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Theorem tgqtop 20714
Description: An injection maps generated topologies to each other. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
qtopcmp.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
tgqtop  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  (
( topGen `  J ) qTop  F )  =  ( topGen `  ( J qTop  F ) ) )

Proof of Theorem tgqtop
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1ocnv 5840 . . . . . . . . 9  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  `' F : Y -1-1-onto-> X )
2 f1ofun 5830 . . . . . . . . 9  |-  ( `' F : Y -1-1-onto-> X  ->  Fun  `' F )
31, 2syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  Fun  `' F
)
43ad2antlr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  ->  Fun  `' F )
5 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  ->  x  C_  Y )
6 df-rn 4861 . . . . . . . . 9  |-  ran  F  =  dom  `' F
7 f1ofo 5835 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F : X -onto-> Y )
87ad2antlr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  ->  F : X -onto-> Y )
9 forn 5810 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  ran  F  =  Y )
108, 9syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  ->  ran  F  =  Y )
116, 10syl5eqr 2477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  ->  dom  `' F  =  Y )
125, 11sseqtr4d 3501 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  ->  x  C_ 
dom  `' F )
13 funimass4 5929 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  `' F  /\  x  C_  dom  `' F
)  ->  ( ( `' F " x ) 
C_  U. ( J  i^i  ~P ( `' F "
x ) )  <->  A. y  e.  x  ( `' F `  y )  e.  U. ( J  i^i  ~P ( `' F "
x ) ) ) )
144, 12, 13syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  ->  (
( `' F "
x )  C_  U. ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  <->  A. y  e.  x  ( `' F `  y )  e.  U. ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) ) ) )
15 dfss3 3454 . . . . . . 7  |-  ( x 
C_  U. ( ( J qTop 
F )  i^i  ~P x )  <->  A. y  e.  x  y  e.  U. ( ( J qTop  F
)  i^i  ~P x
) )
16 inss1 3682 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  C_  ( J qTop  F )
17 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  /\  y  e.  z )
)  ->  z  e.  ( ( J qTop  F
)  i^i  ~P x
) )
1816, 17sseldi 3462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  /\  y  e.  z )
)  ->  z  e.  ( J qTop  F )
)
19 qtopcmp.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  X  = 
U. J
2019elqtop2 20703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
z  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( z  C_  Y  /\  ( `' F " z )  e.  J ) ) )
217, 20sylan2 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  (
z  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( z  C_  Y  /\  ( `' F " z )  e.  J ) ) )
2221ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  /\  y  e.  z )
)  ->  ( z  e.  ( J qTop  F )  <-> 
( z  C_  Y  /\  ( `' F "
z )  e.  J
) ) )
2318, 22mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  /\  y  e.  z )
)  ->  ( z  C_  Y  /\  ( `' F " z )  e.  J ) )
2423simprd 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  /\  y  e.  z )
)  ->  ( `' F " z )  e.  J )
25 inss2 3683 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  C_  ~P x
2625, 17sseldi 3462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  /\  y  e.  z )
)  ->  z  e.  ~P x )
2726elpwid 3989 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  /\  y  e.  z )
)  ->  z  C_  x )
28 imass2 5220 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z 
C_  x  ->  ( `' F " z ) 
C_  ( `' F " x ) )
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  /\  y  e.  z )
)  ->  ( `' F " z )  C_  ( `' F " x ) )
30 elpwg 3987 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' F " z )  e.  J  ->  (
( `' F "
z )  e.  ~P ( `' F " x )  <-> 
( `' F "
z )  C_  ( `' F " x ) ) )
3124, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  /\  y  e.  z )
)  ->  ( ( `' F " z )  e.  ~P ( `' F " x )  <-> 
( `' F "
z )  C_  ( `' F " x ) ) )
3229, 31mpbird 235 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  /\  y  e.  z )
)  ->  ( `' F " z )  e. 
