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Theorem tgrest 18722
Description: A subspace can be generated by restricted sets from a basis for the original topology. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgrest  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W )  ->  ( topGen `  ( Bt  A
) )  =  ( ( topGen `  B )t  A
) )

Proof of Theorem tgrest
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6115 . . . . 5  |-  ( Bt  A )  e.  _V
2 eltg3 18526 . . . . 5  |-  ( ( Bt  A )  e.  _V  ->  ( x  e.  (
topGen `  ( Bt  A ) )  <->  E. y ( y 
C_  ( Bt  A )  /\  x  =  U. y ) ) )
31, 2ax-mp 5 . . . 4  |-  ( x  e.  ( topGen `  ( Bt  A ) )  <->  E. y
( y  C_  ( Bt  A )  /\  x  =  U. y ) )
4 simpll 748 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W
)  /\  y  C_  ( Bt  A ) )  ->  B  e.  V )
5 funmpt 5451 . . . . . . . . . 10  |-  Fun  (
x  e.  B  |->  ( x  i^i  A ) )
65a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W
)  /\  y  C_  ( Bt  A ) )  ->  Fun  ( x  e.  B  |->  ( x  i^i  A
) ) )
7 restval 14361 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W )  ->  ( Bt  A )  =  ran  ( x  e.  B  |->  ( x  i^i  A
) ) )
87sseq2d 3381 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W )  ->  ( y  C_  ( Bt  A )  <->  y  C_  ran  ( x  e.  B  |->  ( x  i^i  A
) ) ) )
98biimpa 481 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W
)  /\  y  C_  ( Bt  A ) )  -> 
y  C_  ran  ( x  e.  B  |->  ( x  i^i  A ) ) )
10 vex 2973 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
1110inex1 4430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  i^i  A )  e. 
_V
1211rgenw 2781 . . . . . . . . . . 11  |-  A. x  e.  B  ( x  i^i  A )  e.  _V
13 eqid 2441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  B  |->  ( x  i^i  A ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( x  i^i 
A ) )
1413fnmpt 5534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  B  (
x  i^i  A )  e.  _V  ->  ( x  e.  B  |->  ( x  i^i  A ) )  Fn  B )
15 fnima 5526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  B  |->  ( x  i^i  A ) )  Fn  B  -> 
( ( x  e.  B  |->  ( x  i^i 
A ) ) " B )  =  ran  ( x  e.  B  |->  ( x  i^i  A
) ) )
1612, 14, 15mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  B  |->  ( x  i^i  A ) ) " B )  =  ran  ( x  e.  B  |->  ( x  i^i  A ) )
179, 16syl6sseqr 3400 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W
)  /\  y  C_  ( Bt  A ) )  -> 
y  C_  ( (
x  e.  B  |->  ( x  i^i  A ) ) " B ) )
18 ssimaexg 5754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  V  /\  Fun  ( x  e.  B  |->  ( x  i^i  A
) )  /\  y  C_  ( ( x  e.  B  |->  ( x  i^i 
A ) ) " B ) )  ->  E. z ( z  C_  B  /\  y  =  ( ( x  e.  B  |->  ( x  i^i  A
) ) " z
) ) )
194, 6, 17, 18syl3anc 1213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W
)  /\  y  C_  ( Bt  A ) )  ->  E. z ( z  C_  B  /\  y  =  ( ( x  e.  B  |->  ( x  i^i  A
) ) " z
) ) )
20 df-ima 4849 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  B  |->  ( x  i^i  A ) ) " z )  =  ran  ( ( x  e.  B  |->  ( x  i^i  A ) )  |`  z )
21 resmpt 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z 
C_  B  ->  (
( x  e.  B  |->  ( x  i^i  A
) )  |`  z
)  =  ( x  e.  z  |->  ( x  i^i  A ) ) )
2221adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W
)  /\  z  C_  B )  ->  (
( x  e.  B  |->  ( x  i^i  A
) )  |`  z
)  =  ( x  e.  z  |->  ( x  i^i  A ) ) )
2322rneqd 5063 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W
)  /\  z  C_  B )  ->  ran  ( ( x  e.  B  |->  ( x  i^i 
A ) )  |`  z )  =  ran  ( x  e.  z  |->  ( x  i^i  A
) ) )
2420, 23syl5eq 2485 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W
)  /\  z  C_  B )  ->  (
( x  e.  B  |->  ( x  i^i  A
) ) " z
)  =  ran  (
x  e.  z  |->  ( x  i^i  A ) ) )
2524unieqd 4098 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W
)  /\  z  C_  B )  ->  U. (
( x  e.  B  |->  ( x  i^i  A
) ) " z
)  =  U. ran  ( x  e.  z  |->  ( x  i^i  A
) ) )
2611dfiun3 5090 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U_ x  e.  z  ( x  i^i  A )  =  U. ran  ( x  e.  z 
|->  ( x  i^i  A
) )
2725, 26syl6eqr 2491 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W
)  /\  z  C_  B )  ->  U. (
( x  e.  B  |->  ( x  i^i  A
) ) " z
)  =  U_ x  e.  z  ( x  i^i  A ) )
28 iunin1 4232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U_ x  e.  z  ( x  i^i  A )  =  (
U_ x  e.  z  x  i^i  A )
2927, 28syl6eq 2489 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W
)  /\  z  C_  B )  ->  U. (
( x  e.  B  |->  ( x  i^i  A
) ) " z
)  =  ( U_ x  e.  z  x  i^i  A ) )
30 fvex 5698 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( topGen `  B )  e.  _V
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W
)  /\  z  C_  B )  ->  ( topGen `
 B )  e. 
_V )
32 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W )  ->  A  e.  W )
3332adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W
)  /\  z  C_  B )  ->  A  e.  W )
34 uniiun 4220 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U. z  =  U_ x  e.  z  x
35 eltg3i 18525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  V  /\  z  C_  B )  ->  U. z  e.  ( topGen `
 B ) )
3634, 35syl5eqelr 2526 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  V  /\  z  C_  B )  ->  U_ x  e.  z  x  e.  ( topGen `  B ) )
3736adantlr 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W
)  /\  z  C_  B )  ->  U_ x  e.  z  x  e.  ( topGen `  B )
)
38 elrestr 14363 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( topGen `  B )  e.  _V  /\  A  e.  W  /\  U_ x  e.  z  x  e.  ( topGen `  B )
)  ->  ( U_ x  e.  z  x  i^i  A )  e.  ( ( topGen `  B )t  A
) )
3931, 33, 37, 38syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W
)  /\  z  C_  B )  ->  ( U_ x  e.  z  x  i^i  A )  e.  ( ( topGen `  B
)t 
A ) )
4029, 39eqeltrd 2515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W
)  /\  z  C_  B )  ->  U. (
( x  e.  B  |->  ( x  i^i  A
) ) " z
)  e.  ( (
topGen `  B )t  A ) )
41 unieq 4096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( ( x  e.  B  |->  ( x  i^i  A ) )
" z )  ->  U. y  =  U. ( ( x  e.  B  |->  ( x  i^i 
A ) ) "
z ) )
4241eleq1d 2507 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( ( x  e.  B  |->  ( x  i^i  A ) )
" z )  -> 
( U. y  e.  ( ( topGen `  B
)t 
A )  <->  U. (
( x  e.  B  |->  ( x  i^i  A
) ) " z
)  e.  ( (
topGen `  B )t  A ) ) )
4340, 42syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W
)  /\  z  C_  B )  ->  (
y  =  ( ( x  e.  B  |->  ( x  i^i  A ) ) " z )  ->  U. y  e.  ( ( topGen `  B )t  A
) ) )
4443expimpd 600 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W )  ->  ( ( z  C_  B  /\  y  =  ( ( x  e.  B  |->  ( x  i^i  A
) ) " z
) )  ->  U. y  e.  ( ( topGen `  B
)t 
A ) ) )
4544exlimdv 1695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W )  ->  ( E. z ( z  C_  B  /\  y  =  ( (
