Theorem tmdcn2 20454

Description: Write out the definition of continuity of +g explicitly. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tmdcn2.1	|- B = ( Base ` G )
tmdcn2.2	|- J = ( TopOpen ` G )
tmdcn2.3	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
tmdcn2	|- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> E. u e. J E. v e. J ( X e. u /\ Y e. v /\ A. x e. u A. y e. v ( x .+ y ) e. U ) )

Distinct variable groups:   v, u, x, y, G   u, J, v   u, U, v, x, y   u, X, v   u, Y, v

Allowed substitution hints:   B( x, y, v, u)   .+ ( x, y, v, u)   J( x, y)   X( x, y)   Y( x, y)

Proof of Theorem tmdcn2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tmdcn2.2	. . . . 5 |- J = ( TopOpen ` G )
2		tmdcn2.1	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
3	1, 2	tmdtopon 20446	. . . 4 |- ( G e. TopMnd -> J e. (TopOn ` B ) )
4	3	ad2antrr 725	. . 3 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> J e. (TopOn ` B ) )
5		eqid 2441	. . . . . 6 |- ( +f ` G ) = ( +f ` G )
6	1, 5	tmdcn 20448	. . . . 5 |- ( G e. TopMnd -> ( +f ` G ) e. ( ( J tX J ) Cn J ) )
7	6	ad2antrr 725	. . . 4 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> ( +f ` G ) e. ( ( J tX J ) Cn J ) )
8		simpr1 1001	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> X e. B )
9		simpr2 1002	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> Y e. B )
10		opelxpi 5017	. . . . . 6 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> <. X , Y >. e. ( B X. B ) )
11	8, 9, 10	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> <. X , Y >. e. ( B X. B ) )
12		txtopon 19958	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` B ) /\ J e. (TopOn ` B ) ) -> ( J tX J ) e. (TopOn ` ( B X. B ) ) )
13	4, 4, 12	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> ( J tX J ) e. (TopOn ` ( B X. B ) ) )
14		toponuni 19295	. . . . . 6 |- ( ( J tX J ) e. (TopOn ` ( B X. B ) ) -> ( B X. B ) = U. ( J tX J ) )
15	13, 14	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> ( B X. B ) = U. ( J tX J ) )
16	11, 15	eleqtrd 2531	. . . 4 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> <. X , Y >. e. U. ( J tX J ) )
17		eqid 2441	. . . . 5 |- U. ( J tX J ) = U. ( J tX J )
18	17	cncnpi 19645	. . . 4 |- ( ( ( +f ` G ) e. ( ( J tX J ) Cn J ) /\ <. X , Y >. e. U. ( J tX J ) ) -> ( +f ` G ) e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. X , Y >. ) )
19	7, 16, 18	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> ( +f ` G ) e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. X , Y >. ) )
20		simplr 754	. . 3 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> U e. J )
21		tmdcn2.3	. . . . . 6 |- .+ = ( +g ` G )
22	2, 21, 5	plusfval 15747	. . . . 5 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X ( +f ` G ) Y ) = ( X .+ Y ) )
23	8, 9, 22	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> ( X ( +f ` G ) Y ) = ( X .+ Y ) )
24		simpr3 1003	. . . 4 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> ( X .+ Y ) e. U )
25	23, 24	eqeltrd 2529	. . 3 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> ( X ( +f ` G ) Y ) e. U )
26	4, 4, 19, 20, 8, 9, 25	txcnpi 19975	. 2 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> E. u e. J E. v e. J ( X e. u /\ Y e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' ( +f ` G ) " U ) ) )
27		dfss3 3476	. . . . . . 7 |- ( ( u X. v ) C_ ( `' ( +f ` G ) " U ) <-> A. z e. ( u X. v ) z e. ( `' ( +f ` G ) " U ) )
28		eleq1 2513	. . . . . . . . 9 |- ( z = <. x , y >. -> ( z e. ( `' ( +f ` G ) " U ) <-> <. x , y >. e. ( `' ( +f ` G ) " U ) ) )
29	2, 5	plusffn 15749	. . . . . . . . . 10 |- ( +f ` G ) Fn ( B X. B )
