MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgtopon Structured version   Unicode version

Theorem tgtopon 18701
Description: A basis generates a topology on  U. B. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgtopon  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( topGen `  B
)  e.  (TopOn `  U. B ) )

Proof of Theorem tgtopon
StepHypRef Expression
1 tgcl 18699 . 2  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( topGen `  B
)  e.  Top )
2 unitg 18697 . . 3  |-  ( B  e.  TopBases  ->  U. ( topGen `  B
)  =  U. B
)
32eqcomd 2459 . 2  |-  ( B  e.  TopBases  ->  U. B  =  U. ( topGen `  B )
)
4 istopon 18655 . 2  |-  ( (
topGen `  B )  e.  (TopOn `  U. B )  <-> 
( ( topGen `  B
)  e.  Top  /\  U. B  =  U. ( topGen `
 B ) ) )
51, 3, 4sylanbrc 664 1  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( topGen `  B
)  e.  (TopOn `  U. B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   U.cuni 4192   ` cfv 5519   topGenctg 14487   Topctop 18623  TopOnctopon 18624   TopBasesctb 18627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-op 3985  df-uni 4193  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-id 4737  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fv 5527  df-topgen 14493  df-top 18628  df-bases 18630  df-topon 18631
This theorem is referenced by:  ordttopon  18922  tgqtop  19410  alexsublem  19741  alexsub  19742  mopntopon  20139  topjoin  28727
  Copyright terms: Public domain W3C validator