Theorem tgss 8906

Description: Subset relation for generated topologies.

Assertion

Ref	Expression
tgss	|- ((B e. Bases /\ C e. Bases /\ B C_ C) -> (topGen` B) C_ (topGen` C))

Proof of Theorem tgss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstr2 2623	. . . . 5 |- (x C_ U.(B i^i ~Px) -> (U.(B i^i ~Px) C_ U.(C i^i ~Px) -> x C_ U.(C i^i ~Px)))
2		ssrin 2817	. . . . . 6 |- (B C_ C -> (B i^i ~Px) C_ (C i^i ~Px))
3		uniss 3199	. . . . . 6 |- ((B i^i ~Px) C_ (C i^i ~Px) -> U.(B i^i ~Px) C_ U.(C i^i ~Px))
4	2, 3	syl 12	. . . . 5 |- (B C_ C -> U.(B i^i ~Px) C_ U.(C i^i ~Px))
5	1, 4	syl5com 63	. . . 4 |- (B C_ C -> (x C_ U.(B i^i ~Px) -> x C_ U.(C i^i ~Px)))
6	5	3ad2ant3 899	. . 3 |- ((B e. Bases /\ C e. Bases /\ B C_ C) -> (x C_ U.(B i^i ~Px) -> x C_ U.(C i^i ~Px)))
7		eltg 8888	. . . 4 |- (B e. Bases -> (x e. (topGen` B) <-> x C_ U.(B i^i ~Px)))
8	7	3ad2ant1 897	. . 3 |- ((B e. Bases /\ C e. Bases /\ B C_ C) -> (x e. (topGen` B) <-> x C_ U.(B i^i ~Px)))
9		eltg 8888	. . . 4 |- (C e. Bases -> (x e. (topGen` C) <-> x C_ U.(C i^i ~Px)))
10	9	3ad2ant2 898	. . 3 |- ((B e. Bases /\ C e. Bases /\ B C_ C) -> (x e. (topGen` C) <-> x C_ U.(C i^i ~Px)))
11	6, 8, 10	3imtr4d 602	. 2 |- ((B e. Bases /\ C e. Bases /\ B C_ C) -> (x e. (topGen` B) -> x e. (topGen` C)))
12	11	ssrdv 2622	1 |- ((B e. Bases /\ C e. Bases /\ B C_ C) -> (topGen` B) C_ (topGen` C))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ w3a 858   e. wcel 1300   i^i cin 2592   C_ wss 2593  ~Pcpw 3032  U.cuni 3177  ` cfv 3998  Basesctb 8859  topGenctg 8860

This theorem is referenced by:  2basgen 8911  2ndcsb 15476  topjoin 15527  txmet 15925

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-topgen 8864

Copyright terms: Public domain