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Theorem tmdgsum 21052
Description: In a topological monoid, the group sum operation is a continuous function from the function space to the base topology. This theorem is not true when  A is infinite, because in this case for any basic open set of the domain one of the factors will be the whole space, so by varying the value of the functions to sum at this index, one can achieve any desired sum. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 24-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tmdgsum.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
tmdgsum.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
tmdgsum  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd  /\  A  e.  Fin )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  A
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( J  ^ko  ~P A )  Cn  J ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, J    x, B    x, G

Proof of Theorem tmdgsum
Dummy variables  k  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6257 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  ( B  ^m  w )  =  ( B  ^m  (/) ) )
21mpteq1d 4448 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( x  e.  ( B  ^m  w )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  =  ( x  e.  ( B  ^m  (/) )  |->  ( G  gsumg  x ) ) )
3 xpeq1 4810 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w  X.  { J }
)  =  ( (/)  X. 
{ J } ) )
4 0xp 4877 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  X. 
{ J } )  =  (/)
53, 4syl6eq 2478 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w  X.  { J }
)  =  (/) )
65fveq2d 5829 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  ( Xt_ `  ( w  X.  { J } ) )  =  ( Xt_ `  (/) ) )
76oveq1d 6264 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( (
Xt_ `  ( w  X.  { J } ) )  Cn  J )  =  ( ( Xt_ `  (/) )  Cn  J
) )
82, 7eleq12d 2500 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( x  e.  ( B  ^m  w )  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
w  X.  { J } ) )  Cn  J )  <->  ( x  e.  ( B  ^m  (/) )  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (/) )  Cn  J ) ) )
98imbi2d 317 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  w )  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
w  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  <->  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd
)  ->  ( x  e.  ( B  ^m  (/) )  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (/) )  Cn  J ) ) ) )
10 oveq2 6257 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  ( B  ^m  w )  =  ( B  ^m  y
) )
1110mpteq1d 4448 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  (
x  e.  ( B  ^m  w )  |->  ( G  gsumg  x ) )  =  ( x  e.  ( B  ^m  y ) 
|->  ( G  gsumg  x ) ) )
12 xpeq1 4810 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  (
w  X.  { J } )  =  ( y  X.  { J } ) )
1312fveq2d 5829 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  ( Xt_ `  ( w  X.  { J } ) )  =  ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) ) )
1413oveq1d 6264 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  (
( Xt_ `  ( w  X.  { J }
) )  Cn  J
)  =  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )
1511, 14eleq12d 2500 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (
( x  e.  ( B  ^m  w ) 
|->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
w  X.  { J } ) )  Cn  J )  <->  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) ) )
1615imbi2d 317 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  (
( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  -> 
( x  e.  ( B  ^m  w ) 
|->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
w  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  <->  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd
)  ->  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) ) ) )
17 oveq2 6257 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( B  ^m  w )  =  ( B  ^m  ( y  u.  { z } ) ) )
1817mpteq1d 4448 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  w
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  =  ( x  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) 
|->  ( G  gsumg  x ) ) )
19 xpeq1 4810 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( w  X.  { J } )  =  ( ( y  u. 
{ z } )  X.  { J }
) )
2019fveq2d 5829 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( Xt_ `  (
w  X.  { J } ) )  =  ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) ) )
2120oveq1d 6264 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( Xt_ `  ( w  X.  { J } ) )  Cn  J )  =  ( ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  Cn  J ) )
2218, 21eleq12d 2500 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( x  e.  ( B  ^m  w )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
w  X.  { J } ) )  Cn  J )  <->  ( x  e.  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) )  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  Cn  J ) ) )
2322imbi2d 317 . . . . 5  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  w
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( w  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  <->  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) )  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  Cn  J ) ) ) )
24 oveq2 6257 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  A  ->  ( B  ^m  w )  =  ( B  ^m  A
) )
2524mpteq1d 4448 . . . . . . 7  |-  ( w  =  A  ->  (
x  e.  ( B  ^m  w )  |->  ( G  gsumg  x ) )  =  ( x  e.  ( B  ^m  A ) 
|->  ( G  gsumg  x ) ) )
26 xpeq1 4810 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  A  ->  (
w  X.  { J } )  =  ( A  X.  { J } ) )
2726fveq2d 5829 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  A  ->  ( Xt_ `  ( w  X.  { J } ) )  =  ( Xt_ `  ( A  X.  { J }
) ) )
2827oveq1d 6264 . . . . . . 7  |-  ( w  =  A  ->  (
( Xt_ `  ( w  X.  { J }
) )  Cn  J
)  =  ( (
Xt_ `  ( A  X.  { J } ) )  Cn  J ) )
2925, 28eleq12d 2500 . . . . . 6  |-  ( w  =  A  ->  (
( x  e.  ( B  ^m  w ) 
|->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
w  X.  { J } ) )  Cn  J )  <->  ( x  e.  ( B  ^m  A
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( A  X.  { J } ) )  Cn  J ) ) )
3029imbi2d 317 . . . . 5  |-  ( w  =  A  ->  (
( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  -> 
( x  e.  ( B  ^m  w ) 
|->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
w  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  <->  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd
)  ->  ( x  e.  ( B  ^m  A
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( A  X.  { J } ) )  Cn  J ) ) ) )
31 elmapfn 7449 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( B  ^m  (/) )  ->  x  Fn  (/) )
32 fn0 5656 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  Fn  (/)  <->  x  =  (/) )
3331, 32sylib 199 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( B  ^m  (/) )  ->  x  =  (/) )
3433oveq2d 6265 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( B  ^m  (/) )  ->  ( G  gsumg  x )  =  ( G 
gsumg  (/) ) )
35 eqid 2428 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
3635gsum0 16464 . . . . . . . 8  |-  ( G 
gsumg  (/) )  =  ( 0g
`  G )
3734, 36syl6eq 2478 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( B  ^m  (/) )  ->  ( G  gsumg  x )  =  ( 0g
`  G ) )
3837mpteq2ia 4449 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( B  ^m  (/) )  |->  ( G  gsumg  x ) )  =  ( x  e.  ( B  ^m  (/) )  |->  ( 0g `  G ) )
39 0ex 4499 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  _V
40 tmdgsum.j . . . . . . . . . 10  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
41 tmdgsum.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  G
)
4240, 41tmdtopon 21038 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e. TopMnd  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
4342adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
444fveq2i 5828 . . . . . . . . . 10  |-  ( Xt_ `  ( (/)  X.  { J } ) )  =  ( Xt_ `  (/) )
4544eqcomi 2437 . . . . . . . . 9  |-  ( Xt_ `  (/) )  =  ( Xt_ `  ( (/)  X.  { J } ) )
4645pttoponconst 20554 . . . . . . . 8  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  J  e.  (TopOn `  B )
)  ->  ( Xt_ `  (/) )  e.  (TopOn `  ( B  ^m  (/) ) ) )
4739, 43, 46sylancr 667 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  ->  ( Xt_ `  (/) )  e.  (TopOn `  ( B  ^m  (/) ) ) )
48 tmdmnd 21032 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e. TopMnd  ->  G  e.  Mnd )
4948adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  ->  G  e.  Mnd )
5041, 35mndidcl 16497 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  Mnd  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
5149, 50syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  ->  ( 0g `  G )  e.  B
)
5247, 43, 51cnmptc 20619 . . . . . 6  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  (/) )  |->  ( 0g `  G ) )  e.  ( (
Xt_ `  (/) )  Cn  J ) )
5338, 52syl5eqel 2510 . . . . 5  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  (/) )  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (/) )  Cn  J ) )
54 oveq2 6257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  w  ->  ( G  gsumg  x )  =  ( G  gsumg  w ) )
5554cbvmptv 4459 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) 
|->  ( G  gsumg  x ) )  =  ( w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  { z } ) )  |->  ( G 
gsumg  w ) )
56 eqid 2428 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
57 simpl1l 1056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  G  e. CMnd )
58 simp2l 1031 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  y  e.  Fin )
59 snfi 7604 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { z }  e.  Fin
60 unfi 7791 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  { z }  e.  Fin )  ->  ( y  u. 
{ z } )  e.  Fin )
6158, 59, 60sylancl 666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( y  u.  { z } )  e.  Fin )
6261adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  ( y  u.  { z } )  e.  Fin )
63 elmapi 7448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) )  ->  w : ( y  u.  { z } ) --> B )
6463adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  w :
( y  u.  {
z } ) --> B )
65 fvex 5835 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  ( 0g `  G )  e.  _V )
6764, 62, 66fdmfifsupp 7846 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  w finSupp  ( 0g
`  G ) )
68 simpl2r 1059 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  -.  z  e.  y )
69 disjsn 4003 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  y )
7068, 69sylibr 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  ( y  i^i  { z } )  =  (/) )
71 eqidd 2429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  ( y  u.  { z } )  =  ( y  u. 