~P ( `' F " x ) )
3324, 32elind 3650 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  /\  y  e.  z )
)  ->  ( `' F " z )  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) ) )
34 simp-4r 775 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  /\  y  e.  z )
)  ->  F : X
-1-1-onto-> Y )
3534, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  /\  y  e.  z )
)  ->  `' F : Y -1-1-onto-> X )
36 f1ofn 5829 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' F : Y -1-1-onto-> X  ->  `' F  Fn  Y
)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  /\  y  e.  z )
)  ->  `' F  Fn  Y )
385ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  /\  y  e.  z )
)  ->  x  C_  Y
)
3927, 38sstrd 3474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  /\  y  e.  z )
)  ->  z  C_  Y )
40 simprr 764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  /\  y  e.  z )
)  ->  y  e.  z )
41 fnfvima 6155 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' F  Fn  Y  /\  z  C_  Y  /\  y  e.  z )  ->  ( `' F `  y )  e.  ( `' F " z ) )
4237, 39, 40, 41syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  /\  y  e.  z )
)  ->  ( `' F `  y )  e.  ( `' F "
z ) )
43 eleq2 2495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( `' F " z )  ->  (
( `' F `  y )  e.  w  <->  ( `' F `  y )  e.  ( `' F " z ) ) )
4443rspcev 3182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( `' F "
z )  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  ( `' F " z ) )  ->  E. w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) ) ( `' F `  y )  e.  w
)
4533, 42, 44syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  /\  y  e.  z )
)  ->  E. w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) ) ( `' F `  y )  e.  w
)
4645rexlimdvaa 2918 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  x  C_  Y
)  /\  y  e.  x )  ->  ( E. z  e.  (
( J qTop  F )  i^i  ~P x ) y  e.  z  ->  E. w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) ) ( `' F `  y )  e.  w
) )
47 simp-4r 775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  F : X -1-1-onto-> Y
)
48 f1ofun 5830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  Fun  F )
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  Fun  F )
50 inss2 3683 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  C_  ~P ( `' F " x )
51 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) ) )
5250, 51sseldi 3462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  w  e.  ~P ( `' F " x ) )
5352elpwid 3989 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  w  C_  ( `' F " x ) )
54 funimass2 5672 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Fun  F  /\  w  C_  ( `' F "
x ) )  -> 
( F " w
)  C_  x )
5549, 53, 54syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  ( F "
w )  C_  x
)
565ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  x  C_  Y
)
5755, 56sstrd 3474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  ( F "
w )  C_  Y
)
58 f1of1 5827 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F : X -1-1-> Y )
5947, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  F : X -1-1-> Y )
60 inss1 3682 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  C_  J
6160, 51sseldi 3462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  w  e.  J
)
62 elssuni 4245 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  J  ->  w  C_ 
U. J )
6362, 19syl6sseqr 3511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  J  ->  w  C_  X )
6461, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  w  C_  X
)
65 f1imacnv 5844 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : X -1-1-> Y  /\  w  C_  X )  ->  ( `' F " ( F " w
) )  =  w )
6659, 64, 65syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  ( `' F " ( F " w
) )  =  w )
6766, 61eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  ( `' F " ( F " w
) )  e.  J
)
6819elqtop2 20703 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
( F " w
)  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( ( F " w )  C_  Y  /\  ( `' F " ( F " w
) )  e.  J
) ) )
697, 68sylan2 476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  (
( F " w
)  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( ( F " w )  C_  Y  /\  ( `' F " ( F " w
) )  e.  J
) ) )
7069ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  ( ( F
" w )  e.  ( J qTop  F )  <-> 
( ( F "
w )  C_  Y  /\  ( `' F "
( F " w
) )  e.  J
) ) )
7157, 67, 70mpbir2and 930 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  ( F "
w )  e.  ( J qTop  F ) )
72 vex 3084 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  x  e. 
_V
7372elpw2 4585 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F " w )  e.  ~P x  <->  ( F " w )  C_  x
)
7455, 73sylibr 215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  ( F "
w )  e.  ~P x )
7571, 74elind 3650 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  ( F "
w )  e.  ( ( J qTop  F )  i^i  ~P x ) )
765sselda 3464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  x  C_  Y
)  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  Y )
7776adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  y  e.  Y
)
78 f1ocnvfv2 6188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  y  e.  Y )  ->  ( F `  ( `' F `  y ) )  =  y )
7947, 77, 78syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  ( F `  ( `' F `  y ) )  =  y )
80 f1ofn 5829 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F  Fn  X )
8180adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  F  Fn  X )
8281ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  F  Fn  X
)
83 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  ( `' F `  y )  e.  w
)
84 fnfvima 6155 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  Fn  X  /\  w  C_  X  /\  ( `' F `  y )  e.  w )  -> 
( F `  ( `' F `  y ) )  e.  ( F
" w ) )
8582, 64, 83, 84syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  ( F `  ( `' F `  y ) )  e.  ( F
" w ) )
8679, 85eqeltrrd 2511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  y  e.  ( F " w ) )
87 eleq2 2495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( F "
w )  ->  (
y  e.  z  <->  y  e.  ( F " w ) ) )
8887rspcev 3182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F " w
)  e.  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  /\  y  e.  ( F " w ) )  ->  E. z  e.  (
( J qTop  F )  i^i  ~P x ) y  e.  z )
8975, 86, 88syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  E. z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i  ~P x ) y  e.  z )
9089rexlimdvaa 2918 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  x  C_  Y
)  /\  y  e.  x )  ->  ( E. w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) ) ( `' F `  y )  e.  w  ->  E. z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i  ~P x ) y  e.  z ) )
9146, 90impbid 193 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  x  C_  Y
)  /\  y  e.  x )  ->  ( E. z  e.  (
( J qTop  F )  i^i  ~P x ) y  e.  z  <->  E. w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) ) ( `' F `  y )  e.  w
) )
92 eluni2 4220 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  U. ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  <->  E. z  e.  ( ( J qTop  F
)  i^i  ~P x
) y  e.  z )
93 eluni2 4220 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' F `  y )  e.  U. ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  <->  E. w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) ) ( `' F `  y )  e.  w
)
9491, 92, 933bitr4g 291 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  x  C_  Y
)  /\  y  e.  x )  ->  (
y  e.  U. (
( J qTop  F )  i^i  ~P x )  <->  ( `' F `  y )  e.  U. ( J  i^i  ~P ( `' F "
x ) ) ) )
9594ralbidva 2861 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  ->  ( A. y  e.  x  y  e.  U. (
( J qTop  F )  i^i  ~P x )  <->  A. y  e.  x  ( `' F `  y )  e.  U. ( J  i^i  ~P ( `' F "
x ) ) ) )
9615, 95syl5bb 260 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  ->  (
x  C_  U. (
( J qTop  F )  i^i  ~P x )  <->  A. y  e.  x  ( `' F `  y )  e.  U. ( J  i^i  ~P ( `' F "
x ) ) ) )
9714, 96bitr4d 259 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  ->  (
( `' F "
x )  C_  U. ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  <->  x  C_  U. (
( J qTop  F )  i^i  ~P x ) ) )
98 eltg 19959 . . . . . 6  |-  ( J  e.  TopBases  ->  ( ( `' F " x )  e.  ( topGen `  J
)  <->  ( `' F " x )  C_  U. ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) ) ) )
9998ad2antrr 730 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  ->  (
( `' F "
x )  e.  (
topGen `  J )  <->  ( `' F " x )  C_  U. ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) ) ) )
100 ovex 6330 . . . . . 6  |-  ( J qTop 
F )  e.  _V
101 eltg 19959 . . . . . 6  |-  ( ( J qTop  F )  e. 
_V  ->  ( x  e.  ( topGen `  ( J qTop  F ) )  <->  x  C_  U. (
( J qTop  F )  i^i  ~P x ) ) )
102100, 101mp1i 13 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  ->  (
x  e.  ( topGen `  ( J qTop  F ) )  <->  x  C_  U. (
( J qTop  F )  i^i  ~P x ) ) )
10397, 99, 1023bitr4d 288 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  ->  (
( `' F "
x )  e.  (
topGen `  J )  <->  x  e.  ( topGen `  ( J qTop  F ) ) ) )
104103pm5.32da 645 . . 3  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  (
( x  C_  Y  /\  ( `' F "
x )  e.  (
topGen `  J ) )  <-> 
( x  C_  Y  /\  x  e.  ( topGen `
 ( J qTop  F
) ) ) ) )
105 tgtopon 19974 . . . . . 6  |-  ( J  e.  TopBases  ->  ( topGen `  J
)  e.  (TopOn `  U. J ) )
106105adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  ( topGen `
 J )  e.  (TopOn `  U. J ) )
10719fveq2i 5881 . . . . 5  |-  (TopOn `  X )  =  (TopOn `  U. J )
108106, 107syl6eleqr 2521 . . . 4  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  ( topGen `
 J )  e.  (TopOn `  X )
)
1097adantl 467 . . . 4  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  F : X -onto-> Y )
110 elqtop3 20705 . . . 4  |-  ( ( ( topGen `  J )  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y
)  ->  ( x  e.  ( ( topGen `  J
) qTop  F )  <->  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  ( topGen `  J
) ) ) )
111108, 109, 110syl2anc 665 . . 3  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  (
x  e.  ( (
topGen `  J ) qTop  F
)  <->  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  (
topGen `  J ) ) ) )
112 unitg 19969 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J qTop  F )  e. 
_V  ->  U. ( topGen `  ( J qTop  F ) )  = 
U. ( J qTop  F
) )
113100, 112ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  U. ( topGen `
 ( J qTop  F
) )  =  U. ( J qTop  F )
11419elqtop2 20703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
x  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
1157, 114sylan2 476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  (
x  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
116 simpl 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  ->  x  C_  Y )
117 selpw 3986 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~P Y  <->  x  C_  Y
)
118116, 117sylibr 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  ->  x  e.  ~P Y
)
119115, 118syl6bi 231 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  (
x  e.  ( J qTop 
F )  ->  x  e.  ~P Y ) )
120119ssrdv 3470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  ( J qTop  F )  C_  ~P Y )
121 sspwuni 4385 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J qTop  F )  C_  ~P Y  <->  U. ( J qTop  F
)  C_  Y )
122120, 121sylib 199 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  U. ( J qTop  F )  C_  Y
)
123113, 122syl5eqss 3508 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  U. ( topGen `
 ( J qTop  F
) )  C_  Y
)
124 sspwuni 4385 . . . . . . 7  |-  ( (
topGen `  ( J qTop  F
) )  C_  ~P Y 
<-> 
U. ( topGen `  ( J qTop  F ) )  C_  Y )
125123, 124sylibr 215 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  ( topGen `
 ( J qTop  F
) )  C_  ~P Y )
126125sseld 3463 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  (
x  e.  ( topGen `  ( J qTop  F ) )  ->  x  e.  ~P Y ) )
127126, 117syl6ib 229 . . . 4  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  (
x  e.  ( topGen `  ( J qTop  F ) )  ->  x  C_  Y
) )
128127pm4.71rd 639 . . 3  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  (
x  e.  ( topGen `  ( J qTop  F ) )  <->  ( x  C_  Y  /\  x  e.  (
topGen `  ( J qTop  F
) ) ) ) )
129104, 111, 1283bitr4d 288 . 2  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  (
x  e.  ( (
topGen `  J ) qTop  F
)  <->  x  e.  ( topGen `
 ( J qTop  F
) ) ) )
130129eqrdv 2419 1  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  (
( topGen `  J ) qTop  F )  =  ( topGen `  ( J qTop  F ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868   A.wral 2775   E.wrex 2776   _Vcvv 3081    i^i cin 3435    C_ wss 3436   ~Pcpw 3979   U.cuni 4216   `'ccnv 4849   dom cdm 4850   ran crn 4851   "cima 4853   Fun wfun 5592    Fn wfn 5593   -1-1->wf1 5595   -onto->wfo 5596   -1-1-onto->wf1o 5597   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   topGenctg 15324   qTop cqtop 15389  TopOnctopon 19905   TopBasesctb 19907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-id 4765  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-topgen 15330  df-qtop 15394  df-top 19908  df-bases 19909  df-topon 19910
This theorem is referenced by:  imasf1oxms  21491
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