Theorem tgval3 8895

Description: Alternate expression for the topology generated by a basis. Lemma 2.1 of [Munkres] p. 80.

Assertion

Ref	Expression
tgval3	|- (B e. Bases -> (topGen` B) = {x | E.y(y C_ B /\ x = U.y)})

Distinct variable group:   x,y,B

Proof of Theorem tgval3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 2295	. . . . . . 7 |- x e. _V
2		abssexg 3490	. . . . . . 7 |- (x e. _V -> {y | (y C_ x /\ y e. B)} e. _V)
3	1, 2	ax-mp 7	. . . . . 6 |- {y | (y C_ x /\ y e. B)} e. _V
4		hbab1 1874	. . . . . . 7 |- (z e. {y | (y C_ x /\ y e. B)} -> A.y z e. {y | (y C_ x /\ y e. B)})
5		ax-17 1317	. . . . . . . . 9 |- (z e. B -> A.y z e. B)
6	4, 5	hbss 2614	. . . . . . . 8 |- ({y | (y C_ x /\ y e. B)} C_ B -> A.y{y | (y C_ x /\ y e. B)} C_ B)
7		ax-17 1317	. . . . . . . . 9 |- (z e. x -> A.y z e. x)
8	4	hbuni 3183	. . . . . . . . 9 |- (z e. U.{y | (y C_ x /\ y e. B)} -> A.y z e. U.{y | (y C_ x /\ y e. B)})
9	7, 8	hbeq 1995	. . . . . . . 8 |- (x = U.{y | (y C_ x /\ y e. B)} -> A.y x = U.{y | (y C_ x /\ y e. B)})
10	6, 9	hban 1356	. . . . . . 7 |- (({y | (y C_ x /\ y e. B)} C_ B /\ x = U.{y | (y C_ x /\ y e. B)}) -> A.y({y | (y C_ x /\ y e. B)} C_ B /\ x = U.{y | (y C_ x /\ y e. B)}))
11		sseq1 2637	. . . . . . . 8 |- (y = {y | (y C_ x /\ y e. B)} -> (y C_ B <-> {y | (y C_ x /\ y e. B)} C_ B))
12		unieq 3185	. . . . . . . . 9 |- (y = {y | (y C_ x /\ y e. B)} -> U.y = U.{y | (y C_ x /\ y e. B)})
13	12	eqeq2d 1895	. . . . . . . 8 |- (y = {y | (y C_ x /\ y e. B)} -> (x = U.y <-> x = U.{y | (y C_ x /\ y e. B)}))
14	11, 13	anbi12d 690	. . . . . . 7 |- (y = {y | (y C_ x /\ y e. B)} -> ((y C_ B /\ x = U.y) <-> ({y | (y C_ x /\ y e. B)} C_ B /\ x = U.{y | (y C_ x /\ y e. B)})))
15	4, 10, 14	cla4egf 2362	. . . . . 6 |- ({y | (y C_ x /\ y e. B)} e. _V -> (({y | (y C_ x /\ y e. B)} C_ B /\ x = U.{y | (y C_ x /\ y e. B)}) -> E.y(y C_ B /\ x = U.y)))
16	3, 15	ax-mp 7	. . . . 5 |- (({y | (y C_ x /\ y e. B)} C_ B /\ x = U.{y | (y C_ x /\ y e. B)}) -> E.y(y C_ B /\ x = U.y))
17		simpr 350	. . . . . 6 |- ((y C_ x /\ y e. B) -> y e. B)
18	17	abssi 2682	. . . . 5 |- {y | (y C_ x /\ y e. B)} C_ B
19		eltg2 8889	. . . . . . . . . 10 |- (B e. Bases -> (x e. (topGen` B) <-> (x C_ U.B /\ A.w e. x E.y e. B (w e. y /\ y C_ x))))
20	19	simplbda 465	. . . . . . . . 9 |- ((B e. Bases /\ x e. (topGen` B)) -> A.w e. x E.y e. B (w e. y /\ y C_ x))
21		elequ1 1496	. . . . . . . . . . . . 13 |- (w = z -> (w e. y <-> z e. y))
22	21	anbi1d 679	. . . . . . . . . . . 12 |- (w = z -> ((w e. y /\ y C_ x) <-> (z e. y /\ y C_ x)))
23	22	rexbidv 2124	. . . . . . . . . . 11 |- (w = z -> (E.y e. B (w e. y /\ y C_ x) <-> E.y e. B (z e. y /\ y C_ x)))
24	23	rcla4cv 2377	. . . . . . . . . 10 |- (A.w e. x E.y e. B (w e. y /\ y C_ x) -> (z e. x -> E.y e. B (z e. y /\ y C_ x)))
25		df-rex 2110	. . . . . . . . . . 11 |- (E.y e. B (z e. y /\ y C_ x) <-> E.y(y e. B /\ (z e. y /\ y C_ x)))
26		an12 542	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y e. B /\ (z e. y /\ y C_ x)) <-> (z e. y /\ (y e. B /\ y C_ x)))
27		ancom 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((y e. B /\ y C_ x) <-> (y C_ x /\ y e. B))
28	27	anbi2i 538	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z e. y /\ (y e. B /\ y C_ x)) <-> (z e. y /\ (y C_ x /\ y e. B)))