{ z } ) )
7241, 35, 56, 57, 62, 64, 67, 70, 71gsumsplit 17504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  ( G  gsumg  w )  =  ( ( G  gsumg  ( w  |`  y
) ) ( +g  `  G ) ( G 
gsumg  ( w  |`  { z } ) ) ) )
7372mpteq2dva 4453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( w  e.  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) )  |->  ( G  gsumg  w ) )  =  ( w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  { z } ) )  |->  ( ( G  gsumg  ( w  |`  y
) ) ( +g  `  G ) ( G 
gsumg  ( w  |`  { z } ) ) ) ) )
7455, 73syl5eq 2474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) )  |->  ( G  gsumg  x ) )  =  ( w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  { z } ) )  |->  ( ( G  gsumg  ( w  |`  y
) ) ( +g  `  G ) ( G 
gsumg  ( w  |`  { z } ) ) ) ) )
75 simp1r 1030 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  G  e. TopMnd )
7675, 42syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
77 eqid 2428 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Xt_ `  ( ( y  u. 
{ z } )  X.  { J }
) )  =  (
Xt_ `  ( (
y  u.  { z } )  X.  { J } ) )
7877pttoponconst 20554 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  e. 
Fin  /\  J  e.  (TopOn `  B ) )  ->  ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  e.  (TopOn `  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) ) ) )
7961, 76, 78syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( Xt_ `  ( ( y  u. 
{ z } )  X.  { J }
) )  e.  (TopOn `  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) ) ) )
80 toponuni 19884 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
Xt_ `  ( (
y  u.  { z } )  X.  { J } ) )  e.  (TopOn `  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) )  =  U. ( Xt_ `  ( ( y  u. 
{ z } )  X.  { J }
) ) )
8179, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) )  =  U. ( Xt_ `  ( ( y  u. 
{ z } )  X.  { J }
) ) )
8281mpteq1d 4448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( w  e.  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) )  |->  ( w  |`  y )
)  =  ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( ( y  u. 
{ z } )  X.  { J }
) )  |->  ( w  |`  y ) ) )
83 topontop 19883 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  ->  J  e.  Top )
8475, 42, 833syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  J  e.  Top )
85 fconst6g 5732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) : ( y  u. 
{ z } ) --> Top )
8684, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( (
y  u.  { z } )  X.  { J } ) : ( y  u.  { z } ) --> Top )
87 ssun1 3572 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  y  C_  ( y  u.  {
z } )
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  y  C_  ( y  u.  {
z } ) )
89 eqid 2428 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. ( Xt_ `  ( ( y  u.  { z } )  X.  { J } ) )  = 
U. ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )
90 xpssres 5101 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ( y  u.  { z } )  X.  { J } )  |`  y
)  =  ( y  X.  { J }
) )
9187, 90ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } )  |`  y )  =  ( y  X.  { J } )
9291eqcomi 2437 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  X.  { J }
)  =  ( ( ( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } )  |`  y )
9392fveq2i 5828 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  =  ( Xt_ `  (
( ( y  u. 
{ z } )  X.  { J }
)  |`  y ) )
9489, 77, 93ptrescn 20596 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  e. 
Fin  /\  ( (
y  u.  { z } )  X.  { J } ) : ( y  u.  { z } ) --> Top  /\  y  C_  ( y  u. 
{ z } ) )  ->  ( w  e.  U. ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  |->  ( w  |`  y ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  Cn  ( Xt_ `  ( y  X.  { J } ) ) ) )
9561, 86, 88, 94syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( w  e.  U. ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  |->  ( w  |`  y ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  Cn  ( Xt_ `  ( y  X.  { J } ) ) ) )
9682, 95eqeltrd 2506 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( w  e.  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) )  |->  ( w  |`  y )
)  e.  ( (
Xt_ `  ( (
y  u.  { z } )  X.  { J } ) )  Cn  ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) ) ) )
97 eqid 2428 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  =  ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )
9897pttoponconst 20554 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  J  e.  (TopOn `  B
) )  ->  ( Xt_ `  ( y  X. 
{ J } ) )  e.  (TopOn `  ( B  ^m  y
) ) )
9958, 76, 98syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  e.  (TopOn `  ( B  ^m  y ) ) )
100 simp3 1007 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )
101 oveq2 6257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( w  |`  y )  ->  ( G  gsumg  x )  =  ( G  gsumg  ( w  |`  y
) ) )
10279, 96, 99, 100, 101cnmpt11 20620 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( w  e.  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) )  |->  ( G  gsumg  ( w  |`  y
) ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  Cn  J ) )
10364feqmptd 5878 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  w  =  ( k  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( w `
 k ) ) )
104103reseq1d 5066 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  ( w  |` 
{ z } )  =  ( ( k  e.  ( y  u. 
{ z } ) 
|->  ( w `  k
) )  |`  { z } ) )
105 ssun2 3573 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { z }  C_  ( y  u.  { z } )
106 resmpt 5116 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { z }  C_  (
y  u.  { z } )  ->  (
( k  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( w `
 k ) )  |`  { z } )  =  ( k  e. 
{ z }  |->  ( w `  k ) ) )
107105, 106ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( w `  k ) )  |`  { z } )  =  ( k  e. 
{ z }  |->  ( w `  k ) )
108104, 107syl6eq 2478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  ( w  |` 
{ z } )  =  ( k  e. 
{ z }  |->  ( w `  k ) ) )
109108oveq2d 6265 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( w  |`  { z } ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  {
z }  |->  ( w `
 k ) ) ) )
110 cmnmnd 17388 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
11157, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  G  e.  Mnd )
112 vex 3025 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  z  e. 
_V
113112a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  z  e.  _V )
114 ssnid 3970 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  z  e. 
{ z }
115 elun2 3577 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  { z }  ->  z  e.  ( y  u.  { z } ) )
116114, 115mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  z  e.  ( y  u.  {
z } ) )
11764, 116ffvelrnd 5982 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  ( w `  z )  e.  B
)
118 fveq2 5825 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  z  ->  (
w `  k )  =  ( w `  z ) )
11941, 118gsumsn 17530 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  z  e.  _V  /\  (
w `  z )  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  {
z }  |->  ( w `
 k ) ) )  =  ( w `
 z ) )
120111, 113, 117, 119syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { z }  |->  ( w `  k ) ) )  =  ( w `  z ) )
121109, 120eqtrd 2462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( w  |`  { z } ) )  =  ( w `  z
) )
122121mpteq2dva 4453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( w  e.  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) )  |->  ( G  gsumg  ( w  |`  { z } ) ) )  =  ( w  e.  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) )  |->  ( w `  z ) ) )
12381mpteq1d 4448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( w  e.  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) )  |->  ( w `  z ) )  =  ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( ( y  u. 
{ z } )  X.  { J }
) )  |->  ( w `
 z ) ) )
124114, 115mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  z  e.  ( y  u.  {
z } ) )
12589, 77ptpjcn 20568 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  e. 
Fin  /\  ( (
y  u.  { z } )  X.  { J } ) : ( y  u.  { z } ) --> Top  /\  z  e.  ( y  u.  { z } ) )  ->  ( w  e.  U. ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  |->  ( w `  z ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  Cn  ( ( ( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) `
 z ) ) )
12661, 86, 124, 125syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( w  e.  U. ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  |->  ( w `  z ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  Cn  ( ( ( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) `
 z ) ) )
127123, 126eqeltrd 2506 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( w  e.  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) )  |->  ( w `  z ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( (
y  u.  { z } )  X.  { J } ) )  Cn  ( ( ( y  u.  { z } )  X.  { J } ) `  z
) ) )
128 fvconst2g 6077 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  z  e.  ( y  u.  { z } ) )  ->  ( (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) `
 z )  =  J )
12984, 124, 128syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) `
 z )  =  J )
130129oveq2d 6265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( ( Xt_ `  ( ( y  u.  { z } )  X.  { J } ) )  Cn  ( ( ( y  u.  { z } )  X.  { J } ) `  z
) )  =  ( ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  Cn  J ) )
131127, 130eleqtrd 2508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( w  e.  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) )  |->  ( w `  z ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( (
y  u.  { z } )  X.  { J } ) )  Cn  J ) )
132122, 131eqeltrd 2506 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( w  e.  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) )  |->  ( G  gsumg  ( w  |`  { z } ) ) )  e.  ( ( Xt_ `  ( ( y  u. 