30		elpreima 5988	. . . . . . . . . 10 |- ( ( +f ` G ) Fn ( B X. B ) -> ( <. x , y >. e. ( `' ( +f ` G ) " U ) <-> ( <. x , y >. e. ( B X. B ) /\ ( ( +f ` G ) ` <. x , y >. ) e. U ) ) )
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >. e. ( `' ( +f ` G ) " U ) <-> ( <. x , y >. e. ( B X. B ) /\ ( ( +f ` G ) ` <. x , y >. ) e. U ) )
32	28, 31	syl6bb 261	. . . . . . . 8 |- ( z = <. x , y >. -> ( z e. ( `' ( +f ` G ) " U ) <-> ( <. x , y >. e. ( B X. B ) /\ ( ( +f ` G ) ` <. x , y >. ) e. U ) ) )
33	32	ralxp 5130	. . . . . . 7 |- ( A. z e. ( u X. v ) z e. ( `' ( +f ` G ) " U ) <-> A. x e. u A. y e. v ( <. x , y >. e. ( B X. B ) /\ ( ( +f ` G ) ` <. x , y >. ) e. U ) )
34	27, 33	bitri 249	. . . . . 6 |- ( ( u X. v ) C_ ( `' ( +f ` G ) " U ) <-> A. x e. u A. y e. v ( <. x , y >. e. ( B X. B ) /\ ( ( +f ` G ) ` <. x , y >. ) e. U ) )
35		opelxp 5015	. . . . . . . . . . 11 |- ( <. x , y >. e. ( B X. B ) <-> ( x e. B /\ y e. B ) )
36		df-ov 6280	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x ( +f ` G ) y ) = ( ( +f ` G ) ` <. x , y >. )
37	2, 21, 5	plusfval 15747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( x ( +f ` G ) y ) = ( x .+ y ) )
38	36, 37	syl5eqr 2496	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( ( +f ` G ) ` <. x , y >. ) = ( x .+ y ) )
39	35, 38	sylbi 195	. . . . . . . . . 10 |- ( <. x , y >. e. ( B X. B ) -> ( ( +f ` G ) ` <. x , y >. ) = ( x .+ y ) )
40	39	eleq1d 2510	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >. e. ( B X. B ) -> ( ( ( +f ` G ) ` <. x , y >. ) e. U <-> ( x .+ y ) e. U ) )
41	40	biimpa 484	. . . . . . . 8 |- ( ( <. x , y >. e. ( B X. B ) /\ ( ( +f ` G ) ` <. x , y >. ) e. U ) -> ( x .+ y ) e. U )
42	41	ralimi 2834	. . . . . . 7 |- ( A. y e. v ( <. x , y >. e. ( B X. B ) /\ ( ( +f ` G ) ` <. x , y >. ) e. U ) -> A. y e. v ( x .+ y ) e. U )
43	42	ralimi 2834	. . . . . 6 |- ( A. x e. u A. y e. v ( <. x , y >. e. ( B X. B ) /\ ( ( +f ` G ) ` <. x , y >. ) e. U ) -> A. x e. u A. y e. v ( x .+ y ) e. U )
44	34, 43	sylbi 195	. . . . 5 |- ( ( u X. v ) C_ ( `' ( +f ` G ) " U ) -> A. x e. u A. y e. v ( x .+ y ) e. U )
45	44	3anim3i 1183	. . . 4 |- ( ( X e. u /\ Y e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' ( +f ` G ) " U ) ) -> ( X e. u /\ Y e. v /\ A. x e. u A. y e. v ( x .+ y ) e. U ) )
46	45	reximi 2909	. . 3 |- ( E. v e. J ( X e. u /\ Y e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' ( +f ` G ) " U ) ) -> E. v e. J ( X e. u /\ Y e. v /\ A. x e. u A. y e. v ( x .+ y ) e. U ) )
47	46	reximi 2909	. 2 |- ( E. u e. J E. v e. J ( X e. u /\ Y e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' ( +f ` G ) " U ) ) -> E. u e. J E. v e. J ( X e. u /\ Y e. v /\ A. x e. u A. y e. v ( x .+ y ) e. U ) )
48	26, 47	syl 16	1 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> E. u e. J E. v e. J ( X e. u /\ Y e. v /\ A. x e. u A. y e. v ( x .+ y ) e. U ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 972   = wceq 1381   e. wcel 1802   A.wral 2791   E.wrex 2792   C_ wss 3458   <.cop 4016   U.cuni 4230   X. cxp 4983   `'ccnv 4984   "cima 4988   Fn wfn 5569   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   Basecbs 14504   +g cplusg 14569   TopOpenctopn 14691   +fcplusf 15738  TopOnctopon 19262   Cn ccn 19591   CnP ccnp 19592   tX ctx 19927  TopMndctmd 20435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-id 4781  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-fv 5582  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-map 7420  df-topgen 14713  df-plusf 15740  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-topsp 19270  df-cn 19594  df-cnp 19595  df-tx 19929  df-tmd 20437

This theorem is referenced by:  tsmsxp  20523