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Theorem tgqtop 19244
Description: An injection maps generated topologies to each other. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
qtopcmp.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
tgqtop  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  (
( topGen `  J ) qTop  F )  =  ( topGen `  ( J qTop  F ) ) )

Proof of Theorem tgqtop
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1ocnv 5650 . . . . . . . . 9  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  `' F : Y -1-1-onto-> X )
2 f1ofun 5640 . . . . . . . . 9  |-  ( `' F : Y -1-1-onto-> X  ->  Fun  `' F )
31, 2syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  Fun  `' F
)
43ad2antlr 721 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  ->  Fun  `' F )
5 simpr 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  ->  x  C_  Y )
6 df-rn 4847 . . . . . . . . 9  |-  ran  F  =  dom  `' F
7 f1ofo 5645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F : X -onto-> Y )
87ad2antlr 721 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  ->  F : X -onto-> Y )
9 forn 5620 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  ran  F  =  Y )
108, 9syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  ->  ran  F  =  Y )
116, 10syl5eqr 2487 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  ->  dom  `' F  =  Y )
125, 11sseqtr4d 3390 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  ->  x  C_ 
dom  `' F )
13 funimass4 5739 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  `' F  /\  x  C_  dom  `' F
)  ->  ( ( `' F " x ) 
C_  U. ( J  i^i  ~P ( `' F "
x ) )  <->  A. y  e.  x  ( `' F `  y )  e.  U. ( J  i^i  ~P ( `' F "
x ) ) ) )
144, 12, 13syl2anc 656 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  ->  (
( `' F "
x )  C_  U. ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  <->  A. y  e.  x  ( `' F `  y )  e.  U. ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) ) ) )
15 dfss3 3343 . . . . . . 7  |-  ( x 
C_  U. ( ( J qTop 
F )  i^i  ~P x )  <->  A. y  e.  x  y  e.  U. ( ( J qTop  F
)  i^i  ~P x
) )
16 inss1 3567 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  C_  ( J qTop  F )
17 simprl 750 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  /\  y  e.  z )
)  ->  z  e.  ( ( J qTop  F
)  i^i  ~P x
) )
1816, 17sseldi 3351 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  /\  y  e.  z )
)  ->  z  e.  ( J qTop  F )
)
19 qtopcmp.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  X  = 
U. J
2019elqtop2 19233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
z  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( z  C_  Y  /\  ( `' F " z )  e.  J ) ) )
217, 20sylan2 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  (
z  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( z  C_  Y  /\  ( `' F " z )  e.  J ) ) )
2221ad3antrrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  /\  y  e.  z )
)  ->  ( z  e.  ( J qTop  F )  <-> 
( z  C_  Y  /\  ( `' F "
z )  e.  J
) ) )
2318, 22mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  /\  y  e.  z )
)  ->  ( z  C_  Y  /\  ( `' F " z )  e.  J ) )
2423simprd 460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  /\  y  e.  z )
)  ->  ( `' F " z )  e.  J )
25 inss2 3568 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  C_  ~P x
2625, 17sseldi 3351 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  /\  y  e.  z )
)  ->  z  e.  ~P x )
2726elpwid 3867 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  /\  y  e.  z )
)  ->  z  C_  x )
28 imass2 5201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z 
C_  x  ->  ( `' F " z ) 
C_  ( `' F " x ) )
2927, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  /\  y  e.  z )
)  ->  ( `' F " z )  C_  ( `' F " x ) )
30 elpwg 3865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' F " z )  e.  J  ->  (
( `' F "
z )  e.  ~P ( `' F " x )  <-> 
( `' F "
z )  C_  ( `' F " x ) ) )
3124, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  /\  y  e.  z )
)  ->  ( ( `' F " z )  e.  ~P ( `' F " x )  <-> 
( `' F "
z )  C_  ( `' F " x ) ) )
3229, 31mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  /\  y  e.  z )
)  ->  ( `' F " z )  e. 