{ z } )  X.  { J }
) )  Cn  J
) )
13340, 56, 75, 79, 102, 132cnmpt1plusg 21044 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( w  e.  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) )  |->  ( ( G  gsumg  ( w  |`  y
) ) ( +g  `  G ) ( G 
gsumg  ( w  |`  { z } ) ) ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( (
y  u.  { z } )  X.  { J } ) )  Cn  J ) )
13474, 133eqeltrd 2506 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) )  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  Cn  J ) )
1351343expia 1207 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
) )  ->  (
( x  e.  ( B  ^m  y ) 
|->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J )  ->  (
x  e.  ( B  ^m  ( y  u. 
{ z } ) )  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( (
y  u.  { z } )  X.  { J } ) )  Cn  J ) ) )
136135expcom 436 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd
)  ->  ( (
x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J )  ->  (
x  e.  ( B  ^m  ( y  u. 
{ z } ) )  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( (
y  u.  { z } )  X.  { J } ) )  Cn  J ) ) ) )
137136a2d 29 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( (
( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  -> 
( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  -> 
( x  e.  ( B  ^m  ( y  u.  { z } ) )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  Cn  J ) ) ) )
1389, 16, 23, 30, 53, 137findcard2s 7765 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  A )  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { J }
) )  Cn  J
) ) )
139138com12 32 . . 3  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  ->  ( A  e.  Fin  ->  ( x  e.  ( B  ^m  A
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( A  X.  { J } ) )  Cn  J ) ) )
1401393impia 1202 . 2  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd  /\  A  e.  Fin )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  A
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( A  X.  { J } ) )  Cn  J ) )
14142, 83syl 17 . . . . 5  |-  ( G  e. TopMnd  ->  J  e.  Top )
142 xkopt 20612 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin )  ->  ( J  ^ko  ~P A )  =  ( Xt_ `  ( A  X.  { J }
) ) )
143141, 142sylan 473 . . . 4  |-  ( ( G  e. TopMnd  /\  A  e. 
Fin )  ->  ( J  ^ko  ~P A )  =  (
Xt_ `  ( A  X.  { J } ) ) )
1441433adant1 1023 . . 3  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd  /\  A  e.  Fin )  ->  ( J  ^ko  ~P A
)  =  ( Xt_ `  ( A  X.  { J } ) ) )
145144oveq1d 6264 . 2  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd  /\  A  e.  Fin )  ->  ( ( J  ^ko  ~P A )  Cn  J
)  =  ( (
Xt_ `  ( A  X.  { J } ) )  Cn  J ) )
146140, 145eleqtrrd 2509 1  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd  /\  A  e.  Fin )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  A
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( J  ^ko  ~P A )  Cn  J ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872   _Vcvv 3022    u. cun 3377    i^i cin 3378    C_ wss 3379   (/)c0 3704   ~Pcpw 3924   {csn 3941   U.cuni 4162    |-> cmpt 4425    X. cxp 4794    |` cres 4798    Fn wfn 5539   -->wf 5540   ` cfv 5544  (class class class)co 6249    ^m cmap 7427   Fincfn 7524   Basecbs 15064   +g cplusg 15133   TopOpenctopn 15263   Xt_cpt 15280   0gc0g 15281    gsumg cgsu 15282   Mndcmnd 16478  CMndccmn 17373   Topctop 19859  TopOnctopon 19860    Cn ccn 20182    ^ko cxko 20518  TopMndctmd 21027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-inf2 8099  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-iin 4245  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-se 4756  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-isom 5553  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-of 6489  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-supp 6870  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-2o 7138  df-oadd 7141  df-er 7318  df-map 7429  df-ixp 7478  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-fsupp 7837  df-fi 7878  df-oi 7978  df-card 8325  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-nn 10561  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-fz 11736  df-fzo 11867  df-seq 12164  df-hash 12466  df-ndx 15067  df-slot 15068  df-base 15069  df-sets 15070  df-ress 15071  df-plusg 15146  df-rest 15264  df-0g 15283  df-gsum 15284  df-topgen 15285  df-pt 15286  df-mre 15435  df-mrc 15436  df-acs 15438  df-plusf 16430  df-mgm 16431  df-sgrp 16470  df-mnd 16480  df-submnd 16526  df-mulg 16619  df-cntz 16914  df-cmn 17375  df-top 19863  df-bases 19864  df-topon 19865  df-topsp 19866  df-cn 20185  df-cnp 20186  df-cmp 20344  df-tx 20519  df-xko 20520  df-tmd 21029
This theorem is referenced by:  tmdgsum2  21053
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