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Theorem tgqtop 20714
Description: An injection maps generated topologies to each other. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
qtopcmp.1 |- X = U. J
Assertion
Ref Expression
tgqtop |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( ( topGen ` J ) qTop F ) = ( topGen ` ( J qTop F ) ) )
Proof of Theorem tgqtop
Dummy variables x w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1ocnv 5840 . . . . . . . . 9 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> `' F : Y -1-1-onto-> X )
2 f1ofun 5830 . . . . . . . . 9 |- ( `' F : Y -1-1-onto-> X -> Fun `' F )
31, 2syl 17 . . . . . . . 8 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> Fun `' F )
43ad2antlr 731 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) -> Fun `' F )
5 simpr 462 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) -> x C_ Y )
6 df-rn 4861 . . . . . . . . 9 |- ran F = dom `' F
7 f1ofo 5835 . . . . . . . . . . 11 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> F : X -onto-> Y )
87ad2antlr 731 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) -> F : X -onto-> Y )
9 forn 5810 . . . . . . . . . 10 |- ( F : X -onto-> Y -> ran F = Y )
108, 9syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) -> ran F = Y )
116, 10syl5eqr 2477 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) -> dom `' F = Y )
125, 11sseqtr4d 3501 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) -> x C_ dom `' F )
13 funimass4 5929 . . . . . . 7 |- ( ( Fun `' F /\ x C_ dom `' F ) -> ( ( `' F " x ) C_ U. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) <-> A. y e. x ( `' F ` y ) e. U. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) ) )
144, 12, 13syl2anc 665 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) -> ( ( `' F " x ) C_ U. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) <-> A. y e. x ( `' F ` y ) e. U. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) ) )
15 dfss3 3454 . . . . . . 7 |- ( x C_ U. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) <-> A. y e. x y e. U. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) )
16 inss1 3682 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) C_ ( J qTop F )
17 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) /\ y e. z ) ) -> z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) )
1816, 17sseldi 3462 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) /\ y e. z ) ) -> z e. ( J qTop F ) )
19 qtopcmp.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- X = U. J
2019elqtop2 20703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -onto-> Y ) -> ( z e. ( J qTop F ) <-> ( z C_ Y /\ ( `' F " z ) e. J ) ) )
217, 20sylan2 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( z e. ( J qTop F ) <-> ( z C_ Y /\ ( `' F " z ) e. J ) ) )
2221ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) /\ y e. z ) ) -> ( z e. ( J qTop F ) <-> ( z C_ Y /\ ( `' F " z ) e. J ) ) )
2318, 22mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) /\ y e. z ) ) -> ( z C_ Y /\ ( `' F " z ) e. J ) )
2423simprd 464 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) /\ y e. z ) ) -> ( `' F " z ) e. J )
25 inss2 3683 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) C_ ~P x
2625, 17sseldi 3462 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) /\ y e. z ) ) -> z e. ~P x )
2726elpwid 3989 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) /\ y e. z ) ) -> z C_ x )
28 imass2 5220 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z C_ x -> ( `' F " z ) C_ ( `' F " x ) )
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) /\ y e. z ) ) -> ( `' F " z ) C_ ( `' F " x ) )
30 elpwg 3987 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( `' F " z ) e. J -> ( ( `' F " z ) e. ~P ( `' F " x ) <-> ( `' F " z ) C_ ( `' F " x ) ) )
3124, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) /\ y e. z ) ) -> ( ( `' F " z ) e. ~P ( `' F " x ) <-> ( `' F " z ) C_ ( `' F " x ) ) )
3229, 31mpbird 235 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) /\ y e. z ) ) -> ( `' F " z ) e. ~P ( `' F " x ) )
3324, 32elind 3650 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) /\ y e. z ) ) -> ( `' F " z ) e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) )
34 simp-4r 775 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) /\ y e. z ) ) -> F : X -1-1-onto-> Y )
3534, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) /\ y e. z ) ) -> `' F : Y -1-1-onto-> X )
36 f1ofn 5829 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( `' F : Y -1-1-onto-> X -> `' F Fn Y )
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) /\ y e. z ) ) -> `' F Fn Y )
385ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) /\ y e. z ) ) -> x C_ Y )
3927, 38sstrd 3474 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) /\ y e. z ) ) -> z C_ Y )
40 simprr 764 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) /\ y e. z ) ) -> y e. z )
41 fnfvima 6155 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( `' F Fn Y /\ z C_ Y /\ y e. z ) -> ( `' F ` y ) e. ( `' F " z ) )
4237, 39, 40, 41syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) /\ y e. z ) ) -> ( `' F ` y ) e. ( `' F " z ) )
43 eleq2 2495 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( `' F " z ) -> ( ( `' F ` y ) e. w <-> ( `' F ` y ) e. ( `' F " z ) ) )
4443rspcev 3182 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( `' F " z ) e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. ( `' F " z ) ) -> E. w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) ( `' F ` y ) e. w )
4533, 42, 44syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) /\ y e. z ) ) -> E. w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) ( `' F ` y ) e. w )