x  e.  B  |->  ( x  i^i  A ) ) " z ) )  ->  U. y  e.  ( ( topGen `  B
)t 
A ) ) )
4645adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W
)  /\  y  C_  ( Bt  A ) )  -> 
( E. z ( z  C_  B  /\  y  =  ( (
x  e.  B  |->  ( x  i^i  A ) ) " z ) )  ->  U. y  e.  ( ( topGen `  B
)t 
A ) ) )
4719, 46mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W
)  /\  y  C_  ( Bt  A ) )  ->  U. y  e.  (
( topGen `  B )t  A
) )
48 eleq1 2501 . . . . . . 7  |-  ( x  =  U. y  -> 
( x  e.  ( ( topGen `  B )t  A
)  <->  U. y  e.  ( ( topGen `  B )t  A
) ) )
4947, 48syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W
)  /\  y  C_  ( Bt  A ) )  -> 
( x  =  U. y  ->  x  e.  ( ( topGen `  B )t  A
) ) )
5049expimpd 600 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W )  ->  ( ( y  C_  ( Bt  A )  /\  x  =  U. y )  ->  x  e.  ( ( topGen `
 B )t  A ) ) )
5150exlimdv 1695 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W )  ->  ( E. y ( y  C_  ( Bt  A
)  /\  x  =  U. y )  ->  x  e.  ( ( topGen `  B
)t 
A ) ) )
523, 51syl5bi 217 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W )  ->  ( x  e.  (
topGen `  ( Bt  A ) )  ->  x  e.  ( ( topGen `  B
)t 
A ) ) )
5352ssrdv 3359 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W )  ->  ( topGen `  ( Bt  A
) )  C_  (
( topGen `  B )t  A
) )
54 restval 14361 . . . 4  |-  ( ( ( topGen `  B )  e.  _V  /\  A  e.  W )  ->  (
( topGen `  B )t  A
)  =  ran  (
w  e.  ( topGen `  B )  |->  ( w  i^i  A ) ) )
5530, 32, 54sylancr 658 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W )  ->  ( ( topGen `  B
)t 
A )  =  ran  ( w  e.  ( topGen `
 B )  |->  ( w  i^i  A ) ) )
56 eltg3 18526 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  V  ->  (
w  e.  ( topGen `  B )  <->  E. z
( z  C_  B  /\  w  =  U. z ) ) )
5756adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W )  ->  ( w  e.  (
topGen `  B )  <->  E. z
( z  C_  B  /\  w  =  U. z ) ) )
5834ineq1i 3545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U. z  i^i  A )  =  ( U_ x  e.  z  x  i^i  A
)
5958, 28eqtr4i 2464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. z  i^i  A )  = 
U_ x  e.  z  ( x  i^i  A
)
60 simplll 752 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W )  /\  z  C_  B )  /\  x  e.  z )  ->  B  e.  V )
61 simpllr 753 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W )  /\  z  C_  B )  /\  x  e.  z )  ->  A  e.  W )
62 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W
)  /\  z  C_  B )  ->  z  C_  B )
6362sselda 3353 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W )  /\  z  C_  B )  /\  x  e.  z )  ->  x  e.  B )
64 elrestr 14363 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W  /\  x  e.  B )  ->  ( x  i^i  A
)  e.  ( Bt  A ) )
6560, 61, 63, 64syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W )  /\  z  C_  B )  /\  x  e.  z )  ->  (
x  i^i  A )  e.  ( Bt  A ) )
66 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  z  |->  ( x  i^i  A ) )  =  ( x  e.  z  |->  ( x  i^i 
A ) )
6765, 66fmptd 5864 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W
)  /\  z  C_  B )  ->  (
x  e.  z  |->  ( x  i^i  A ) ) : z --> ( Bt  A ) )
68 frn 5562 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  z  |->  ( x  i^i  A ) ) : z --> ( Bt  A )  ->  ran  ( x  e.  z  |->  ( x  i^i  A
) )  C_  ( Bt  A ) )
6967, 68syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W
)  /\  z  C_  B )  ->  ran  ( x  e.  z  |->  ( x  i^i  A
) )  C_  ( Bt  A ) )
