Theorem tmdcn2 18072

Description: Write out the definition of continuity of +g explicitly. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tmdcn2.1	|- B = ( Base ` G )
tmdcn2.2	|- J = ( TopOpen ` G )
tmdcn2.3	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
tmdcn2	|- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> E. u e. J E. v e. J ( X e. u /\ Y e. v /\ A. x e. u A. y e. v ( x .+ y ) e. U ) )

Distinct variable groups:   v, u, x, y, G   u, J, v   u, U, v, x, y   u, X, v   u, Y, v

Allowed substitution hints:   B( x, y, v, u)   .+ ( x, y, v, u)   J( x, y)   X( x, y)   Y( x, y)

Proof of Theorem tmdcn2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tmdcn2.2	. . . . 5 |- J = ( TopOpen ` G )
2		tmdcn2.1	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
3	1, 2	tmdtopon 18064	. . . 4 |- ( G e. TopMnd -> J e. (TopOn ` B ) )
4	3	ad2antrr 707	. . 3 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> J e. (TopOn ` B ) )
5		eqid 2404	. . . . . 6 |- ( + f ` G ) = ( + f ` G )
6	1, 5	tmdcn 18066	. . . . 5 |- ( G e. TopMnd -> ( + f ` G ) e. ( ( J tX J ) Cn J ) )
7	6	ad2antrr 707	. . . 4 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> ( + f ` G ) e. ( ( J tX J ) Cn J ) )
8		simpr1 963	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> X e. B )
9		simpr2 964	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> Y e. B )
10		opelxpi 4869	. . . . . 6 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> <. X , Y >. e. ( B X. B ) )
11	8, 9, 10	syl2anc 643	. . . . 5 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> <. X , Y >. e. ( B X. B ) )
12		txtopon 17576	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` B ) /\ J e. (TopOn ` B ) ) -> ( J tX J ) e. (TopOn ` ( B X. B ) ) )
13	4, 4, 12	syl2anc 643	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> ( J tX J ) e. (TopOn ` ( B X. B ) ) )
14		toponuni 16947	. . . . . 6 |- ( ( J tX J ) e. (TopOn ` ( B X. B ) ) -> ( B X. B ) = U. ( J tX J ) )
15	13, 14	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> ( B X. B ) = U. ( J tX J ) )
16	11, 15	eleqtrd 2480	. . . 4 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> <. X , Y >. e. U. ( J tX J ) )
17		eqid 2404	. . . . 5 |- U. ( J tX J ) = U. ( J tX J )
18	17	cncnpi 17296	. . . 4 |- ( ( ( + f ` G ) e. ( ( J tX J ) Cn J ) /\ <. X , Y >. e. U. ( J tX J ) ) -> ( + f ` G ) e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. X , Y >. ) )
19	7, 16, 18	syl2anc 643	. . 3 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> ( + f ` G ) e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. X , Y >. ) )
20		simplr 732	. . 3 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> U e. J )
21		tmdcn2.3	. . . . . 6 |- .+ = ( +g ` G )
22	2, 21, 5	plusfval 14658	. . . . 5 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X ( + f ` G ) Y ) = ( X .+ Y ) )
23	8, 9, 22	syl2anc 643	. . . 4 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> ( X ( + f ` G ) Y ) = ( X .+ Y ) )
24		simpr3 965	. . . 4 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> ( X .+ Y ) e. U )
25	23, 24	eqeltrd 2478	. . 3 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> ( X ( + f ` G ) Y ) e. U )
26	4, 4, 19, 20, 8, 9, 25	txcnpi 17593	. 2 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> E. u e. J E. v e. J ( X e. u /\ Y e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' ( + f ` G ) " U ) ) )
27		dfss3 3298	. . . . . . 7 |- ( ( u X. v ) C_ ( `' ( + f ` G ) " U ) <-> A. z e. ( u X. v ) z e. ( `' ( + f ` G ) " U ) )
28		eleq1 2464	. . . . . . . . 9 |- ( z = <. x , y >. -> ( z e. ( `' ( + f ` G ) " U ) <-> <. x , y >. e. ( `' ( + f ` G ) " U ) ) )
