MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tmdcn2 Structured version   Unicode version

Theorem tmdcn2 19802
Description: Write out the definition of continuity of  +g explicitly. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tmdcn2.1  |-  B  =  ( Base `  G
)
tmdcn2.2  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
tmdcn2.3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
tmdcn2  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  E. u  e.  J  E. v  e.  J  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  A. x  e.  u  A. y  e.  v 
( x  .+  y
)  e.  U ) )
Distinct variable groups:    v, u, x, y, G    u, J, v    u, U, v, x, y    u, X, v   
u, Y, v
Allowed substitution hints:    B( x, y, v, u)    .+ ( x, y, v, u)    J( x, y)    X( x, y)    Y( x, y)

Proof of Theorem tmdcn2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tmdcn2.2 . . . . 5  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
2 tmdcn2.1 . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
31, 2tmdtopon 19794 . . . 4  |-  ( G  e. TopMnd  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
43ad2antrr 725 . . 3  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
5 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( +f `  G )  =  ( +f `  G )
61, 5tmdcn 19796 . . . . 5  |-  ( G  e. TopMnd  ->  ( +f `  G )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  J ) )
76ad2antrr 725 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  ( +f `  G )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  J ) )
8 simpr1 994 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  X  e.  B
)
9 simpr2 995 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  Y  e.  B
)
10 opelxpi 4982 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  -> 
<. X ,  Y >.  e.  ( B  X.  B
) )
118, 9, 10syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  <. X ,  Y >.  e.  ( B  X.  B ) )
12 txtopon 19306 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  B )  /\  J  e.  (TopOn `  B )
)  ->  ( J  tX  J )  e.  (TopOn `  ( B  X.  B
) ) )
134, 4, 12syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  ( J  tX  J )  e.  (TopOn `  ( B  X.  B
) ) )
14 toponuni 18674 . . . . . 6  |-  ( ( J  tX  J )  e.  (TopOn `  ( B  X.  B ) )  ->  ( B  X.  B )  =  U. ( J  tX  J ) )
1513, 14syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  ( B  X.  B )  =  U. ( J  tX  J ) )
1611, 15eleqtrd 2544 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  <. X ,  Y >.  e.  U. ( J 
tX  J ) )
17 eqid 2454 . . . . 5  |-  U. ( J  tX  J )  = 
U. ( J  tX  J )
1817cncnpi 19024 . . . 4  |-  ( ( ( +f `  G )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  J )  /\  <. X ,  Y >.  e.  U. ( J 
tX  J ) )  ->  ( +f `  G )  e.  ( ( ( J  tX  J )  CnP  J
) `  <. X ,  Y >. ) )
197, 16, 18syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  ( +f `  G )  e.  ( ( ( J  tX  J )  CnP  J
) `  <. X ,  Y >. ) )
20 simplr 754 . . 3  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  U  e.  J
)
21 tmdcn2.3 . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  G )
222, 21, 5plusfval 15551 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X ( +f `  G ) Y )  =  ( X  .+  Y ) )
238, 9, 22syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  ( X ( +f `  G
) Y )  =  ( X  .+  Y
) )
24 simpr3 996 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  ( X  .+  Y )  e.  U
)
2523, 24eqeltrd 2542 . . 3  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  ( X ( +f `  G
) Y )  e.  U )
264, 4, 19, 20, 8, 9, 25txcnpi 19323 . 2  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  E. u  e.  J  E. v  e.  J  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  ( `' ( +f `  G
) " U ) ) )
27 dfss3 3457 . . . . . . 7  |-  ( ( u  X.  v ) 
C_  ( `' ( +f `  G
) " U )  <->  A. z  e.  (
u  X.  v ) z  e.  ( `' ( +f `  G ) " U
) )
28 eleq1 2526 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  e.  ( `' ( +f `  G )
" U )  <->  <. x ,  y >.  e.  ( `' ( +f `  G ) " U
) ) )
292, 5plusffn 15553 . . . . . . . . . 10  |-  ( +f `  G )  Fn  ( B  X.  B )
30 elpreima 5935 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( +f `  G