~P ( `' F " x ) )
3324, 32elind 3537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  /\  y  e.  z )
)  ->  ( `' F " z )  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) ) )
34 simp-4r 761 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  /\  y  e.  z )
)  ->  F : X
-1-1-onto-> Y )
3534, 1syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  /\  y  e.  z )
)  ->  `' F : Y -1-1-onto-> X )
36 f1ofn 5639 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' F : Y -1-1-onto-> X  ->  `' F  Fn  Y
)
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  /\  y  e.  z )
)  ->  `' F  Fn  Y )
385ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  /\  y  e.  z )
)  ->  x  C_  Y
)
3927, 38sstrd 3363 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  /\  y  e.  z )
)  ->  z  C_  Y )
40 simprr 751 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  /\  y  e.  z )
)  ->  y  e.  z )
41 fnfvima 5952 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' F  Fn  Y  /\  z  C_  Y  /\  y  e.  z )  ->  ( `' F `  y )  e.  ( `' F " z ) )
4237, 39, 40, 41syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  /\  y  e.  z )
)  ->  ( `' F `  y )  e.  ( `' F "
z ) )
43 eleq2 2502 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( `' F " z )  ->  (
( `' F `  y )  e.  w  <->  ( `' F `  y )  e.  ( `' F " z ) ) )
4443rspcev 3070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( `' F "
z )  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  ( `' F " z ) )  ->  E. w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) ) ( `' F `  y )  e.  w
)
4533, 42, 44syl2anc 656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  /\  y  e.  z )
)  ->  E. w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) ) ( `' F `  y )  e.  w
)
4645rexlimdvaa 2840 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  x  C_  Y
)  /\  y  e.  x )  ->  ( E. z  e.  (
( J qTop  F )  i^i  ~P x ) y  e.  z  ->  E. w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) ) ( `' F `  y )  e.  w
) )
47 simp-4r 761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  F : X -1-1-onto-> Y
)
48 f1ofun 5640 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  Fun  F )
4947, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  Fun  F )
50 inss2 3568 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  C_  ~P ( `' F " x )
51 simprl 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) ) )
5250, 51sseldi 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  w  e.  ~P ( `' F " x ) )
5352elpwid 3867 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  w  C_  ( `' F " x ) )
54 funimass2 5489 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Fun  F  /\  w  C_  ( `' F "
x ) )  -> 
( F " w
)  C_  x )
5549, 53, 54syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  ( F "
w )  C_  x
)
565ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  x  C_  Y
)
5755, 56sstrd 3363 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  ( F "
w )  C_  Y
)
58 f1of1 5637 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F : X -1-1-> Y )
5947, 58syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  F : X -1-1-> Y )
60 inss1 3567 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  C_  J
6160, 51sseldi 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  w  e.  J
)
62 elssuni 4118 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  J  ->  w  C_ 
U. J )
6362, 19syl6sseqr 3400 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  J  ->  w  C_  X )
6461, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  w  C_  X
)
65 f1imacnv 5654 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : X -1-1-> Y  /\  w  C_  X )  ->  ( `' F " ( F " w
) )  =  w )
6659, 64, 65syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  ( `' F " ( F " w
) )  =  w )
6766, 61eqeltrd 2515 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  ( `' F " ( F " w
) )  e.  J
)
6819elqtop2 19233 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
( F " w
)  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( ( F " w )  C_  Y  /\  ( `' F " ( F " w
) )  e.  J
) ) )
697, 68sylan2 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  (
( F " w
)  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( ( F " w )  C_  Y  /\  ( `' F " ( F " w
) )  e.  J
) ) )
7069ad3antrrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  ( ( F
" w )  e.  ( J qTop  F )  <-> 
( ( F "
w )  C_  Y  /\  ( `' F "
( F " w
) )  e.  J
) ) )
7157, 67, 70mpbir2and 908 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  ( F "
w )  e.  ( J qTop  F ) )
72 vex 2973 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  x  e. 
_V
7372elpw2 4453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F " w )  e.  ~P x  <->  ( F " w )  C_  x
)
7455, 73sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  ( F "
w )  e.  ~P x )
7571, 74elind 3537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  ( F "
w )  e.  ( ( J qTop  F )  i^i  ~P x ) )
765sselda 3353 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  x  C_  Y
)  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  Y )
7776adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  y  e.  Y
)
78 f1ocnvfv2 5981 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  y  e.  Y )  ->  ( F `  ( `' F `  y ) )  =  y )
7947, 77, 78syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  ( F `  ( `' F `  y ) )  =  y )
80 f1ofn 5639 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F  Fn  X )
8180adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  F  Fn  X )
8281ad3antrrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  F  Fn  X
)
83 simprr 751 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  ( `' F `  y )  e.  w
)
84 fnfvima 5952 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  Fn  X  /\  w  C_  X  /\  ( `' F `  y )  e.  w )  -> 
( F `  ( `' F `  y ) )  e.  ( F
" w ) )
8582, 64, 83, 84syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  ( F `  ( `' F `  y ) )  e.  ( F
" w ) )
8679, 85eqeltrrd 2516 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  y  e.  ( F " w ) )
87 eleq2 2502 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( F "
w )  ->  (
y  e.  z  <->  y  e.  ( F " w ) ) )
8887rspcev 3070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F " w
)  e.  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  /\  y  e.  ( F " w ) )  ->  E. z  e.  (
( J qTop  F )  i^i  ~P x ) y  e.  z )
8975, 86, 88syl2anc 656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  E. z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i  ~P x ) y  e.  z )
9089rexlimdvaa 2840 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  x  C_  Y
)  /\  y  e.  x )  ->  ( E. w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) ) ( `' F `  y )  e.  w  ->  E. z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i  ~P x ) y  e.  z ) )
9146, 90impbid 191 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  x  C_  Y
)  /\  y  e.  x )  ->  ( E. z  e.  (
( J qTop  F )  i^i  ~P x ) y  e.  z  <->  E. w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) ) ( `' F `  y )  e.  w
) )
92 eluni2 4092 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  U. ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  <->  E. z  e.  ( ( J qTop  F
)  i^i  ~P x
) y  e.  z )
93 eluni2 4092 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' F `  y )  e.  U. ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  <->  E. w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) ) ( `' F `  y )  e.  w
)
9491, 92, 933bitr4g 288 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  x  C_  Y
)  /\  y  e.  x )  ->  (
y  e.  U. (
( J qTop  F )  i^i  ~P x )  <->  ( `' F `  y )  e.  U. ( J  i^i  ~P ( `' F "
x ) ) ) )
9594ralbidva 2729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  ->  ( A. y  e.  x  y  e.  U. (
( J qTop  F )  i^i  ~P x )  <->  A. y  e.  x  ( `' F `  y )  e.  U. ( J  i^i  ~P ( `' F "
x ) ) ) )
9615, 95syl5bb 257 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  ->  (
x  C_  U. (
( J qTop  F )  i^i  ~P x )  <->  A. y  e.  x  ( `' F `  y )  e.  U. ( J  i^i  ~P ( `' F "
x ) ) ) )
9714, 96bitr4d 256 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  ->  (
( `' F "
x )  C_  U. ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  <->  x  C_  U. (
( J qTop  F )  i^i  ~P x ) ) )
98 eltg 18521 . . . . . 6  |-  ( J  e.  TopBases  ->  ( ( `' F " x )  e.  ( topGen `  J
)  <->  ( `' F " x )  C_  U. ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) ) ) )
9998ad2antrr 720 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  ->  (
( `' F "
x )  e.  (
topGen `  J )  <->  ( `' F " x )  C_  U. ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) ) ) )
100 ovex 6115 . . . . . 6  |-  ( J qTop 
F )  e.  _V
101 eltg 18521 . . . . . 6  |-  ( ( J qTop  F )  e. 