70 eltg3i 18525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Bt  A )  e.  _V  /\ 
ran  ( x  e.  z  |->  ( x  i^i 
A ) )  C_  ( Bt  A ) )  ->  U. ran  ( x  e.  z  |->  ( x  i^i 
A ) )  e.  ( topGen `  ( Bt  A
) ) )
711, 69, 70sylancr 658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W
)  /\  z  C_  B )  ->  U. ran  ( x  e.  z  |->  ( x  i^i  A
) )  e.  (
topGen `  ( Bt  A ) ) )
7226, 71syl5eqel 2525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W
)  /\  z  C_  B )  ->  U_ x  e.  z  ( x  i^i  A )  e.  (
topGen `  ( Bt  A ) ) )
7359, 72syl5eqel 2525 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W
)  /\  z  C_  B )  ->  ( U. z  i^i  A )  e.  ( topGen `  ( Bt  A ) ) )
74 ineq1 3542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  U. z  -> 
( w  i^i  A
)  =  ( U. z  i^i  A ) )
7574eleq1d 2507 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  U. z  -> 
( ( w  i^i 
A )  e.  (
topGen `  ( Bt  A ) )  <->  ( U. z  i^i  A )  e.  (
topGen `  ( Bt  A ) ) ) )
7673, 75syl5ibrcom 222 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W
)  /\  z  C_  B )  ->  (
w  =  U. z  ->  ( w  i^i  A
)  e.  ( topGen `  ( Bt  A ) ) ) )
7776expimpd 600 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W )  ->  ( ( z  C_  B  /\  w  =  U. z )  ->  (
w  i^i  A )  e.  ( topGen `  ( Bt  A
) ) ) )
7877exlimdv 1695 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W )  ->  ( E. z ( z  C_  B  /\  w  =  U. z
)  ->  ( w  i^i  A )  e.  (
topGen `  ( Bt  A ) ) ) )
7957, 78sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W )  ->  ( w  e.  (
topGen `  B )  -> 
( w  i^i  A
)  e.  ( topGen `  ( Bt  A ) ) ) )
8079imp 429 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W
)  /\  w  e.  ( topGen `  B )
)  ->  ( w  i^i  A )  e.  (
topGen `  ( Bt  A ) ) )
81 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( w  e.  ( topGen `  B
)  |->  ( w  i^i 
A ) )  =  ( w  e.  (
topGen `  B )  |->  ( w  i^i  A ) )
8280, 81fmptd 5864 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W )  ->  ( w  e.  (
topGen `  B )  |->  ( w  i^i  A ) ) : ( topGen `  B ) --> ( topGen `  ( Bt  A ) ) )
83 frn 5562 . . . 4  |-  ( ( w  e.  ( topGen `  B )  |->  ( w  i^i  A ) ) : ( topGen `  B
) --> ( topGen `  ( Bt  A ) )  ->  ran  ( w  e.  (
topGen `  B )  |->  ( w  i^i  A ) )  C_  ( topGen `  ( Bt  A ) ) )
8482, 83syl 16 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W )  ->  ran  ( w  e.  ( topGen `  B )  |->  ( w  i^i  A
) )  C_  ( topGen `
 ( Bt  A ) ) )
8555, 84eqsstrd 3387 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W )  ->  ( ( topGen `  B
)t 
A )  C_  ( topGen `
 ( Bt  A ) ) )
8653, 85eqssd 3370 1  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  e.  W )  ->  ( topGen `  ( Bt  A
) )  =  ( ( topGen `  B )t  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364   E.wex 1591    e. wcel 1761   A.wral 2713   _Vcvv 2970    i^i cin 3324    C_ wss 3325   U.cuni 4088   U_ciun 4168    e. cmpt 4347   ran crn 4837    |` cres 4838   "cima 4839   Fun wfun 5409    Fn wfn 5410   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   ↾t crest 14355   topGenctg 14372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-rest 14357  df-topgen 14378
This theorem is referenced by:  resttop  18723  ordtrest2  18767  2ndcrest  19017  txrest  19163  xkoptsub  19186  xrtgioo  20342  ordtrest2NEW  26289  ptrest  28350
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