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Theorem tmdcn2 20454
Description: Write out the definition of continuity of  +g explicitly. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tmdcn2.1  |-  B  =  ( Base `  G
)
tmdcn2.2  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
tmdcn2.3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
tmdcn2  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  E. u  e.  J  E. v  e.  J  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  A. x  e.  u  A. y  e.  v 
( x  .+  y
)  e.  U ) )
Distinct variable groups:    v, u, x, y, G    u, J, v    u, U, v, x, y    u, X, v   
u, Y, v
Allowed substitution hints:    B( x, y, v, u)    .+ ( x, y, v, u)    J( x, y)    X( x, y)    Y( x, y)

Proof of Theorem tmdcn2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tmdcn2.2 . . . . 5  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
2 tmdcn2.1 . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
31, 2tmdtopon 20446 . . . 4  |-  ( G  e. TopMnd  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
43ad2antrr 725 . . 3  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
5 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( +f `  G )  =  ( +f `  G )
61, 5tmdcn 20448 . . . . 5  |-  ( G  e. TopMnd  ->  ( +f `  G )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  J ) )
76ad2antrr 725 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  ( +f `  G )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  J ) )
8 simpr1 1001 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  X  e.  B
)
9 simpr2 1002 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  Y  e.  B
)
10 opelxpi 5017 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  -> 
<. X ,  Y >.  e.  ( B  X.  B
) )
118, 9, 10syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  <. X ,  Y >.  e.  ( B  X.  B ) )
12 txtopon 19958 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  B )  /\  J  e.  (TopOn `  B )
)  ->  ( J  tX  J )  e.  (TopOn `  ( B  X.  B
) ) )
134, 4, 12syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  ( J  tX  J )  e.  (TopOn `  ( B  X.  B
) ) )
14 toponuni 19295 . . . . . 6  |-  ( ( J  tX  J )  e.  (TopOn `  ( B  X.  B ) )  ->  ( B  X.  B )  =  U. ( J  tX  J ) )
1513, 14syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  ( B  X.  B )  =  U. ( J  tX  J ) )
1611, 15eleqtrd 2531 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  <. X ,  Y >.  e.  U. ( J 
tX  J ) )
17 eqid 2441 . . . . 5  |-  U. ( J  tX  J )  = 
U. ( J  tX  J )
1817cncnpi 19645 . . . 4  |-  ( ( ( +f `  G )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  J )  /\  <. X ,  Y >.  e.  U. ( J 
tX  J ) )  ->  ( +f `  G )  e.  ( ( ( J  tX  J )  CnP  J
) `  <. X ,  Y >. ) )
197, 16, 18syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  ( +f `  G )  e.  ( ( ( J  tX  J )  CnP  J
) `  <. X ,  Y >. ) )
20 simplr 754 . . 3  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  U  e.  J
)
21 tmdcn2.3 . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  G )
222, 21, 5plusfval 15747 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X ( +f `  G ) Y )  =  ( X  .+  Y ) )
238, 9, 22syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  ( X ( +f `  G
) Y )  =  ( X  .+  Y
) )
24 simpr3 1003 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  ( X  .+  Y )  e.  U
)
2523, 24eqeltrd 2529 . . 3  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  ( X ( +f `  G
) Y )  e.  U )
264, 4, 19, 20, 8, 9, 25txcnpi 19975 . 2  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  E. u  e.  J  E. v  e.  J  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  ( `' ( +f `  G
) " U ) ) )
27 dfss3 3476 . . . . . . 7  |-  ( ( u  X.  v ) 
C_  ( `' ( +f `  G
) " U )  <->  A. z  e.  (
u  X.  v ) z  e.  ( `' ( +f `  G ) " U
) )
28 eleq1 2513 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  e.  ( `' ( +f `  G )
" U )  <->  <. x ,  y >.  e.  ( `' ( +f `  G ) " U
) ) )
292, 5plusffn 15749 . . . . . . . . . 10  |-  ( +f `  G )  Fn  ( B  X.  B )
30 elpreima 5988 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( +f `  G
)  Fn  ( B  X.  B )  -> 
( <. x ,  y
>.  e.  ( `' ( +f `  G
) " U )  <-> 
