MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgqioo Structured version   Unicode version

Theorem tgqioo 21390
Description: The topology generated by open intervals of reals with rational endpoints is the same as the open sets of the standard metric space on the reals. In particular, this proves that the standard topology on the reals is second-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
tgqioo.1  |-  Q  =  ( topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )
Assertion
Ref Expression
tgqioo  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  Q

Proof of Theorem tgqioo
Dummy variables  v  u  w  x  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgqioo.1 . 2  |-  Q  =  ( topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )
2 imassrn 5260 . . 3  |-  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  C_  ran  (,)
3 ioof 11543 . . . . . 6  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
4 ffn 5639 . . . . . 6  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
53, 4ax-mp 5 . . . . 5  |-  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
6 simpll 751 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  (
x (,) y ) )  ->  x  e.  RR* )
7 elioo1 11490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
z  e.  ( x (,) y )  <->  ( z  e.  RR*  /\  x  < 
z  /\  z  <  y ) ) )
87biimpa 482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  (
x (,) y ) )  ->  ( z  e.  RR*  /\  x  < 
z  /\  z  <  y ) )
98simp1d 1006 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  (
x (,) y ) )  ->  z  e.  RR* )
108simp2d 1007 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  (
x (,) y ) )  ->  x  <  z )
11 qbtwnxr 11320 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  z  e.  RR*  /\  x  < 
z )  ->  E. u  e.  QQ  ( x  < 
u  /\  u  <  z ) )
126, 9, 10, 11syl3anc 1226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  (
x (,) y ) )  ->  E. u  e.  QQ  ( x  < 
u  /\  u  <  z ) )
13 simplr 753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  (
x (,) y ) )  ->  y  e.  RR* )
148simp3d 1008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  (
x (,) y ) )  ->  z  <  y )
15 qbtwnxr 11320 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  y  e.  RR*  /\  z  < 
y )  ->  E. v  e.  QQ  ( z  < 
v  /\  v  <  y ) )
169, 13, 14, 15syl3anc 1226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  (
x (,) y ) )  ->  E. v  e.  QQ  ( z  < 
v  /\  v  <  y ) )
17 reeanv 2950 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. u  e.  QQ  E. v  e.  QQ  (
( x  <  u  /\  u  <  z )  /\  ( z  < 
v  /\  v  <  y ) )  <->  ( E. u  e.  QQ  (
x  <  u  /\  u  <  z )  /\  E. v  e.  QQ  (
z  <  v  /\  v  <  y ) ) )
18 df-ov 6199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u (,) v )  =  ( (,) `  <. u ,  v >. )
19 opelxpi 4945 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  e.  QQ  /\  v  e.  QQ )  -> 
<. u ,  v >.  e.  ( QQ  X.  QQ ) )
20193ad2ant2 1016 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  ( x (,) y
) )  /\  (
u  e.  QQ  /\  v  e.  QQ )  /\  ( ( x  < 
u  /\  u  <  z )  /\  ( z  <  v  /\  v  <  y ) ) )  ->  <. u ,  v
>.  e.  ( QQ  X.  QQ ) )
21 ffun 5641 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  Fun  (,) )
223, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  Fun  (,)
23 qssre 11111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  QQ  C_  RR
24 ressxr 9548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  RR  C_  RR*
2523, 24sstri 3426 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  QQ  C_  RR*
26 xpss12 5021 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( QQ  C_  RR*  /\  QQ  C_ 
RR* )  ->  ( QQ  X.  QQ )  C_  ( RR*  X.  RR* )
)
2725, 25, 26mp2an 670 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( QQ 
X.  QQ )  C_  ( RR*  X.  RR* )
283fdmi 5644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  dom  (,)  =  ( RR*  X.  RR* )
2927, 28sseqtr4i 3450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( QQ 
X.  QQ )  C_  dom  (,)
30 funfvima2 6049 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Fun  (,)  /\  ( QQ  X.  QQ )  C_  dom  (,) )  ->  ( <. u ,  v >.  e.  ( QQ  X.  QQ )  ->  ( (,) `  <. u ,  v >. )  e.  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) ) )
3122, 29, 30mp2an 670 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( <.
u ,  v >.  e.  ( QQ  X.  QQ )  ->  ( (,) `  <. u ,  v >. )  e.  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )
3220, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  ( x (,) y
) )  /\  (
u  e.  QQ  /\  v  e.  QQ )  /\  ( ( x  < 
u  /\  u  <  z )  /\  ( z  <  v  /\  v  <  y ) ) )  ->  ( (,) `  <. u ,  v >. )  e.  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )
3318, 32syl5eqel 2474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  ( x (,) y
) )  /\  (
u  e.  QQ  /\  v  e.  QQ )  /\  ( ( x  < 
u  /\  u  <  z )  /\  ( z  <  v  /\  v  <  y ) ) )  ->  ( u (,) v )  e.  ( (,) " ( QQ 
X.  QQ ) ) )
3493ad2ant1 1015 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  ( x (,) y
) )  /\  (
u  e.  QQ  /\  v  e.  QQ )  /\  ( ( x  < 
u  /\  u  <  z )  /\  ( z  <  v  /\  v  <  y ) ) )  ->  z  e.  RR* )
35 simp3lr 1066 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  ( x (,) y
) )  /\  (
u  e.  QQ  /\  v  e.  QQ )  /\  ( ( x  < 
u  /\  u  <  z )  /\  ( z  <  v  /\  v  <  y ) ) )  ->  u  <  z
)
36 simp3rl 1067 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  ( x (,) y
) )  /\  (
u  e.  QQ  /\  v  e.  QQ )  /\  ( ( x  < 
u  /\  u  <  z )  /\  ( z  <  v  /\  v  <  y ) ) )  ->  z  <  v
)
37 simp2l 1020 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  ( x (,) y
) )  /\  (
u  e.  QQ  /\  v  e.  QQ )  /\  ( ( x  < 
u  /\  u  <  z )  /\  ( z  <  v  /\  v  <  y ) ) )  ->  u  e.  QQ )
3825, 37sseldi 3415 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  ( x (,) y
) )  /\  (
u  e.  QQ  /\  v  e.  QQ )  /\  ( ( x  < 
u  /\  u  <  z )  /\  ( z  <  v  /\  v  <  y ) ) )  ->  u  e.  RR* )
39 simp2r 1021 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  ( x (,) y
) )  /\  (
u  e.  QQ  /\  v  e.  QQ )  /\  ( ( x  < 
u  /\  u  <  z )  /\  ( z  <  v  /\  v  <  y ) ) )  ->  v  e.  QQ )
4025, 39sseldi 3415 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  ( x (,) y
) )  /\  (
u  e.  QQ  /\  v  e.  QQ )  /\  ( ( x  < 
u  /\  u  <  z )  /\  ( z  <  v  /\  v  <  y ) ) )  ->  v  e.  RR* )
41 elioo1 11490 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  e.  RR*  /\  v  e.  RR* )  ->  (
z  e.  ( u (,) v )  <->  ( z  e.  RR*  /\  u  < 
z  /\  z  <  v ) ) )
4238, 40, 41syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  ( x (,) y
) )  /\  (
u  e.  QQ  /\  v  e.  QQ )  /\  ( ( x  < 
u  /\  u  <  z )  /\  ( z  <  v  /\  v  <  y ) ) )  ->  ( z  e.  ( u (,) v
)  <->  ( z  e. 
RR*  /\  u  <  z  /\  z  <  v
) ) )
4334, 35, 36, 42mpbir3and 1177 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  ( x (,) y
) )  /\  (
u  e.  QQ  /\  v  e.  QQ )  /\  ( ( x  < 
u  /\  u  <  z )  /\  ( z  <  v  /\  v  <  y ) ) )  ->  z  e.  ( u (,) v ) )
4463ad2ant1 1015 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  ( x (,) y
) )  /\  (
u  e.  QQ  /\  v  e.  QQ )  /\  ( ( x  < 
u  /\  u  <  z )  /\  ( z  <  v  /\  v  <  y ) ) )  ->  x  e.  RR* )
45 simp3ll 1065 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  ( x (,) y
) )  /\  (
u  e.  QQ  /\  v  e.  QQ )  /\  ( ( x  < 
u  /\  u  <  z )  /\  ( z  <  v  /\  v  <  y ) ) )  ->  x  <  u
)
46 xrltle 11276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  u  e.  RR* )  ->  (
x  <  u  ->  x  <_  u ) )
4744, 38, 46syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  ( x (,) y
) )  /\  (
u  e.  QQ  /\  v  e.  QQ )  /\  ( ( x  < 
u  /\  u  <  z )  /\  ( z  <  v  /\  v  <  y ) ) )  ->  ( x  < 
u  ->  x  <_  u ) )
4845, 47mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  ( x (,) y
) )  /\  (
u  e.  QQ  /\  v  e.  QQ )  /\  ( ( x  < 
u  /\  u  <  z )  /\  ( z  <  v  /\  v  <  y ) ) )  ->  x  <_  u
)
49 iooss1 11485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  x  <_  u )  ->  (
u (,) v ) 
C_  ( x (,) v ) )
5044, 48, 49syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  ( x (,) y
) )  /\  (
u  e.  QQ  /\  v  e.  QQ )  /\  ( ( x  < 
u  /\  u  <  z )  /\  ( z  <  v  /\  v  <  y ) ) )  ->  ( u (,) v )  C_  (
x (,) v ) )
51133ad2ant1 1015 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  ( x (,) y
) )  /\  (
u  e.  QQ  /\  v  e.  QQ )  /\  ( ( x  < 
u  /\  u  <  z )  /\  ( z  <  v  /\  v  <  y ) ) )  ->  y  e.  RR* )
52 simp3rr 1068 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  ( x (,) y
) )  /\  (
u  e.  QQ  /\  v  e.  QQ )  /\  ( ( x  < 
u  /\  u  <  z )  /\  ( z  <  v  /\  v  <  y ) ) )  ->  v  <  y
)
53 xrltle 11276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
v  <  y  ->  v  <_  y ) )
5440, 51, 53syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  ( x (,) y
) )  /\  (
u  e.  QQ  /\  v  e.  QQ )  /\  ( ( x  < 
u  /\  u  <  z )  /\  ( z  <  v  /\  v  <  y ) ) )  ->  ( v  < 
y  ->  v  <_  y ) )
5552, 54mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  ( x (,) y
) )  /\  (
u  e.  QQ  /\  v  e.  QQ )  /\  ( ( x  < 
u  /\  u  <  z )  /\  ( z  <  v  /\  v  <  y ) ) )  ->  v  <_  y
)
56 iooss2 11486 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  v  <_  y )  ->  (
x (,) v ) 
C_  ( x (,) y ) )
5751, 55, 56syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  ( x (,) y
) )  /\  (
u  e.  QQ  /\  v  e.  QQ )  /\  ( ( x  < 
u  /\  u  <  z )  /\  ( z  <  v  /\  v  <  y ) ) )  ->  ( x (,) v )  C_  (
x (,) y ) )
5850, 57sstrd 3427 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  ( x (,) y
) )  /\  (
u  e.  QQ  /\  v  e.  QQ )  /\  ( ( x  < 
u  /\  u  <  z )  /\  ( z  <  v  /\  v  <  y ) ) )  ->  ( u (,) v )  C_  (
x (,) y ) )
59 eleq2 2455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  ( u (,) v )  ->  (
z  e.  w  <->  z  e.  ( u (,) v
) ) )
60 sseq1 3438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  ( u (,) v )  ->  (
w  C_  ( x (,) y )  <->  ( u (,) v )  C_  (
x (,) y ) ) )
6159, 60anbi12d 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( u (,) v )  ->  (
( z  e.  w  /\  w  C_  ( x (,) y ) )  <-> 
( z  e.  ( u (,) v )  /\  ( u (,) v )  C_  (
x (,) y ) ) ) )
6261rspcev 3135 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( u (,) v
)  e.  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  /\  (
z  e.  ( u (,) v )  /\  ( u (,) v
)  C_  ( x (,) y ) ) )  ->  E. w  e.  ( (,) " ( QQ 
X.  QQ ) ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x (,) y ) ) )
6333, 43, 58, 62syl12anc 1224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e. 
RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  ( x (,) y
) )  /\  (
u  e.  QQ  /\  v  e.  QQ )  /\  ( ( x  < 
u  /\  u  <  z )  /\  ( z  <  v  /\  v  <  y ) ) )  ->  E. w  e.  ( (,) " ( QQ 
X.  QQ ) ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x (,) y ) ) )
64633exp 1193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  (
x (,) y ) )  ->  ( (
u  e.  QQ  /\  v  e.  QQ )  ->  ( ( ( x  <  u  /\  u  <  z )  /\  (
z  <  v  /\  v  <  y ) )  ->  E. w  e.  ( (,) " ( QQ 
X.  QQ ) ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x (,) y ) ) ) ) )
6564rexlimdvv 2880 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  (
x (,) y ) )  ->  ( E. u  e.  QQ  E. v  e.  QQ  ( ( x  <  u  /\  u  <  z )  /\  (
z  <  v  /\  v  <  y ) )  ->  E. w  e.  ( (,) " ( QQ 
X.  QQ ) ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x (,) y ) ) ) )
6617, 65syl5bir 218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  (
x (,) y ) )  ->  ( ( E. u  e.  QQ  ( x  <  u  /\  u  <  z )  /\  E. v  e.  QQ  (
z  <  v  /\  v  <  y ) )  ->  E. w  e.  ( (,) " ( QQ 
X.  QQ ) ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x (,) y ) ) ) )
6712, 16, 66mp2and 677 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  (
x (,) y ) )  ->  E. w  e.  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x (,) y ) ) )
6867ralrimiva 2796 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  A. z  e.  ( x (,) y
) E. w  e.  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x (,) y ) ) )
69 qtopbas 21351 . . . . . . . 8  |-  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  e.  TopBases
70 eltg2b 19545 . . . . . . . 8  |-  ( ( (,) " ( QQ 
X.  QQ ) )  e.  TopBases  ->  ( ( x (,) y )  e.  ( topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )  <->  A. z  e.  ( x (,) y
) E. w  e.  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x (,) y ) ) ) )
7169, 70ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( x (,) y )  e.  ( topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )  <->  A. z  e.  ( x (,) y
) E. w  e.  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x (,) y ) ) )
7268, 71sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x (,) y )  e.  ( topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) ) )
7372rgen2a 2809 . . . . 5  |-  A. x  e.  RR*  A. y  e. 
RR*  ( x (,) y )  e.  (
topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )
74 ffnov 6305 . . . . 5  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ( topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )  <->  ( (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )  /\  A. x  e.  RR*  A. y  e.  RR*  (
x (,) y )  e.  ( topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) ) ) )
755, 73, 74mpbir2an 918 . . . 4  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ( topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )
76 frn 5645 . . . 4  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ( topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )  ->  ran  (,)  C_  ( topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) ) )
7775, 76ax-mp 5 . . 3  |-  ran  (,)  C_  ( topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )
78 2basgen 19577 . . 3  |-  ( ( ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) 
C_  ran  (,)  /\  ran  (,)  C_  ( topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) ) )  ->  ( topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )  =  ( topGen `  ran  (,) )
)
792, 77, 78mp2an 670 . 2  |-  ( topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )  =  ( topGen ` 
ran  (,) )
801, 79eqtr2i 2412 1  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  Q
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826   A.wral 2732   E.wrex 2733    C_ wss 3389   ~Pcpw 3927   <.cop 3950   class class class wbr 4367    X. cxp 4911   dom cdm 4913   ran crn 4914   "cima 4916   Fun wfun 5490    Fn wfn 5491   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   RRcr 9402   RR*cxr 9538    < clt 9539    <_ cle 9540   QQcq 11101   (,)cioo 11450   topGenctg 14845   TopBasesctb 19483
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-sup 7816  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-q 11102  df-ioo 11454  df-topgen 14851  df-bases 19486
This theorem is referenced by:  re2ndc  21391  opnmblALT  22097  mbfimaopnlem  22147
  Copyright terms: Public domain W3C validator