MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgtopon Structured version   Unicode version

Theorem tgtopon 19239
Description: A basis generates a topology on  U. B. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgtopon  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( topGen `  B
)  e.  (TopOn `  U. B ) )

Proof of Theorem tgtopon
StepHypRef Expression
1 tgcl 19237 . 2  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( topGen `  B
)  e.  Top )
2 unitg 19235 . . 3  |-  ( B  e.  TopBases  ->  U. ( topGen `  B
)  =  U. B
)
32eqcomd 2475 . 2  |-  ( B  e.  TopBases  ->  U. B  =  U. ( topGen `  B )
)
4 istopon 19193 . 2  |-  ( (
topGen `  B )  e.  (TopOn `  U. B )  <-> 
( ( topGen `  B
)  e.  Top  /\  U. B  =  U. ( topGen `
 B ) ) )
51, 3, 4sylanbrc 664 1  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( topGen `  B
)  e.  (TopOn `  U. B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   U.cuni 4245   ` cfv 5586   topGenctg 14689   Topctop 19161  TopOnctopon 19162   TopBasesctb 19165
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fv 5594  df-topgen 14695  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169
This theorem is referenced by:  ordttopon  19460  tgqtop  19948  alexsublem  20279  alexsub  20280  mopntopon  20677  topjoin  29786
  Copyright terms: Public domain W3C validator