29	2, 5	plusffn 14660	. . . . . . . . . 10 |- ( + f ` G ) Fn ( B X. B )
30		elpreima 5809	. . . . . . . . . 10 |- ( ( + f ` G ) Fn ( B X. B ) -> ( <. x , y >. e. ( `' ( + f ` G ) " U ) <-> ( <. x , y >. e. ( B X. B ) /\ ( ( + f ` G ) ` <. x , y >. ) e. U ) ) )
31	29, 30	ax-mp 8	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >. e. ( `' ( + f ` G ) " U ) <-> ( <. x , y >. e. ( B X. B ) /\ ( ( + f ` G ) ` <. x , y >. ) e. U ) )
32	28, 31	syl6bb 253	. . . . . . . 8 |- ( z = <. x , y >. -> ( z e. ( `' ( + f ` G ) " U ) <-> ( <. x , y >. e. ( B X. B ) /\ ( ( + f ` G ) ` <. x , y >. ) e. U ) ) )
33	32	ralxp 4975	. . . . . . 7 |- ( A. z e. ( u X. v ) z e. ( `' ( + f ` G ) " U ) <-> A. x e. u A. y e. v ( <. x , y >. e. ( B X. B ) /\ ( ( + f ` G ) ` <. x , y >. ) e. U ) )
34	27, 33	bitri 241	. . . . . 6 |- ( ( u X. v ) C_ ( `' ( + f ` G ) " U ) <-> A. x e. u A. y e. v ( <. x , y >. e. ( B X. B ) /\ ( ( + f ` G ) ` <. x , y >. ) e. U ) )
35		opelxp 4867	. . . . . . . . . . 11 |- ( <. x , y >. e. ( B X. B ) <-> ( x e. B /\ y e. B ) )
36		df-ov 6043	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x ( + f ` G ) y ) = ( ( + f ` G ) ` <. x , y >. )
37	2, 21, 5	plusfval 14658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( x ( + f ` G ) y ) = ( x .+ y ) )
38	36, 37	syl5eqr 2450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( ( + f ` G ) ` <. x , y >. ) = ( x .+ y ) )
39	35, 38	sylbi 188	. . . . . . . . . 10 |- ( <. x , y >. e. ( B X. B ) -> ( ( + f ` G ) ` <. x , y >. ) = ( x .+ y ) )
40	39	eleq1d 2470	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >. e. ( B X. B ) -> ( ( ( + f ` G ) ` <. x , y >. ) e. U <-> ( x .+ y ) e. U ) )
41	40	biimpa 471	. . . . . . . 8 |- ( ( <. x , y >. e. ( B X. B ) /\ ( ( + f ` G ) ` <. x , y >. ) e. U ) -> ( x .+ y ) e. U )
42	41	ralimi 2741	. . . . . . 7 |- ( A. y e. v ( <. x , y >. e. ( B X. B ) /\ ( ( + f ` G ) ` <. x , y >. ) e. U ) -> A. y e. v ( x .+ y ) e. U )
43	42	ralimi 2741	. . . . . 6 |- ( A. x e. u A. y e. v ( <. x , y >. e. ( B X. B ) /\ ( ( + f ` G ) ` <. x , y >. ) e. U ) -> A. x e. u A. y e. v ( x .+ y ) e. U )
44	34, 43	sylbi 188	. . . . 5 |- ( ( u X. v ) C_ ( `' ( + f ` G ) " U ) -> A. x e. u A. y e. v ( x .+ y ) e. U )
45	44	3anim3i 1141	. . . 4 |- ( ( X e. u /\ Y e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' ( + f ` G ) " U ) ) -> ( X e. u /\ Y e. v /\ A. x e. u A. y e. v ( x .+ y ) e. U ) )
46	45	reximi 2773	. . 3 |- ( E. v e. J ( X e. u /\ Y e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' ( + f ` G ) " U ) ) -> E. v e. J ( X e. u /\ Y e. v /\ A. x e. u A. y e. v ( x .+ y ) e. U ) )
47	46	reximi 2773	. 2 |- ( E. u e. J E. v e. J ( X e. u /\ Y e. v /\ ( u X. v ) C_ ( `' ( + f ` G ) " U ) ) -> E. u e. J E. v e. J ( X e. u /\ Y e. v /\ A. x e. u A. y e. v ( x .+ y ) e. U ) )
48	26, 47	syl 16	1 |- ( ( ( G e. TopMnd /\ U e. J ) /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. U ) ) -> E. u e. J E. v e. J ( X e. u /\ Y e. v /\ A. x e. u A. y e. v ( x .+ y ) e. U ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   C_ wss 3280   <.cop 3777   U.cuni 3975   X. cxp 4835   `'ccnv 4836   "cima 4840   Fn wfn 5408   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   +g cplusg 13484   TopOpenctopn 13604   + fcplusf 14642  TopOnctopon 16914   Cn ccn 17242   CnP ccnp 17243   tX ctx 17545  TopMndctmd 18053

This theorem is referenced by:  tsmsxp  18137

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-map 6979  df-topgen 13622  df-plusf 14646  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-tx 17547  df-tmd 18055