MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgss Structured version   Unicode version

Theorem tgss 19447
Description: Subset relation for generated topologies. (Contributed by NM, 7-May-2007.)
Assertion
Ref Expression
tgss  |-  ( ( C  e.  V  /\  B  C_  C )  -> 
( topGen `  B )  C_  ( topGen `  C )
)

Proof of Theorem tgss
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrin 3708 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  C  ->  ( B  i^i  ~P x ) 
C_  ( C  i^i  ~P x ) )
21unissd 4258 . . . . 5  |-  ( B 
C_  C  ->  U. ( B  i^i  ~P x ) 
C_  U. ( C  i^i  ~P x ) )
3 sstr2 3496 . . . . 5  |-  ( x 
C_  U. ( B  i^i  ~P x )  ->  ( U. ( B  i^i  ~P x )  C_  U. ( C  i^i  ~P x )  ->  x  C_  U. ( C  i^i  ~P x ) ) )
42, 3syl5com 30 . . . 4  |-  ( B 
C_  C  ->  (
x  C_  U. ( B  i^i  ~P x )  ->  x  C_  U. ( C  i^i  ~P x ) ) )
54adantl 466 . . 3  |-  ( ( C  e.  V  /\  B  C_  C )  -> 
( x  C_  U. ( B  i^i  ~P x )  ->  x  C_  U. ( C  i^i  ~P x ) ) )
6 ssexg 4583 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  C  /\  C  e.  V )  ->  B  e.  _V )
76ancoms 453 . . . 4  |-  ( ( C  e.  V  /\  B  C_  C )  ->  B  e.  _V )
8 eltg 19435 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  (
x  e.  ( topGen `  B )  <->  x  C_  U. ( B  i^i  ~P x ) ) )
97, 8syl 16 . . 3  |-  ( ( C  e.  V  /\  B  C_  C )  -> 
( x  e.  (
topGen `  B )  <->  x  C_  U. ( B  i^i  ~P x ) ) )
10 eltg 19435 . . . 4  |-  ( C  e.  V  ->  (
x  e.  ( topGen `  C )  <->  x  C_  U. ( C  i^i  ~P x ) ) )
1110adantr 465 . . 3  |-  ( ( C  e.  V  /\  B  C_  C )  -> 
( x  e.  (
topGen `  C )  <->  x  C_  U. ( C  i^i  ~P x ) ) )
125, 9, 113imtr4d 268 . 2  |-  ( ( C  e.  V  /\  B  C_  C )  -> 
( x  e.  (
topGen `  B )  ->  x  e.  ( topGen `  C ) ) )
1312ssrdv 3495 1  |-  ( ( C  e.  V  /\  B  C_  C )  -> 
( topGen `  B )  C_  ( topGen `  C )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1804   _Vcvv 3095    i^i cin 3460    C_ wss 3461   ~Pcpw 3997   U.cuni 4234   ` cfv 5578   topGenctg 14816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fv 5586  df-topgen 14822
This theorem is referenced by:  tgidm  19459  tgss3  19465  basgen  19467  2basgen  19469  tgfiss  19470  bastop1  19472  lecldbas  19697  txss12  20083  xrtgioo  21288
  Copyright terms: Public domain W3C validator