MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  thlle Structured version   Unicode version

Theorem thlle 18901
Description: Ordering on the Hilbert lattice of closed subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
thlval.k  |-  K  =  (toHL `  W )
thlbas.c  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
thlle.i  |-  I  =  (toInc `  C )
thlle.l  |-  .<_  =  ( le `  I )
Assertion
Ref Expression
thlle  |-  .<_  =  ( le `  K )

Proof of Theorem thlle
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 thlval.k . . . . 5  |-  K  =  (toHL `  W )
2 thlbas.c . . . . 5  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
3 thlle.i . . . . 5  |-  I  =  (toInc `  C )
4 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( ocv `  W )  =  ( ocv `  W )
51, 2, 3, 4thlval 18899 . . . 4  |-  ( W  e.  _V  ->  K  =  ( I sSet  <. ( oc `  ndx ) ,  ( ocv `  W
) >. ) )
65fveq2d 5852 . . 3  |-  ( W  e.  _V  ->  ( le `  K )  =  ( le `  (
I sSet  <. ( oc `  ndx ) ,  ( ocv `  W ) >. )
) )
7 thlle.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  I )
8 pleid 14883 . . . . 5  |-  le  = Slot  ( le `  ndx )
9 10re 10620 . . . . . . 7  |-  10  e.  RR
10 dec10 11006 . . . . . . . 8  |-  10  = ; 1 0
11 1nn0 10807 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN0
12 0nn0 10806 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  NN0
13 1nn 10542 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
14 0lt1 10071 . . . . . . . . 9  |-  0  <  1
1511, 12, 13, 14declt 10997 . . . . . . . 8  |- ; 1 0  < ; 1 1
1610, 15eqbrtri 4458 . . . . . . 7  |-  10  < ; 1 1
179, 16ltneii 9686 . . . . . 6  |-  10  =/= ; 1 1
18 plendx 14882 . . . . . . 7  |-  ( le
`  ndx )  =  10
19 ocndx 14889 . . . . . . 7  |-  ( oc
`  ndx )  = ; 1 1
2018, 19neeq12i 2743 . . . . . 6  |-  ( ( le `  ndx )  =/=  ( oc `  ndx ) 
<->  10  =/= ; 1 1 )
2117, 20mpbir 209 . . . . 5  |-  ( le
`  ndx )  =/=  ( oc `  ndx )
228, 21setsnid 14760 . . . 4  |-  ( le
`  I )  =  ( le `  (
I sSet  <. ( oc `  ndx ) ,  ( ocv `  W ) >. )
)
237, 22eqtri 2483 . . 3  |-  .<_  =  ( le `  ( I sSet  <. ( oc `  ndx ) ,  ( ocv `  W ) >. )
)
246, 23syl6reqr 2514 . 2  |-  ( W  e.  _V  ->  .<_  =  ( le `  K
) )
258str0 14756 . . 3  |-  (/)  =  ( le `  (/) )
26 fvex 5858 . . . . . . 7  |-  ( CSubSp `  W )  e.  _V
272, 26eqeltri 2538 . . . . . 6  |-  C  e. 
_V
283ipolerval 15985 . . . . . 6  |-  ( C  e.  _V  ->  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  C  /\  x  C_  y ) }  =  ( le `  I ) )
2927, 28ax-mp 5 . . . . 5  |-  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  C  /\  x  C_  y ) }  =  ( le `  I )
307, 29eqtr4i 2486 . . . 4  |-  .<_  =  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  C  /\  x  C_  y
) }
31 opabn0 4767 . . . . . 6  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  C  /\  x  C_  y
) }  =/=  (/)  <->  E. x E. y ( { x ,  y }  C_  C  /\  x  C_  y
) )
32 vex 3109 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
33 vex 3109 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
3432, 33prss 4170 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  C  /\  y  e.  C )  <->  { x ,  y } 
C_  C )
35 elfvex 5875 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( CSubSp `  W
)  ->  W  e.  _V )
3635, 2eleq2s 2562 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  C  ->  W  e.  _V )
3736ad2antrr 723 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  C  /\  y  e.  C
)  /\  x  C_  y
)  ->  W  e.  _V )
3834, 37sylanbr 471 . . . . . . 7  |-  ( ( { x ,  y }  C_  C  /\  x  C_  y )  ->  W  e.  _V )
3938exlimivv 1728 . . . . . 6  |-  ( E. x E. y ( { x ,  y }  C_  C  /\  x  C_  y )  ->  W  e.  _V )
4031, 39sylbi 195 . . . . 5  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  C  /\  x  C_  y
) }  =/=  (/)  ->  W  e.  _V )
4140necon1bi 2687 . . . 4  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  {
<. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  C  /\  x  C_  y
) }  =  (/) )
4230, 41syl5eq 2507 . . 3  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  .<_  =  (/) )
43 fvprc 5842 . . . . 5  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  (toHL `  W )  =  (/) )
441, 43syl5eq 2507 . . . 4  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  K  =  (/) )
4544fveq2d 5852 . . 3  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( le `  K )  =  ( le `  (/) ) )
4625, 42, 453eqtr4a 2521 . 2  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  .<_  =  ( le `  K ) )
4724, 46pm2.61i 164 1  |-  .<_  =  ( le `  K )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 367    = wceq 1398   E.wex 1617    e. wcel 1823    =/= wne 2649   _Vcvv 3106    C_ wss 3461   (/)c0 3783   {cpr 4018   <.cop 4022   {copab 4496   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   0cc0 9481   1c1 9482    < clt 9617   10c10 10589  ;cdc 10976   ndxcnx 14713   sSet csts 14714   lecple 14791   occoc 14792  toInccipo 15980   ocvcocv 18864   CSubSpccss 18865  toHLcthl 18866
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-fz 11676  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ocomp 14805  df-ipo 15981  df-thl 18869
This theorem is referenced by:  thlleval  18902
  Copyright terms: Public domain W3C validator