4645rexlimdvaa 2918 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) -> ( E. z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) y e. z -> E. w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) ( `' F ` y ) e. w ) )
47 simp-4r 775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> F : X -1-1-onto-> Y )
48 f1ofun 5830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> Fun F )
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> Fun F )
50 inss2 3683 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) C_ ~P ( `' F " x )
51 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) )
5250, 51sseldi 3462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> w e. ~P ( `' F " x ) )
5352elpwid 3989 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> w C_ ( `' F " x ) )
54 funimass2 5672 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Fun F /\ w C_ ( `' F " x ) ) -> ( F " w ) C_ x )
5549, 53, 54syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> ( F " w ) C_ x )
565ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> x C_ Y )
5755, 56sstrd 3474 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> ( F " w ) C_ Y )
58 f1of1 5827 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> F : X -1-1-> Y )
5947, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> F : X -1-1-> Y )
60 inss1 3682 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) C_ J
6160, 51sseldi 3462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> w e. J )
62 elssuni 4245 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w e. J -> w C_ U. J )
6362, 19syl6sseqr 3511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w e. J -> w C_ X )
6461, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> w C_ X )
65 f1imacnv 5844 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F : X -1-1-> Y /\ w C_ X ) -> ( `' F " ( F " w ) ) = w )
6659, 64, 65syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> ( `' F " ( F " w ) ) = w )
6766, 61eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> ( `' F " ( F " w ) ) e. J )
6819elqtop2 20703 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -onto-> Y ) -> ( ( F " w ) e. ( J qTop F ) <-> ( ( F " w ) C_ Y /\ ( `' F " ( F " w ) ) e. J ) ) )
697, 68sylan2 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( ( F " w ) e. ( J qTop F ) <-> ( ( F " w ) C_ Y /\ ( `' F " ( F " w ) ) e. J ) ) )
7069ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> ( ( F " w ) e. ( J qTop F ) <-> ( ( F " w ) C_ Y /\ ( `' F " ( F " w ) ) e. J ) ) )
7157, 67, 70mpbir2and 930 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> ( F " w ) e. ( J qTop F ) )
72 vex 3084 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- x e. _V
7372elpw2 4585 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F " w ) e. ~P x <-> ( F " w ) C_ x )
7455, 73sylibr 215 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> ( F " w ) e. ~P x )
7571, 74elind 3650 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> ( F " w ) e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) )
765sselda 3464 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) -> y e. Y )
7776adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> y e. Y )
78 f1ocnvfv2 6188 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F : X -1-1-onto-> Y /\ y e. Y ) -> ( F ` ( `' F ` y ) ) = y )
7947, 77, 78syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> ( F ` ( `' F ` y ) ) = y )
80 f1ofn 5829 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> F Fn X )
8180adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> F Fn X )
8281ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> F Fn X )
83 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> ( `' F ` y ) e. w )
84 fnfvima 6155 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F Fn X /\ w C_ X /\ ( `' F ` y ) e. w ) -> ( F ` ( `' F ` y ) ) e. ( F " w ) )
8582, 64, 83, 84syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> ( F ` ( `' F ` y ) ) e. ( F " w ) )
8679, 85eqeltrrd 2511 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> y e. ( F " w ) )
87 eleq2 2495 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( F " w ) -> ( y e. z <-> y e. ( F " w ) ) )
8887rspcev 3182 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F " w ) e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) /\ y e. ( F " w ) ) -> E. z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) y e. z )
8975, 86, 88syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) /\ ( w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) /\ ( `' F ` y ) e. w ) ) -> E. z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) y e. z )
9089rexlimdvaa 2918 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) -> ( E. w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) ( `' F ` y ) e. w -> E. z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) y e. z ) )
9146, 90impbid 193 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) -> ( E. z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) y e. z <-> E. w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) ( `' F ` y ) e. w ) )
92 eluni2 4220 . . . . . . . . 9 |- ( y e. U. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) <-> E. z e. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) y e. z )
93 eluni2 4220 . . . . . . . . 9 |- ( ( `' F ` y ) e. U. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) <-> E. w e. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) ( `' F ` y ) e. w )
9491, 92, 933bitr4g 291 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) /\ y e. x ) -> ( y e. U. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) <-> ( `' F ` y ) e. U. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) ) )
9594ralbidva 2861 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) -> ( A. y e. x y e. U. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) <-> A. y e. x ( `' F ` y ) e. U. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) ) )
9615, 95syl5bb 260 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) -> ( x C_ U. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) <-> A. y e. x ( `' F ` y ) e. U. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) ) )
9714, 96bitr4d 259 . . . . 5 |- ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) -> ( ( `' F " x ) C_ U. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) <-> x C_ U. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) ) )
98 eltg 19959 . . . . . 6 |- ( J e. TopBases -> ( ( `' F " x ) e. ( topGen ` J ) <-> ( `' F " x ) C_ U. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) ) )
9998ad2antrr 730 . . . . 5 |- ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) -> ( ( `' F " x ) e. ( topGen ` J ) <-> ( `' F " x ) C_ U. ( J i^i ~P ( `' F " x ) ) ) )
100 ovex 6330 . . . . . 6 |- ( J qTop F ) e. _V
101 eltg 19959 . . . . . 6 |- ( ( J qTop F ) e. _V -> ( x e. ( topGen ` ( J qTop F ) ) <-> x C_ U. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) ) )
102100, 101mp1i 13 . . . . 5 |- ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) -> ( x e. ( topGen ` ( J qTop F ) ) <-> x C_ U. ( ( J qTop F ) i^i ~P x ) ) )
10397, 99, 1023bitr4d 288 . . . 4 |- ( ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) /\ x C_ Y ) -> ( ( `' F " x ) e. ( topGen ` J ) <-> x e. ( topGen ` ( J qTop F ) ) ) )
104103pm5.32da 645 . . 3 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. ( topGen ` J ) ) <-> ( x C_ Y /\ x e. ( topGen ` ( J qTop F ) ) ) ) )
105 tgtopon 19974 . . . . . 6 |- ( J e. TopBases -> ( topGen ` J ) e. (TopOn ` U. J ) )
106105adantr 466 . . . . 5 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( topGen ` J ) e. (TopOn ` U. J ) )
10719fveq2i 5881 . . . . 5 |- (TopOn ` X ) = (TopOn ` U. J )
108106, 107syl6eleqr 2521 . . . 4 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( topGen ` J ) e. (TopOn ` X ) )
1097adantl 467 . . . 4 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> F : X -onto-> Y )
110 elqtop3 20705 . . . 4 |- ( ( ( topGen ` J ) e. (TopOn ` X ) /\ F : X -onto-> Y ) -> ( x e. ( ( topGen ` J ) qTop F ) <-> ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. ( topGen ` J ) ) ) )
111108, 109, 110syl2anc 665 . . 3 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( x e. ( ( topGen ` J ) qTop F ) <-> ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. ( topGen ` J ) ) ) )
112 unitg 19969 . . . . . . . . 9 |- ( ( J qTop F ) e. _V -> U. ( topGen ` ( J qTop F ) ) = U. ( J qTop F ) )
113100, 112ax-mp 5 . . . . . . . 8 |- U. ( topGen ` ( J qTop F ) ) = U. ( J qTop F )
11419elqtop2 20703 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -onto-> Y ) -> ( x e. ( J qTop F ) <-> ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) ) )
1157, 114sylan2 476 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( x e. ( J qTop F ) <-> ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) ) )
116 simpl 458 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) -> x C_ Y )
117 selpw 3986 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ~P Y <-> x C_ Y )
118116, 117sylibr 215 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x C_ Y /\ ( `' F " x ) e. J ) -> x e. ~P Y )
119115, 118syl6bi 231 . . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( x e. ( J qTop F ) -> x e. ~P Y ) )
120119ssrdv 3470 . . . . . . . . 9 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( J qTop F ) C_ ~P Y )
121 sspwuni 4385 . . . . . . . . 9 |- ( ( J qTop F ) C_ ~P Y <-> U. ( J qTop F ) C_ Y )
122120, 121sylib 199 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> U. ( J qTop F ) C_ Y )
123113, 122syl5eqss 3508 . . . . . . 7 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> U. ( topGen ` ( J qTop F ) ) C_ Y )
124 sspwuni 4385 . . . . . . 7 |- ( ( topGen ` ( J qTop F ) ) C_ ~P Y <-> U. ( topGen ` ( J qTop F ) ) C_ Y )
125123, 124sylibr 215 . . . . . 6 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( topGen ` ( J qTop F ) ) C_ ~P Y )
126125sseld 3463 . . . . 5 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( x e. ( topGen ` ( J qTop F ) ) -> x e. ~P Y ) )
127126, 117syl6ib 229 . . . 4 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( x e. ( topGen ` ( J qTop F ) ) -> x C_ Y ) )
128127pm4.71rd 639 . . 3 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( x e. ( topGen ` ( J qTop F ) ) <-> ( x C_ Y /\ x e. ( topGen ` ( J qTop F ) ) ) ) )
129104, 111, 1283bitr4d 288 . 2 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( x e. ( ( topGen ` J ) qTop F ) <-> x e. ( topGen ` ( J qTop F ) ) ) )
130129eqrdv 2419 1 |- ( ( J e. TopBases /\ F : X -1-1-onto-> Y ) -> ( ( topGen ` J ) qTop F ) = ( topGen ` ( J qTop F ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1868   A.wral 2775   E.wrex 2776   _Vcvv 3081   i^i cin 3435   C_ wss 3436   ~Pcpw 3979   U.cuni 4216   `'ccnv 4849   dom cdm 4850   ran crn 4851   "cima 4853   Fun wfun 5592   Fn wfn 5593   -1-1->wf1 5595   -onto->wfo 5596   -1-1-onto->wf1o 5597   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   topGenctg 15324   qTop cqtop 15389  TopOnctopon 19905   TopBasesctb 19907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-id 4765  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-topgen 15330  df-qtop 15394  df-top 19908  df-bases 19909  df-topon 19910
This theorem is referenced by:  imasf1oxms  21491
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