . . 15
97 fnfvelrn 6029 . . . . . . . . . . . . . . . 16
98 intss1 4303 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9997, 98syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
10096, 99syl5ss 3510 . . . . . . . . . . . . . 14
101100ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . . 13
102 ss2ixp 7501 . . . . . . . . . . . . 13
10360, 101, 1023syl 20 . . . . . . . . . . . 12 g
10495, 103eqsstr3d 3534 . . . . . . . . . . 11 g
105 ssrab 3574 . . . . . . . . . . . . 13 g g
106105simprbi 464 . . . . . . . . . . . 12 g g
107106ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11 g g
108 ssralv 3560 . . . . . . . . . . 11 g g
109104, 107, 108sylc 60 . . . . . . . . . 10 g g
110 eleq2 2530 . . . . . . . . . . . 12
111 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . 13
112111raleqdv 3060 . . . . . . . . . . . 12 g g
113110, 112anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11 g g
114113rspcev 3210 . . . . . . . . . 10 g g
11579, 92, 109, 114syl12anc 1226 . . . . . . . . 9 g g
116115ex 434 . . . . . . . 8 g g
1171163adantr3 1157 . . . . . . 7 g g
118 eleq2 2530 . . . . . . . . 9
119 sseq1 3520 . . . . . . . . 9 g g
120118, 119anbi12d 710 . . . . . . . 8 g g
121120imbi1d 317 . . . . . . 7 g g g g
122117, 121syl5ibrcom 222 . . . . . 6 g g
123122expimpd 603 . . . . 5 g g
124123exlimdv 1725 . . . 4 g g
125124impd 431 . . 3 g g
126125exlimdv 1725 . 2 g g
12754, 126mpd 15 1 g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1395  wex 1613   wcel 1819  cab 2442  wral 2807  wrex 2808  crab 2811  cvv 3109   cdif 3468   cin 3470   wss 3471  cpw 4015  csn 4032  cuni 4251  cint 4288   cmpt 4515   cxp 5006  ccnv 5007   crn 5009  cima 5011   wfn 5589  wf 5590  wfo 5592  cfv 5594  (class class class)co 6296   cmap 7438  cixp 7488  cfn 7535  chash 12408  cbs 14644  ctopn 14839  ctg 14855  cpt 14856   g cgsu 14858  cmnd 16046  .gcmg 16183  CMndccmn 16925  ctop 19521  TopOnctopon 19522   ccn 19852   cxko 20188  TopMndctmd 20695 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-hash 12409  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-rest 14840  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-plusf 15998  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-cmp 20014  df-tx 20189  df-xko 20190  df-tmd 20697 This theorem is referenced by:  tsmsxp  20783
 Copyright terms: Public domain W3C validator