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Theorem tgqtop 20804
Description: An injection maps generated topologies to each other. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
qtopcmp.1 |- X = U. J
Assertion
Ref Expression
tgqtop |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( ( topGen ` J ) qTop F ) = ( topGen ` ( J qTop F ) ) )
Proof of Theorem tgqtop
Dummy variables x w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1ocnv 5840 . . . . . . . . 9 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> `' F : Y -1-1-onto-> X )
2 f1ofun 5830 . . . . . . . . 9 |- ( `' F : Y -1-1-onto-> X -> Fun `' F )
31, 2syl 17 . . . . . . . 8 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> Fun `' F )
43ad2antlr 741 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) -> Fun `' F )
5 simpr 468 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) -> x C_ Y )
6 df-rn 4850 . . . . . . . . 9 |- ran F = dom `' F
7 f1ofo 5835 . . . . . . . . . . 11 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> F : X -onto-> Y )
87ad2antlr 741 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) -> F : X -onto-> Y )
9 forn 5809 . . . . . . . . . 10 |- ( F : X -onto-> Y -> ran F = Y )
108, 9syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) -> ran F = Y )
116, 10syl5eqr 2519 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) -> dom `' F = Y )
125, 11sseqtr4d 3455 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) -> x C_ dom `' F )
13 funimass4 5930 . . . . . . 7 |- ( ( Fun `' F /\ x C_ dom `' F ) -> ( ( `' F " x ) C_ U. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) <-> A. y e. x ( `' F ` y ) e. U. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) ) )
144, 12, 13syl2anc 673 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) -> ( ( `' F " x ) C_ U. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) <-> A. y e. x ( `' F ` y ) e. U. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) ) )
15 dfss3 3408 . . . . . . 7 |- ( x C_ U. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) <-> A. y e. x y e. U. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) )
16 inss1 3643 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) C_ ( J qTop F )
17 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) /\ y e. z ) ) -> z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) )
1816, 17sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) /\ y e. z ) ) -> z e. ( J qTop F ) )
19 qtopcmp.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- X = U. J
2019elqtop2 20793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -onto-> Y ) -> ( z e. ( J qTop F ) <-> ( z C_ Y /\ ( `' F " z ) e. J ) ) )
217, 20sylan2 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( z e. ( J qTop F ) <-> ( z C_ Y /\ ( `' F " z ) e. J ) ) )
2221ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) /\ y e. z ) ) -> ( z e. ( J qTop F ) <-> ( z C_ Y /\ ( `' F " z ) e. J ) ) )
2318, 22mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) /\ y e. z ) ) -> ( z C_ Y /\ ( `' F " z ) e. J ) )
2423simprd 470 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) /\ y e. z ) ) -> ( `' F " z ) e. J )
25 inss2 3644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) C_ ~P x
2625, 17sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) /\ y e. z ) ) -> z e. ~P x )
2726elpwid 3952 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) /\ y e. z ) ) -> z C_ x )
28 imass2 5210 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z C_ x -> ( `' F " z ) C_ ( `' F " x ) )
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) /\ y e. z ) ) -> ( `' F " z ) C_ ( `' F " x ) )
30 elpwg 3950 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( `' F " z ) e. J -> ( ( `' F " z ) e. ~P ( `' F " x ) <-> ( `' F " z ) C_ ( `' F " x ) ) )
3124, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) /\ y e. z ) ) -> ( ( `' F " z ) e. ~P ( `' F " x ) <-> ( `' F " z ) C_ ( `' F " x ) ) )
3229, 31mpbird 240 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) /\ y e. z ) ) -> ( `' F " z ) e. ~P ( `' F " x ) )
3324, 32elind 3609 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) /\ y e. z ) ) -> ( `' F " z ) e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) )
34 simp-4r 785 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) /\ y e. z ) ) -> F : X -1-1-onto-> Y )
3534, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) /\ y e. z ) ) -> `' F : Y -1-1-onto-> X )
36 f1ofn 5829 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( `' F : Y -1-1-onto-> X -> `' F Fn Y )
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) /\ y e. z ) ) -> `' F Fn Y )
385ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) /\ y e. z ) ) -> x C_ Y )
3927, 38sstrd 3428 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) /\ y e. z ) ) -> z C_ Y )
40 simprr 774 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) /\ y e. z ) ) -> y e. z )
41 fnfvima 6161 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( `' F Fn Y /\ z C_ Y /\ y e. z ) -> ( `' F ` y ) e. ( `' F " z ) )
4237, 39, 40, 41syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) /\ y e. z ) ) -> ( `' F ` y ) e. ( `' F " z ) )
43 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( `' F " z ) -> ( ( `' F ` y ) e. w <-> ( `' F ` y ) e. ( `' F " z ) ) )
4443rspcev 3136 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( `' F " z ) e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. ( `' F " z ) ) -> E. w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) ( `' F ` y ) e. w )