_V  ->  ( x  e.  ( topGen `  ( J qTop  F ) )  <->  x  C_  U. (
( J qTop  F )  i^i  ~P x ) ) )
102100, 101mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  ->  (
x  e.  ( topGen `  ( J qTop  F ) )  <->  x  C_  U. (
( J qTop  F )  i^i  ~P x ) ) )
10397, 99, 1023bitr4d 285 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  ->  (
( `' F "
x )  e.  (
topGen `  J )  <->  x  e.  ( topGen `  ( J qTop  F ) ) ) )
104103pm5.32da 636 . . 3  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  (
( x  C_  Y  /\  ( `' F "
x )  e.  (
topGen `  J ) )  <-> 
( x  C_  Y  /\  x  e.  ( topGen `
 ( J qTop  F
) ) ) ) )
105 tgtopon 18535 . . . . . 6  |-  ( J  e.  TopBases  ->  ( topGen `  J
)  e.  (TopOn `  U. J ) )
106105adantr 462 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  ( topGen `
 J )  e.  (TopOn `  U. J ) )
10719fveq2i 5691 . . . . 5  |-  (TopOn `  X )  =  (TopOn `  U. J )
108106, 107syl6eleqr 2532 . . . 4  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  ( topGen `
 J )  e.  (TopOn `  X )
)
1097adantl 463 . . . 4  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  F : X -onto-> Y )
110 elqtop3 19235 . . . 4  |-  ( ( ( topGen `  J )  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y
)  ->  ( x  e.  ( ( topGen `  J
) qTop  F )  <->  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  ( topGen `  J
) ) ) )
111108, 109, 110syl2anc 656 . . 3  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  (
x  e.  ( (
topGen `  J ) qTop  F
)  <->  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  (
topGen `  J ) ) ) )
112 unitg 18531 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J qTop  F )  e. 
_V  ->  U. ( topGen `  ( J qTop  F ) )  = 
U. ( J qTop  F
) )
113100, 112ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  U. ( topGen `
 ( J qTop  F
) )  =  U. ( J qTop  F )
11419elqtop2 19233 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
x  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
1157, 114sylan2 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  (
x  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
116 simpl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  ->  x  C_  Y )
117 selpw 3864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~P Y  <->  x  C_  Y
)
118116, 117sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  ->  x  e.  ~P Y
)
119115, 118syl6bi 228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  (
x  e.  ( J qTop 
F )  ->  x  e.  ~P Y ) )
120119ssrdv 3359 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  ( J qTop  F )  C_  ~P Y )
121 sspwuni 4253 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J qTop  F )  C_  ~P Y  <->  U. ( J qTop  F
)  C_  Y )
122120, 121sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  U. ( J qTop  F )  C_  Y
)
123113, 122syl5eqss 3397 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  U. ( topGen `
 ( J qTop  F
) )  C_  Y
)
124 sspwuni 4253 . . . . . . 7  |-  ( (
topGen `  ( J qTop  F
) )  C_  ~P Y 
<-> 
U. ( topGen `  ( J qTop  F ) )  C_  Y )
125123, 124sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  ( topGen `
 ( J qTop  F
) )  C_  ~P Y )
126125sseld 3352 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  (
x  e.  ( topGen `  ( J qTop  F ) )  ->  x  e.  ~P Y ) )
127 elpwi 3866 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~P Y  ->  x  C_  Y )
128126, 127syl6 33 . . . 4  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  (
x  e.  ( topGen `  ( J qTop  F ) )  ->  x  C_  Y
) )
129128pm4.71rd 630 . . 3  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  (
x  e.  ( topGen `  ( J qTop  F ) )  <->  ( x  C_  Y  /\  x  e.  (
topGen `  ( J qTop  F
) ) ) ) )
130104, 111, 1293bitr4d 285 . 2  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  (
x  e.  ( (
topGen `  J ) qTop  F
)  <->  x  e.  ( topGen `
 ( J qTop  F
) ) ) )
131130eqrdv 2439 1  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  (
( topGen `  J ) qTop  F )  =  ( topGen `  ( J qTop  F ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   E.wrex 2714   _Vcvv 2970    i^i cin 3324    C_ wss 3325   ~Pcpw 3857   U.cuni 4088   `'ccnv 4835   dom cdm 4836   ran crn 4837   "cima 4839   Fun wfun 5409    Fn wfn 5410   -1-1->wf1 5412   -onto->wfo 5413   -1-1-onto->wf1o 5414   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   topGenctg 14372   qTop cqtop 14437  TopOnctopon 18458   TopBasesctb 18461
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-topgen 14378  df-qtop 14441  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465
This theorem is referenced by:  imasf1oxms  20023
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