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Theorem tgqtop 20727
Description: An injection maps generated topologies to each other. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
qtopcmp.1 |- X = U. J
Assertion
Ref Expression
tgqtop |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( ( topGen ` J ) qTop F ) = ( topGen ` ( J qTop F ) ) )
Proof of Theorem tgqtop
Dummy variables x w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1ocnv 5826 . . . . . . . . 9 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> `' F : Y -1-1-onto-> X )
2 f1ofun 5816 . . . . . . . . 9 |- ( `' F : Y -1-1-onto-> X -> Fun `' F )
31, 2syl 17 . . . . . . . 8 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> Fun `' F )
43ad2antlr 733 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) -> Fun `' F )
5 simpr 463 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) -> x C_ Y )
6 df-rn 4845 . . . . . . . . 9 |- ran F = dom `' F
7 f1ofo 5821 . . . . . . . . . . 11 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> F : X -onto-> Y )
87ad2antlr 733 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) -> F : X -onto-> Y )
9 forn 5796 . . . . . . . . . 10 |- ( F : X -onto-> Y -> ran F = Y )
108, 9syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) -> ran F = Y )
116, 10syl5eqr 2499 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) -> dom `' F = Y )
125, 11sseqtr4d 3469 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) -> x C_ dom `' F )
13 funimass4 5916 . . . . . . 7 |- ( ( Fun `' F /\ x C_ dom `' F ) -> ( ( `' F " x ) C_ U. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) <-> A. y e. x ( `' F ` y ) e. U. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) ) )
144, 12, 13syl2anc 667 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) -> ( ( `' F " x ) C_ U. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) <-> A. y e. x ( `' F ` y ) e. U. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) ) )
15 dfss3 3422 . . . . . . 7 |- ( x C_ U. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) <-> A. y e. x y e. U. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) )
16 inss1 3652 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) C_ ( J qTop F )
17 simprl 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) /\ y e. z ) ) -> z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) )
1816, 17sseldi 3430 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) /\ y e. z ) ) -> z e. ( J qTop F ) )
19 qtopcmp.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- X = U. J
2019elqtop2 20716 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -onto-> Y ) -> ( z e. ( J qTop F ) <-> ( z C_ Y /\ ( `' F " z ) e. J ) ) )
217, 20sylan2 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( z e. ( J qTop F ) <-> ( z C_ Y /\ ( `' F " z ) e. J ) ) )
2221ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) /\ y e. z ) ) -> ( z e. ( J qTop F ) <-> ( z C_ Y /\ ( `' F " z ) e. J ) ) )
2318, 22mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) /\ y e. z ) ) -> ( z C_ Y /\ ( `' F " z ) e. J ) )
2423simprd 465 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) /\ y e. z ) ) -> ( `' F " z ) e. J )
25 inss2 3653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) C_ ~P x
2625, 17sseldi 3430 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) /\ y e. z ) ) -> z e. ~P x )
2726elpwid 3961 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) /\ y e. z ) ) -> z C_ x )
28 imass2 5204 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z C_ x -> ( `' F " z ) C_ ( `' F " x ) )
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) /\ y e. z ) ) -> ( `' F " z ) C_ ( `' F " x ) )
30 elpwg 3959 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( `' F " z ) e. J -> ( ( `' F " z ) e. ~P ( `' F " x ) <-> ( `' F " z ) C_ ( `' F " x ) ) )
3124, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) /\ y e. z ) ) -> ( ( `' F " z ) e. ~P ( `' F " x ) <-> ( `' F " z ) C_ ( `' F " x ) ) )
3229, 31mpbird 236 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) /\ y e. z ) ) -> ( `' F " z ) e. ~P ( `' F " x ) )
3324, 32elind 3618 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) /\ y e. z ) ) -> ( `' F " z ) e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) )
34 simp-4r 777 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) /\ y e. z ) ) -> F : X -1-1-onto-> Y )
3534, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) /\ y e. z ) ) -> `' F : Y -1-1-onto-> X )
36 f1ofn 5815 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( `' F : Y -1-1-onto-> X -> `' F Fn Y )
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) /\ y e. z ) ) -> `' F Fn Y )
385ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) /\ y e. z ) ) -> x C_ Y )
3927, 38sstrd 3442 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) /\ y e. z ) ) -> z C_ Y )
40 simprr 766 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) /\ y e. z ) ) -> y e. z )
41 fnfvima 6143 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( `' F Fn Y /\ z C_ Y /\ y e. z ) -> ( `' F ` y ) e. ( `' F " z ) )
4237, 39, 40, 41syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) /\ y e. z ) ) -> ( `' F ` y ) e. ( `' F " z ) )
43 eleq2 2518 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( `' F " z ) -> ( ( `' F ` y ) e. w <-> ( `' F ` y ) e. ( `' F " z ) ) )
4443rspcev 3150 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( `' F " z ) e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. ( `' F " z ) ) -> E. w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) ( `' F ` y ) e. w )
