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Theorem tgval2 20019
Description: Definition of a topology generated by a basis in [Munkres] p. 78. Later we show (in tgcl 20033) that  ( topGen `  B ) is indeed a topology (on  U. B; see unitg 20030). (Contributed by NM, 15-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgval2  |-  ( B  e.  V  ->  ( topGen `
 B )  =  { x  |  ( x  C_  U. B  /\  A. y  e.  x  E. z  e.  B  (
y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) } )
Distinct variable groups:    x, y,
z, B    x, V, y, z

Proof of Theorem tgval2
StepHypRef Expression
1 tgval 20018 . 2  |-  ( B  e.  V  ->  ( topGen `
 B )  =  { x  |  x 
C_  U. ( B  i^i  ~P x ) } )
2 inss1 3663 . . . . . . . . 9  |-  ( B  i^i  ~P x ) 
C_  B
32unissi 4234 . . . . . . . 8  |-  U. ( B  i^i  ~P x ) 
C_  U. B
43sseli 3439 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  U. ( B  i^i  ~P x )  ->  y  e.  U. B )
54pm4.71ri 643 . . . . . 6  |-  ( y  e.  U. ( B  i^i  ~P x )  <-> 
( y  e.  U. B  /\  y  e.  U. ( B  i^i  ~P x
) ) )
65ralbii 2830 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  x  y  e.  U. ( B  i^i  ~P x )  <->  A. y  e.  x  ( y  e.  U. B  /\  y  e.  U. ( B  i^i  ~P x ) ) )
7 r19.26 2928 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  x  (
y  e.  U. B  /\  y  e.  U. ( B  i^i  ~P x ) )  <->  ( A. y  e.  x  y  e.  U. B  /\  A. y  e.  x  y  e.  U. ( B  i^i  ~P x ) ) )
86, 7bitri 257 . . . 4  |-  ( A. y  e.  x  y  e.  U. ( B  i^i  ~P x )  <->  ( A. y  e.  x  y  e.  U. B  /\  A. y  e.  x  y  e.  U. ( B  i^i  ~P x ) ) )
9 dfss3 3433 . . . 4  |-  ( x 
C_  U. ( B  i^i  ~P x )  <->  A. y  e.  x  y  e.  U. ( B  i^i  ~P x ) )
10 dfss3 3433 . . . . 5  |-  ( x 
C_  U. B  <->  A. y  e.  x  y  e.  U. B )
11 elin 3628 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( B  i^i  ~P x )  <->  ( z  e.  B  /\  z  e.  ~P x ) )
1211anbi2i 705 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  z  /\  z  e.  ( B  i^i  ~P x ) )  <-> 
( y  e.  z  /\  ( z  e.  B  /\  z  e. 
~P x ) ) )
13 an12 811 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  z  /\  ( z  e.  B  /\  z  e.  ~P x ) )  <->  ( z  e.  B  /\  (
y  e.  z  /\  z  e.  ~P x
) ) )
1412, 13bitri 257 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  z  /\  z  e.  ( B  i^i  ~P x ) )  <-> 
( z  e.  B  /\  ( y  e.  z  /\  z  e.  ~P x ) ) )
1514exbii 1728 . . . . . . . 8  |-  ( E. z ( y  e.  z  /\  z  e.  ( B  i^i  ~P x ) )  <->  E. z
( z  e.  B  /\  ( y  e.  z  /\  z  e.  ~P x ) ) )
16 eluni 4214 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  U. ( B  i^i  ~P x )  <->  E. z ( y  e.  z  /\  z  e.  ( B  i^i  ~P x ) ) )
17 df-rex 2754 . . . . . . . 8  |-  ( E. z  e.  B  ( y  e.  z  /\  z  e.  ~P x
)  <->  E. z ( z  e.  B  /\  (
y  e.  z  /\  z  e.  ~P x
) ) )
1815, 16, 173bitr4i 285 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  U. ( B  i^i  ~P x )  <->  E. z  e.  B  ( y  e.  z  /\  z  e.  ~P x ) )
19 selpw 3969 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ~P x  <->  z  C_  x )
2019anbi2i 705 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  z  /\  z  e.  ~P x
)  <->  ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) )
2120rexbii 2900 . . . . . . 7  |-  ( E. z  e.  B  ( y  e.  z  /\  z  e.  ~P x
)  <->  E. z  e.  B  ( y  e.  z  /\  z  C_  x
) )
2218, 21bitr2i 258 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  B  ( y  e.  z  /\  z  C_  x )  <->  y  e.  U. ( B  i^i  ~P x ) )
2322ralbii 2830 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  x  E. z  e.  B  (
y  e.  z  /\  z  C_  x )  <->  A. y  e.  x  y  e.  U. ( B  i^i  ~P x ) )
2410, 23anbi12i 708 . . . 4  |-  ( ( x  C_  U. B  /\  A. y  e.  x  E. z  e.  B  (
y  e.  z  /\  z  C_  x ) )  <-> 
( A. y  e.  x  y  e.  U. B  /\  A. y  e.  x  y  e.  U. ( B  i^i  ~P x
) ) )
258, 9, 243bitr4i 285 . . 3  |-  ( x 
C_  U. ( B  i^i  ~P x )  <->  ( x  C_ 
U. B  /\  A. y  e.  x  E. z  e.  B  (
y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) )
2625abbii 2577 . 2  |-  { x  |  x  C_  U. ( B  i^i  ~P x ) }  =  { x  |  ( x  C_  U. B  /\  A. y  e.  x  E. z  e.  B  ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) }
271, 26syl6eq 2511 1  |-  ( B  e.  V  ->  ( topGen `
 B )  =  { x  |  ( x  C_  U. B  /\  A. y  e.  x  E. z  e.  B  (
y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 375    = wceq 1454   E.wex 1673    e. wcel 1897   {cab 2447   A.wral 2748   E.wrex 2749    i^i cin 3414    C_ wss 3415   ~Pcpw 3962   U.cuni 4211   ` cfv 5600   topGenctg 15384
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-op 3986  df-uni 4212  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-id 4767  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fv 5608  df-topgen 15390
This theorem is referenced by:  eltg2  20021
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