MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  thlbas Structured version   Unicode version

Theorem thlbas 18917
Description: Base set of the Hilbert lattice of closed subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
thlval.k  |-  K  =  (toHL `  W )
thlbas.c  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
thlbas  |-  C  =  ( Base `  K
)

Proof of Theorem thlbas
StepHypRef Expression
1 thlval.k . . . . 5  |-  K  =  (toHL `  W )
2 thlbas.c . . . . 5  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
3 eqid 2402 . . . . 5  |-  (toInc `  C )  =  (toInc `  C )
4 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( ocv `  W )  =  ( ocv `  W )
51, 2, 3, 4thlval 18916 . . . 4  |-  ( W  e.  _V  ->  K  =  ( (toInc `  C ) sSet  <. ( oc
`  ndx ) ,  ( ocv `  W )
>. ) )
65fveq2d 5809 . . 3  |-  ( W  e.  _V  ->  ( Base `  K )  =  ( Base `  (
(toInc `  C ) sSet  <.
( oc `  ndx ) ,  ( ocv `  W ) >. )
) )
7 fvex 5815 . . . . . 6  |-  ( CSubSp `  W )  e.  _V
82, 7eqeltri 2486 . . . . 5  |-  C  e. 
_V
93ipobas 16001 . . . . 5  |-  ( C  e.  _V  ->  C  =  ( Base `  (toInc `  C ) ) )
108, 9ax-mp 5 . . . 4  |-  C  =  ( Base `  (toInc `  C ) )
11 baseid 14781 . . . . 5  |-  Base  = Slot  ( Base `  ndx )
12 1re 9545 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
13 1nn 10507 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN
14 1nn0 10772 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN0
15 1lt10 10707 . . . . . . . 8  |-  1  <  10
1613, 14, 14, 15declti 10964 . . . . . . 7  |-  1  < ; 1
1
1712, 16ltneii 9649 . . . . . 6  |-  1  =/= ; 1 1
18 basendx 14785 . . . . . . 7  |-  ( Base `  ndx )  =  1
19 ocndx 14906 . . . . . . 7  |-  ( oc
`  ndx )  = ; 1 1
2018, 19neeq12i 2692 . . . . . 6  |-  ( (
Base `  ndx )  =/=  ( oc `  ndx ) 
<->  1  =/= ; 1 1 )
2117, 20mpbir 209 . . . . 5  |-  ( Base `  ndx )  =/=  ( oc `  ndx )
2211, 21setsnid 14777 . . . 4  |-  ( Base `  (toInc `  C )
)  =  ( Base `  ( (toInc `  C
) sSet  <. ( oc `  ndx ) ,  ( ocv `  W ) >. )
)
2310, 22eqtri 2431 . . 3  |-  C  =  ( Base `  (
(toInc `  C ) sSet  <.
( oc `  ndx ) ,  ( ocv `  W ) >. )
)
246, 23syl6reqr 2462 . 2  |-  ( W  e.  _V  ->  C  =  ( Base `  K
) )
25 base0 14774 . . 3  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
26 fvprc 5799 . . . 4  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  (
CSubSp `  W )  =  (/) )
272, 26syl5eq 2455 . . 3  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  C  =  (/) )
28 fvprc 5799 . . . . 5  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  (toHL `  W )  =  (/) )
291, 28syl5eq 2455 . . . 4  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  K  =  (/) )
3029fveq2d 5809 . . 3  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  (
Base `  K )  =  ( Base `  (/) ) )
3125, 27, 303eqtr4a 2469 . 2  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  C  =  ( Base `  K
) )
3224, 31pm2.61i 164 1  |-  C  =  ( Base `  K
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   _Vcvv 3058   (/)c0 3737   <.cop 3977   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   1c1 9443  ;cdc 10939   ndxcnx 14730   sSet csts 14731   Basecbs 14733   occoc 14809  toInccipo 15997   ocvcocv 18881   CSubSpccss 18882  toHLcthl 18883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-oadd 7091  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-4 10557  df-5 10558  df-6 10559  df-7 10560  df-8 10561  df-9 10562  df-10 10563  df-n0 10757  df-z 10826  df-dec 10940  df-uz 11046  df-fz 11644  df-struct 14735  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-sets 14739  df-tset 14820  df-ple 14821  df-ocomp 14822  df-ipo 15998  df-thl 18886
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator