Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tgrpopr Structured version   Unicode version

Theorem tgrpopr 34710
Description: The group operation of the translation group is function composition. (Contributed by NM, 5-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tgrpset.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
tgrpset.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
tgrpset.g  |-  G  =  ( ( TGrp `  K
) `  W )
tgrp.o  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
tgrpopr  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  .+  =  ( f  e.  T ,  g  e.  T  |->  ( f  o.  g ) ) )
Distinct variable groups:    f, g, K    T, f, g    f, W, g
Allowed substitution hints:    .+ ( f, g)    G( f, g)    H( f, g)    V( f, g)

Proof of Theorem tgrpopr
StepHypRef Expression
1 tgrpset.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 tgrpset.t . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
3 tgrpset.g . . . 4  |-  G  =  ( ( TGrp `  K
) `  W )
41, 2, 3tgrpset 34708 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  G  =  { <. (
Base `  ndx ) ,  T >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  T ,  g  e.  T  |->  ( f  o.  g
) ) >. } )
54fveq2d 5798 . 2  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  ( +g  `  G
)  =  ( +g  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  T >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  T ,  g  e.  T  |->  ( f  o.  g ) ) >. } ) )
6 tgrp.o . 2  |-  .+  =  ( +g  `  G )
7 fvex 5804 . . . . 5  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  e.  _V
82, 7eqeltri 2536 . . . 4  |-  T  e. 
_V
98, 8mpt2ex 6755 . . 3  |-  ( f  e.  T ,  g  e.  T  |->  ( f  o.  g ) )  e.  _V
10 eqid 2452 . . . 4  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  T >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  T ,  g  e.  T  |->  ( f  o.  g
) ) >. }  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  T >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  T ,  g  e.  T  |->  ( f  o.  g ) ) >. }
1110grpplusg 14393 . . 3  |-  ( ( f  e.  T , 
g  e.  T  |->  ( f  o.  g ) )  e.  _V  ->  ( f  e.  T , 
g  e.  T  |->  ( f  o.  g ) )  =  ( +g  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  T >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  T ,  g  e.  T  |->  ( f  o.  g ) ) >. } ) )
129, 11ax-mp 5 . 2  |-  ( f  e.  T ,  g  e.  T  |->  ( f  o.  g ) )  =  ( +g  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  T >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  T ,  g  e.  T  |->  ( f  o.  g ) ) >. } )
135, 6, 123eqtr4g 2518 1  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  .+  =  ( f  e.  T ,  g  e.  T  |->  ( f  o.  g ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3072   {cpr 3982   <.cop 3986    o. ccom 4947   ` cfv 5521    |-> cmpt2 6197   ndxcnx 14284   Basecbs 14287   +g cplusg 14352   LHypclh 33947   LTrncltrn 34064   TGrpctgrp 34705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-oadd 7029  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-2 10486  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968  df-fz 11550  df-struct 14289  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-plusg 14365  df-tgrp 34706
This theorem is referenced by:  tgrpov  34711
  Copyright terms: Public domain W3C validator