MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  thlbas Structured version   Unicode version

Theorem thlbas 18239
Description: Base set of the Hilbert lattice of closed subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
thlval.k  |-  K  =  (toHL `  W )
thlbas.c  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
thlbas  |-  C  =  ( Base `  K
)

Proof of Theorem thlbas
StepHypRef Expression
1 thlval.k . . . . 5  |-  K  =  (toHL `  W )
2 thlbas.c . . . . 5  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
3 eqid 2451 . . . . 5  |-  (toInc `  C )  =  (toInc `  C )
4 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( ocv `  W )  =  ( ocv `  W )
51, 2, 3, 4thlval 18238 . . . 4  |-  ( W  e.  _V  ->  K  =  ( (toInc `  C ) sSet  <. ( oc
`  ndx ) ,  ( ocv `  W )
>. ) )
65fveq2d 5796 . . 3  |-  ( W  e.  _V  ->  ( Base `  K )  =  ( Base `  (
(toInc `  C ) sSet  <.
( oc `  ndx ) ,  ( ocv `  W ) >. )
) )
7 fvex 5802 . . . . . 6  |-  ( CSubSp `  W )  e.  _V
82, 7eqeltri 2535 . . . . 5  |-  C  e. 
_V
93ipobas 15436 . . . . 5  |-  ( C  e.  _V  ->  C  =  ( Base `  (toInc `  C ) ) )
108, 9ax-mp 5 . . . 4  |-  C  =  ( Base `  (toInc `  C ) )
11 baseid 14331 . . . . 5  |-  Base  = Slot  ( Base `  ndx )
12 1re 9489 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
13 1nn 10437 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN
14 1nn0 10699 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN0
15 1lt10 10636 . . . . . . . 8  |-  1  <  10
1613, 14, 14, 15declti 10884 . . . . . . 7  |-  1  < ; 1
1
1712, 16ltneii 9591 . . . . . 6  |-  1  =/= ; 1 1
18 basendx 14334 . . . . . . 7  |-  ( Base `  ndx )  =  1
19 ocndx 14450 . . . . . . 7  |-  ( oc
`  ndx )  = ; 1 1
2018, 19neeq12i 2737 . . . . . 6  |-  ( (
Base `  ndx )  =/=  ( oc `  ndx ) 
<->  1  =/= ; 1 1 )
2117, 20mpbir 209 . . . . 5  |-  ( Base `  ndx )  =/=  ( oc `  ndx )
2211, 21setsnid 14327 . . . 4  |-  ( Base `  (toInc `  C )
)  =  ( Base `  ( (toInc `  C
) sSet  <. ( oc `  ndx ) ,  ( ocv `  W ) >. )
)
2310, 22eqtri 2480 . . 3  |-  C  =  ( Base `  (
(toInc `  C ) sSet  <.
( oc `  ndx ) ,  ( ocv `  W ) >. )
)
246, 23syl6reqr 2511 . 2  |-  ( W  e.  _V  ->  C  =  ( Base `  K
) )
25 base0 14324 . . 3  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
26 fvprc 5786 . . . 4  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  (
CSubSp `  W )  =  (/) )
272, 26syl5eq 2504 . . 3  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  C  =  (/) )
28 fvprc 5786 . . . . 5  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  (toHL `  W )  =  (/) )
291, 28syl5eq 2504 . . . 4  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  K  =  (/) )
3029fveq2d 5796 . . 3  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  (
Base `  K )  =  ( Base `  (/) ) )
3125, 27, 303eqtr4a 2518 . 2  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  C  =  ( Base `  K
) )
3224, 31pm2.61i 164 1  |-  C  =  ( Base `  K
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   _Vcvv 3071   (/)c0 3738   <.cop 3984   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   1c1 9387  ;cdc 10859   ndxcnx 14282   sSet csts 14283   Basecbs 14285   occoc 14357  toInccipo 15432   ocvcocv 18203   CSubSpccss 18204  toHLcthl 18205
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-oadd 7027  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-7 10489  df-8 10490  df-9 10491  df-10 10492  df-n0 10684  df-z 10751  df-dec 10860  df-uz 10966  df-fz 11548  df-struct 14287  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-tset 14368  df-ple 14369  df-ocomp 14370  df-ipo 15433  df-thl 18208
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator