Theorem tmdcn2 19635

Description: Write out the definition of continuity of +g explicitly. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tmdcn2.1	|- B = ( Base ` G )
tmdcn2.2	|- J = ( TopOpen ` G )
tmdcn2.3	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
tmdcn2	|- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> E. u e. J E. v e. J ( X e. u /\ Y e. v /\ A. x e. u A. y e. v ( x .+ y ) e. U ) )

Distinct variable groups:   v, u, x, y, G   u, J, v   u, U, v, x, y   u, X, v   u, Y, v

Allowed substitution hints:   B( x, y, v, u)   .+ ( x, y, v, u)   J( x, y)   X( x, y)   Y( x, y)

Proof of Theorem tmdcn2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tmdcn2.2	. . . . 5 |- J = ( TopOpen ` G )
2		tmdcn2.1	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
3	1, 2	tmdtopon 19627	. . . 4 |- ( G e. TopMnd -> J e. (TopOn ` B ) )
4	3	ad2antrr 725	. . 3 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> J e. (TopOn ` B ) )
5		eqid 2438	. . . . . 6 |- ( +f ` G ) = ( +f ` G )
6	1, 5	tmdcn 19629	. . . . 5 |- ( G e. TopMnd -> ( +f ` G ) e. ( ( J tX J ) Cn J ) )
7	6	ad2antrr 725	. . . 4 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> ( +f ` G ) e. ( ( J tX J ) Cn J ) )
8		simpr1 994	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> X e. B )
9		simpr2 995	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> Y e. B )
10		opelxpi 4866	. . . . . 6 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> <. X , Y >. e. ( B X. B ) )
11	8, 9, 10	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> <. X , Y >. e. ( B X. B ) )
12		txtopon 19139	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` B ) /\ J e. (TopOn ` B ) ) -> ( J tX J ) e. (TopOn ` ( B X. B ) ) )
13	4, 4, 12	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> ( J tX J ) e. (TopOn ` ( B X. B ) ) )
14		toponuni 18507	. . . . . 6 |- ( ( J tX J ) e. (TopOn ` ( B X. B ) ) -> ( B X. B ) = U. ( J tX J ) )
15	13, 14	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> ( B X. B ) = U. ( J tX J ) )
16	11, 15	eleqtrd 2514	. . . 4 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> <. X , Y >. e. U. ( J tX J ) )
17		eqid 2438	. . . . 5 |- U. ( J tX J ) = U. ( J tX J )
18	17	cncnpi 18857	. . . 4 |- ( ( ( +f ` G ) e. ( ( J tX J ) Cn J ) /\ <. X , Y >. e. U. ( J tX J ) ) -> ( +f ` G ) e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. X , Y >. ) )
19	7, 16, 18	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> ( +f ` G ) e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. X , Y >. ) )
20		simplr 754	. . 3 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> U e. J )
21		tmdcn2.3	. . . . . 6 |- .+ = ( +g ` G )
22	2, 21, 5	plusfval 15420	. . . . 5 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X ( +f ` G ) Y ) = ( X .+ Y ) )
23	8, 9, 22	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> ( X ( +f ` G ) Y ) = ( X .+ Y ) )
24		simpr3 996	. . . 4 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> ( X .+ Y ) e. U )
25	23, 24	eqeltrd 2512	. . 3 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> ( X ( +f ` G ) Y ) e. U )
26	4, 4, 19, 20, 8, 9, 25	txcnpi 19156	. 2 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> E. u e. J E. v e. J ( X e. u /\ Y e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' ( +f ` G ) " U ) ) )
27		dfss3 3341	. . . . . . 7 |- ( ( u X. v ) C_ ( `' ( +f ` G ) " U ) <-> A. z e. ( u X. v ) z e. ( `' ( +f ` G ) " U ) )
28		eleq1 2498	. . . . . . . . 9 |- ( z = <. x , y >. -> ( z e. ( `' ( +f ` G ) " U ) <-> <. x , y >. e. ( `' ( +f ` G ) " U ) ) )
29	2, 5	plusffn 15422	. . . . . . . . . 10 |- ( +f ` G ) Fn ( B X. B )
30		elpreima 5818	. . . . . . . . . 10 |- ( ( +f ` G ) Fn ( B X. B ) -> ( <. x , y >. e. ( `' ( +f ` G ) " U ) <-> ( <. x , y >. e. ( B X. B ) /\ ( ( +f ` G ) ` <. x , y >. ) e. U ) ) )
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >. e. ( `' ( +f ` G ) " U ) <-> ( <. x , y >. e. ( B X. B ) /\ ( ( +f ` G ) ` <. x , y >. ) e. U ) )
32	28, 31	syl6bb 261	. . . . . . . 8 |- ( z = <. x , y >. -> ( z e. ( `' ( +f ` G ) " U ) <-> ( <. x , y >. e. ( B X. B ) /\ ( ( +f ` G ) ` <. x , y >. ) e. U ) ) )
33	32	ralxp 4976	. . . . . . 7 |- ( A. z e. ( u X. v ) z e. ( `' ( +f ` G ) " U ) <-> A. x e. u A. y e. v ( <. x , y >. e. ( B X. B ) /\ ( ( +f ` G ) ` <. x , y >. ) e. U ) )
34	27, 33	bitri 249	. . . . . 6 |- ( ( u X. v ) C_ ( `' ( +f ` G ) " U ) <-> A. x e. u A. y e. v ( <. x , y >. e. ( B X. B ) /\ ( ( +f ` G ) ` <. x , y >. ) e. U ) )
35		opelxp 4864	. . . . . . . . . . 11 |- ( <. x , y >. e. ( B X. B ) <-> ( x e. B /\ y e. B ) )
36		df-ov 6089	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x ( +f ` G ) y ) = ( ( +f ` G ) ` <. x , y >. )
37	2, 21, 5	plusfval 15420	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( x ( +f ` G ) y ) = ( x .+ y ) )
38	36, 37	syl5eqr 2484	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( ( +f ` G ) ` <. x , y >. ) = ( x .+ y ) )
39	35, 38	sylbi 195	. . . . . . . . . 10 |- ( <. x , y >. e. ( B X. B ) -> ( ( +f ` G ) ` <. x , y >. ) = ( x .+ y ) )
40	39	eleq1d 2504	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >. e. ( B X. B ) -> ( ( ( +f ` G ) ` <. x , y >. ) e. U <-> ( x .+ y ) e. U ) )
41	40	biimpa 484	. . . . . . . 8 |- ( ( <. x , y >. e. ( B X. B ) /\ ( ( +f ` G ) ` <. x , y >. ) e. U ) -> ( x .+ y ) e. U )
42	41	ralimi 2786	. . . . . . 7 |- ( A. y e. v ( <. x , y >. e. ( B X. B ) /\ ( ( +f ` G ) ` <. x , y >. ) e. U ) -> A. y e. v ( x .+ y ) e. U )
43	42	ralimi 2786	. . . . . 6 |- ( A. x e. u A. y e. v ( <. x , y >. e. ( B X. B ) /\ ( ( +f ` G ) ` <. x , y >. ) e. U ) -> A. x e. u A. y e. v ( x .+ y ) e. U )
44	34, 43	sylbi 195	. . . . 5 |- ( ( u X. v ) C_ ( `' ( +f ` G ) " U ) -> A. x e. u A. y e. v ( x .+ y ) e. U )
45	44	3anim3i 1175	. . . 4 |- ( ( X e. u /\ Y e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' ( +f ` G ) " U ) ) -> ( X e. u /\ Y e. v /\ A. x e. u A. y e. v ( x .+ y ) e. U ) )
46	45	reximi 2818	. . 3 |- ( E. v e. J ( X e. u /\ Y e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' ( +f ` G ) " U ) ) -> E. v e. J ( X e. u /\ Y e. v /\ A. x e. u A. y e. v ( x .+ y ) e. U ) )
47	46	reximi 2818	. 2 |- ( E. u e. J E. v e. J ( X e. u /\ Y e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' ( +f ` G ) " U ) ) -> E. u e. J E. v e. J ( X e. u /\ Y e. v /\ A. x e. u A. y e. v ( x .+ y ) e. U ) )
48	26, 47	syl 16	1 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> E. u e. J E. v e. J ( X e. u /\ Y e. v /\ A. x e. u A. y e. v ( x .+ y ) e. U ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2710   E.wrex 2711   C_ wss 3323   <.cop 3878   U.cuni 4086   X. cxp 4833   `'ccnv 4834   "cima 4838   Fn wfn 5408   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   Basecbs 14166   +g cplusg 14230   TopOpenctopn 14352   +fcplusf 15404  TopOnctopon 18474   Cn ccn 18803   CnP ccnp 18804   tX ctx 19108  TopMndctmd 19616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-map 7208  df-topgen 14374  df-plusf 15408  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-topsp 18482  df-cn 18806  df-cnp 18807  df-tx 19110  df-tmd 19618

This theorem is referenced by:  tsmsxp  19704