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Theorem tgval2 18583
Description: Definition of a topology generated by a basis in [Munkres] p. 78. Later we show (in tgcl 18596) that  ( topGen `  B ) is indeed a topology (on  U. B; see unitg 18594). (Contributed by NM, 15-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgval2  |-  ( B  e.  V  ->  ( topGen `
 B )  =  { x  |  ( x  C_  U. B  /\  A. y  e.  x  E. z  e.  B  (
y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) } )
Distinct variable groups:    x, y,
z, B    x, V, y, z

Proof of Theorem tgval2
StepHypRef Expression
1 tgval 18582 . 2  |-  ( B  e.  V  ->  ( topGen `
 B )  =  { x  |  x 
C_  U. ( B  i^i  ~P x ) } )
2 inss1 3591 . . . . . . . . 9  |-  ( B  i^i  ~P x ) 
C_  B
32unissi 4135 . . . . . . . 8  |-  U. ( B  i^i  ~P x ) 
C_  U. B
43sseli 3373 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  U. ( B  i^i  ~P x )  ->  y  e.  U. B )
54pm4.71ri 633 . . . . . 6  |-  ( y  e.  U. ( B  i^i  ~P x )  <-> 
( y  e.  U. B  /\  y  e.  U. ( B  i^i  ~P x
) ) )
65ralbii 2760 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  x  y  e.  U. ( B  i^i  ~P x )  <->  A. y  e.  x  ( y  e.  U. B  /\  y  e.  U. ( B  i^i  ~P x ) ) )
7 r19.26 2870 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  x  (
y  e.  U. B  /\  y  e.  U. ( B  i^i  ~P x ) )  <->  ( A. y  e.  x  y  e.  U. B  /\  A. y  e.  x  y  e.  U. ( B  i^i  ~P x ) ) )
86, 7bitri 249 . . . 4  |-  ( A. y  e.  x  y  e.  U. ( B  i^i  ~P x )  <->  ( A. y  e.  x  y  e.  U. B  /\  A. y  e.  x  y  e.  U. ( B  i^i  ~P x ) ) )
9 dfss3 3367 . . . 4  |-  ( x 
C_  U. ( B  i^i  ~P x )  <->  A. y  e.  x  y  e.  U. ( B  i^i  ~P x ) )
10 dfss3 3367 . . . . 5  |-  ( x 
C_  U. B  <->  A. y  e.  x  y  e.  U. B )
11 elin 3560 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( B  i^i  ~P x )  <->  ( z  e.  B  /\  z  e.  ~P x ) )
1211anbi2i 694 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  z  /\  z  e.  ( B  i^i  ~P x ) )  <-> 
( y  e.  z  /\  ( z  e.  B  /\  z  e. 
~P x ) ) )
13 an12 795 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  z  /\  ( z  e.  B  /\  z  e.  ~P x ) )  <->  ( z  e.  B  /\  (
y  e.  z  /\  z  e.  ~P x
) ) )
1412, 13bitri 249 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  z  /\  z  e.  ( B  i^i  ~P x ) )  <-> 
( z  e.  B  /\  ( y  e.  z  /\  z  e.  ~P x ) ) )
1514exbii 1634 . . . . . . . 8  |-  ( E. z ( y  e.  z  /\  z  e.  ( B  i^i  ~P x ) )  <->  E. z
( z  e.  B  /\  ( y  e.  z  /\  z  e.  ~P x ) ) )
16 eluni 4115 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  U. ( B  i^i  ~P x )  <->  E. z ( y  e.  z  /\  z  e.  ( B  i^i  ~P x ) ) )
17 df-rex 2742 . . . . . . . 8  |-  ( E. z  e.  B  ( y  e.  z  /\  z  e.  ~P x
)  <->  E. z ( z  e.  B  /\  (
y  e.  z  /\  z  e.  ~P x
) ) )
1815, 16, 173bitr4i 277 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  U. ( B  i^i  ~P x )  <->  E. z  e.  B  ( y  e.  z  /\  z  e.  ~P x ) )
19 selpw 3888 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ~P x  <->  z  C_  x )
2019anbi2i 694 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  z  /\  z  e.  ~P x
)  <->  ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) )
2120rexbii 2761 . . . . . . 7  |-  ( E. z  e.  B  ( y  e.  z  /\  z  e.  ~P x
)  <->  E. z  e.  B  ( y  e.  z  /\  z  C_  x
) )
2218, 21bitr2i 250 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  B  ( y  e.  z  /\  z  C_  x )  <->  y  e.  U. ( B  i^i  ~P x ) )
2322ralbii 2760 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  x  E. z  e.  B  (
y  e.  z  /\  z  C_  x )  <->  A. y  e.  x  y  e.  U. ( B  i^i  ~P x ) )
2410, 23anbi12i 697 . . . 4  |-  ( ( x  C_  U. B  /\  A. y  e.  x  E. z  e.  B  (
y  e.  z  /\  z  C_  x ) )  <-> 
( A. y  e.  x  y  e.  U. B  /\  A. y  e.  x  y  e.  U. ( B  i^i  ~P x
) ) )
258, 9, 243bitr4i 277 . . 3  |-  ( x 
C_  U. ( B  i^i  ~P x )  <->  ( x  C_ 
U. B  /\  A. y  e.  x  E. z  e.  B  (
y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) )
2625abbii 2561 . 2  |-  { x  |  x  C_  U. ( B  i^i  ~P x ) }  =  { x  |  ( x  C_  U. B  /\  A. y  e.  x  E. z  e.  B  ( y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) }
271, 26syl6eq 2491 1  |-  ( B  e.  V  ->  ( topGen `
 B )  =  { x  |  ( x  C_  U. B  /\  A. y  e.  x  E. z  e.  B  (
y  e.  z  /\  z  C_  x ) ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   {cab 2429   A.wral 2736   E.wrex 2737    i^i cin 3348    C_ wss 3349   ~Pcpw 3881   U.cuni 4112   ` cfv 5439   topGenctg 14397
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fv 5447  df-topgen 14403
This theorem is referenced by:  eltg2  18585
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