( <. x ,  y
>.  e.  ( B  X.  B )  /\  (
( +f `  G ) `  <. x ,  y >. )  e.  U ) ) )
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( `' ( +f `  G )
" U )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  ( B  X.  B )  /\  ( ( +f `  G ) `
 <. x ,  y
>. )  e.  U
) )
3228, 31syl6bb 261 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  e.  ( `' ( +f `  G )
" U )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  ( B  X.  B )  /\  ( ( +f `  G ) `
 <. x ,  y
>. )  e.  U
) ) )
3332ralxp 5130 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  ( u  X.  v ) z  e.  ( `' ( +f `  G )
" U )  <->  A. x  e.  u  A. y  e.  v  ( <. x ,  y >.  e.  ( B  X.  B )  /\  ( ( +f `  G ) `
 <. x ,  y
>. )  e.  U
) )
3427, 33bitri 249 . . . . . 6  |-  ( ( u  X.  v ) 
C_  ( `' ( +f `  G
) " U )  <->  A. x  e.  u  A. y  e.  v 
( <. x ,  y
>.  e.  ( B  X.  B )  /\  (
( +f `  G ) `  <. x ,  y >. )  e.  U ) )
35 opelxp 5015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( B  X.  B
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )
36 df-ov 6280 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x ( +f `  G ) y )  =  ( ( +f `  G ) `
 <. x ,  y
>. )
372, 21, 5plusfval 15747 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x ( +f `  G ) y )  =  ( x  .+  y ) )
3836, 37syl5eqr 2496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( +f `  G ) `  <. x ,  y >. )  =  ( x  .+  y ) )
3935, 38sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( B  X.  B
)  ->  ( ( +f `  G
) `  <. x ,  y >. )  =  ( x  .+  y ) )
4039eleq1d 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( B  X.  B
)  ->  ( (
( +f `  G ) `  <. x ,  y >. )  e.  U  <->  ( x  .+  y )  e.  U
) )
4140biimpa 484 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  ( B  X.  B
)  /\  ( ( +f `  G
) `  <. x ,  y >. )  e.  U
)  ->  ( x  .+  y )  e.  U
)
4241ralimi 2834 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  v  ( <. x ,  y >.  e.  ( B  X.  B
)  /\  ( ( +f `  G
) `  <. x ,  y >. )  e.  U
)  ->  A. y  e.  v  ( x  .+  y )  e.  U
)
4342ralimi 2834 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  u  A. y  e.  v  ( <. x ,  y >.  e.  ( B  X.  B
)  /\  ( ( +f `  G
) `  <. x ,  y >. )  e.  U
)  ->  A. x  e.  u  A. y  e.  v  ( x  .+  y )  e.  U
)
4434, 43sylbi 195 . . . . 5  |-  ( ( u  X.  v ) 
C_  ( `' ( +f `  G
) " U )  ->  A. x  e.  u  A. y  e.  v 
( x  .+  y
)  e.  U )
45443anim3i 1183 . . . 4  |-  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  ( `' ( +f `  G
) " U ) )  ->  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  A. x  e.  u  A. y  e.  v  ( x  .+  y )  e.  U
) )
4645reximi 2909 . . 3  |-  ( E. v  e.  J  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  ( `' ( +f `  G
) " U ) )  ->  E. v  e.  J  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  A. x  e.  u  A. y  e.  v  ( x  .+  y )  e.  U
) )
4746reximi 2909 . 2  |-  ( E. u  e.  J  E. v  e.  J  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  ( `' ( +f `  G
) " U ) )  ->  E. u  e.  J  E. v  e.  J  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  A. x  e.  u  A. y  e.  v  ( x  .+  y )  e.  U
) )
4826, 47syl 16 1  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  E. u  e.  J  E. v  e.  J  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  A. x  e.  u  A. y  e.  v 
( x  .+  y
)  e.  U ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381    e. wcel 1802   A.wral 2791   E.wrex 2792    C_ wss 3458   <.cop 4016   U.cuni 4230    X. cxp 4983   `'ccnv 4984   "cima 4988    Fn wfn 5569   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   Basecbs 14504   +g cplusg 14569   TopOpenctopn 14691   +fcplusf 15738  TopOnctopon 19262    Cn ccn 19591    CnP ccnp 19592    tX ctx 19927  TopMndctmd 20435
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-id 4781  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-fv 5582  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-map 7420  df-topgen 14713  df-plusf 15740  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-topsp 19270  df-cn 19594  df-cnp 19595  df-tx 19929  df-tmd 20437
This theorem is referenced by:  tsmsxp  20523
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