Theorem tgss2 19295

Description: A criterion for determining whether one topology is finer than another, based on a comparison of their bases. Lemma 2.2 of [Munkres] p. 80. (Contributed by NM, 20-Jul-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tgss2	|- ( ( B e. V /\ U. B = U. C ) -> ( ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) <-> A. x e. U. B A. y e. B ( x e. y -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, B   x, C, y, z   x, V, y

Allowed substitution hint:   V( z)

Proof of Theorem tgss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( B e. V /\ U. B = U. C ) -> U. B = U. C )
2		uniexg 6582	. . . . . 6 |- ( B e. V -> U. B e. _V )
3	2	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( B e. V /\ U. B = U. C ) -> U. B e. _V )
4	1, 3	eqeltrrd 2556	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ U. B = U. C ) -> U. C e. _V )
5		uniexb 6595	. . . 4 |- ( C e. _V <-> U. C e. _V )
6	4, 5	sylibr 212	. . 3 |- ( ( B e. V /\ U. B = U. C ) -> C e. _V )
7		tgss3 19294	. . 3 |- ( ( B e. V /\ C e. _V ) -> ( ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) <-> B C_ ( topGen ` C ) ) )
8	6, 7	syldan 470	. 2 |- ( ( B e. V /\ U. B = U. C ) -> ( ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) <-> B C_ ( topGen ` C ) ) )
9		eltg2b 19267	. . . . . . 7 |- ( C e. _V -> ( y e. ( topGen ` C ) <-> A. x e. y E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) )
10	6, 9	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( B e. V /\ U. B = U. C ) -> ( y e. ( topGen ` C ) <-> A. x e. y E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) )
11		elunii 4250	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. y /\ y e. B ) -> x e. U. B )
12	11	ancoms 453	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. B /\ x e. y ) -> x e. U. B )
13		biimt 335	. . . . . . . 8 |- ( x e. U. B -> ( E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) <-> ( x e. U. B -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) )
14	12, 13	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( y e. B /\ x e. y ) -> ( E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) <-> ( x e. U. B -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) )
15	14	ralbidva 2900	. . . . . 6 |- ( y e. B -> ( A. x e. y E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) <-> A. x e. y ( x e. U. B -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) )
16	10, 15	sylan9bb 699	. . . . 5 |- ( ( ( B e. V /\ U. B = U. C ) /\ y e. B ) -> ( y e. ( topGen ` C ) <-> A. x e. y ( x e. U. B -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) )
17		ralcom3 3027	. . . . 5 |- ( A. x e. y ( x e. U. B -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) <-> A. x e. U. B ( x e. y -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) )
18	16, 17	syl6bb 261	. . . 4 |- ( ( ( B e. V /\ U. B = U. C ) /\ y e. B ) -> ( y e. ( topGen ` C ) <-> A. x e. U. B ( x e. y -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) )
19	18	ralbidva 2900	. . 3 |- ( ( B e. V /\ U. B = U. C ) -> ( A. y e. B y e. ( topGen ` C ) <-> A. y e. B A. x e. U. B ( x e. y -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) )
20		dfss3 3494	. . 3 |- ( B C_ ( topGen ` C ) <-> A. y e. B y e. ( topGen ` C ) )
21		ralcom 3022	. . 3 |- ( A. x e. U. B A. y e. B ( x e. y -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) <-> A. y e. B A. x e. U. B ( x e. y -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) )
22	19, 20, 21	3bitr4g 288	. 2 |- ( ( B e. V /\ U. B = U. C ) -> ( B C_ ( topGen ` C ) <-> A. x e. U. B A. y e. B ( x e. y -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) )
23	8, 22	bitrd 253	1 |- ( ( B e. V /\ U. B = U. C ) -> ( ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) <-> A. x e. U. B A. y e. B ( x e. y -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   C_ wss 3476   U.cuni 4245   ` cfv 5588   topGenctg 14696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fv 5596  df-topgen 14702

This theorem is referenced by:  metss  20838