MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  thloc Structured version   Unicode version

Theorem thloc 18219
Description: Orthocomplement on the Hilbert lattice of closed subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
thlval.k  |-  K  =  (toHL `  W )
thloc.c  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
Assertion
Ref Expression
thloc  |-  ._|_  =  ( oc `  K )

Proof of Theorem thloc
StepHypRef Expression
1 thlval.k . . . . 5  |-  K  =  (toHL `  W )
2 eqid 2450 . . . . 5  |-  ( CSubSp `  W )  =  (
CSubSp `  W )
3 eqid 2450 . . . . 5  |-  (toInc `  ( CSubSp `  W )
)  =  (toInc `  ( CSubSp `  W )
)
4 thloc.c . . . . 5  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
51, 2, 3, 4thlval 18215 . . . 4  |-  ( W  e.  _V  ->  K  =  ( (toInc `  ( CSubSp `  W )
) sSet  <. ( oc `  ndx ) ,  ._|_  >. )
)
65fveq2d 5779 . . 3  |-  ( W  e.  _V  ->  ( oc `  K )  =  ( oc `  (
(toInc `  ( CSubSp `  W ) ) sSet  <. ( oc `  ndx ) ,  ._|_  >. ) ) )
7 fvex 5785 . . . 4  |-  (toInc `  ( CSubSp `  W )
)  e.  _V
8 fvex 5785 . . . . 5  |-  ( ocv `  W )  e.  _V
94, 8eqeltri 2532 . . . 4  |-  ._|_  e.  _V
10 ocid 14428 . . . . 5  |-  oc  = Slot  ( oc `  ndx )
1110setsid 14303 . . . 4  |-  ( ( (toInc `  ( CSubSp `  W ) )  e. 
_V  /\  ._|_  e.  _V )  ->  ._|_  =  ( oc
`  ( (toInc `  ( CSubSp `  W )
) sSet  <. ( oc `  ndx ) ,  ._|_  >. )
) )
127, 9, 11mp2an 672 . . 3  |-  ._|_  =  ( oc `  ( (toInc `  ( CSubSp `  W )
) sSet  <. ( oc `  ndx ) ,  ._|_  >. )
)
136, 12syl6reqr 2509 . 2  |-  ( W  e.  _V  ->  ._|_  =  ( oc `  K ) )
1410str0 14300 . . 3  |-  (/)  =  ( oc `  (/) )
15 fvprc 5769 . . . 4  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( ocv `  W )  =  (/) )
164, 15syl5eq 2502 . . 3  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ._|_ 
=  (/) )
17 fvprc 5769 . . . . 5  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  (toHL `  W )  =  (/) )
181, 17syl5eq 2502 . . . 4  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  K  =  (/) )
1918fveq2d 5779 . . 3  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( oc `  K )  =  ( oc `  (/) ) )
2014, 16, 193eqtr4a 2516 . 2  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ._|_ 
=  ( oc `  K ) )
2113, 20pm2.61i 164 1  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1370    e. wcel 1757   _Vcvv 3054   (/)c0 3721   <.cop 3967   ` cfv 5502  (class class class)co 6176   ndxcnx 14259   sSet csts 14260   occoc 14334  toInccipo 15409   ocvcocv 18180   CSubSpccss 18181  toHLcthl 18182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-iun 4257  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-om 6563  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-er 7187  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-ltxr 9510  df-nn 10410  df-2 10467  df-3 10468  df-4 10469  df-5 10470  df-6 10471  df-7 10472  df-8 10473  df-9 10474  df-10 10475  df-n0 10667  df-dec 10843  df-ndx 14265  df-slot 14266  df-sets 14268  df-ocomp 14347  df-thl 18185
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator