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Theorem tmdgsum2 20721
Description: For any neighborhood  U of  n X, there is a neighborhood  u of  X such that any sum of  n elements in  u sums to an element of  U. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tmdgsum.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
tmdgsum.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
tmdgsum2.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
tmdgsum2.1  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
tmdgsum2.2  |-  ( ph  ->  G  e. TopMnd )
tmdgsum2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
tmdgsum2.u  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
tmdgsum2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
tmdgsum2.3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  A
)  .x.  X )  e.  U )
Assertion
Ref Expression
tmdgsum2  |-  ( ph  ->  E. u  e.  J  ( X  e.  u  /\  A. f  e.  ( u  ^m  A ) ( G  gsumg  f )  e.  U
) )
Distinct variable groups:    u, f, A    f, J, u    f, X, u    B, f, u   
f, G, u    U, f, u
Allowed substitution hints:    ph( u, f)    .x. ( u, f)

Proof of Theorem tmdgsum2
Dummy variables  g 
k  t  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  ( B  ^m  A )  |->  ( G 
gsumg  f ) )  =  ( f  e.  ( B  ^m  A ) 
|->  ( G  gsumg  f ) )
21mptpreima 5506 . . . . . 6  |-  ( `' ( f  e.  ( B  ^m  A ) 
|->  ( G  gsumg  f ) ) " U )  =  {
f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U }
3 tmdgsum2.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4 tmdgsum2.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e. TopMnd )
5 tmdgsum2.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
6 tmdgsum.j . . . . . . . . 9  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
7 tmdgsum.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  G
)
86, 7tmdgsum 20720 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd  /\  A  e.  Fin )  ->  ( f  e.  ( B  ^m  A
)  |->  ( G  gsumg  f ) )  e.  ( ( J  ^ko  ~P A )  Cn  J ) )
93, 4, 5, 8syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( B  ^m  A ) 
|->  ( G  gsumg  f ) )  e.  ( ( J  ^ko  ~P A
)  Cn  J ) )
10 tmdgsum2.u . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
11 cnima 19893 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  A ) 
|->  ( G  gsumg  f ) )  e.  ( ( J  ^ko  ~P A
)  Cn  J )  /\  U  e.  J
)  ->  ( `' ( f  e.  ( B  ^m  A ) 
|->  ( G  gsumg  f ) ) " U )  e.  ( J  ^ko  ~P A ) )
129, 10, 11syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' ( f  e.  ( B  ^m  A )  |->  ( G 
gsumg  f ) ) " U )  e.  ( J  ^ko  ~P A ) )
132, 12syl5eqelr 2550 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U }  e.  ( J  ^ko  ~P A ) )
146, 7tmdtopon 20706 . . . . . . . 8  |-  ( G  e. TopMnd  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
15 topontop 19554 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  ->  J  e.  Top )
164, 14, 153syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
17 xkopt 20282 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin )  ->  ( J  ^ko  ~P A )  =  ( Xt_ `  ( A  X.  { J }
) ) )
1816, 5, 17syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( J  ^ko  ~P A )  =  ( Xt_ `  ( A  X.  { J }
) ) )
19 fnconstg 5779 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  ->  ( A  X.  { J } )  Fn  A )
204, 14, 193syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  X.  { J } )  Fn  A
)
21 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( ( A  X.  { J } ) `  y
) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J } ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( A  X.  { J } ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) }
2221ptval 20197 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( A  X.  { J } )  Fn  A
)  ->  ( Xt_ `  ( A  X.  { J } ) )  =  ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( ( A  X.  { J } ) `  y
) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
235, 20, 22syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  ( A  X.  { J }
) )  =  (
topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( ( A  X.  { J } ) `  y
) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
2418, 23eqtrd 2498 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( J  ^ko  ~P A )  =  ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( ( A  X.  { J } ) `  y
) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
2513, 24eleqtrd 2547 . . . 4  |-  ( ph  ->  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U }  e.  ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( ( A  X.  { J } ) `  y
) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
26 tmdgsum2.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
27 fconst6g 5780 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  B  ->  ( A  X.  { X }
) : A --> B )
2826, 27syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  X.  { X } ) : A --> B )
29 fvex 5882 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  G )  e.  _V
307, 29eqeltri 2541 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
31 elmapg 7451 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  _V  /\  A  e.  Fin )  ->  ( ( A  X.  { X } )  e.  ( B  ^m  A
)  <->  ( A  X.  { X } ) : A --> B ) )
3230, 5, 31sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { X } )  e.  ( B  ^m  A
)  <->  ( A  X.  { X } ) : A --> B ) )
3328, 32mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  X.  { X } )  e.  ( B  ^m  A ) )
34 fconstmpt 5052 . . . . . . . 8  |-  ( A  X.  { X }
)  =  ( k  e.  A  |->  X )
3534oveq2i 6307 . . . . . . 7  |-  ( G 
gsumg  ( A  X.  { X } ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )
36 cmnmnd 16940 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
373, 36syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
38 tmdgsum2.t . . . . . . . . 9  |-  .x.  =  (.g
`  G )
397, 38gsumconst 17081 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( ( # `  A
)  .x.  X )
)
4037, 5, 26, 39syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( ( # `  A
)  .x.  X )
)
4135, 40syl5eq 2510 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( A  X.  { X } ) )  =  ( ( # `  A
)  .x.  X )
)
42 tmdgsum2.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( # `  A
)  .x.  X )  e.  U )
4341, 42eqeltrd 2545 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( A  X.  { X } ) )  e.  U )
44 oveq2 6304 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( A  X.  { X } )  -> 
( G  gsumg  f )  =  ( G  gsumg  ( A  X.  { X } ) ) )
4544eleq1d 2526 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( A  X.  { X } )  -> 
( ( G  gsumg  f )  e.  U  <->  ( G  gsumg  ( A  X.  { X } ) )  e.  U ) )
4645elrab 3257 . . . . 5  |-  ( ( A  X.  { X } )  e.  {
f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U } 
<->  ( ( A  X.  { X } )  e.  ( B  ^m  A
)  /\  ( G  gsumg  ( A  X.  { X } ) )  e.  U ) )
4733, 43, 46sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  X.  { X } )  e.  {
f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U } )
48 tg2 19593 . . . 4  |-  ( ( { f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U }  e.  ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( ( A  X.  { J } ) `  y
) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } )  /\  ( A  X.  { X } )  e. 
{ f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U } )  ->  E. t  e.  {
x  |  E. g
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J } ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( A  X.  { J } ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) }  ( ( A  X.  { X } )  e.  t  /\  t  C_  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U } ) )
4925, 47, 48syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  E. t  e.  {
x  |  E. g
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J } ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( A  X.  { J } ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) }  ( ( A  X.  { X } )  e.  t  /\  t  C_  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U } ) )
50 eleq2 2530 . . . . 5  |-  ( t  =  x  ->  (
( A  X.  { X } )  e.  t  <-> 
( A  X.  { X } )  e.  x
) )
51 sseq1 3520 . . . . 5  |-  ( t  =  x  ->  (
t  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } 
<->  x  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )
5250, 51anbi12d 710 . . . 4  |-  ( t  =  x  ->  (
( ( A  X.  { X } )  e.  t  /\  t  C_  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U } )  <->  ( ( A  X.  { X }
)  e.  x  /\  x  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) ) )
5352rexab2 3266 . . 3  |-  ( E. t  e.  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( ( A  X.  { J } ) `  y
) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  (
( A  X.  { X } )  e.  t  /\  t  C_  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U } )  <->  E. x
( E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( ( A  X.  { J } ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( A  X.  { J } ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )  /\  ( ( A  X.  { X } )  e.  x  /\  x  C_  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U } ) ) )
