MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  thlbas Structured version   Unicode version

Theorem thlbas 19257
Description: Base set of the Hilbert lattice of closed subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
thlval.k  |-  K  =  (toHL `  W )
thlbas.c  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
thlbas  |-  C  =  ( Base `  K
)

Proof of Theorem thlbas
StepHypRef Expression
1 thlval.k . . . . 5  |-  K  =  (toHL `  W )
2 thlbas.c . . . . 5  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
3 eqid 2422 . . . . 5  |-  (toInc `  C )  =  (toInc `  C )
4 eqid 2422 . . . . 5  |-  ( ocv `  W )  =  ( ocv `  W )
51, 2, 3, 4thlval 19256 . . . 4  |-  ( W  e.  _V  ->  K  =  ( (toInc `  C ) sSet  <. ( oc
`  ndx ) ,  ( ocv `  W )
>. ) )
65fveq2d 5885 . . 3  |-  ( W  e.  _V  ->  ( Base `  K )  =  ( Base `  (
(toInc `  C ) sSet  <.
( oc `  ndx ) ,  ( ocv `  W ) >. )
) )
7 fvex 5891 . . . . . 6  |-  ( CSubSp `  W )  e.  _V
82, 7eqeltri 2503 . . . . 5  |-  C  e. 
_V
93ipobas 16400 . . . . 5  |-  ( C  e.  _V  ->  C  =  ( Base `  (toInc `  C ) ) )
108, 9ax-mp 5 . . . 4  |-  C  =  ( Base `  (toInc `  C ) )
11 baseid 15168 . . . . 5  |-  Base  = Slot  ( Base `  ndx )
12 1re 9649 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
13 1nn 10627 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN
14 1nn0 10892 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN0
15 1lt10 10827 . . . . . . . 8  |-  1  <  10
1613, 14, 14, 15declti 11083 . . . . . . 7  |-  1  < ; 1
1
1712, 16ltneii 9754 . . . . . 6  |-  1  =/= ; 1 1
18 basendx 15172 . . . . . . 7  |-  ( Base `  ndx )  =  1
19 ocndx 15297 . . . . . . 7  |-  ( oc
`  ndx )  = ; 1 1
2018, 19neeq12i 2709 . . . . . 6  |-  ( (
Base `  ndx )  =/=  ( oc `  ndx ) 
<->  1  =/= ; 1 1 )
2117, 20mpbir 212 . . . . 5  |-  ( Base `  ndx )  =/=  ( oc `  ndx )
2211, 21setsnid 15164 . . . 4  |-  ( Base `  (toInc `  C )
)  =  ( Base `  ( (toInc `  C
) sSet  <. ( oc `  ndx ) ,  ( ocv `  W ) >. )
)
2310, 22eqtri 2451 . . 3  |-  C  =  ( Base `  (
(toInc `  C ) sSet  <.
( oc `  ndx ) ,  ( ocv `  W ) >. )
)
246, 23syl6reqr 2482 . 2  |-  ( W  e.  _V  ->  C  =  ( Base `  K
) )
25 base0 15161 . . 3  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
26 fvprc 5875 . . . 4  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  (
CSubSp `  W )  =  (/) )
272, 26syl5eq 2475 . . 3  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  C  =  (/) )
28 fvprc 5875 . . . . 5  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  (toHL `  W )  =  (/) )
291, 28syl5eq 2475 . . . 4  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  K  =  (/) )
3029fveq2d 5885 . . 3  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  (
Base `  K )  =  ( Base `  (/) ) )
3125, 27, 303eqtr4a 2489 . 2  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  C  =  ( Base `  K
) )
3224, 31pm2.61i 167 1  |-  C  =  ( Base `  K
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614   _Vcvv 3080   (/)c0 3761   <.cop 4004   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   1c1 9547  ;cdc 11058   ndxcnx 15117   sSet csts 15118   Basecbs 15120   occoc 15197  toInccipo 16396   ocvcocv 19221   CSubSpccss 19222  toHLcthl 19223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-oadd 7197  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-fz 11792  df-struct 15122  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-base 15125  df-sets 15126  df-tset 15208  df-ple 15209  df-ocomp 15210  df-ipo 16397  df-thl 19226
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator