MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  thlle Structured version   Unicode version

Theorem thlle 17964
Description: Ordering on the Hilbert lattice of closed subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
thlval.k  |-  K  =  (toHL `  W )
thlbas.c  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
thlle.i  |-  I  =  (toInc `  C )
thlle.l  |-  .<_  =  ( le `  I )
Assertion
Ref Expression
thlle  |-  .<_  =  ( le `  K )

Proof of Theorem thlle
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 thlval.k . . . . 5  |-  K  =  (toHL `  W )
2 thlbas.c . . . . 5  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
3 thlle.i . . . . 5  |-  I  =  (toInc `  C )
4 eqid 2433 . . . . 5  |-  ( ocv `  W )  =  ( ocv `  W )
51, 2, 3, 4thlval 17962 . . . 4  |-  ( W  e.  _V  ->  K  =  ( I sSet  <. ( oc `  ndx ) ,  ( ocv `  W
) >. ) )
65fveq2d 5683 . . 3  |-  ( W  e.  _V  ->  ( le `  K )  =  ( le `  (
I sSet  <. ( oc `  ndx ) ,  ( ocv `  W ) >. )
) )
7 thlle.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  I )
8 pleid 14316 . . . . 5  |-  le  = Slot  ( le `  ndx )
9 10re 10398 . . . . . . 7  |-  10  e.  RR
10 dec10 10773 . . . . . . . 8  |-  10  = ; 1 0
11 1nn0 10583 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN0
12 0nn0 10582 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  NN0
13 1nn 10321 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
14 0lt1 9850 . . . . . . . . 9  |-  0  <  1
1511, 12, 13, 14declt 10764 . . . . . . . 8  |- ; 1 0  < ; 1 1
1610, 15eqbrtri 4299 . . . . . . 7  |-  10  < ; 1 1
179, 16ltneii 9475 . . . . . 6  |-  10  =/= ; 1 1
18 plendx 14315 . . . . . . 7  |-  ( le
`  ndx )  =  10
19 ocndx 14322 . . . . . . 7  |-  ( oc
`  ndx )  = ; 1 1
2018, 19neeq12i 2610 . . . . . 6  |-  ( ( le `  ndx )  =/=  ( oc `  ndx ) 
<->  10  =/= ; 1 1 )
2117, 20mpbir 209 . . . . 5  |-  ( le
`  ndx )  =/=  ( oc `  ndx )
228, 21setsnid 14199 . . . 4  |-  ( le
`  I )  =  ( le `  (
I sSet  <. ( oc `  ndx ) ,  ( ocv `  W ) >. )
)
237, 22eqtri 2453 . . 3  |-  .<_  =  ( le `  ( I sSet  <. ( oc `  ndx ) ,  ( ocv `  W ) >. )
)
246, 23syl6reqr 2484 . 2  |-  ( W  e.  _V  ->  .<_  =  ( le `  K
) )
258str0 14195 . . 3  |-  (/)  =  ( le `  (/) )
26 fvex 5689 . . . . . . 7  |-  ( CSubSp `  W )  e.  _V
272, 26eqeltri 2503 . . . . . 6  |-  C  e. 
_V
283ipolerval 15309 . . . . . 6  |-  ( C  e.  _V  ->  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  C  /\  x  C_  y ) }  =  ( le `  I ) )
2927, 28ax-mp 5 . . . . 5  |-  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  C  /\  x  C_  y ) }  =  ( le `  I )
307, 29eqtr4i 2456 . . . 4  |-  .<_  =  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  C  /\  x  C_  y
) }
31 opabn0 4608 . . . . . 6  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  C  /\  x  C_  y
) }  =/=  (/)  <->  E. x E. y ( { x ,  y }  C_  C  /\  x  C_  y
) )
32 vex 2965 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
33 vex 2965 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
3432, 33prss 4015 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  C  /\  y  e.  C )  <->  { x ,  y } 
C_  C )
35 elfvex 5705 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( CSubSp `  W
)  ->  W  e.  _V )
3635, 2eleq2s 2525 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  C  ->  W  e.  _V )
3736ad2antrr 718 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  C  /\  y  e.  C
)  /\  x  C_  y
)  ->  W  e.  _V )
3834, 37sylanbr 470 . . . . . . 7  |-  ( ( { x ,  y }  C_  C  /\  x  C_  y )  ->  W  e.  _V )
3938exlimivv 1688 . . . . . 6  |-  ( E. x E. y ( { x ,  y }  C_  C  /\  x  C_  y )  ->  W  e.  _V )
4031, 39sylbi 195 . . . . 5  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  C  /\  x  C_  y
) }  =/=  (/)  ->  W  e.  _V )
4140necon1bi 2644 . . . 4  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  {
<. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  C  /\  x  C_  y
) }  =  (/) )
4230, 41syl5eq 2477 . . 3  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  .<_  =  (/) )
43 fvprc 5673 . . . . 5  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  (toHL `  W )  =  (/) )
441, 43syl5eq 2477 . . . 4  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  K  =  (/) )
4544fveq2d 5683 . . 3  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( le `  K )  =  ( le `  (/) ) )
4625, 42, 453eqtr4a 2491 . 2  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  .<_  =  ( le `  K ) )
4724, 46pm2.61i 164 1  |-  .<_  =  ( le `  K )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 369    = wceq 1362   E.wex 1589    e. wcel 1755    =/= wne 2596   _Vcvv 2962    C_ wss 3316   (/)c0 3625   {cpr 3867   <.cop 3871   {copab 4337   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   0cc0 9270   1c1 9271    < clt 9406   10c10 10367  ;cdc 10743   ndxcnx 14154   sSet csts 14155   lecple 14228   occoc 14229  toInccipo 15304   ocvcocv 17927   CSubSpccss 17928  toHLcthl 17929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-10 10376  df-n0 10568  df-z 10635  df-dec 10744  df-uz 10850  df-fz 11425  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-tset 14240  df-ple 14241  df-ocomp 14242  df-ipo 15305  df-thl 17932
This theorem is referenced by:  thlleval  17965
  Copyright terms: Public domain W3C validator