4533, 42, 44syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) /\ y e. z ) ) -> E. w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) ( `' F ` y ) e. w )
4645rexlimdvaa 2880 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) -> ( E. z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) y e. z -> E. w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) ( `' F ` y ) e. w ) )
47 simp-4r 777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> F : X -1-1-onto-> Y )
48 f1ofun 5816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> Fun F )
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> Fun F )
50 inss2 3653 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) C_ ~P ( `' F " x )
51 simprl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) )
5250, 51sseldi 3430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> w e. ~P ( `' F " x ) )
5352elpwid 3961 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> w C_ ( `' F " x ) )
54 funimass2 5657 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Fun F /\ w C_ ( `' F " x ) ) -> ( F " w ) C_ x )
5549, 53, 54syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> ( F " w ) C_ x )
565ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> x C_ Y )
5755, 56sstrd 3442 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> ( F " w ) C_ Y )
58 f1of1 5813 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> F : X -1-1-> Y )
5947, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> F : X -1-1-> Y )
60 inss1 3652 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) C_ J
6160, 51sseldi 3430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> w e. J )
62 elssuni 4227 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w e. J -> w C_ U. J )
6362, 19syl6sseqr 3479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w e. J -> w C_ X )
6461, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> w C_ X )
65 f1imacnv 5830 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F : X -1-1-> Y /\ w C_ X ) -> ( `' F " ( F " w ) ) = w )
6659, 64, 65syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> ( `' F " ( F " w ) ) = w )
6766, 61eqeltrd 2529 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> ( `' F " ( F " w ) ) e. J )
6819elqtop2 20716 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -onto-> Y ) -> ( ( F " w ) e. ( J qTop F ) <-> ( ( F " w ) C_ Y /\ ( `' F " ( F " w ) ) e. J ) ) )
697, 68sylan2 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( ( F " w ) e. ( J qTop F ) <-> ( ( F " w ) C_ Y /\ ( `' F " ( F " w ) ) e. J ) ) )
7069ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> ( ( F " w ) e. ( J qTop F ) <-> ( ( F " w ) C_ Y /\ ( `' F " ( F " w ) ) e. J ) ) )
7157, 67, 70mpbir2and 933 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> ( F " w ) e. ( J qTop F ) )
72 vex 3048 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- x e. _V
7372elpw2 4567 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F " w ) e. ~P x <-> ( F " w ) C_ x )
7455, 73sylibr 216 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> ( F " w ) e. ~P x )
7571, 74elind 3618 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> ( F " w ) e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) )
765sselda 3432 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) -> y e. Y )
7776adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> y e. Y )
78 f1ocnvfv2 6176 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F : X -1-1-onto-> Y /\ y e. Y ) -> ( F ` ( `' F ` y ) ) = y )
7947, 77, 78syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> ( F ` ( `' F ` y ) ) = y )
80 f1ofn 5815 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> F Fn X )
8180adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> F Fn X )
8281ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> F Fn X )
83 simprr 766 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> ( `' F ` y ) e. w )
84 fnfvima 6143 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F Fn X /\ w C_ X /\ ( `' F ` y ) e. w ) -> ( F ` ( `' F ` y ) ) e. ( F " w ) )
8582, 64, 83, 84syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> ( F ` ( `' F ` y ) ) e. ( F " w ) )
8679, 85eqeltrrd 2530 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> y e. ( F " w ) )
87 eleq2 2518 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( F " w ) -> ( y e. z <-> y e. ( F " w ) ) )
8887rspcev 3150 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F " w ) e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) /\ y e. ( F " w ) ) -> E. z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) y e. z )
8975, 86, 88syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> E. z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) y e. z )
9089rexlimdvaa 2880 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) -> ( E. w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) ( `' F ` y ) e. w -> E. z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) y e. z ) )
9146, 90impbid 194 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) -> ( E. z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) y e. z <-> E. w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) ( `' F ` y ) e. w ) )
92 eluni2 4202 . . . . . . . . 9 |- ( y e. U. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) <-> E. z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) y e. z )
93 eluni2 4202 . . . . . . . . 9 |- ( ( `' F ` y ) e. U. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) <-> E. w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) ( `' F ` y ) e. w )
9491, 92, 933bitr4g 292 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) -> ( y e. U. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) <-> ( `' F ` y ) e. U. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) ) )
9594ralbidva 2824 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) -> ( A. y e. x y e. U. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) <-> A. y e. x ( `' F ` y ) e. U. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) ) )
9615, 95syl5bb 261 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) -> ( x C_ U. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) <-> A. y e. x ( `' F ` y ) e. U. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) ) )
9714, 96bitr4d 260 . . . . 5 |- ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) -> ( ( `' F " x ) C_ U. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) <-> x C_ U. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) ) )
98 eltg 19972 . . . . . 6 |- ( J e. TopBases -> ( ( `' F " x ) e. ( topGen ` J ) <-> ( `' F " x ) C_ U. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) ) )
9998ad2antrr 732 . . . . 5 |- ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) -> ( ( `' F " x ) e. ( topGen ` J ) <-> ( `' F " x ) C_ U. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) ) )
100 ovex 6318 . . . . . 6 |- ( J qTop F ) e. _V
101 eltg 19972 . . . . . 6 |- ( ( J qTop F ) e. _V -> ( x e. ( topGen ` ( J qTop F ) ) <-> x C_ U. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) ) )
102100, 101mp1i 13 . . . . 5 |- ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) -> ( x e. ( topGen ` ( J qTop F ) ) <-> x C_ U. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) ) )
10397, 99, 1023bitr4d 289 . . . 4 |- ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) -> ( ( `' F " x ) e. ( topGen ` J ) <-> x e. ( topGen ` ( J qTop F ) ) ) )
104103pm5.32da 647 . . 3 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. ( topGen ` J ) ) <-> ( x C_ Y /\ x e. ( topGen ` ( J qTop F ) ) ) ) )
105 tgtopon 19987 . . . . . 6 |- ( J e. TopBases -> ( topGen ` J ) e. (TopOn ` U. J ) )
106105adantr 467 . . . . 5 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( topGen ` J ) e. (TopOn ` U. J ) )
10719fveq2i 5868 . . . . 5 |- (TopOn ` X ) = (TopOn ` U. J )
108106, 107syl6eleqr 2540 . . . 4 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( topGen ` J ) e. (TopOn ` X ) )
1097adantl 468 . . . 4 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> F : X -onto-> Y )
110 elqtop3 20718 . . . 4 |- ( ( ( topGen ` J ) e. (TopOn ` X ) /\ F : X -onto-> Y ) -> ( x e. ( ( topGen ` J ) qTop F ) <-> ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. ( topGen ` J ) ) ) )
111108, 109, 110syl2anc 667 . . 3 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( x e. ( ( topGen ` J ) qTop F ) <-> ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. ( topGen ` J ) ) ) )
112 unitg 19982 . . . . . . . . 9 |- ( ( J qTop F ) e. _V -> U. ( topGen ` ( J qTop F ) ) = U. ( J qTop F ) )
113100, 112ax-mp 5 . . . . . . . 8 |- U. ( topGen ` ( J qTop F ) ) = U. ( J qTop F )
11419elqtop2 20716 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -onto-> Y ) -> ( x e. ( J qTop F ) <-> ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) ) )
1157, 114sylan2 477 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( x e. ( J qTop F ) <-> ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) ) )
116 simpl 459 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) -> x C_ Y )
117 selpw 3958 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ~P Y <-> x C_ Y )
118116, 117sylibr 216 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) -> x e. ~P Y )
119115, 118syl6bi 232 . . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( x e. ( J qTop F ) -> x e. ~P Y ) )
120119ssrdv 3438 . . . . . . . . 9 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( J qTop F ) C_ ~P Y )
121 sspwuni 4367 . . . . . . . . 9 |- ( ( J qTop F ) C_ ~P Y <-> U. ( J qTop F ) C_ Y )
122120, 121sylib 200 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> U. ( J qTop F ) C_ Y )
123113, 122syl5eqss 3476 . . . . . . 7 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> U. ( topGen ` ( J qTop F ) ) C_ Y )
124 sspwuni 4367 . . . . . . 7 |- ( ( topGen ` ( J qTop F ) ) C_ ~P Y <-> U. ( topGen ` ( J qTop F ) ) C_ Y )
125123, 124sylibr 216 . . . . . 6 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( topGen ` ( J qTop F ) ) C_ ~P Y )
126125sseld 3431 . . . . 5 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( x e. ( topGen ` ( J qTop F ) ) -> x e. ~P Y ) )
127126, 117syl6ib 230 . . . 4 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( x e. ( topGen ` ( J qTop F ) ) -> x C_ Y ) )
128127pm4.71rd 641 . . 3 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( x e. ( topGen ` ( J qTop F ) ) <-> ( x C_ Y /\ x e. ( topGen ` ( J qTop F ) ) ) ) )
129104, 111, 1283bitr4d 289 . 2 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( x e. ( ( topGen ` J ) qTop F ) <-> x e. ( topGen ` ( J qTop F ) ) ) )
130129eqrdv 2449 1 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( ( topGen ` J ) qTop F ) = ( topGen ` ( J qTop F ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   _Vcvv 3045   i^i cin 3403   C_ wss 3404   ~Pcpw 3951   U.cuni 4198   `'ccnv 4833   dom cdm 4834   ran crn 4835   "cima 4837   Fun wfun 5576   Fn wfn 5577   -1-1->wf1 5579   -onto->wfo 5580   -1-1-onto->wf1o 5581   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   topGenctg 15336   qTop cqtop 15401  TopOnctopon 19918   TopBasesctb 19920
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-topgen 15342  df-qtop 15406  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923
This theorem is referenced by:  imasf1oxms  21504
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