Theorem tgval 8886

Description: The topology generated by a basis.

Assertion

Ref	Expression
tgval	|- (B e. Bases -> (topGen` B) = {x | x C_ U.(B i^i ~Px)})

Distinct variable group:   x,B

Proof of Theorem tgval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexg 3795	. . 3 |- (B e. Bases -> U.B e. _V)
2		abssexg 3490	. . 3 |- (U.B e. _V -> {x | (x C_ U.B /\ x C_ U.~Px)} e. _V)
3		uniin 3197	. . . . . . 7 |- U.(B i^i ~Px) C_ (U.B i^i U.~Px)
4		sstr 2625	. . . . . . 7 |- ((x C_ U.(B i^i ~Px) /\ U.(B i^i ~Px) C_ (U.B i^i U.~Px)) -> x C_ (U.B i^i U.~Px))
5	3, 4	mpan2 760	. . . . . 6 |- (x C_ U.(B i^i ~Px) -> x C_ (U.B i^i U.~Px))
6		ssin 2814	. . . . . 6 |- ((x C_ U.B /\ x C_ U.~Px) <-> x C_ (U.B i^i U.~Px))
7	5, 6	sylibr 217	. . . . 5 |- (x C_ U.(B i^i ~Px) -> (x C_ U.B /\ x C_ U.~Px))
8	7	ss2abi 2679	. . . 4 |- {x | x C_ U.(B i^i ~Px)} C_ {x | (x C_ U.B /\ x C_ U.~Px)}
9		ssexg 3457	. . . 4 |- (({x | x C_ U.(B i^i ~Px)} C_ {x | (x C_ U.B /\ x C_ U.~Px)} /\ {x | (x C_ U.B /\ x C_ U.~Px)} e. _V) -> {x | x C_ U.(B i^i ~Px)} e. _V)
10	8, 9	mpan 759	. . 3 |- ({x | (x C_ U.B /\ x C_ U.~Px)} e. _V -> {x | x C_ U.(B i^i ~Px)} e. _V)
11	1, 2, 10	3syl 24	. 2 |- (B e. Bases -> {x | x C_ U.(B i^i ~Px)} e. _V)
12		ineq1 2789	. . . . . 6 |- (y = B -> (y i^i ~Px) = (B i^i ~Px))
13	12	unieqd 3188	. . . . 5 |- (y = B -> U.(y i^i ~Px) = U.(B i^i ~Px))
14	13	sseq2d 2645	. . . 4 |- (y = B -> (x C_ U.(y i^i ~Px) <-> x C_ U.(B i^i ~Px)))
15	14	abbidv 2008	. . 3 |- (y = B -> {x | x C_ U.(y i^i ~Px)} = {x | x C_ U.(B i^i ~Px)})
16		df-topgen 8864	. . 3 |- topGen = {<.y, z>. | (y e. Bases /\ z = {x | x C_ U.(y i^i ~Px)})}
17	15, 16	fvopab4g 4742	. 2 |- ((B e. Bases /\ {x | x C_ U.(B i^i ~Px)} e. _V) -> (topGen` B) = {x | x C_ U.(B i^i ~Px)})
18	11, 17	mpdan 768	1 |- (B e. Bases -> (topGen` B) = {x | x C_ U.(B i^i ~Px)})

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  {cab 1871  _Vcvv 2292   i^i cin 2592   C_ wss 2593  ~Pcpw 3032  U.cuni 3177  ` cfv 3998  Basesctb 8859  topGenctg 8860

This theorem is referenced by:  tgval2 8887  eltg 8888

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-topgen 8864

Copyright terms: Public domain