MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tlmtgp Structured version   Unicode version

Theorem tlmtgp 20882
Description: A topological vector space is a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
tlmtgp  |-  ( W  e. TopMod  ->  W  e.  TopGrp )

Proof of Theorem tlmtgp
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tlmlmod 20875 . . 3  |-  ( W  e. TopMod  ->  W  e.  LMod )
2 lmodgrp 17731 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
31, 2syl 17 . 2  |-  ( W  e. TopMod  ->  W  e.  Grp )
4 tlmtmd 20873 . 2  |-  ( W  e. TopMod  ->  W  e. TopMnd )
5 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
6 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  ( invg `  W )  =  ( invg `  W )
75, 6grpinvf 16310 . . . . . 6  |-  ( W  e.  Grp  ->  ( invg `  W ) : ( Base `  W
) --> ( Base `  W
) )
83, 7syl 17 . . . . 5  |-  ( W  e. TopMod  ->  ( invg `  W ) : (
Base `  W ) --> ( Base `  W )
)
98feqmptd 5858 . . . 4  |-  ( W  e. TopMod  ->  ( invg `  W )  =  ( x  e.  ( Base `  W )  |->  ( ( invg `  W
) `  x )
) )
10 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
11 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
12 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)
13 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  ( invg `  (Scalar `  W ) )  =  ( invg `  (Scalar `  W ) )
145, 6, 10, 11, 12, 13lmodvneg1 17765 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  x  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
( ( invg `  (Scalar `  W )
) `  ( 1r `  (Scalar `  W )
) ) ( .s
`  W ) x )  =  ( ( invg `  W
) `  x )
)
151, 14sylan 469 . . . . 5  |-  ( ( W  e. TopMod  /\  x  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
( ( invg `  (Scalar `  W )
) `  ( 1r `  (Scalar `  W )
) ) ( .s
`  W ) x )  =  ( ( invg `  W
) `  x )
)
1615mpteq2dva 4480 . . . 4  |-  ( W  e. TopMod  ->  ( x  e.  ( Base `  W
)  |->  ( ( ( invg `  (Scalar `  W ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) x ) )  =  ( x  e.  ( Base `  W
)  |->  ( ( invg `  W ) `
 x ) ) )
179, 16eqtr4d 2446 . . 3  |-  ( W  e. TopMod  ->  ( invg `  W )  =  ( x  e.  ( Base `  W )  |->  ( ( ( invg `  (Scalar `  W ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W ) x ) ) )
18 eqid 2402 . . . 4  |-  ( TopOpen `  W )  =  (
TopOpen `  W )
19 eqid 2402 . . . 4  |-  ( TopOpen `  (Scalar `  W ) )  =  ( TopOpen `  (Scalar `  W ) )
20 id 22 . . . 4  |-  ( W  e. TopMod  ->  W  e. TopMod )
21 tlmtps 20874 . . . . 5  |-  ( W  e. TopMod  ->  W  e.  TopSp )
225, 18istps 19621 . . . . 5  |-  ( W  e.  TopSp 
<->  ( TopOpen `  W )  e.  (TopOn `  ( Base `  W ) ) )
2321, 22sylib 196 . . . 4  |-  ( W  e. TopMod  ->  ( TopOpen `  W
)  e.  (TopOn `  ( Base `  W )
) )
2410tlmscatps 20877 . . . . . 6  |-  ( W  e. TopMod  ->  (Scalar `  W )  e.  TopSp )
25 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
2625, 19istps 19621 . . . . . 6  |-  ( (Scalar `  W )  e.  TopSp  <->  ( TopOpen
`  (Scalar `  W )
)  e.  (TopOn `  ( Base `  (Scalar `  W
) ) ) )
2724, 26sylib 196 . . . . 5  |-  ( W  e. TopMod  ->  ( TopOpen `  (Scalar `  W ) )  e.  (TopOn `  ( Base `  (Scalar `  W )
) ) )
2810lmodring 17732 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LMod  ->  (Scalar `  W )  e.  Ring )
291, 28syl 17 . . . . . . 7  |-  ( W  e. TopMod  ->  (Scalar `  W )  e.  Ring )
30 ringgrp 17415 . . . . . . 7  |-  ( (Scalar `  W )  e.  Ring  -> 
(Scalar `  W )  e.  Grp )
3129, 30syl 17 . . . . . 6  |-  ( W  e. TopMod  ->  (Scalar `  W )  e.  Grp )
3225, 12ringidcl 17431 . . . . . . 7  |-  ( (Scalar `  W )  e.  Ring  -> 
( 1r `  (Scalar `  W ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )
3329, 32syl 17 . . . . . 6  |-  ( W  e. TopMod  ->  ( 1r `  (Scalar `  W ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )
3425, 13grpinvcl 16311 . . . . . 6  |-  ( ( (Scalar `  W )  e.  Grp  /\  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )  ->  (
( invg `  (Scalar `  W ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  W ) ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )
3531, 33, 34syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( W  e. TopMod  ->  ( ( invg `  (Scalar `  W ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  W ) ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )
3623, 27, 35cnmptc 20347 . . . 4  |-  ( W  e. TopMod  ->  ( x  e.  ( Base `  W
)  |->  ( ( invg `  (Scalar `  W ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) )  e.  ( (
TopOpen `  W )  Cn  ( TopOpen `  (Scalar `  W
) ) ) )
3723cnmptid 20346 . . . 4  |-  ( W  e. TopMod  ->  ( x  e.  ( Base `  W
)  |->  x )  e.  ( ( TopOpen `  W
)  Cn  ( TopOpen `  W ) ) )
3810, 11, 18, 19, 20, 23, 36, 37cnmpt1vsca 20880 . . 3  |-  ( W  e. TopMod  ->  ( x  e.  ( Base `  W
)  |->  ( ( ( invg `  (Scalar `  W ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) x ) )  e.  ( ( TopOpen `  W )  Cn  ( TopOpen
`  W ) ) )
3917, 38eqeltrd 2490 . 2  |-  ( W  e. TopMod  ->  ( invg `  W )  e.  ( ( TopOpen `  W )  Cn  ( TopOpen `  W )
) )
4018, 6istgp 20760 . 2  |-  ( W  e.  TopGrp 
<->  ( W  e.  Grp  /\  W  e. TopMnd  /\  ( invg `  W )  e.  ( ( TopOpen `  W )  Cn  ( TopOpen
`  W ) ) ) )
413, 4, 39, 40syl3anbrc 1181 1  |-  ( W  e. TopMod  ->  W  e.  TopGrp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842    |-> cmpt 4452   -->wf 5521   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   Basecbs 14733  Scalarcsca 14804   .scvsca 14805   TopOpenctopn 14928   Grpcgrp 16269   invgcminusg 16270   1rcur 17365   Ringcrg 17410   LModclmod 17724  TopOnctopon 19579   TopSpctps 19581    Cn ccn 19910  TopMndctmd 20753   TopGrpctgp 20754  TopModctlm 20844
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-er 7268  df-map 7379  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-2 10555  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-sets 14739  df-plusg 14814  df-0g 14948  df-topgen 14950  df-mgm 16088  df-sgrp 16127  df-mnd 16137  df-grp 16273  df-minusg 16274  df-mgp 17354  df-ur 17366  df-ring 17412  df-lmod 17726  df-scaf 17727  df-top 19583  df-bases 19585  df-topon 19586  df-topsp 19587  df-cn 19913  df-cnp 19914  df-tx 20247  df-tmd 20755  df-tgp 20756  df-trg 20846  df-tlm 20848
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator