Theorem tlmval 15903

Description: The convergence relation on sequences in a topological space.

Hypothesis

Ref	Expression
tlmval.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
tlmval	|- (J e. Top -> (~~>t` J) = {<.f, x>. | (f:NN-->X /\ x e. X /\ A.u e. ((nei` J)` {x})E.n e. NN A.m e. (ZZ>=` n)(f` m) e. u)})

Distinct variable groups:   f,J,x,u,m,n   f,X,x,u,m,n

Proof of Theorem tlmval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssexg 3457	. . 3 |- (({<.f, x>. | (f:NN-->X /\ x e. X /\ A.u e. ((nei` J)` {x})E.n e. NN A.m e. (ZZ>=` n)(f` m) e. u)} C_ (~P(NN X. X) X. X) /\ (~P(NN X. X) X. X) e. _V) -> {<.f, x>. | (f:NN-->X /\ x e. X /\ A.u e. ((nei` J)` {x})E.n e. NN A.m e. (ZZ>=` n)(f` m) e. u)} e. _V)
2		fssxp 4575	. . . . . . . . 9 |- (f:NN-->X -> f C_ (NN X. X))
3		visset 2295	. . . . . . . . . 10 |- f e. _V
4	3	elpw 3037	. . . . . . . . 9 |- (f e. ~P(NN X. X) <-> f C_ (NN X. X))
5	2, 4	sylibr 217	. . . . . . . 8 |- (f:NN-->X -> f e. ~P(NN X. X))
6	5	anim1i 361	. . . . . . 7 |- ((f:NN-->X /\ x e. X) -> (f e. ~P(NN X. X) /\ x e. X))
7	6	anim1i 361	. . . . . 6 |- (((f:NN-->X /\ x e. X) /\ A.u e. ((nei` J)` {x})E.n e. NN A.m e. (ZZ>=` n)(f` m) e. u) -> ((f e. ~P(NN X. X) /\ x e. X) /\ A.u e. ((nei` J)` {x})E.n e. NN A.m e. (ZZ>=` n)(f` m) e. u))
8	7	3impa 1062	. . . . 5 |- ((f:NN-->X /\ x e. X /\ A.u e. ((nei` J)` {x})E.n e. NN A.m e. (ZZ>=` n)(f` m) e. u) -> ((f e. ~P(NN X. X) /\ x e. X) /\ A.u e. ((nei` J)` {x})E.n e. NN A.m e. (ZZ>=` n)(f` m) e. u))
9	8	ssopab2i 3574	. . . 4 |- {<.f, x>. | (f:NN-->X /\ x e. X /\ A.u e. ((nei` J)` {x})E.n e. NN A.m e. (ZZ>=` n)(f` m) e. u)} C_ {<.f, x>. | ((f e. ~P(NN X. X) /\ x e. X) /\ A.u e. ((nei` J)` {x})E.n e. NN A.m e. (ZZ>=` n)(f` m) e. u)}
10		opabssxp 4060	. . . 4 |- {<.f, x>. | ((f e. ~P(NN X. X) /\ x e. X) /\ A.u e. ((nei` J)` {x})E.n e. NN A.m e. (ZZ>=` n)(f` m) e. u)} C_ (~P(NN X. X) X. X)
11	9, 10	sstri 2626	. . 3 |- {<.f, x>. | (f:NN-->X /\ x e. X /\ A.u e. ((nei` J)` {x})E.n e. NN A.m e. (ZZ>=` n)(f` m) e. u)} C_ (~P(NN X. X) X. X)
12		xpexg 4095	. . . . . 6 |- ((NN e. _V /\ X e. _V) -> (NN X. X) e. _V)
13		nnex 7116	. . . . . 6 |- NN e. _V
14		uniexg 3795	. . . . . . 7 |- (J e. Top -> U.J e. _V)
15		tlmval.1	. . . . . . 7 |- X = U.J
16	14, 15	syl5eqel 1975	. . . . . 6 |- (J e. Top -> X e. _V)
17	12, 13, 16	sylancr 526	. . . . 5 |- (J e. Top -> (NN X. X) e. _V)
18		pwexg 3489	. . . . 5 |- ((NN X. X) e. _V -> ~P(NN X. X) e. _V)
19	17, 18	syl 12	. . . 4 |- (J e. Top -> ~P(NN X. X) e. _V)
20		xpexg 4095	. . . 4 |- ((~P(NN X. X) e. _V /\ X e. _V) -> (~P(NN X. X) X. X) e. _V)
21	19, 16, 20	syl11anc 524	. . 3 |- (J e. Top -> (~P(NN X. X) X. X) e. _V)
22	1, 11, 21	sylancr 526	. 2 |- (J e. Top -> {<.f, x>. | (f:NN-->X /\ x e. X /\ A.u e. ((nei` J)` {x})E.n e. NN A.m e. (ZZ>=` n)(f` m) e. u)} e. _V)
23		unieq 3185	. . . . . . 7 |- (j = J -> U.j = U.J)
24	23, 15	syl6eqr 1946	. . . . . 6 |- (j = J -> U.j = X)
25		feq3 4553	. . . . . 6 |- (U.j = X -> (f:NN-->U.j <-> f:NN-->X))
26	24, 25	syl 12	. . . . 5 |- (j = J -> (f:NN-->U.j <-> f:NN-->X))
27	24	eleq2d 1964	. . . . 5 |- (j = J -> (x e. U.j <-> x e. X))
28		fveq2 4681	. . . . . . 7 |- (j = J -> (nei` j) = (nei` J))
29	28	fveq1d 4683	. . . . . 6 |- (j = J -> ((nei` j)` {x}) = ((nei` J)` {x}))
30	29	raleqdv 2269	. . . . 5 |- (j = J -> (A.u e. ((nei` j)` {x})E.n e. NN A.m e. (ZZ>=` n)(f` m) e. u <-> A.u e. ((nei` J)` {x})E.n e. NN A.m e. (ZZ>=` n)(f` m) e. u))
31	26, 27, 30	3anbi123d 1168	. . . 4 |- (j = J -> ((f:NN-->U.j /\ x e. U.j /\ A.u e. ((nei` j)` {x})E.n e. NN A.m e. (ZZ>=` n)(f` m) e. u) <-> (f:NN-->X /\ x e. X /\ A.u e. ((nei` J)` {x})E.n e. NN A.m e. (ZZ>=` n)(f` m) e. u)))
32	31	opabbidv 3401	. . 3 |- (j = J -> {<.f, x>. | (f:NN-->U.j /\ x e. U.j /\ A.u e. ((nei` j)` {x})E.n e. NN A.m e. (ZZ>=` n)(f` m) e. u)} = {<.f, x>. | (f:NN-->X /\ x e. X /\ A.u e. ((nei` J)` {x})E.n e. NN A.m e. (ZZ>=` n)(f` m) e. u)})
33		df-tlm 15902	. . 3 |- ~~>t = {<.j, r>. | (j e. Top /\ r = {<.f, x>. | (f:NN-->U.j /\ x e. U.j /\ A.u e. ((nei` j)` {x})E.n e. NN A.m e. (ZZ>=` n)(f` m) e. u)})}
34	32, 33	fvopab4g 4742	. 2 |- ((J e. Top /\ {<.f, x>. | (f:NN-->X /\ x e. X /\ A.u e. ((nei` J)` {x})E.n e. NN A.m e. (ZZ>=` n)(f` m) e. u)} e. _V) -> (~~>t` J) = {<.f, x>. | (f:NN-->X /\ x e. X /\ A.u e. ((nei` J)` {x})E.n e. NN A.m e. (ZZ>=` n)(f` m) e. u)})
35	22, 34	mpdan 768	1 |- (J e. Top -> (~~>t` J) = {<.f, x>. | (f:NN-->X /\ x e. X /\ A.u e. ((nei` J)` {x})E.n e. NN A.m e. (ZZ>=` n)(f` m) e. u)})

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  ~Pcpw 3032  {csn 3044  U.cuni 3177  {copab 3395   X. cxp 3984  -->wf 3994  ` cfv 3998  NNcn 6449  ZZ>=cuz 7586  Topctop 8857  neicnei 8988  ~~>tctlm 15901

This theorem is referenced by:  tlmbr 15904

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-sub 6511  df-neg 6513  df-n 7108  df-tlm 15902

Copyright terms: Public domain