29	26, 28	bitri 190	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y e. B /\ (z e. y /\ y C_ x)) <-> (z e. y /\ (y C_ x /\ y e. B)))
30	29	exbii 1398	. . . . . . . . . . 11 |- (E.y(y e. B /\ (z e. y /\ y C_ x)) <-> E.y(z e. y /\ (y C_ x /\ y e. B)))
31	25, 30	bitri 190	. . . . . . . . . 10 |- (E.y e. B (z e. y /\ y C_ x) <-> E.y(z e. y /\ (y C_ x /\ y e. B)))
32	24, 31	syl6ib 229	. . . . . . . . 9 |- (A.w e. x E.y e. B (w e. y /\ y C_ x) -> (z e. x -> E.y(z e. y /\ (y C_ x /\ y e. B))))
33	20, 32	syl 12	. . . . . . . 8 |- ((B e. Bases /\ x e. (topGen` B)) -> (z e. x -> E.y(z e. y /\ (y C_ x /\ y e. B))))
34		ssel 2615	. . . . . . . . . . 11 |- (y C_ x -> (z e. y -> z e. x))
35	34	impcom 378	. . . . . . . . . 10 |- ((z e. y /\ y C_ x) -> z e. x)
36	35	adantrr 431	. . . . . . . . 9 |- ((z e. y /\ (y C_ x /\ y e. B)) -> z e. x)
37	36	19.23aiv 1674	. . . . . . . 8 |- (E.y(z e. y /\ (y C_ x /\ y e. B)) -> z e. x)
38	33, 37	impbid1 575	. . . . . . 7 |- ((B e. Bases /\ x e. (topGen` B)) -> (z e. x <-> E.y(z e. y /\ (y C_ x /\ y e. B))))
39		eluniab 3189	. . . . . . 7 |- (z e. U.{y | (y C_ x /\ y e. B)} <-> E.y(z e. y /\ (y C_ x /\ y e. B)))
40	38, 39	syl6bbr 597	. . . . . 6 |- ((B e. Bases /\ x e. (topGen` B)) -> (z e. x <-> z e. U.{y | (y C_ x /\ y e. B)}))
41	40	eqrdv 1882	. . . . 5 |- ((B e. Bases /\ x e. (topGen` B)) -> x = U.{y | (y C_ x /\ y e. B)})
42	16, 18, 41	sylancr 526	. . . 4 |- ((B e. Bases /\ x e. (topGen` B)) -> E.y(y C_ B /\ x = U.y))
43	42	ex 402	. . 3 |- (B e. Bases -> (x e. (topGen` B) -> E.y(y C_ B /\ x = U.y)))
44		simprr 451	. . . . . 6 |- ((B e. Bases /\ (y C_ B /\ x = U.y)) -> x = U.y)
45		tgcl 8894	. . . . . . . . 9 |- (B e. Bases -> (topGen` B) e. Top)
46	45	adantr 425	. . . . . . . 8 |- ((B e. Bases /\ y C_ B) -> (topGen` B) e. Top)
47		sstr 2625	. . . . . . . . . 10 |- ((y C_ B /\ B C_ (topGen` B)) -> y C_ (topGen` B))
48		bastg 8892	. . . . . . . . . 10 |- (B e. Bases -> B C_ (topGen` B))
49	47, 48	sylan2 500	. . . . . . . . 9 |- ((y C_ B /\ B e. Bases) -> y C_ (topGen` B))
50	49	ancoms 484	. . . . . . . 8 |- ((B e. Bases /\ y C_ B) -> y C_ (topGen` B))
51		uniopn 8867	. . . . . . . 8 |- (((topGen` B) e. Top /\ y C_ (topGen` B)) -> U.y e. (topGen` B))
52	46, 50, 51	syl11anc 524	. . . . . . 7 |- ((B e. Bases /\ y C_ B) -> U.y e. (topGen` B))
53	52	adantrr 431	. . . . . 6 |- ((B e. Bases /\ (y C_ B /\ x = U.y)) -> U.y e. (topGen` B))
54	44, 53	eqeltrd 1971	. . . . 5 |- ((B e. Bases /\ (y C_ B /\ x = U.y)) -> x e. (topGen` B))
55	54	ex 402	. . . 4 |- (B e. Bases -> ((y C_ B /\ x = U.y) -> x e. (topGen` B)))
56	55	19.23adv 1584	. . 3 |- (B e. Bases -> (E.y(y C_ B /\ x = U.y) -> x e. (topGen` B)))
57	43, 56	impbid 574	. 2 |- (B e. Bases -> (x e. (topGen` B) <-> E.y(y C_ B /\ x = U.y)))
58	57	abbi2dv 2009	1 |- (B e. Bases -> (topGen` B) = {x | E.y(y C_ B /\ x = U.y)})

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  {cab 1871  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  U.cuni 3177  ` cfv 3998  Topctop 8857  Basesctb 8859  topGenctg 8860

This theorem is referenced by:  eltg3 8896

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864

Copyright terms: Public domain