MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tlmtgp Structured version   Unicode version

Theorem tlmtgp 19912
Description: A topological vector space is a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
tlmtgp  |-  ( W  e. TopMod  ->  W  e.  TopGrp )

Proof of Theorem tlmtgp
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tlmlmod 19905 . . 3  |-  ( W  e. TopMod  ->  W  e.  LMod )
2 lmodgrp 17088 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( W  e. TopMod  ->  W  e.  Grp )
4 tlmtmd 19903 . 2  |-  ( W  e. TopMod  ->  W  e. TopMnd )
5 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
6 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( invg `  W )  =  ( invg `  W )
75, 6grpinvf 15705 . . . . . 6  |-  ( W  e.  Grp  ->  ( invg `  W ) : ( Base `  W
) --> ( Base `  W
) )
83, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( W  e. TopMod  ->  ( invg `  W ) : (
Base `  W ) --> ( Base `  W )
)
98feqmptd 5856 . . . 4  |-  ( W  e. TopMod  ->  ( invg `  W )  =  ( x  e.  ( Base `  W )  |->  ( ( invg `  W
) `  x )
) )
10 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
11 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
12 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)
13 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( invg `  (Scalar `  W ) )  =  ( invg `  (Scalar `  W ) )
145, 6, 10, 11, 12, 13lmodvneg1 17121 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  x  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
( ( invg `  (Scalar `  W )
) `  ( 1r `  (Scalar `  W )
) ) ( .s
`  W ) x )  =  ( ( invg `  W
) `  x )
)
151, 14sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( W  e. TopMod  /\  x  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
( ( invg `  (Scalar `  W )
) `  ( 1r `  (Scalar `  W )
) ) ( .s
`  W ) x )  =  ( ( invg `  W
) `  x )
)
1615mpteq2dva 4489 . . . 4  |-  ( W  e. TopMod  ->  ( x  e.  ( Base `  W
)  |->  ( ( ( invg `  (Scalar `  W ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) x ) )  =  ( x  e.  ( Base `  W
)  |->  ( ( invg `  W ) `
 x ) ) )
179, 16eqtr4d 2498 . . 3  |-  ( W  e. TopMod  ->  ( invg `  W )  =  ( x  e.  ( Base `  W )  |->  ( ( ( invg `  (Scalar `  W ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W ) x ) ) )
18 eqid 2454 . . . 4  |-  ( TopOpen `  W )  =  (
TopOpen `  W )
19 eqid 2454 . . . 4  |-  ( TopOpen `  (Scalar `  W ) )  =  ( TopOpen `  (Scalar `  W ) )
20 id 22 . . . 4  |-  ( W  e. TopMod  ->  W  e. TopMod )
21 tlmtps 19904 . . . . 5  |-  ( W  e. TopMod  ->  W  e.  TopSp )
225, 18istps 18683 . . . . 5  |-  ( W  e.  TopSp 
<->  ( TopOpen `  W )  e.  (TopOn `  ( Base `  W ) ) )
2321, 22sylib 196 . . . 4  |-  ( W  e. TopMod  ->  ( TopOpen `  W
)  e.  (TopOn `  ( Base `  W )
) )
2410tlmscatps 19907 . . . . . 6  |-  ( W  e. TopMod  ->  (Scalar `  W )  e.  TopSp )
25 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
2625, 19istps 18683 . . . . . 6  |-  ( (Scalar `  W )  e.  TopSp  <->  ( TopOpen
`  (Scalar `  W )
)  e.  (TopOn `  ( Base `  (Scalar `  W
) ) ) )
2724, 26sylib 196 . . . . 5  |-  ( W  e. TopMod  ->  ( TopOpen `  (Scalar `  W ) )  e.  (TopOn `  ( Base `  (Scalar `  W )
) ) )
2810lmodrng 17089 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LMod  ->  (Scalar `  W )  e.  Ring )
291, 28syl 16 . . . . . . 7  |-  ( W  e. TopMod  ->  (Scalar `  W )  e.  Ring )
30 rnggrp 16783 . . . . . . 7  |-  ( (Scalar `  W )  e.  Ring  -> 
(Scalar `  W )  e.  Grp )
3129, 30syl 16 . . . . . 6  |-  ( W  e. TopMod  ->  (Scalar `  W )  e.  Grp )
3225, 12rngidcl 16798 . . . . . . 7  |-  ( (Scalar `  W )  e.  Ring  -> 
( 1r `  (Scalar `  W ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )
3329, 32syl 16 . . . . . 6  |-  ( W  e. TopMod  ->  ( 1r `  (Scalar `  W ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )
3425, 13grpinvcl 15706 . . . . . 6  |-  ( ( (Scalar `  W )  e.  Grp  /\  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )  ->  (
( invg `  (Scalar `  W ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  W ) ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )
3531, 33, 34syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( W  e. TopMod  ->  ( ( invg `  (Scalar `  W ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  W ) ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )
3623, 27, 35cnmptc 19377 . . . 4  |-  ( W  e. TopMod  ->  ( x  e.  ( Base `  W
)  |->  ( ( invg `  (Scalar `  W ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) )  e.  ( (
TopOpen `  W )  Cn  ( TopOpen `  (Scalar `  W
) ) ) )
3723cnmptid 19376 . . . 4  |-  ( W  e. TopMod  ->  ( x  e.  ( Base `  W
)  |->  x )  e.  ( ( TopOpen `  W
)  Cn  ( TopOpen `  W ) ) )
3810, 11, 18, 19, 20, 23, 36, 37cnmpt1vsca 19910 . . 3  |-  ( W  e. TopMod  ->  ( x  e.  ( Base `  W
)  |->  ( ( ( invg `  (Scalar `  W ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) x ) )  e.  ( ( TopOpen `  W )  Cn  ( TopOpen
`  W ) ) )
3917, 38eqeltrd 2542 . 2  |-  ( W  e. TopMod  ->  ( invg `  W )  e.  ( ( TopOpen `  W )  Cn  ( TopOpen `  W )
) )
4018, 6istgp 19790 . 2  |-  ( W  e.  TopGrp 
<->  ( W  e.  Grp  /\  W  e. TopMnd  /\  ( invg `  W )  e.  ( ( TopOpen `  W )  Cn  ( TopOpen
`  W ) ) ) )
413, 4, 39, 40syl3anbrc 1172 1  |-  ( W  e. TopMod  ->  W  e.  TopGrp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758    |-> cmpt 4461   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Basecbs 14296  Scalarcsca 14364   .scvsca 14365   TopOpenctopn 14483   Grpcgrp 15533   invgcminusg 15534   1rcur 16735   Ringcrg 16778   LModclmod 17081  TopOnctopon 18641   TopSpctps 18643    Cn ccn 18970  TopMndctmd 19783   TopGrpctgp 19784  TopModctlm 19874
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-plusg 14374  df-0g 14503  df-topgen 14505  df-mnd 15538  df-grp 15668  df-minusg 15669  df-mgp 16724  df-ur 16736  df-rng 16780  df-lmod 17083  df-scaf 17084  df-top 18645  df-bases 18647  df-topon 18648  df-topsp 18649  df-cn 18973  df-cnp 18974  df-tx 19277  df-tmd 19785  df-tgp 19786  df-trg 19876  df-tlm 19878
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator