MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  thloc Structured version   Unicode version

Theorem thloc 18903
Description: Orthocomplement on the Hilbert lattice of closed subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
thlval.k  |-  K  =  (toHL `  W )
thloc.c  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
Assertion
Ref Expression
thloc  |-  ._|_  =  ( oc `  K )

Proof of Theorem thloc
StepHypRef Expression
1 thlval.k . . . . 5  |-  K  =  (toHL `  W )
2 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( CSubSp `  W )  =  (
CSubSp `  W )
3 eqid 2454 . . . . 5  |-  (toInc `  ( CSubSp `  W )
)  =  (toInc `  ( CSubSp `  W )
)
4 thloc.c . . . . 5  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
51, 2, 3, 4thlval 18899 . . . 4  |-  ( W  e.  _V  ->  K  =  ( (toInc `  ( CSubSp `  W )
) sSet  <. ( oc `  ndx ) ,  ._|_  >. )
)
65fveq2d 5852 . . 3  |-  ( W  e.  _V  ->  ( oc `  K )  =  ( oc `  (
(toInc `  ( CSubSp `  W ) ) sSet  <. ( oc `  ndx ) ,  ._|_  >. ) ) )
7 fvex 5858 . . . 4  |-  (toInc `  ( CSubSp `  W )
)  e.  _V
8 fvex 5858 . . . . 5  |-  ( ocv `  W )  e.  _V
94, 8eqeltri 2538 . . . 4  |-  ._|_  e.  _V
10 ocid 14890 . . . . 5  |-  oc  = Slot  ( oc `  ndx )
1110setsid 14759 . . . 4  |-  ( ( (toInc `  ( CSubSp `  W ) )  e. 
_V  /\  ._|_  e.  _V )  ->  ._|_  =  ( oc
`  ( (toInc `  ( CSubSp `  W )
) sSet  <. ( oc `  ndx ) ,  ._|_  >. )
) )
127, 9, 11mp2an 670 . . 3  |-  ._|_  =  ( oc `  ( (toInc `  ( CSubSp `  W )
) sSet  <. ( oc `  ndx ) ,  ._|_  >. )
)
136, 12syl6reqr 2514 . 2  |-  ( W  e.  _V  ->  ._|_  =  ( oc `  K ) )
1410str0 14756 . . 3  |-  (/)  =  ( oc `  (/) )
15 fvprc 5842 . . . 4  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( ocv `  W )  =  (/) )
164, 15syl5eq 2507 . . 3  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ._|_ 
=  (/) )
17 fvprc 5842 . . . . 5  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  (toHL `  W )  =  (/) )
181, 17syl5eq 2507 . . . 4  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  K  =  (/) )
1918fveq2d 5852 . . 3  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( oc `  K )  =  ( oc `  (/) ) )
2014, 16, 193eqtr4a 2521 . 2  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ._|_ 
=  ( oc `  K ) )
2113, 20pm2.61i 164 1  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1398    e. wcel 1823   _Vcvv 3106   (/)c0 3783   <.cop 4022   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   ndxcnx 14713   sSet csts 14714   occoc 14792  toInccipo 15980   ocvcocv 18864   CSubSpccss 18865  toHLcthl 18866
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-ltxr 9622  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-dec 10977  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-sets 14722  df-ocomp 14805  df-thl 18869
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator