Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tmdgsum Structured version   Unicode version

Theorem tmdgsum 21041
 Description: In a topological monoid, the group sum operation is a continuous function from the function space to the base topology. This theorem is not true when is infinite, because in this case for any basic open set of the domain one of the factors will be the whole space, so by varying the value of the functions to sum at this index, one can achieve any desired sum. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 24-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tmdgsum.j
tmdgsum.b
Assertion
Ref Expression
tmdgsum CMnd TopMnd g
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem tmdgsum
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6313 . . . . . . . 8
21mpteq1d 4507 . . . . . . 7 g g
3 xpeq1 4868 . . . . . . . . . 10
4 0xp 4935 . . . . . . . . . 10
53, 4syl6eq 2486 . . . . . . . . 9
65fveq2d 5885 . . . . . . . 8
76oveq1d 6320 . . . . . . 7
82, 7eleq12d 2511 . . . . . 6 g g
98imbi2d 317 . . . . 5 CMnd TopMnd g CMnd TopMnd g
10 oveq2 6313 . . . . . . . 8
1110mpteq1d 4507 . . . . . . 7 g g
12 xpeq1 4868 . . . . . . . . 9
1312fveq2d 5885 . . . . . . . 8
1413oveq1d 6320 . . . . . . 7
1511, 14eleq12d 2511 . . . . . 6 g g
1615imbi2d 317 . . . . 5 CMnd TopMnd g CMnd TopMnd g
17 oveq2 6313 . . . . . . . 8
1817mpteq1d 4507 . . . . . . 7 g g
19 xpeq1 4868 . . . . . . . . 9
2019fveq2d 5885 . . . . . . . 8
2120oveq1d 6320 . . . . . . 7
2218, 21eleq12d 2511 . . . . . 6 g g
2322imbi2d 317 . . . . 5 CMnd TopMnd g CMnd TopMnd g
24 oveq2 6313 . . . . . . . 8
2524mpteq1d 4507 . . . . . . 7 g g
26 xpeq1 4868 . . . . . . . . 9
2726fveq2d 5885 . . . . . . . 8
2827oveq1d 6320 . . . . . . 7
2925, 28eleq12d 2511 . . . . . 6 g g
3029imbi2d 317 . . . . 5 CMnd TopMnd g CMnd TopMnd g
31 elmapfn 7502 . . . . . . . . . 10
32 fn0 5713 . . . . . . . . . 10
3331, 32sylib 199 . . . . . . . . 9
3433oveq2d 6321 . . . . . . . 8 g g
35 eqid 2429 . . . . . . . . 9
3635gsum0 16472 . . . . . . . 8 g
3734, 36syl6eq 2486 . . . . . . 7 g
3837mpteq2ia 4508 . . . . . 6 g
39 0ex 4557 . . . . . . . 8
40 tmdgsum.j . . . . . . . . . 10
41 tmdgsum.b . . . . . . . . . 10
4240, 41tmdtopon 21027 . . . . . . . . 9 TopMnd TopOn
4342adantl 467 . . . . . . . 8 CMnd TopMnd TopOn
444fveq2i 5884 . . . . . . . . . 10
4544eqcomi 2442 . . . . . . . . 9
4645pttoponconst 20543 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
4739, 43, 46sylancr 667 . . . . . . 7 CMnd TopMnd TopOn
48 tmdmnd 21021 . . . . . . . . 9 TopMnd
4948adantl 467 . . . . . . . 8 CMnd TopMnd
5041, 35mndidcl 16505 . . . . . . . 8
5149, 50syl 17 . . . . . . 7 CMnd TopMnd
5247, 43, 51cnmptc 20608 . . . . . 6 CMnd TopMnd
5338, 52syl5eqel 2521 . . . . 5 CMnd TopMnd g
54 oveq2 6313 . . . . . . . . . . 11 g g
5554cbvmptv 4518 . . . . . . . . . 10 g g
56 eqid 2429 . . . . . . . . . . . 12
57 simpl1l 1056 . . . . . . . . . . . 12 CMnd TopMnd g CMnd
58 simp2l 1031 . . . . . . . . . . . . . 14 CMnd TopMnd g
59 snfi 7657 . . . . . . . . . . . . . 14
60 unfi 7844 . . . . . . . . . . . . . 14
6158, 59, 60sylancl 666 . . . . . . . . . . . . 13 CMnd TopMnd g
6261adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 CMnd TopMnd g
63 elmapi 7501 . . . . . . . . . . . . 13
6463adantl 467 . . . . . . . . . . . 12 CMnd TopMnd g
65 fvex 5891 . . . . . . . . . . . . . 14
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 CMnd TopMnd g
6764, 62, 66fdmfifsupp 7899 . . . . . . . . . . . 12 CMnd TopMnd g finSupp
68 simpl2r 1059 . . . . . . . . . . . . 13 CMnd TopMnd g
69 disjsn 4063 . . . . . . . . . . . . 13
7068, 69sylibr 215 . . . . . . . . . . . 12 CMnd TopMnd g
71 eqidd 2430 . . . . . . . . . . . 12 CMnd TopMnd g
7241, 35, 56, 57, 62, 64, 67, 70, 71gsumsplit 17496 . . . . . . . . . . 11 CMnd TopMnd g g g g
7372mpteq2dva 4512 . . . . . . . . . 10 CMnd TopMnd g g g g
7455, 73syl5eq 2482 . . . . . . . . 9 CMnd TopMnd g g g g
75 simp1r 1030 . . . . . . . . . 10 CMnd TopMnd g TopMnd
7675, 42syl 17 . . . . . . . . . . 11 CMnd TopMnd g TopOn
77 eqid 2429 . . . . . . . . . . . 12
7877pttoponconst 20543 . . . . . . . . . . 11 TopOn TopOn
7961, 76, 78syl2anc 665 . . . . . . . . . 10 CMnd TopMnd g TopOn
80 toponuni 19873 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn
8179, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 CMnd TopMnd g
8281mpteq1d 4507 . . . . . . . . . . . 12 CMnd TopMnd g
83 topontop 19872 . . . . . . . . . . . . . . 15 TopOn
8475, 42, 833syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 CMnd TopMnd g
85 fconst6g 5789 . . . . . . . . . . . . . 14
8684, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 CMnd TopMnd g
87 ssun1 3635 . . . . . . . . . . . . . 14
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 CMnd TopMnd g
89 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . 14
90 xpssres 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9187, 90ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9291eqcomi 2442 . . . . . . . . . . . . . . 15
9392fveq2i 5884 . . . . . . . . . . . . . 14
9489, 77, 93ptrescn 20585 . . . . . . . . . . . . 13
9561, 86, 88, 94syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12 CMnd TopMnd g
9682, 95eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . 11 CMnd TopMnd g
97 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . 13
9897pttoponconst 20543 . . . . . . . . . . . 12 TopOn TopOn
9958, 76, 98syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11 CMnd TopMnd g TopOn
100 simp3 1007 . . . . . . . . . . 11 CMnd TopMnd g g
101 oveq2 6313 . . . . . . . . . . 11 g g
10279, 96, 99, 100, 101cnmpt11 20609 . . . . . . . . . 10 CMnd TopMnd g g
10364feqmptd 5934 . . . . . . . . . . . . . . . 16 CMnd TopMnd g
104103reseq1d 5124 . . . . . . . . . . . . . . 15 CMnd TopMnd g
105 ssun2 3636 . . . . . . . . . . . . . . . 16
106 resmpt 5174 . . . . . . . . . . . . . . . 16
107105, 106ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15
108104, 107syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . . 14 CMnd TopMnd g
109108oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . 13 CMnd TopMnd g g g
110 cmnmnd 17380 . . . . . . . . . . . . . . 15 CMnd
11157, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 CMnd TopMnd g
112 vex 3090 . . . . . . . . . . . . . . 15
113112a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 CMnd TopMnd g
114 ssnid 4031 . . . . . . . . . . . . . . . 16
115 elun2 3640 . . . . . . . . . . . . . . . 16
116114, 115mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . 15 CMnd TopMnd g
11764, 116ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . 14 CMnd TopMnd g
118 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15
11941, 118gsumsn 17522 . . . . . . . . . . . . . 14 g
120111, 113, 117, 119syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . 13 CMnd TopMnd g g
121109, 120eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . 12 CMnd TopMnd g g
122121mpteq2dva 4512 . . . . . . . . . . 11 CMnd TopMnd g g
12381mpteq1d 4507 . . . . . . . . . . . . 13 CMnd TopMnd g
124114, 115mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14 CMnd TopMnd g
12589, 77ptpjcn 20557 . . . . . . . . . . . . . 14
12661, 86, 124, 125syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . 13 CMnd TopMnd g
127123, 126eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . 12 CMnd TopMnd g
128 fvconst2g 6133 . . . . . . . . . . . . . 14
12984, 124, 128syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13 CMnd TopMnd g
130129oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . 12 CMnd TopMnd g
131127, 130eleqtrd 2519 . . . . . . . . . . 11 CMnd TopMnd g
132122, 131eqeltrd 2517 . . . . . . . . . 10 CMnd TopMnd g g
13340, 56, 75, 79, 102, 132cnmpt1plusg 21033 . . . . . . . . 9 CMnd TopMnd g g g
13474, 133eqeltrd 2517 . . . . . . . 8 CMnd TopMnd g g
1351343expia 1207 . . . . . . 7 CMnd TopMnd g g
136135expcom 436 . . . . . 6 CMnd TopMnd g g
137136a2d 29 . . . . 5 CMnd TopMnd g CMnd TopMnd g
1389, 16, 23, 30, 53, 137findcard2s 7818 . . . 4 CMnd TopMnd g
139138com12 32 . . 3 CMnd TopMnd g
1401393impia 1202 . 2 CMnd TopMnd g
14142, 83syl 17 . . . . 5 TopMnd
142 xkopt 20601 . . . . 5
143141, 142sylan 473 . . . 4 TopMnd
1441433adant1 1023 . . 3 CMnd TopMnd
145144oveq1d 6320 . 2 CMnd TopMnd
146140, 145eleqtrrd 2520 1 CMnd TopMnd g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1870  cvv 3087   cun 3440   cin 3441   wss 3442  c0 3767  cpw 3985  csn 4002  cuni 4222   cmpt 4484   cxp 4852   cres 4856   wfn 5596  wf 5597  cfv 5601  (class class class)co 6305   cmap 7480  cfn 7577  cbs 15084   cplusg 15152  ctopn 15279  cpt 15296  c0g 15297   g cgsu 15298  cmnd 16486  CMndccmn 17365  ctop 19848  TopOnctopon 19849   ccn 20171   cxko 20507  TopMndctmd 21016 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-hash 12513  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-rest 15280  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-plusf 16438  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-mulg 16627  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-cmp 20333  df-tx 20508  df-xko 20509  df-tmd 21018 This theorem is referenced by:  tmdgsum2  21042
 Copyright terms: Public domain W3C validator