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Theorem tgrpgrplem 36209
Description: Lemma for tgrpgrp 36210. (Contributed by NM, 6-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tgrpset.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
tgrpset.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
tgrpset.g  |-  G  =  ( ( TGrp `  K
) `  W )
tgrp.o  |-  .+  =  ( +g  `  G )
tgrp.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
Assertion
Ref Expression
tgrpgrplem  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  G  e.  Grp )

Proof of Theorem tgrpgrplem
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgrpset.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 tgrpset.t . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
3 tgrpset.g . . . 4  |-  G  =  ( ( TGrp `  K
) `  W )
4 eqid 2443 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
51, 2, 3, 4tgrpbase 36206 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( Base `  G
)  =  T )
65eqcomd 2451 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  T  =  ( Base `  G ) )
7 tgrp.o . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
87a1i 11 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  .+  =  ( +g  `  G ) )
91, 2, 3, 7tgrpov 36208 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T
) )  ->  (
x  .+  y )  =  ( x  o.  y ) )
1093expa 1197 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( x  o.  y ) )
11103impb 1193 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  T  /\  y  e.  T
)  ->  ( x  .+  y )  =  ( x  o.  y ) )
121, 2ltrnco 36179 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  T  /\  y  e.  T
)  ->  ( x  o.  y )  e.  T
)
1311, 12eqeltrd 2531 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  T  /\  y  e.  T
)  ->  ( x  .+  y )  e.  T
)
14 coass 5516 . . 3  |-  ( ( x  o.  y )  o.  z )  =  ( x  o.  (
y  o.  z ) )
15 simpll 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  ->  K  e.  HL )
16 simplr 755 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  ->  W  e.  H )
17 simpr1 1003 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  ->  x  e.  T )
18 simpr2 1004 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  -> 
y  e.  T )
1915, 16, 17, 18, 9syl112anc 1233 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( x  o.  y ) )
2019oveq1d 6296 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( ( x  o.  y ) 
.+  z ) )
21 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2221, 17, 18, 12syl3anc 1229 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  -> 
( x  o.  y
)  e.  T )
23 simpr3 1005 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  -> 
z  e.  T )
241, 2, 3, 7tgrpov 36208 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  ( ( x  o.  y )  e.  T  /\  z  e.  T
) )  ->  (
( x  o.  y
)  .+  z )  =  ( ( x  o.  y )  o.  z ) )
2515, 16, 22, 23, 24syl112anc 1233 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  -> 
( ( x  o.  y )  .+  z
)  =  ( ( x  o.  y )  o.  z ) )
2620, 25eqtrd 2484 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( ( x  o.  y )  o.  z ) )
271, 2, 3, 7tgrpov 36208 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T
) )  ->  (
y  .+  z )  =  ( y  o.  z ) )
2815, 16, 18, 23, 27syl112anc 1233 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  -> 
( y  .+  z
)  =  ( y  o.  z ) )
2928oveq2d 6297 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  -> 
( x  .+  (
y  .+  z )
)  =  ( x 
.+  ( y  o.  z ) ) )
301, 2ltrnco 36179 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T
)  ->  ( y  o.  z )  e.  T
)
3121, 18, 23, 30syl3anc 1229 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  -> 
( y  o.  z
)  e.  T )
321, 2, 3, 7tgrpov 36208 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  ( x  e.  T  /\  ( y  o.  z
)  e.  T ) )  ->  ( x  .+  ( y  o.  z
) )  =  ( x  o.  ( y  o.  z ) ) )
3315, 16, 17, 31, 32syl112anc 1233 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  -> 
( x  .+  (
y  o.  z ) )  =  ( x  o.  ( y  o.  z ) ) )
3429, 33eqtrd 2484 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  -> 
( x  .+  (
y  .+  z )
)  =  ( x  o.  ( y  o.  z ) ) )
3514, 26, 343eqtr4a 2510 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
36 tgrp.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
3736, 1, 2idltrn 35608 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  _I  |`  B )  e.  T )
38 simpll 753 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  T
)  ->  K  e.  HL )
39 simplr 755 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  T
)  ->  W  e.  H )
4037adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  T
)  ->  (  _I  |`  B )  e.  T
)
41 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  T
)  ->  x  e.  T )
421, 2, 3, 7tgrpov 36208 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  ( (  _I  |`  B )  e.  T  /\  x  e.  T ) )  -> 
( (  _I  |`  B ) 
.+  x )  =  ( (  _I  |`  B )  o.  x ) )
4338, 39, 40, 41, 42syl112anc 1233 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  T
)  ->  ( (  _I  |`  B )  .+  x )  =  ( (  _I  |`  B )  o.  x ) )
4436, 1, 2ltrn1o 35582 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  T
)  ->  x : B
-1-1-onto-> B )
45 f1of 5806 . . . 4  |-  ( x : B -1-1-onto-> B  ->  x : B
--> B )
46 fcoi2 5750 . . . 4  |-  ( x : B --> B  -> 
( (  _I  |`  B )  o.  x )  =  x )
4744, 45, 463syl 20 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  T
)  ->  ( (  _I  |`  B )  o.  x )  =  x )
4843, 47eqtrd 2484 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  T
)  ->  ( (  _I  |`  B )  .+  x )  =  x )
491, 2ltrncnv 35604 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  T
)  ->  `' x  e.  T )
501, 2, 3, 7tgrpov 36208 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  ( `' x  e.  T  /\  x  e.  T
) )  ->  ( `' x  .+  x )  =  ( `' x  o.  x ) )
5138, 39, 49, 41, 50syl112anc 1233 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  T
)  ->  ( `' x  .+  x )  =  ( `' x  o.  x ) )
52 f1ococnv1 5834 . . . 4  |-  ( x : B -1-1-onto-> B  ->  ( `' x  o.  x )  =  (  _I  |`  B ) )
5344, 52syl 16 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  T
)  ->  ( `' x  o.  x )  =  (  _I  |`  B ) )
5451, 53eqtrd 2484 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  T
)  ->  ( `' x  .+  x )  =  (  _I  |`  B ) )
556, 8, 13, 35, 37, 48, 49, 54isgrpd 15949 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  G  e.  Grp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804    _I cid 4780   `'ccnv 4988    |` cres 4991    o. ccom 4993   -->wf 5574   -1-1-onto->wf1o 5577   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Basecbs 14509   +g cplusg 14574   Grpcgrp 15927   HLchlt 34809   LHypclh 35442   LTrncltrn 35559   TGrpctgrp 36202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-riotaBAD 34418
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-undef 7004  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-fz 11682  df-struct 14511  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-plusg 14587  df-0g 14716  df-preset 15431  df-poset 15449  df-plt 15462  df-lub 15478  df-glb 15479  df-join 15480  df-meet 15481  df-p0 15543  df-p1 15544  df-lat 15550  df-clat 15612  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15931  df-oposet 34635  df-ol 34637  df-oml 34638  df-covers 34725  df-ats 34726  df-atl 34757  df-cvlat 34781  df-hlat 34810  df-llines 34956  df-lplanes 34957  df-lvols 34958  df-lines 34959  df-psubsp 34961  df-pmap 34962  df-padd 35254  df-lhyp 35446  df-laut 35447  df-ldil 35562  df-ltrn 35563  df-trl 35618  df-tgrp 36203
This theorem is referenced by:  tgrpgrp  36210
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