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Theorem tgss2 18725
Description: A criterion for determining whether one topology is finer than another, based on a comparison of their bases. Lemma 2.2 of [Munkres] p. 80. (Contributed by NM, 20-Jul-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgss2  |-  ( ( B  e.  V  /\  U. B  =  U. C
)  ->  ( ( topGen `
 B )  C_  ( topGen `  C )  <->  A. x  e.  U. B A. y  e.  B  ( x  e.  y  ->  E. z  e.  C  ( x  e.  z  /\  z  C_  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, B    x, C, y, z    x, V, y
Allowed substitution hint:    V( z)

Proof of Theorem tgss2
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  V  /\  U. B  =  U. C
)  ->  U. B  = 
U. C )
2 uniexg 6488 . . . . . 6  |-  ( B  e.  V  ->  U. B  e.  _V )
32adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  V  /\  U. B  =  U. C
)  ->  U. B  e. 
_V )
41, 3eqeltrrd 2543 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  U. B  =  U. C
)  ->  U. C  e. 
_V )
5 uniexb 6497 . . . 4  |-  ( C  e.  _V  <->  U. C  e. 
_V )
64, 5sylibr 212 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  U. B  =  U. C
)  ->  C  e.  _V )
7 tgss3 18724 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  _V )  ->  ( ( topGen `  B
)  C_  ( topGen `  C )  <->  B  C_  ( topGen `
 C ) ) )
86, 7syldan 470 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  U. B  =  U. C
)  ->  ( ( topGen `
 B )  C_  ( topGen `  C )  <->  B 
C_  ( topGen `  C
) ) )
9 eltg2b 18697 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  _V  ->  (
y  e.  ( topGen `  C )  <->  A. x  e.  y  E. z  e.  C  ( x  e.  z  /\  z  C_  y ) ) )
106, 9syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  V  /\  U. B  =  U. C
)  ->  ( y  e.  ( topGen `  C )  <->  A. x  e.  y  E. z  e.  C  (
x  e.  z  /\  z  C_  y ) ) )
11 elunii 4205 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  U. B
)
1211ancoms 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  B  /\  x  e.  y )  ->  x  e.  U. B
)
13 biimt 335 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  U. B  -> 
( E. z  e.  C  ( x  e.  z  /\  z  C_  y )  <->  ( x  e.  U. B  ->  E. z  e.  C  ( x  e.  z  /\  z  C_  y ) ) ) )
1412, 13syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  B  /\  x  e.  y )  ->  ( E. z  e.  C  ( x  e.  z  /\  z  C_  y )  <->  ( x  e.  U. B  ->  E. z  e.  C  ( x  e.  z  /\  z  C_  y ) ) ) )
1514ralbidva 2844 . . . . . 6  |-  ( y  e.  B  ->  ( A. x  e.  y  E. z  e.  C  ( x  e.  z  /\  z  C_  y )  <->  A. x  e.  y 
( x  e.  U. B  ->  E. z  e.  C  ( x  e.  z  /\  z  C_  y ) ) ) )
1610, 15sylan9bb 699 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  U. B  =  U. C )  /\  y  e.  B )  ->  (
y  e.  ( topGen `  C )  <->  A. x  e.  y  ( x  e.  U. B  ->  E. z  e.  C  ( x  e.  z  /\  z  C_  y ) ) ) )
17 ralcom3 2992 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  y  (
x  e.  U. B  ->  E. z  e.  C  ( x  e.  z  /\  z  C_  y ) )  <->  A. x  e.  U. B ( x  e.  y  ->  E. z  e.  C  ( x  e.  z  /\  z  C_  y ) ) )
1816, 17syl6bb 261 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  U. B  =  U. C )  /\  y  e.  B )  ->  (
y  e.  ( topGen `  C )  <->  A. x  e.  U. B ( x  e.  y  ->  E. z  e.  C  ( x  e.  z  /\  z  C_  y ) ) ) )
1918ralbidva 2844 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  U. B  =  U. C
)  ->  ( A. y  e.  B  y  e.  ( topGen `  C )  <->  A. y  e.  B  A. x  e.  U. B ( x  e.  y  ->  E. z  e.  C  ( x  e.  z  /\  z  C_  y ) ) ) )
20 dfss3 3455 . . 3  |-  ( B 
C_  ( topGen `  C
)  <->  A. y  e.  B  y  e.  ( topGen `  C ) )
21 ralcom 2987 . . 3  |-  ( A. x  e.  U. B A. y  e.  B  (
x  e.  y  ->  E. z  e.  C  ( x  e.  z  /\  z  C_  y ) )  <->  A. y  e.  B  A. x  e.  U. B
( x  e.  y  ->  E. z  e.  C  ( x  e.  z  /\  z  C_  y ) ) )
2219, 20, 213bitr4g 288 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  U. B  =  U. C
)  ->  ( B  C_  ( topGen `  C )  <->  A. x  e.  U. B A. y  e.  B  ( x  e.  y  ->  E. z  e.  C  ( x  e.  z  /\  z  C_  y ) ) ) )
238, 22bitrd 253 1  |-  ( ( B  e.  V  /\  U. B  =  U. C
)  ->  ( ( topGen `
 B )  C_  ( topGen `  C )  <->  A. x  e.  U. B A. y  e.  B  ( x  e.  y  ->  E. z  e.  C  ( x  e.  z  /\  z  C_  y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   E.wrex 2800   _Vcvv 3078    C_ wss 3437   U.cuni 4200   ` cfv 5527   topGenctg 14496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fv 5535  df-topgen 14502
This theorem is referenced by:  metss  20216
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