Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tgrpopr Structured version   Unicode version

Theorem tgrpopr 36886
Description: The group operation of the translation group is function composition. (Contributed by NM, 5-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tgrpset.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
tgrpset.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
tgrpset.g  |-  G  =  ( ( TGrp `  K
) `  W )
tgrp.o  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
tgrpopr  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  .+  =  ( f  e.  T ,  g  e.  T  |->  ( f  o.  g ) ) )
Distinct variable groups:    f, g, K    T, f, g    f, W, g
Allowed substitution hints:    .+ ( f, g)    G( f, g)    H( f, g)    V( f, g)

Proof of Theorem tgrpopr
StepHypRef Expression
1 tgrpset.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 tgrpset.t . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
3 tgrpset.g . . . 4  |-  G  =  ( ( TGrp `  K
) `  W )
41, 2, 3tgrpset 36884 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  G  =  { <. (
Base `  ndx ) ,  T >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  T ,  g  e.  T  |->  ( f  o.  g
) ) >. } )
54fveq2d 5778 . 2  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  ( +g  `  G
)  =  ( +g  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  T >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  T ,  g  e.  T  |->  ( f  o.  g ) ) >. } ) )
6 tgrp.o . 2  |-  .+  =  ( +g  `  G )
7 fvex 5784 . . . . 5  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  e.  _V
82, 7eqeltri 2466 . . . 4  |-  T  e. 
_V
98, 8mpt2ex 6776 . . 3  |-  ( f  e.  T ,  g  e.  T  |->  ( f  o.  g ) )  e.  _V
10 eqid 2382 . . . 4  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  T >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  T ,  g  e.  T  |->  ( f  o.  g
) ) >. }  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  T >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  T ,  g  e.  T  |->  ( f  o.  g ) ) >. }
1110grpplusg 14747 . . 3  |-  ( ( f  e.  T , 
g  e.  T  |->  ( f  o.  g ) )  e.  _V  ->  ( f  e.  T , 
g  e.  T  |->  ( f  o.  g ) )  =  ( +g  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  T >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  T ,  g  e.  T  |->  ( f  o.  g ) ) >. } ) )
129, 11ax-mp 5 . 2  |-  ( f  e.  T ,  g  e.  T  |->  ( f  o.  g ) )  =  ( +g  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  T >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  T ,  g  e.  T  |->  ( f  o.  g ) ) >. } )
135, 6, 123eqtr4g 2448 1  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  .+  =  ( f  e.  T ,  g  e.  T  |->  ( f  o.  g ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826   _Vcvv 3034   {cpr 3946   <.cop 3950    o. ccom 4917   ` cfv 5496    |-> cmpt2 6198   ndxcnx 14631   Basecbs 14634   +g cplusg 14702   LHypclh 36121   LTrncltrn 36238   TGrpctgrp 36881
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-fz 11594  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-plusg 14715  df-tgrp 36882
This theorem is referenced by:  tgrpov  36887
  Copyright terms: Public domain W3C validator