5449, 53sylib 196 . 2  |-  ( ph  ->  E. x ( E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J } ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( A  X.  { J } ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )  /\  ( ( A  X.  { X } )  e.  x  /\  x  C_  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U } ) ) )
55 toponuni 19555 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  ->  B  =  U. J )
564, 14, 553syl 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  =  U. J
)
5756ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  ->  B  =  U. J )
5857ineq1d 3695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  -> 
( B  i^i  |^| ran  g )  =  ( U. J  i^i  |^| ran  g ) )
5916ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  ->  J  e.  Top )
60 simplrl 761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  -> 
g  Fn  A )
61 simplrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  ->  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( ( A  X.  { J } ) `  y
) )
62 fvconst2g 6126 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  e.  A )  ->  ( ( A  X.  { J } ) `  y )  =  J )
6362eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  e.  A )  ->  ( ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J } ) `  y
)  <->  ( g `  y )  e.  J
) )
6463ralbidva 2893 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( ( A  X.  { J } ) `  y
)  <->  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  J ) )
6559, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  -> 
( A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J } ) `  y
)  <->  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  J ) )
6661, 65mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  ->  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  J )
67 ffnfv 6058 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g : A --> J  <->  ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  J
) )
6860, 66, 67sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  -> 
g : A --> J )
69 frn 5743 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g : A --> J  ->  ran  g  C_  J )
7068, 69syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  ->  ran  g  C_  J )
715ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  ->  A  e.  Fin )
72 dffn4 5807 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  Fn  A  <->  g : A -onto-> ran  g )
7360, 72sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  -> 
g : A -onto-> ran  g )
74 fofi 7824 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  g : A -onto-> ran  g
)  ->  ran  g  e. 
Fin )
7571, 73, 74syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  ->  ran  g  e.  Fin )
76 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. J  =  U. J
7776rintopn 19545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ran  g  C_  J  /\  ran  g  e.  Fin )  ->  ( U. J  i^i  |^| ran  g )  e.  J )
7859, 70, 75, 77syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  -> 
( U. J  i^i  |^|
ran  g )  e.  J )
7958, 78eqeltrd 2545 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  -> 
( B  i^i  |^| ran  g )  e.  J
)
8026ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  ->  X  e.  B )
81 fconstmpt 5052 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  X.  { X }
)  =  ( y  e.  A  |->  X )
82 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  -> 
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )
)
8381, 82syl5eqelr 2550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  -> 
( y  e.  A  |->  X )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )
)
84 mptelixpg 7525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( y  e.  A  |->  X )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  <->  A. y  e.  A  X  e.  ( g `  y
) ) )
8571, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  -> 
( ( y  e.  A  |->  X )  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  <->  A. y  e.  A  X  e.  ( g `  y ) ) )
8683, 85mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  ->  A. y  e.  A  X  e.  ( g `  y ) )
87 eleq2 2530 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( g `  y )  ->  ( X  e.  z  <->  X  e.  ( g `  y
) ) )
8887ralrn 6035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  Fn  A  ->  ( A. z  e.  ran  g  X  e.  z  <->  A. y  e.  A  X  e.  ( g `  y
) ) )
8960, 88syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  -> 
( A. z  e. 
ran  g  X  e.  z  <->  A. y  e.  A  X  e.  ( g `  y ) ) )
9086, 89mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  ->  A. z  e.  ran  g  X  e.  z
)
91 elrint 4330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  ( B  i^i  |^|
ran  g )  <->  ( X  e.  B  /\  A. z  e.  ran  g  X  e.  z ) )
9280, 90, 91sylanbrc 664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  ->  X  e.  ( B  i^i  |^| ran  g ) )
9330inex1 4597 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  i^i  |^| ran  g )  e.  _V
94 ixpconstg 7497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( B  i^i  |^| ran  g )  e.  _V )  ->  X_ y  e.  A  ( B  i^i  |^| ran  g )  =  ( ( B  i^i  |^| ran  g )  ^m  A
) )
9571, 93, 94sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  ->  X_ y  e.  A  ( B  i^i  |^| ran  g )  =  ( ( B  i^i  |^| ran  g )  ^m  A
) )
96 inss2 3715 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  i^i  |^| ran  g ) 
C_  |^| ran  g
97 fnfvelrn 6029 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g  Fn  A  /\  y  e.  A )  ->  ( g `  y
)  e.  ran  g
)
98 intss1 4303 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g `  y )  e.  ran  g  ->  |^| ran  g  C_  (
g `  y )
)
9997, 98syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g  Fn  A  /\  y  e.  A )  ->  |^| ran  g  C_  ( g `  y
) )
10096, 99syl5ss 3510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g  Fn  A  /\  y  e.  A )  ->  ( B  i^i  |^| ran  g )  C_  (
g `  y )
)
101100ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  Fn  A  ->  A. y  e.  A  ( B  i^i  |^| ran  g ) 
C_  ( g `  y ) )
102 ss2ixp 7501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y  e.  A  ( B  i^i  |^| ran  g ) 
C_  ( g `  y )  ->  X_ y  e.  A  ( B  i^i  |^| ran  g ) 
C_  X_ y  e.  A  ( g `  y
) )
10360, 101, 1023syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  ->  X_ y  e.  A  ( B  i^i  |^| ran  g )  C_  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )
10495, 103eqsstr3d 3534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  -> 
( ( B  i^i  |^|
ran  g )  ^m  A )  C_  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )
105 ssrab 3574 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X_ y  e.  A  (
g `  y )  C_ 
{ f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U }  <->  ( X_ y  e.  A  (
g `  y )  C_  ( B  ^m  A
)  /\  A. f  e.  X_  y  e.  A  ( g `  y
) ( G  gsumg  f )  e.  U ) )
106105simprbi 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X_ y  e.  A  (
g `  y )  C_ 
{ f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U }  ->  A. f  e.  X_  y  e.  A  ( g `  y ) ( G 
gsumg  f )  e.  U
)
107106ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  ->  A. f  e.  X_  y  e.  A  ( g `  y ) ( G 
gsumg  f )  e.  U
)
108 ssralv 3560 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  i^i  |^| ran  g )  ^m  A
)  C_  X_ y  e.  A  ( g `  y )  ->  ( A. f  e.  X_  y  e.  A  ( g `  y ) ( G 
gsumg  f )  e.  U  ->  A. f  e.  ( ( B  i^i  |^| ran  g )  ^m  A
) ( G  gsumg  f )  e.  U ) )
109104, 107, 108sylc 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  ->  A. f  e.  (
( B  i^i  |^| ran  g )  ^m  A
) ( G  gsumg  f )  e.  U )
110 eleq2 2530 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  ( B  i^i  |^|
ran  g )  -> 
( X  e.  u  <->  X  e.  ( B  i^i  |^|
ran  g ) ) )
111 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( B  i^i  |^|
ran  g )  -> 
( u  ^m  A
)  =  ( ( B  i^i  |^| ran  g )  ^m  A
) )
112111raleqdv 3060 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  ( B  i^i  |^|
ran  g )  -> 
( A. f  e.  ( u  ^m  A
) ( G  gsumg  f )  e.  U  <->  A. f  e.  ( ( B  i^i  |^|
ran  g )  ^m  A ) ( G 
gsumg  f )  e.  U
) )
113110, 112anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  ( B  i^i  |^|
ran  g )  -> 
( ( X  e.  u  /\  A. f  e.  ( u  ^m  A
) ( G  gsumg  f )  e.  U )  <->  ( X  e.  ( B  i^i  |^| ran  g )  /\  A. f  e.  ( ( B  i^i  |^| ran  g )  ^m  A ) ( G  gsumg  f )  e.  U
) ) )
114113rspcev 3210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  i^i  |^| ran  g )  e.  J  /\  ( X  e.  ( B  i^i  |^| ran  g )  /\  A. f  e.  ( ( B  i^i  |^| ran  g )  ^m  A ) ( G  gsumg  f )  e.  U
) )  ->  E. u  e.  J  ( X  e.  u  /\  A. f  e.  ( u  ^m  A
) ( G  gsumg  f )  e.  U ) )
11579, 92, 109, 114syl12anc 1226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  ->  E. u  e.  J  ( X  e.  u  /\  A. f  e.  ( u  ^m  A ) ( G  gsumg  f )  e.  U
) )
116115ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J } ) `  y
) ) )  -> 
( ( ( A  X.  { X }
)  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U } )  ->  E. u  e.  J  ( X  e.  u  /\  A. f  e.  ( u  ^m  A
) ( G  gsumg  f )  e.  U ) ) )
