Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tgrpabl Structured version   Unicode version

Theorem tgrpabl 33989
Description: The translation group is an Abelian group. Lemma G of [Crawley] p. 116. (Contributed by NM, 6-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tgrpgrp.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
tgrpgrp.g  |-  G  =  ( ( TGrp `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
tgrpabl  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  G  e.  Abel )

Proof of Theorem tgrpabl
Dummy variables  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgrpgrp.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 eqid 2433 . . . 4  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
3 tgrpgrp.g . . . 4  |-  G  =  ( ( TGrp `  K
) `  W )
4 eqid 2433 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
51, 2, 3, 4tgrpbase 33984 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( Base `  G
)  =  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
65eqcomd 2438 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( LTrn `  K
) `  W )  =  ( Base `  G
) )
7 eqidd 2434 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( +g  `  G
)  =  ( +g  `  G ) )
81, 3tgrpgrp 33988 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  G  e.  Grp )
91, 2ltrncom 33976 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( f  o.  g
)  =  ( g  o.  f ) )
10 eqid 2433 . . . . . 6  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
111, 2, 3, 10tgrpov 33986 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) )  ->  ( f ( +g  `  G ) g )  =  ( f  o.  g ) )
12113expa 1180 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) )  ->  ( f ( +g  `  G ) g )  =  ( f  o.  g ) )
13123impb 1176 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( f ( +g  `  G ) g )  =  ( f  o.  g ) )
141, 2, 3, 10tgrpov 33986 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  ( g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  f  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) )  ->  ( g ( +g  `  G ) f )  =  ( g  o.  f ) )
15143expa 1180 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  f  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) )  ->  ( g ( +g  `  G ) f )  =  ( g  o.  f ) )
16153impb 1176 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  g  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  f  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( g ( +g  `  G ) f )  =  ( g  o.  f ) )
17163com23 1186 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( g ( +g  `  G ) f )  =  ( g  o.  f ) )
189, 13, 173eqtr4d 2475 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  g  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( f ( +g  `  G ) g )  =  ( g ( +g  `  G ) f ) )
196, 7, 8, 18isabld 16270 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  G  e.  Abel )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362    e. wcel 1755    o. ccom 4831   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   Basecbs 14157   +g cplusg 14221   Abelcabel 16258   HLchlt 32589   LHypclh 33222   LTrncltrn 33339   TGrpctgrp 33980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-riotaBAD 32198
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-undef 6778  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-nn 10311  df-2 10368  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-fz 11425  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-plusg 14234  df-0g 14363  df-poset 15099  df-plt 15111  df-lub 15127  df-glb 15128  df-join 15129  df-meet 15130  df-p0 15192  df-p1 15193  df-lat 15199  df-clat 15261  df-mnd 15398  df-grp 15525  df-cmn 16259  df-abl 16260  df-oposet 32415  df-ol 32417  df-oml 32418  df-covers 32505  df-ats 32506  df-atl 32537  df-cvlat 32561  df-hlat 32590  df-llines 32736  df-lplanes 32737  df-lvols 32738  df-lines 32739  df-psubsp 32741  df-pmap 32742  df-padd 33034  df-lhyp 33226  df-laut 33227  df-ldil 33342  df-ltrn 33343  df-trl 33397  df-tgrp 33981
This theorem is referenced by:  dvaabl  34263
  Copyright terms: Public domain W3C validator