MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  thlle Structured version   Unicode version

Theorem thlle 19202
Description: Ordering on the Hilbert lattice of closed subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
thlval.k  |-  K  =  (toHL `  W )
thlbas.c  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
thlle.i  |-  I  =  (toInc `  C )
thlle.l  |-  .<_  =  ( le `  I )
Assertion
Ref Expression
thlle  |-  .<_  =  ( le `  K )

Proof of Theorem thlle
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 thlval.k . . . . 5  |-  K  =  (toHL `  W )
2 thlbas.c . . . . 5  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
3 thlle.i . . . . 5  |-  I  =  (toInc `  C )
4 eqid 2428 . . . . 5  |-  ( ocv `  W )  =  ( ocv `  W )
51, 2, 3, 4thlval 19200 . . . 4  |-  ( W  e.  _V  ->  K  =  ( I sSet  <. ( oc `  ndx ) ,  ( ocv `  W
) >. ) )
65fveq2d 5829 . . 3  |-  ( W  e.  _V  ->  ( le `  K )  =  ( le `  (
I sSet  <. ( oc `  ndx ) ,  ( ocv `  W ) >. )
) )
7 thlle.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  I )
8 pleid 15235 . . . . 5  |-  le  = Slot  ( le `  ndx )
9 10re 10649 . . . . . . 7  |-  10  e.  RR
10 dec10 11032 . . . . . . . 8  |-  10  = ; 1 0
11 1nn0 10836 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN0
12 0nn0 10835 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  NN0
13 1nn 10571 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
14 0lt1 10087 . . . . . . . . 9  |-  0  <  1
1511, 12, 13, 14declt 11023 . . . . . . . 8  |- ; 1 0  < ; 1 1
1610, 15eqbrtri 4386 . . . . . . 7  |-  10  < ; 1 1
179, 16ltneii 9698 . . . . . 6  |-  10  =/= ; 1 1
18 plendx 15234 . . . . . . 7  |-  ( le
`  ndx )  =  10
19 ocndx 15241 . . . . . . 7  |-  ( oc
`  ndx )  = ; 1 1
2018, 19neeq12i 2667 . . . . . 6  |-  ( ( le `  ndx )  =/=  ( oc `  ndx ) 
<->  10  =/= ; 1 1 )
2117, 20mpbir 212 . . . . 5  |-  ( le
`  ndx )  =/=  ( oc `  ndx )
228, 21setsnid 15108 . . . 4  |-  ( le
`  I )  =  ( le `  (
I sSet  <. ( oc `  ndx ) ,  ( ocv `  W ) >. )
)
237, 22eqtri 2450 . . 3  |-  .<_  =  ( le `  ( I sSet  <. ( oc `  ndx ) ,  ( ocv `  W ) >. )
)
246, 23syl6reqr 2481 . 2  |-  ( W  e.  _V  ->  .<_  =  ( le `  K
) )
258str0 15104 . . 3  |-  (/)  =  ( le `  (/) )
26 fvex 5835 . . . . . . 7  |-  ( CSubSp `  W )  e.  _V
272, 26eqeltri 2502 . . . . . 6  |-  C  e. 
_V
283ipolerval 16345 . . . . . 6  |-  ( C  e.  _V  ->  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  C  /\  x  C_  y ) }  =  ( le `  I ) )
2927, 28ax-mp 5 . . . . 5  |-  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  C  /\  x  C_  y ) }  =  ( le `  I )
307, 29eqtr4i 2453 . . . 4  |-  .<_  =  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  C  /\  x  C_  y
) }
31 opabn0 4694 . . . . . 6  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  C  /\  x  C_  y
) }  =/=  (/)  <->  E. x E. y ( { x ,  y }  C_  C  /\  x  C_  y
) )
32 vex 3025 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
33 vex 3025 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
3432, 33prss 4097 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  C  /\  y  e.  C )  <->  { x ,  y } 
C_  C )
35 elfvex 5852 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( CSubSp `  W
)  ->  W  e.  _V )
3635, 2eleq2s 2524 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  C  ->  W  e.  _V )
3736ad2antrr 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  C  /\  y  e.  C
)  /\  x  C_  y
)  ->  W  e.  _V )
3834, 37sylanbr 475 . . . . . . 7  |-  ( ( { x ,  y }  C_  C  /\  x  C_  y )  ->  W  e.  _V )
3938exlimivv 1771 . . . . . 6  |-  ( E. x E. y ( { x ,  y }  C_  C  /\  x  C_  y )  ->  W  e.  _V )
4031, 39sylbi 198 . . . . 5  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  C  /\  x  C_  y
) }  =/=  (/)  ->  W  e.  _V )
4140necon1bi 2629 . . . 4  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  {
<. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  C  /\  x  C_  y
) }  =  (/) )
4230, 41syl5eq 2474 . . 3  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  .<_  =  (/) )
43 fvprc 5819 . . . . 5  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  (toHL `  W )  =  (/) )
441, 43syl5eq 2474 . . . 4  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  K  =  (/) )
4544fveq2d 5829 . . 3  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( le `  K )  =  ( le `  (/) ) )
4625, 42, 453eqtr4a 2488 . 2  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  .<_  =  ( le `  K ) )
4724, 46pm2.61i 167 1  |-  .<_  =  ( le `  K )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 370    = wceq 1437   E.wex 1657    e. wcel 1872    =/= wne 2599   _Vcvv 3022    C_ wss 3379   (/)c0 3704   {cpr 3943   <.cop 3947   {copab 4424   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   0cc0 9490   1c1 9491    < clt 9626   10c10 10618  ;cdc 11002   ndxcnx 15061   sSet csts 15062   lecple 15140   occoc 15141  toInccipo 16340   ocvcocv 19165   CSubSpccss 19166  toHLcthl 19167
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-oadd 7141  df-er 7318  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-7 10624  df-8 10625  df-9 10626  df-10 10627  df-n0 10821  df-z 10889  df-dec 11003  df-uz 11111  df-fz 11736  df-struct 15066  df-ndx 15067  df-slot 15068  df-base 15069  df-sets 15070  df-tset 15152  df-ple 15153  df-ocomp 15154  df-ipo 16341  df-thl 19170
This theorem is referenced by:  thlleval  19203
  Copyright terms: Public domain W3C validator