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Theorem tgrpgrplem 34699
Description: Lemma for tgrpgrp 34700. (Contributed by NM, 6-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tgrpset.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
tgrpset.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
tgrpset.g  |-  G  =  ( ( TGrp `  K
) `  W )
tgrp.o  |-  .+  =  ( +g  `  G )
tgrp.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
Assertion
Ref Expression
tgrpgrplem  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  G  e.  Grp )

Proof of Theorem tgrpgrplem
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgrpset.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 tgrpset.t . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
3 tgrpset.g . . . 4  |-  G  =  ( ( TGrp `  K
) `  W )
4 eqid 2451 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
51, 2, 3, 4tgrpbase 34696 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( Base `  G
)  =  T )
65eqcomd 2459 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  T  =  ( Base `  G ) )
7 tgrp.o . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
87a1i 11 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  .+  =  ( +g  `  G ) )
91, 2, 3, 7tgrpov 34698 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T
) )  ->  (
x  .+  y )  =  ( x  o.  y ) )
1093expa 1188 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( x  o.  y ) )
11103impb 1184 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  T  /\  y  e.  T
)  ->  ( x  .+  y )  =  ( x  o.  y ) )
121, 2ltrnco 34669 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  T  /\  y  e.  T
)  ->  ( x  o.  y )  e.  T
)
1311, 12eqeltrd 2539 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  T  /\  y  e.  T
)  ->  ( x  .+  y )  e.  T
)
14 coass 5454 . . 3  |-  ( ( x  o.  y )  o.  z )  =  ( x  o.  (
y  o.  z ) )
15 simpll 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  ->  K  e.  HL )
16 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  ->  W  e.  H )
17 simpr1 994 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  ->  x  e.  T )
18 simpr2 995 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  -> 
y  e.  T )
1915, 16, 17, 18, 9syl112anc 1223 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( x  o.  y ) )
2019oveq1d 6205 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( ( x  o.  y ) 
.+  z ) )
21 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2221, 17, 18, 12syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  -> 
( x  o.  y
)  e.  T )
23 simpr3 996 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  -> 
z  e.  T )
241, 2, 3, 7tgrpov 34698 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  ( ( x  o.  y )  e.  T  /\  z  e.  T
) )  ->  (
( x  o.  y
)  .+  z )  =  ( ( x  o.  y )  o.  z ) )
2515, 16, 22, 23, 24syl112anc 1223 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  -> 
( ( x  o.  y )  .+  z
)  =  ( ( x  o.  y )  o.  z ) )
2620, 25eqtrd 2492 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( ( x  o.  y )  o.  z ) )
271, 2, 3, 7tgrpov 34698 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T
) )  ->  (
y  .+  z )  =  ( y  o.  z ) )
2815, 16, 18, 23, 27syl112anc 1223 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  -> 
( y  .+  z
)  =  ( y  o.  z ) )
2928oveq2d 6206 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  -> 
( x  .+  (
y  .+  z )
)  =  ( x 
.+  ( y  o.  z ) ) )
301, 2ltrnco 34669 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T
)  ->  ( y  o.  z )  e.  T
)
3121, 18, 23, 30syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  -> 
( y  o.  z
)  e.  T )
321, 2, 3, 7tgrpov 34698 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  ( x  e.  T  /\  ( y  o.  z
)  e.  T ) )  ->  ( x  .+  ( y  o.  z
) )  =  ( x  o.  ( y  o.  z ) ) )
3315, 16, 17, 31, 32syl112anc 1223 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  -> 
( x  .+  (
y  o.  z ) )  =  ( x  o.  ( y  o.  z ) ) )
3429, 33eqtrd 2492 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  -> 
( x  .+  (
y  .+  z )
)  =  ( x  o.  ( y  o.  z ) ) )
3514, 26, 343eqtr4a 2518 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
36 tgrp.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
3736, 1, 2idltrn 34100 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  _I  |`  B )  e.  T )
38 simpll 753 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  T
)  ->  K  e.  HL )
39 simplr 754 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  T
)  ->  W  e.  H )
4037adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  T
)  ->  (  _I  |`  B )  e.  T
)
41 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  T
)  ->  x  e.  T )
421, 2, 3, 7tgrpov 34698 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  ( (  _I  |`  B )  e.  T  /\  x  e.  T ) )  -> 
( (  _I  |`  B ) 
.+  x )  =  ( (  _I  |`  B )  o.  x ) )
4338, 39, 40, 41, 42syl112anc 1223 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  T
)  ->  ( (  _I  |`  B )  .+  x )  =  ( (  _I  |`  B )  o.  x ) )
4436, 1, 2ltrn1o 34074 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  T
)  ->  x : B
-1-1-onto-> B )
45 f1of 5739 . . . 4  |-  ( x : B -1-1-onto-> B  ->  x : B
--> B )
46 fcoi2 5684 . . . 4  |-  ( x : B --> B  -> 
( (  _I  |`  B )  o.  x )  =  x )
4744, 45, 463syl 20 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  T
)  ->  ( (  _I  |`  B )  o.  x )  =  x )
4843, 47eqtrd 2492 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  T
)  ->  ( (  _I  |`  B )  .+  x )  =  x )
491, 2ltrncnv 34096 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  T
)  ->  `' x  e.  T )
501, 2, 3, 7tgrpov 34698 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  ( `' x  e.  T  /\  x  e.  T
) )  ->  ( `' x  .+  x )  =  ( `' x  o.  x ) )
5138, 39, 49, 41, 50syl112anc 1223 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  T
)  ->  ( `' x  .+  x )  =  ( `' x  o.  x ) )
52 f1ococnv1 5767 . . . 4  |-  ( x : B -1-1-onto-> B  ->  ( `' x  o.  x )  =  (  _I  |`  B ) )
5344, 52syl 16 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  T
)  ->  ( `' x  o.  x )  =  (  _I  |`  B ) )
5451, 53eqtrd 2492 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  T
)  ->  ( `' x  .+  x )  =  (  _I  |`  B ) )
556, 8, 13, 35, 37, 48, 49, 54isgrpd 15665 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  G  e.  Grp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    _I cid 4729   `'ccnv 4937    |` cres 4940    o. ccom 4942   -->wf 5512   -1-1-onto->wf1o 5515   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   Basecbs 14276   +g cplusg 14340   Grpcgrp 15512   HLchlt 33301   LHypclh 33934   LTrncltrn 34051   TGrpctgrp 34692
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460  ax-riotaBAD 32910
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-undef 6892  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-oadd 7024  df-er 7201  df-map 7316  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-nn 10424  df-2 10481  df-n0 10681  df-z 10748  df-uz 10963  df-fz 11539  df-struct 14278  df-ndx 14279  df-slot 14280  df-base 14281  df-plusg 14353  df-0g 14482  df-poset 15218  df-plt 15230  df-lub 15246  df-glb 15247  df-join 15248  df-meet 15249  df-p0 15311  df-p1 15312  df-lat 15318  df-clat 15380  df-mnd 15517  df-grp 15647  df-oposet 33127  df-ol 33129  df-oml 33130  df-covers 33217  df-ats 33218  df-atl 33249  df-cvlat 33273  df-hlat 33302  df-llines 33448  df-lplanes 33449  df-lvols 33450  df-lines 33451  df-psubsp 33453  df-pmap 33454  df-padd 33746  df-lhyp 33938  df-laut 33939  df-ldil 34054  df-ltrn 34055  df-trl 34109  df-tgrp 34693
This theorem is referenced by:  tgrpgrp  34700
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