4533, 42, 44syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) /\ y e. z ) ) -> E. w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) ( `' F ` y ) e. w )
4645rexlimdvaa 2872 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) -> ( E. z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) y e. z -> E. w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) ( `' F ` y ) e. w ) )
47 simp-4r 785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> F : X -1-1-onto-> Y )
48 f1ofun 5830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> Fun F )
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> Fun F )
50 inss2 3644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) C_ ~P ( `' F " x )
51 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) )
5250, 51sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> w e. ~P ( `' F " x ) )
5352elpwid 3952 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> w C_ ( `' F " x ) )
54 funimass2 5667 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Fun F /\ w C_ ( `' F " x ) ) -> ( F " w ) C_ x )
5549, 53, 54syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> ( F " w ) C_ x )
565ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> x C_ Y )
5755, 56sstrd 3428 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> ( F " w ) C_ Y )
58 f1of1 5827 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> F : X -1-1-> Y )
5947, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> F : X -1-1-> Y )
60 inss1 3643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) C_ J
6160, 51sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> w e. J )
62 elssuni 4219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w e. J -> w C_ U. J )
6362, 19syl6sseqr 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w e. J -> w C_ X )
6461, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> w C_ X )
65 f1imacnv 5844 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F : X -1-1-> Y /\ w C_ X ) -> ( `' F " ( F " w ) ) = w )
6659, 64, 65syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> ( `' F " ( F " w ) ) = w )
6766, 61eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> ( `' F " ( F " w ) ) e. J )
6819elqtop2 20793 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -onto-> Y ) -> ( ( F " w ) e. ( J qTop F ) <-> ( ( F " w ) C_ Y /\ ( `' F " ( F " w ) ) e. J ) ) )
697, 68sylan2 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( ( F " w ) e. ( J qTop F ) <-> ( ( F " w ) C_ Y /\ ( `' F " ( F " w ) ) e. J ) ) )
7069ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> ( ( F " w ) e. ( J qTop F ) <-> ( ( F " w ) C_ Y /\ ( `' F " ( F " w ) ) e. J ) ) )
7157, 67, 70mpbir2and 936 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> ( F " w ) e. ( J qTop F ) )
72 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- x e. _V
7372elpw2 4565 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F " w ) e. ~P x <-> ( F " w ) C_ x )
7455, 73sylibr 217 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> ( F " w ) e. ~P x )
7571, 74elind 3609 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> ( F " w ) e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) )
765sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) -> y e. Y )
7776adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> y e. Y )
78 f1ocnvfv2 6194 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F : X -1-1-onto-> Y /\ y e. Y ) -> ( F ` ( `' F ` y ) ) = y )
7947, 77, 78syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> ( F ` ( `' F ` y ) ) = y )
80 f1ofn 5829 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> F Fn X )
8180adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> F Fn X )
8281ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> F Fn X )
83 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> ( `' F ` y ) e. w )
84 fnfvima 6161 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F Fn X /\ w C_ X /\ ( `' F ` y ) e. w ) -> ( F ` ( `' F ` y ) ) e. ( F " w ) )
8582, 64, 83, 84syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> ( F ` ( `' F ` y ) ) e. ( F " w ) )
8679, 85eqeltrrd 2550 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> y e. ( F " w ) )
87 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( F " w ) -> ( y e. z <-> y e. ( F " w ) ) )
8887rspcev 3136 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F " w ) e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) /\ y e. ( F " w ) ) -> E. z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) y e. z )
8975, 86, 88syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> E. z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) y e. z )
9089rexlimdvaa 2872 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) -> ( E. w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) ( `' F ` y ) e. w -> E. z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) y e. z ) )
9146, 90impbid 195 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) -> ( E. z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) y e. z <-> E. w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) ( `' F ` y ) e. w ) )
92 eluni2 4194 . . . . . . . . 9 |- ( y e. U. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) <-> E. z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) y e. z )
93 eluni2 4194 . . . . . . . . 9 |- ( ( `' F ` y ) e. U. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) <-> E. w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) ( `' F ` y ) e. w )
9491, 92, 933bitr4g 296 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) -> ( y e. U. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) <-> ( `' F ` y ) e. U. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) ) )