1171163adantr3 1157 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J } ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( A  X.  { J } ) `  y ) ) )  ->  ( ( ( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } )  ->  E. u  e.  J  ( X  e.  u  /\  A. f  e.  ( u  ^m  A
) ( G  gsumg  f )  e.  U ) ) )
118 eleq2 2530 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  ->  ( ( A  X.  { X }
)  e.  x  <->  ( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) )
119 sseq1 3520 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  ->  ( x  C_ 
{ f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U }  <->  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U } ) )
120118, 119anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  ->  ( (
( A  X.  { X } )  e.  x  /\  x  C_  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U } )  <->  ( ( A  X.  { X }
)  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U } ) ) )
121120imbi1d 317 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  ->  ( (
( ( A  X.  { X } )  e.  x  /\  x  C_  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U } )  ->  E. u  e.  J  ( X  e.  u  /\  A. f  e.  ( u  ^m  A
) ( G  gsumg  f )  e.  U ) )  <-> 
( ( ( A  X.  { X }
)  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U } )  ->  E. u  e.  J  ( X  e.  u  /\  A. f  e.  ( u  ^m  A
) ( G  gsumg  f )  e.  U ) ) ) )
122117, 121syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J } ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( A  X.  { J } ) `  y ) ) )  ->  ( x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
)  ->  ( (
( A  X.  { X } )  e.  x  /\  x  C_  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U } )  ->  E. u  e.  J  ( X  e.  u  /\  A. f  e.  ( u  ^m  A
) ( G  gsumg  f )  e.  U ) ) ) )
123122expimpd 603 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J } ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( A  X.  { J } ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )  -> 
( ( ( A  X.  { X }
)  e.  x  /\  x  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } )  ->  E. u  e.  J  ( X  e.  u  /\  A. f  e.  ( u  ^m  A
) ( G  gsumg  f )  e.  U ) ) ) )
124123exlimdv 1725 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( ( A  X.  { J } ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( A  X.  { J } ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )  -> 
( ( ( A  X.  { X }
)  e.  x  /\  x  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } )  ->  E. u  e.  J  ( X  e.  u  /\  A. f  e.  ( u  ^m  A
) ( G  gsumg  f )  e.  U ) ) ) )
125124impd 431 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( E. g
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J } ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( A  X.  { J } ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )  /\  ( ( A  X.  { X } )  e.  x  /\  x  C_  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U } ) )  ->  E. u  e.  J  ( X  e.  u  /\  A. f  e.  ( u  ^m  A ) ( G  gsumg  f )  e.  U
) ) )
126125exlimdv 1725 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. x ( E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( ( A  X.  { J } ) `  y
) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  x  /\  x  C_  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U } ) )  ->  E. u  e.  J  ( X  e.  u  /\  A. f  e.  ( u  ^m  A ) ( G  gsumg  f )  e.  U
) ) )
12754, 126mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. u  e.  J  ( X  e.  u  /\  A. f  e.  ( u  ^m  A ) ( G  gsumg  f )  e.  U
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819   {cab 2442   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811   _Vcvv 3109    \ cdif 3468    i^i cin 3470    C_ wss 3471   ~Pcpw 4015   {csn 4032   U.cuni 4251   |^|cint 4288    |-> cmpt 4515    X. cxp 5006   `'ccnv 5007   ran crn 5009   "cima 5011    Fn wfn 5589   -->wf 5590   -onto->wfo 5592   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    ^m cmap 7438   X_cixp 7488   Fincfn 7535   #chash 12408   Basecbs 14644   TopOpenctopn 14839   topGenctg 14855   Xt_cpt 14856    gsumg cgsu 14858   Mndcmnd 16046  .gcmg 16183  CMndccmn 16925   Topctop 19521  TopOnctopon 19522    Cn ccn 19852    ^ko cxko 20188  TopMndctmd 20695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-hash 12409  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-rest 14840  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-plusf 15998  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-cmp 20014  df-tx 20189  df-xko 20190  df-tmd 20697
This theorem is referenced by:  tsmsxp  20783
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