)  Fn  ( B  X.  B )  -> 
( <. x ,  y
>.  e.  ( `' ( +f `  G
) " U )  <-> 
( <. x ,  y
>.  e.  ( B  X.  B )  /\  (
( +f `  G ) `  <. x ,  y >. )  e.  U ) ) )
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( `' ( +f `  G )
" U )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  ( B  X.  B )  /\  ( ( +f `  G ) `
 <. x ,  y
>. )  e.  U
) )
3228, 31syl6bb 261 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  e.  ( `' ( +f `  G )
" U )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  ( B  X.  B )  /\  ( ( +f `  G ) `
 <. x ,  y
>. )  e.  U
) ) )
3332ralxp 5092 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  ( u  X.  v ) z  e.  ( `' ( +f `  G )
" U )  <->  A. x  e.  u  A. y  e.  v  ( <. x ,  y >.  e.  ( B  X.  B )  /\  ( ( +f `  G ) `
 <. x ,  y
>. )  e.  U
) )
3427, 33bitri 249 . . . . . 6  |-  ( ( u  X.  v ) 
C_  ( `' ( +f `  G
) " U )  <->  A. x  e.  u  A. y  e.  v 
( <. x ,  y
>.  e.  ( B  X.  B )  /\  (
( +f `  G ) `  <. x ,  y >. )  e.  U ) )
35 opelxp 4980 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( B  X.  B
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )
36 df-ov 6206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x ( +f `  G ) y )  =  ( ( +f `  G ) `
 <. x ,  y
>. )
372, 21, 5plusfval 15551 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x ( +f `  G ) y )  =  ( x  .+  y ) )
3836, 37syl5eqr 2509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( +f `  G ) `  <. x ,  y >. )  =  ( x  .+  y ) )
3935, 38sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( B  X.  B
)  ->  ( ( +f `  G
) `  <. x ,  y >. )  =  ( x  .+  y ) )
4039eleq1d 2523 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( B  X.  B
)  ->  ( (
( +f `  G ) `  <. x ,  y >. )  e.  U  <->  ( x  .+  y )  e.  U
) )
4140biimpa 484 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  ( B  X.  B
)  /\  ( ( +f `  G
) `  <. x ,  y >. )  e.  U
)  ->  ( x  .+  y )  e.  U
)
4241ralimi 2819 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  v  ( <. x ,  y >.  e.  ( B  X.  B
)  /\  ( ( +f `  G
) `  <. x ,  y >. )  e.  U
)  ->  A. y  e.  v  ( x  .+  y )  e.  U
)
4342ralimi 2819 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  u  A. y  e.  v  ( <. x ,  y >.  e.  ( B  X.  B
)  /\  ( ( +f `  G
) `  <. x ,  y >. )  e.  U
)  ->  A. x  e.  u  A. y  e.  v  ( x  .+  y )  e.  U
)
4434, 43sylbi 195 . . . . 5  |-  ( ( u  X.  v ) 
C_  ( `' ( +f `  G
) " U )  ->  A. x  e.  u  A. y  e.  v 
( x  .+  y
)  e.  U )
45443anim3i 1176 . . . 4  |-  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  ( `' ( +f `  G
) " U ) )  ->  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  A. x  e.  u  A. y  e.  v  ( x  .+  y )  e.  U
) )
4645reximi 2929 . . 3  |-  ( E. v  e.  J  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  ( `' ( +f `  G
) " U ) )  ->  E. v  e.  J  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  A. x  e.  u  A. y  e.  v  ( x  .+  y )  e.  U
) )
4746reximi 2929 . 2  |-  ( E. u  e.  J  E. v  e.  J  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  ( `' ( +f `  G
) " U ) )  ->  E. u  e.  J  E. v  e.  J  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  A. x  e.  u  A. y  e.  v  ( x  .+  y )  e.  U
) )
4826, 47syl 16 1  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  E. u  e.  J  E. v  e.  J  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  A. x  e.  u  A. y  e.  v 
( x  .+  y
)  e.  U ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   E.wrex 2800    C_ wss 3439   <.cop 3994   U.cuni 4202    X. cxp 4949   `'ccnv 4950   "cima 4954    Fn wfn 5524   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Basecbs 14296   +g cplusg 14361   TopOpenctopn 14483   +fcplusf 15535  TopOnctopon 18641    Cn ccn 18970    CnP ccnp 18971    tX ctx 19275  TopMndctmd 19783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-fv 5537  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-map 7329  df-topgen 14505  df-plusf 15539  df-top 18645  df-bases 18647  df-topon 18648  df-topsp 18649  df-cn 18973  df-cnp 18974  df-tx 19277  df-tmd 19785
This theorem is referenced by:  tsmsxp  19871
  Copyright terms: Public domain W3C validator