9594ralbidva 2828 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) -> ( A. y e. x y e. U. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) <-> A. y e. x ( `' F ` y ) e. U. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) ) )
9615, 95syl5bb 265 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) -> ( x C_ U. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) <-> A. y e. x ( `' F ` y ) e. U. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) ) )
9714, 96bitr4d 264 . . . . 5 |- ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) -> ( ( `' F " x ) C_ U. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) <-> x C_ U. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) ) )
98 eltg 20049 . . . . . 6 |- ( J e. TopBases -> ( ( `' F " x ) e. ( topGen ` J ) <-> ( `' F " x ) C_ U. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) ) )
9998ad2antrr 740 . . . . 5 |- ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) -> ( ( `' F " x ) e. ( topGen ` J ) <-> ( `' F " x ) C_ U. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) ) )
100 ovex 6336 . . . . . 6 |- ( J qTop F ) e. _V
101 eltg 20049 . . . . . 6 |- ( ( J qTop F ) e. _V -> ( x e. ( topGen ` ( J qTop F ) ) <-> x C_ U. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) ) )
102100, 101mp1i 13 . . . . 5 |- ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) -> ( x e. ( topGen ` ( J qTop F ) ) <-> x C_ U. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) ) )
10397, 99, 1023bitr4d 293 . . . 4 |- ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) -> ( ( `' F " x ) e. ( topGen ` J ) <-> x e. ( topGen ` ( J qTop F ) ) ) )
104103pm5.32da 653 . . 3 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. ( topGen ` J ) ) <-> ( x C_ Y /\ x e. ( topGen ` ( J qTop F ) ) ) ) )
105 tgtopon 20064 . . . . . 6 |- ( J e. TopBases -> ( topGen ` J ) e. (TopOn ` U. J ) )
106105adantr 472 . . . . 5 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( topGen ` J ) e. (TopOn ` U. J ) )
10719fveq2i 5882 . . . . 5 |- (TopOn ` X ) = (TopOn ` U. J )
108106, 107syl6eleqr 2560 . . . 4 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( topGen ` J ) e. (TopOn ` X ) )
1097adantl 473 . . . 4 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> F : X -onto-> Y )
110 elqtop3 20795 . . . 4 |- ( ( ( topGen ` J ) e. (TopOn ` X ) /\ F : X -onto-> Y ) -> ( x e. ( ( topGen ` J ) qTop F ) <-> ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. ( topGen ` J ) ) ) )
111108, 109, 110syl2anc 673 . . 3 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( x e. ( ( topGen ` J ) qTop F ) <-> ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. ( topGen ` J ) ) ) )
112 unitg 20059 . . . . . . . . 9 |- ( ( J qTop F ) e. _V -> U. ( topGen ` ( J qTop F ) ) = U. ( J qTop F ) )
113100, 112ax-mp 5 . . . . . . . 8 |- U. ( topGen ` ( J qTop F ) ) = U. ( J qTop F )
11419elqtop2 20793 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -onto-> Y ) -> ( x e. ( J qTop F ) <-> ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) ) )
1157, 114sylan2 482 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( x e. ( J qTop F ) <-> ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) ) )
116 simpl 464 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) -> x C_ Y )
117 selpw 3949 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ~P Y <-> x C_ Y )
118116, 117sylibr 217 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) -> x e. ~P Y )
119115, 118syl6bi 236 . . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( x e. ( J qTop F ) -> x e. ~P Y ) )
120119ssrdv 3424 . . . . . . . . 9 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( J qTop F ) C_ ~P Y )
121 sspwuni 4360 . . . . . . . . 9 |- ( ( J qTop F ) C_ ~P Y <-> U. ( J qTop F ) C_ Y )
122120, 121sylib 201 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> U. ( J qTop F ) C_ Y )
123113, 122syl5eqss 3462 . . . . . . 7 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> U. ( topGen ` ( J qTop F ) ) C_ Y )
124 sspwuni 4360 . . . . . . 7 |- ( ( topGen ` ( J qTop F ) ) C_ ~P Y <-> U. ( topGen ` ( J qTop F ) ) C_ Y )
125123, 124sylibr 217 . . . . . 6 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( topGen ` ( J qTop F ) ) C_ ~P Y )
126125sseld 3417 . . . . 5 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( x e. ( topGen ` ( J qTop F ) ) -> x e. ~P Y ) )
127126, 117syl6ib 234 . . . 4 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( x e. ( topGen ` ( J qTop F ) ) -> x C_ Y ) )
128127pm4.71rd 647 . . 3 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( x e. ( topGen ` ( J qTop F ) ) <-> ( x C_ Y /\ x e. ( topGen ` ( J qTop F ) ) ) ) )
129104, 111, 1283bitr4d 293 . 2 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( x e. ( ( topGen ` J ) qTop F ) <-> x e. ( topGen ` ( J qTop F ) ) ) )
130129eqrdv 2469 1 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( ( topGen ` J ) qTop F ) = ( topGen ` ( J qTop F ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   i^i cin 3389   C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   ran crn 4840   "cima 4842   Fun wfun 5583   Fn wfn 5584   -1-1->wf1 5586   -onto->wfo 5587   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   topGenctg 15414   qTop cqtop 15479  TopOnctopon 19995   TopBasesctb 19997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-topgen 15420  df-qtop 15484  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000
This theorem is referenced by:  imasf1oxms  21582
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