MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgtopon Structured version   Unicode version

Theorem tgtopon 19763
Description: A basis generates a topology on  U. B. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgtopon  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( topGen `  B
)  e.  (TopOn `  U. B ) )

Proof of Theorem tgtopon
StepHypRef Expression
1 tgcl 19761 . 2  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( topGen `  B
)  e.  Top )
2 unitg 19758 . . 3  |-  ( B  e.  TopBases  ->  U. ( topGen `  B
)  =  U. B
)
32eqcomd 2410 . 2  |-  ( B  e.  TopBases  ->  U. B  =  U. ( topGen `  B )
)
4 istopon 19716 . 2  |-  ( (
topGen `  B )  e.  (TopOn `  U. B )  <-> 
( ( topGen `  B
)  e.  Top  /\  U. B  =  U. ( topGen `
 B ) ) )
51, 3, 4sylanbrc 662 1  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( topGen `  B
)  e.  (TopOn `  U. B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842   U.cuni 4190   ` cfv 5568   topGenctg 15050   Topctop 19684  TopOnctopon 19685   TopBasesctb 19688
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fv 5576  df-topgen 15056  df-top 19689  df-bases 19691  df-topon 19692
This theorem is referenced by:  ordttopon  19985  tgqtop  20503  alexsublem  20834  alexsub  20835  mopntopon  21232  topjoin  30580  istoprelowl  31264
  Copyright terms: Public domain W3C validator