Theorem tgss2 20013

Description: A criterion for determining whether one topology is finer than another, based on a comparison of their bases. Lemma 2.2 of [Munkres] p. 80. (Contributed by NM, 20-Jul-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tgss2	|- ( ( B e. V /\ U. B = U. C ) -> ( ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) <-> A. x e. U. B A. y e. B ( x e. y -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, B   x, C, y, z   x, V, y

Allowed substitution hint:   V( z)

Proof of Theorem tgss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 467	. . . . 5 |- ( ( B e. V /\ U. B = U. C ) -> U. B = U. C )
2		uniexg 6575	. . . . . 6 |- ( B e. V -> U. B e. _V )
3	2	adantr 471	. . . . 5 |- ( ( B e. V /\ U. B = U. C ) -> U. B e. _V )
4	1, 3	eqeltrrd 2530	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ U. B = U. C ) -> U. C e. _V )
5		uniexb 6588	. . . 4 |- ( C e. _V <-> U. C e. _V )
6	4, 5	sylibr 217	. . 3 |- ( ( B e. V /\ U. B = U. C ) -> C e. _V )
7		tgss3 20012	. . 3 |- ( ( B e. V /\ C e. _V ) -> ( ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) <-> B C_ ( topGen ` C ) ) )
8	6, 7	syldan 477	. 2 |- ( ( B e. V /\ U. B = U. C ) -> ( ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) <-> B C_ ( topGen ` C ) ) )
9		eltg2b 19984	. . . . . . 7 |- ( C e. _V -> ( y e. ( topGen ` C ) <-> A. x e. y E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) )
10	6, 9	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( B e. V /\ U. B = U. C ) -> ( y e. ( topGen ` C ) <-> A. x e. y E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) )
11		elunii 4172	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. y /\ y e. B ) -> x e. U. B )
12	11	ancoms 459	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. B /\ x e. y ) -> x e. U. B )
13		biimt 341	. . . . . . . 8 |- ( x e. U. B -> ( E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) <-> ( x e. U. B -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) )
14	12, 13	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( y e. B /\ x e. y ) -> ( E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) <-> ( x e. U. B -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) )
15	14	ralbidva 2808	. . . . . 6 |- ( y e. B -> ( A. x e. y E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) <-> A. x e. y ( x e. U. B -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) )
16	10, 15	sylan9bb 711	. . . . 5 |- ( ( ( B e. V /\ U. B = U. C ) /\ y e. B ) -> ( y e. ( topGen ` C ) <-> A. x e. y ( x e. U. B -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) )
17		ralcom3 2923	. . . . 5 |- ( A. x e. y ( x e. U. B -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) <-> A. x e. U. B ( x e. y -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) )
18	16, 17	syl6bb 269	. . . 4 |- ( ( ( B e. V /\ U. B = U. C ) /\ y e. B ) -> ( y e. ( topGen ` C ) <-> A. x e. U. B ( x e. y -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) )
19	18	ralbidva 2808	. . 3 |- ( ( B e. V /\ U. B = U. C ) -> ( A. y e. B y e. ( topGen ` C ) <-> A. y e. B A. x e. U. B ( x e. y -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) )
20		dfss3 3389	. . 3 |- ( B C_ ( topGen ` C ) <-> A. y e. B y e. ( topGen ` C ) )
21		ralcom 2918	. . 3 |- ( A. x e. U. B A. y e. B ( x e. y -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) <-> A. y e. B A. x e. U. B ( x e. y -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) )
22	19, 20, 21	3bitr4g 296	. 2 |- ( ( B e. V /\ U. B = U. C ) -> ( B C_ ( topGen ` C ) <-> A. x e. U. B A. y e. B ( x e. y -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) )
23	8, 22	bitrd 261	1 |- ( ( B e. V /\ U. B = U. C ) -> ( ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) <-> A. x e. U. B A. y e. B ( x e. y -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   = wceq 1447   e. wcel 1890   A.wral 2736   E.wrex 2737   _Vcvv 3012   C_ wss 3371   U.cuni 4167   ` cfv 5560   topGenctg 15346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1672  ax-4 1685  ax-5 1761  ax-6 1808  ax-7 1854  ax-8 1892  ax-9 1899  ax-10 1918  ax-11 1923  ax-12 1936  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4496  ax-nul 4505  ax-pow 4553  ax-pr 4611  ax-un 6570

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 988  df-tru 1450  df-ex 1667  df-nf 1671  df-sb 1801  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 3014  df-sbc 3235  df-dif 3374  df-un 3376  df-in 3378  df-ss 3385  df-nul 3699  df-if 3849  df-pw 3920  df-sn 3936  df-pr 3938  df-op 3942  df-uni 4168  df-iun 4249  df-br 4374  df-opab 4433  df-mpt 4434  df-id 4726  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-iota 5524  df-fun 5562  df-fv 5568  df-topgen 15352

This theorem is referenced by:  metss  21533  relowlssretop  31767  relowlpssretop  31768